三角形三边之间的关系
直角三角形的三边关系
直角三角形的三边关系直角三角形是指其中一个角为直角（90度）的三角形。
在直角三角形中，三边之间存在着特殊的关系，这些关系对于数学和实际应用领域都具有重要意义。
一、勾股定理直角三角形的最重要的定理就是勾股定理，它描述了直角三角形的三边之间的关系。
勾股定理表达式如下：c^2 = a^2 + b^2其中，a和b是直角三角形的两个直角边，c是斜边（斜边是直角三角形中与直角不相邻的边）。
这个定理意味着，如果我们知道了直角三角形的两个直角边的长度，我们就可以计算出斜边的长度。
也就是说，勾股定理提供了计算直角三角形边长的方法。
二、三角函数在直角三角形中，三角函数被广泛应用来描述三边之间的关系。
常见的三角函数有正弦、余弦和正切。
1. 正弦函数（sin）：定义为直角三角形中斜边与斜边上的对边的比值。
sinA = 对边/斜边2. 余弦函数（cos）：定义为直角三角形中斜边与斜边上的邻边的比值。
cosA = 邻边/斜边3. 正切函数（tan）：定义为直角三角形中对边与邻边的比值。
tanA = 对边/邻边通过三角函数，我们可以在直角三角形中计算出任意一个角的大小。
反之，如果我们知道了三角形的某个角度和任意两个边的长度，我们也可以通过三角函数计算出第三边的长度。
三、特殊的三边关系除了勾股定理和三角函数之外，直角三角形还有一些特殊的三边关系。
1. 等腰直角三角形：当直角三角形的两个直角边相等时，称为等腰直角三角形。
在等腰直角三角形中，斜边的长度等于直角边的开根号2倍。
2. 等边直角三角形：当直角三角形的三边都相等时，称为等边直角三角形。
在等边直角三角形中，三个角都是45度。
3. 30-60-90三角形：当直角三角形的两个锐角分别为30度和60度时，称为30-60-90三角形。
在这种三角形中，边的比例关系为1:√3:2。
斜边的长度等于短直角边的开根号3倍。
4. 45-45-90三角形：当直角三角形的两个锐角都为45度时，称为45-45-90三角形。
三角形三边关系定理(共6张PPT)
如（图3），能任．意因画为一5个+解△6A＞得B1C0，，x一1=0只3+小.66虫.＞从5，点1B0 出+ 5发＞，6沿，三角形的边爬到点C，它有几条路线可以选择？各条线路的长一样吗？你能运用所
学解知得识x 解= 1释0你. 的结果吗？你能由此推出三条边之间有怎样的关系？
B即C三＞角A形C两-A边B的．和所大于以第，三边三．边长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm．
（1）3，4，5；（2）5，6，11；（3）5，6，10．
解：（1）能．因为3 + 4＞5，3 + 5＞4，4 + 5＞3，
符合三角形两边的和大于第三边.
（2）不能．因为5 + 6 =11，
不符合三角形两边的和大于第三边.
（3）能．因为5 + 6＞10，10 + 6＞5，10 + 5＞6，
符合三角形两边的和大于第三边.
