分析化学中的数据处理
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以上这些问题的回答都要知道误差的区间概率，
（即概率密度的积分）
CHENLI
17
记作： N(,2)
CHENLI
14
2、标准正态分布曲线
为一方便求出某区间的概率，将横坐标进行变量代换。
定义： u x
（即：以σ为单位来表征随机误差）
则：
yf(x) 1 eu2/2
2
x u dxdu
∴ f(x )d x1e u 2/2d u1e u 2/2 d u (u )d—u—概率
（1） ——数据的集中趋势
（2） ——数据的离散倾向
1、正态分布曲线
e(
x)2 2 2
y f (x)
2
CHENLI
11
( x )2
y f (x) e 22
2
式中：
y——相当于测量值x出现的频率密度
（或概率密度）
μ——相当于总体平均值
x
相当于曲线最高点对应的横坐标值，表征数据的集中趋势
σ——总体标准差
以频数（或频率密度） n i ～组值范围 ns
作图，得频数（或频率密度）分布
直方图。（见P245-图7-1） CHENLI
10
7.2.2正态分布（高斯G.F.Gauss分布）
对上述分析数据进行整理时，数据具有以下特性:
①向某中心值集中的趋势；②偏离此中心值的倾向。
为明确表达数据的特性，我们通常
用两个特性参数来表征一组数据：
式中： ——差方和
（它能更(好x地说)明2数Q 据的分散程度）
CHENLI
4
7.1.2 样本标准偏差S
S (xx)2 n1 （n为有限值，一般＜20且无系统误差）
同样：式中 (xx)2 Q ——差方和（即偏差的平方和）
S与σ比较：（1）用 x 代替了μ；（2）用n－1代替了n。
式中：n-1 = f ——自由度
标准偏差的计算：
∵
（等 效( 式x ，x ) 可2 直 接x 2 利 用( 测x ) 量2 /数n据计算）
∴
S
x2 C(HxE)N2LI/n
5
n1
7.1.3 相对标准偏差（变异系数或变动系数）
相对标准偏差 = S/x10% 0 （或1000‰）
7.1.4标准偏差σ（或s）与平均偏差δ(或 d)的异同点
相当于μ到曲线两拐点之一的距离，表征数据的分散程度
x（自变量）——个别测量值
x-μ——代表测量值对μ的偏离CH（ENL表I 征随机误差）
12
随机误差有以下规律：
（1）单峰性 当x=μ时(无系统误差时μ=xT)，ymax体现了测量 值的集中趋势，或μ( )是x 最佳值或最可信赖值； （2）对称性 曲线以x=μ为对称轴，呈钟形对称，说明正负
或某一次测定。 3、样本（子样）
从总体中随机抽出的一组测量值或指总体的 一个部分。 4、样本容量（样本大小）
指样本中个体的数目，或样本中测量值数目。
CHENLI
2
总体、个体、样本、样本容量间的关系
样本平均值
x
1 n
n i 1
xi
当n→∞时： 总体平均值
又∵
lim
n
1n n i1
xi
d1n|(xi x)|
酬答依次减小
CHENLI
8
同理：
单次测量的 d （δ）与平均值的 d X ( X 间) 也有：
X
n
（无限次测量）
dX d n
（有限次测量）
CHENLI
9
7.2 随机误差的正态分布 7.2.1频数分布 频数（ni）——每组中出现的数据个数
ni ni
n ni
——相对频数（或频率）
n i ——频率密度 ns
个体
样本容量 样本平均偏差
n＜20次，有限次测量，且无系统误差
当n→∞时：
1n| xx|
n＞20次，无限次测量，且无系统误差
总体平均偏差
CHENLI
3
7.1 标准偏差（标准差或均方误差） 7.1.1总体标准偏差σ 当n→∞时：测量值x对总体平均值μ的偏离用σ表示。
(x)2
（此式应用于n→∞，μn= xT；无系统误差）
6
7.1.5平均值的标准偏差
统计学上证明：
X
n
（无限次测量）
或： S S
X
n
（有限次测量）
CHBiblioteka BaiduNLI
7
可见：
（1）S S 且是S的 1 倍，即：平
X
n
均值的误差按测定次数的比例减小；
（2）上式的意义：
（3）增加测定次数n，可以提高测
定结果的精密度，但事实上增加n
所取得的效果是有限制的。
即：4次测量时：S 是S的1/2倍 X 9次测量时： S 是S的1/3倍 X 25次测量时： S X 是S的1/5倍