即三角形两边的和大于第三边．
B
C
探索三角形三边的关系
• 问题：
由不等式②③移项可得 BC ＞AB -AC，
BC ＞AC -AB． 由此你能得出什么结论？
AB + AC ＞BC， ① AC + BC ＞AB， ② AB + BC ＞AC． ③
三角形两边的差小于第Biblioteka 边．三角形三边关系定理的应用
例1 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
（〔31） 〕能如．果因腰为长是5 +底6边＞的102，倍1，0那+ 么6＞各5边，的10长+是5＞多6少，？
（ 三3角）形能三．边因关为系5定+理6＞的1应0，用10 ABC + ABCC ＞＞BACB， ①②
三角形的三边关系ppt
直角三角形中，有一个内角为90°，即∠C=90°。
轴对称
等腰直角三角形是轴对称图形，对称轴为底边的 垂直平分线。
06
总结
主要观点的总结
三角形三边关系是指三角形的三条边之间的长度关系， 可以用不等式表示为两边之和大于第三边，两边之差小 于第三边。
在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差 小于第三边。
个人感悟及收获
学习三角形三边关系让我对几何学有了更深入的认识和理解， 也让我感受到了几何学的严谨和实用性。
通过学习三角形三边关系，我不仅掌握了一种新的证明方法， 而且也增强了自己的数学素养和逻辑思维能力，这对于我未来 的学习和工作都非常重要。
在学习三角形三边关系的过程中，我深刻体会到了数学知识的 连贯性和系统性，以及数学知识在解决实际问题中的重要作用 。
三角形三边长大于0。
可加性
任意两边之和大于第三边。
可减性
任意两边之差小于第三边。
三角形按边分类
01
02
03
等边三角形
三边长度都相等的三角形 。
等腰三角形
两边长度相等，第三边不 等的三角形。
一般三角形
三条边长度都不相等的三 角形。
三角形边的关系
勾股定理
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
相关概念简介
等边三角形
三条边长度相等的三角形。
等腰三角形
两条边长度相等的三角形。
三角形
由三条直线段连接的封闭图形，其中任意 两条边都相交于一个顶点。
边
三角形中的三条线段。在等腰三角形中， 两条边长度相等。
角度
三角形中三个内角的大小。在等边三角形 中，三个角度相等。
三角形三边关系
第3题 第4题讲 义知识点1：三角形三边的关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边。
知识点2：三角形的内角和等于180°，三角形的外角和等于360° 知识点3：直角三角形的性质与判定知识点4：多边形内角和：()1802⋅-n ° 多边形的外角和等于360°知识点5：多边形所有对角线的条数：()23-n n ，多边形从一个顶点出发有3-n 条对角线自主练习： 一、选择题1.以下列各组线段为边，能组成三角形的是 ( ) A ． 2 cm ，3 cm ，5 cm B ．3 cm ，3 cm ，6 cm C ． 5 cm ，8 cm ，2 cm D ． 4 cm ，5 cm ，6 cm2.已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长等于 ( ) A ． 12 B ．12或15 C ． 15 D ．15或183. 如图，在△ABC 中，∠B =67°，∠C =33°，AD 是△ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为（ ） A ．40° B ．45° C ．50° D ．55°4.如图：将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（ ）A ．75°B ．90° C．105° D ．120° 5.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）A 、4B 、5C 、6D 、7 6.下面各角能成为某多边形的内角和的是（ ）A ．430°B ．4343°C ．4320°D ．4360° 7. 在△ABC 中，AB =8，AC =6，则BC 边上的中线AD 的取值范围是（ ）。
A ．6＜AD ＜8 B ．2＜AD ＜14 C ．1＜AD ＜7 D ．无法确定 二、填空题8．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是利用了___________________.9．一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是_____边形。
直角三角形三边比例关系
直角三角形三边比例关系直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度，另外两个角度则分别为锐角和钝角。
在直角三角形中，三个边长之间存在着一种重要的比例关系，这种关系在数学中被称为“直角三角形三边比例关系”。
在直角三角形中，三条边分别被称为斜边、对边和邻边。