1、不必考虑偏差的正负号
2、σ（或s）增强了大偏差数据的作用
如P243-二组数据：
Xmin
Xmax
d
S
可见： S＞ d
数据1 -0.4
+0.4
0.24
0.28
数据2 -0.7 d +0.5
0.24
0.33
3、δ与σ的关系
统计学证明：
当n→∞时，δ= 0.8σ（即σ＞δ），或4δ=3σ
（但有的书中也有 dCHEN=LI0.8 S 或 4 d = 3S）。
误差出现的机率相等；
（3）有界性 当x→+∞或x→－∞时，曲线以x轴为渐近线，即：
大误差出现机率小，小误差出现机率大；
（4）当x=μ时
y(X)
1
2
—— 概率密度
ydx 1 dx
2
——测CH量ENL值I 落在μ±dx 范围内的概率 13
①当σ↑时，数据分散，分布曲线 平坦（矮胖）；当σ↓时，数据集 中，分布曲线尖锐（高瘦）。 ②当σ相同，μ不同时，曲线形状 一致，而位置发生左（或右）移， 所以μ的大小代表数据集中于何处。 （5）所以只要μ、σ确定之后， 分布曲线便确定下来，这种分布曲线
2
2
即
y(u) 1 eu2/2
2
这样的曲线称之标准正态分布曲线，记作N（0，1）
CHENLI
15
标准正态分布曲线的特征是：
（1）当X=μ时，y有极值， 当σ=1时
y 1 0.399
2
（2）正负误差出现的机会均等； （3）大误差出现的概率小，小 误差出现的概率大。
CHENLI
16
7.2.3随机误差的区间概率 实际分析工作中，对误差有两类问题需回答： （1）某一给定范围的测定，这些测定出现的机会是 多少？ （2）为保证测定有一定把握，这些测定的误差可以 要求在什么范围内？
第7章 分析化学中的数据处理
7.1 标准偏差（标准差或均方误差） 7.2 随机误差的正态分布 7.3 少量数据的统计处理 7.4 误差的传递 7.5 回归分析 7.6 提高分析结果准确度的方法
CHENLI
1
几个概念（术语）
1、总体（母体） 所研究对象的某特性值的全体。
2、个体 总体中的每一个单元，指全体中的一个单位
（即概率密度的积分）
CHENLI
17
记作： N(,2)
CHENLI
14
2、标准正态分布曲线
为一方便求出某区间的概率，将横坐标进行变量代换。
定义： u x
（即：以σ为单位来表征随机误差）
则：
yf(x) 1 eu2/2
2
x u dxdu
∴ f(x )d x1e u 2/2d u1e u 2/2 d u (u )d—u—概率
（1） ——数据的集中趋势
（2） ——数据的离散倾向
1、正态分布曲线
e(
x)2 2 2
y f (x)
2
CHENLI
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( x )2
y f (x) e 22
2
式中：
y——相当于测量值x出现的频率密度
（或概率密度）
μ——相当于总体平均值
x
相当于曲线最高点对应的横坐标值，表征数据的集中趋势
σ——总体标准差
以频数（或频率密度） n i ～组值范围 ns
作图，得频数（或频率密度）分布
直方图。（见P245-图7-1） CHENLI
10
7.2.2正态分布（高斯G.F.Gauss分布）
对上述分析数据进行整理时，数据具有以下特性:
①向某中心值集中的趋势；②偏离此中心值的倾向。
为明确表达数据的特性，我们通常
用两个特性参数来表征一组数据：
式中： ——差方和
（它能更(好x地说)明2数Q 据的分散程度）
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4
7.1.2 样本标准偏差S
S (xx)2 n1 （n为有限值，一般＜20且无系统误差）
同样：式中 (xx)2 Q ——差方和（即偏差的平方和）
S与σ比较：（1）用 x 代替了μ；（2）用n－1代替了n。
式中：n-1 = f ——自由度
标准偏差的计算：
∵
（等 效( 式x ，x ) 可2 直 接x 2 利 用( 测x ) 量2 /数n据计算）
∴
S
x2 C(HxE)N2LI/n
5
n1
7.1.3 相对标准偏差（变异系数或变动系数）
相对标准偏差 = S/x10% 0 （或1000‰）
7.1.4标准偏差σ（或s）与平均偏差δ(或 d)的异同点
相当于μ到曲线两拐点之一的距离，表征数据的分散程度
x（自变量）——个别测量值
x-μ——代表测量值对μ的偏离CH（ENL表I 征随机误差）
12
随机误差有以下规律：
（1）单峰性 当x=μ时(无系统误差时μ=xT)，ymax体现了测量 值的集中趋势，或μ( )是x 最佳值或最可信赖值； （2）对称性 曲线以x=μ为对称轴，呈钟形对称，说明正负
或某一次测定。 3、样本（子样）
从总体中随机抽出的一组测量值或指总体的 一个部分。 4、样本容量（样本大小）
指样本中个体的数目，或样本中测量值数目。
CHENLI
2
总体、个体、样本、样本容量间的关系
样本平均值
x
1 n
n i 1
xi
当n→∞时： 总体平均值
又∵
lim
n
1n n i1
xi
d1n|(xi x)|
酬答依次减小
CHENLI
8
同理：
单次测量的 d （δ）与平均值的 d X ( X 间) 也有：
X
n
（无限次测量）
dX d n
（有限次测量）
CHENLI
9
7.2 随机误差的正态分布 7.2.1频数分布 频数（ni）——每组中出现的数据个数
ni ni
n ni
——相对频数（或频率）
n i ——频率密度 ns
个体
样本容量 样本平均偏差
n＜20次，有限次测量，且无系统误差
当n→∞时：
1n| xx|
n＞20次，无限次测量，且无系统误差
总体平均偏差
CHENLI
3
7.1 标准偏差（标准差或均方误差） 7.1.1总体标准偏差σ 当n→∞时：测量值x对总体平均值μ的偏离用σ表示。
(x)2
（此式应用于n→∞，μn= xT；无系统误差）
6
7.1.5平均值的标准偏差
统计学上证明：
X
n
（无限次测量）
或： S S
X
n
（有限次测量）
CHBiblioteka BaiduNLI
7
可见：
（1）S S 且是S的 1 倍，即：平
X
n
均值的误差按测定次数的比例减小；
（2）上式的意义：
（3）增加测定次数n，可以提高测
定结果的精密度，但事实上增加n
所取得的效果是有限制的。
即：4次测量时：S 是S的1/2倍 X 9次测量时： S 是S的1/3倍 X 25次测量时： S X 是S的1/5倍
1、不必考虑偏差的正负号
2、σ（或s）增强了大偏差数据的作用
如P243-二组数据：
Xmin
Xmax
d
S
可见： S＞ d
数据1 -0.4
+0.4
0.24
0.28
数据2 -0.7 d +0.5
0.24
0.33
3、δ与σ的关系
统计学证明：
当n→∞时，δ= 0.8σ（即σ＞δ），或4δ=3σ
（但有的书中也有 dCHEN=LI0.8 S 或 4 d = 3S）。
误差出现的机率相等；
（3）有界性 当x→+∞或x→－∞时，曲线以x轴为渐近线，即：
大误差出现机率小，小误差出现机率大；
（4）当x=μ时
y(X)
1
2
—— 概率密度
ydx 1 dx
2
——测CH量ENL值I 落在μ±dx 范围内的概率 13
①当σ↑时，数据分散，分布曲线 平坦（矮胖）；当σ↓时，数据集 中，分布曲线尖锐（高瘦）。 ②当σ相同，μ不同时，曲线形状 一致，而位置发生左（或右）移， 所以μ的大小代表数据集中于何处。 （5）所以只要μ、σ确定之后， 分布曲线便确定下来，这种分布曲线
2
2
即
y(u) 1 eu2/2
2
这样的曲线称之标准正态分布曲线，记作N（0，1）
CHENLI
15
标准正态分布曲线的特征是：
（1）当X=μ时，y有极值， 当σ=1时
y 1 0.399
2
（2）正负误差出现的机会均等； （3）大误差出现的概率小，小 误差出现的概率大。
CHENLI
16
7.2.3随机误差的区间概率 实际分析工作中，对误差有两类问题需回答： （1）某一给定范围的测定，这些测定出现的机会是 多少？ （2）为保证测定有一定把握，这些测定的误差可以 要求在什么范围内？
第7章 分析化学中的数据处理
7.1 标准偏差（标准差或均方误差） 7.2 随机误差的正态分布 7.3 少量数据的统计处理 7.4 误差的传递 7.5 回归分析 7.6 提高分析结果准确度的方法
CHENLI
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几个概念（术语）
1、总体（母体） 所研究对象的某特性值的全体。
2、个体 总体中的每一个单元，指全体中的一个单位