斜边是直角三角形中最长的边，对边则是与直角相对的边，邻边则是与直角相邻的边。
在直角三角形中，三个边长之间的比例关系可以表示为：斜边的长度 = 对边的长度×正弦角度 + 邻边的长度×余弦角度这个公式被称为“正弦定理”，它可以帮助我们计算直角三角形中任意一条边的长度，只要我们知道另外两条边的长度和它们与直角的夹角大小。
另外，直角三角形中还存在着一个重要的比例关系，被称为“勾股定理”。
勾股定理告诉我们，在一个直角三角形中，斜边的平方等于对边的平方加上邻边的平方。
这个公式可以表示为：斜边的平方 = 对边的平方 + 邻边的平方勾股定理是直角三角形中最基础的性质之一，它可以帮助我们计算直角三角形中任意一条边的长度，只要我们知道另外两条边的长度。
除了正弦定理和勾股定理之外，直角三角形中还存在着其他的比例关系。
例如，三角形的内角和为180度，因此在直角三角形中，直角的角度为90度，而其他两个角度之和则为90度。
因此，如果我们知道一个角度的大小，就可以计算出另外一个角度的大小。
此外，在直角三角形中，正弦角度、余弦角度和正切角度之间也存在着一定的比例关系。
例如，正切角度等于对边与邻边的比值。
这些比例关系可以帮助我们计算直角三角形中各个角度的大小和三条边的长度。
总之，直角三角形三边比例关系是数学中非常重要的一种关系，它可以帮助我们计算直角三角形中各个角度的大小和三条边的长度。
通过学习这种比例关系，我们可以更好地理解直角三角形的性质和特征，从而更好地解决与直角三角形相关的数学问题。
三角形三边关系归纳
三角形三边关系的考点问题三角形的三条边之间主要有这样的关系：三角形的两边的和大于第三边，三角形的两边的差小于第三边.利用这两个关系可以解决许多典型的几何题目.现举例说明.一、确定三角形某一边的取值范围问题根据三角形三边之间关系定理和推论可得结论：三角形的两边为a、b，那么第三边c 满足|a－b|＜c＜a＋b.例1 用三条绳子打结成三角形(不考虑结头长)，其中两条长分别是3m和7m，问第三条绳子的长有什么限制.简析设第三条绳子的长为x m，那么7－3＜x＜7＋3，即4＜x＜10.故第三条绳子的长应大于4m且小于10m。
二、判定三条线段能否组成三角形问题根据三角形的三边关系，只需判断最小的两边之和是否大于第三边即可.例2〔1〕以下长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是〔〕A，5cm、7cm、10cm B，7cm、10cm、13cmC，5cm、7cm、13cm D，5cm、10cm、13cm〔2〕〔2004年哈尔滨市中考试题〕以以下各组线段为边，能组成三角形的是〔〕A，1cm,2cm,4cm B，8cm,6cm,4cm C，12cm,5cm,6cm D，2cm,3cm,6cm 简析由三角形的三边关系可知：(1)5+7＜13，故应选C；(2)6+4＞8，故应选B.例3 有以下长度的三条线段能否组成三角形？〔1〕a－3，a，3(其中a＞3)；〔2〕a，a＋4，a＋6(其中a＞0)；〔3〕a＋1，a＋1，2a(其中a＞0).简析〔1〕因为(a－3)＋3=a，所以以线段a－3，a，3为边的三条线段不能组成三角形.〔2〕因为(a＋6)－a =6，而6与a＋4的大小关系不能确定，所以以线段a，a＋4，a＋6为边的三条线段不一定能组成三角形.〔3〕因为(a＋1)＋(a＋1)=2a＋2＞2，(a＋1)＋2a=3a＋1＞(a＋1)，所以以线段a ＋1，a＋1，2a为边的三条线段一定能组成三角形.三、求三角形某一边的长度问题此类问题往往有陷阱，即在根据题设条件求得结论时，其中可能有一个答案是错误的，需要我们去鉴别，而鉴别的依据就是这里的定理及推论.例4 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两局部，求这个三角形的腰长.简析如图1，设腰AB=x cm，底BC=y cm，D为AC边的中点.根据题意，得x+12x＝12，且y+12x＝21；或x+12x＝21，且y+12x＝12.解得x＝8，y＝17；或x＝14，y＝5.显然当x=8，y=17时，8＋8＜17不符合定理，应舍去.故此三角形的腰长是14cm.例5一个三角形的两边分别是2厘米和9厘米，第三边长是一个奇数，那么第三边长为______.简析设第三边长为x厘米，因为9-2<x<9+2，即7<x<11，而x是奇数，所以x=9.故应填上9厘米.四、 求三角形的周长问题此类求三角形的周长问题和求三角形某一边的长度问题一样，也会设计陷阱，所以也应防止答案的错误.例6 等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,那么它的周长等于_______. 简析 等腰三角形的一边等于5,另一边等于6，并没有指明是腰还是底，故应由三角形的三边关系进行分类讨论，当5是腰时，那么底是6，即周长等于16；当6是腰时，那么底是5，即周长等于17.故这个等腰三角形的周长是16或17.五、判断三角形的形状问题判断三角形的形状主要是根据条件寻找边之间的关系.例7 a 、b 、c 是三角形的三边，且满足a 2+b 2+c 2－ab －bc －ca =0.试判断三角形的形状. 简析 因为a 2+b 2+c 2－ab －bc －ca =0，那么有2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca =0.于是有〔a－b 〕2+〔ｂ－ｃ〕2+〔ｃ－a 〕2＝0.此时有非负数的性质知〔a －b 〕2=0；〔ｂ－ｃ〕2=0；〔ｃ－a 〕2＝0，即a －b =0；ｂ－ｃ=0；ｃ－a =0.故a =b =c .所以此三角形是等边三角形.六、化简代数式问题这里主要是运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从而确定代数式的符号. 例8 三角形三边长为a 、b 、c ，且|a ＋b －c|＋|a －b －c|=10，求b 的值.简析 因a ＋b ＞c ，故a ＋b －c ＞0`因a －b ＜c ，故a －b －c ＜0.所以|a ＋b －c|＋|a －b －c |= a ＋b －c －(a －b －c )=2b =10.故b =5.七、确定组成三角形的个数问题要确定三角形的个数只需根据题意，运用三角形三边关系逐一验证，做到不漏不重. 例9 现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为〔 〕A.1B.2C.3D.4简析 由三角形的三边关系知：假设以长度分别为2cm 、3cm 、4cm ，那么可以组成三角形；假设以长度分别为3cm 、4cm 、5cm ，那么可以组成三角形；假设以长度分别为2cm 、3cm 、5cm ，那么不可以组成三角形；假设以长度分别为2cm 、4cm 、5cm ，那么也可以组成三角形.即分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为3，故应选C .例10 求各边长互不相等且都是整数、周长为24的三角形共有多少个？简析 设较大边长为a ，另两边长为b 、c .因为a ＜b ＋c ，故2a ＜a ＋b ＋c ，a ＜21(a ＋b ＋c ).又a ＋a ＞b ＋c ，即2a ＞b ＋c .所以3a ＞a ＋b ＋c ，a ＞31(a ＋b ＋c ).所以，31(a ＋b ＋c )＜aB C 图2 图1 D CB A＜21(a ＋b ＋c ).31×24＜a ＜21×24.所以8＜a ＜12.即a 应为9，10，11.由三角形三边关系定理和推论讨论知：⎪⎩⎪⎨⎧===,7,8,9c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,6,8,10c b a⎪⎩⎪⎨⎧===,5,9,10c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,6,7,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,5,8,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,4,9,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===.3,10,11c b a由此知符合条件的三角形一共有7个.八、说明线段的不等问题在平面几何问题中，线段之间的不等关系的说明，很多情况下必须借助三角形三边之间的关系定理及推论.有时可直接加以运用，有时那么需要添加辅助线，创造条件才能运用.例11 P 是△ABC 内任意一点，试说明AB ＋BC ＋CA ＞P A ＋PB ＋PC ＞21(AB ＋BC ＋CA )的理由.简析 如图2，延长BP 交AC 于D 点.在△ABD 中，可证明AB ＋AD ＞BP ＋PD .在△PDC 中，可证明PD ＋DC ＞PC .两式相加，可得AB ＋AC ＞BP ＋PC ，同理可得AB ＋BC ＞P A ＋PC ，BC ＋CA ＞P A ＋PB .把三式相加后除以2，得AB ＋BC ＋CA＞P A ＋PB ＋PC .在△P AB 中，P A ＋PB ＞AB ；在△PBC 中，PB ＋PC ＞BC ；在△P AC 中，P A ＋PC ＞CA .上面三式相加后除以2，得P A ＋PB ＋PC ＞21(AB ＋BC ＋CA )，综上所述：AB ＋BC ＋CA ＞P A ＋PB ＋PC ＞21(AB ＋BC ＋CA ).课堂练习1. 假设三角形的两边长分别为6、7，那么第三边长a 的取值范围是__________。
三角形三边关系 申思
三角形三边关系申思
三角形的三边关系是指三角形三条边之间的关系。
在任意三角
形中，三条边的长度之间存在着一定的关系，这些关系可以通过几
何定理和三角函数来描述。
首先，我们来谈谈三角形的三条边之间的大小关系。
对于任意
三角形，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这
个性质被称为三角形的边长关系定理，也被称为三角不等式定理。
这个定理的意义在于，如果我们知道了三角形的两条边的长度，就
可以根据这个定理来判断第三条边的取值范围，从而避免构造不成
三角形的情况。
其次，我们可以通过三角函数来描述三角形的三边关系。
在三
角形中，我们通常会用正弦、余弦和正切等三角函数来描述角和边
的关系。
例如，正弦定理指出，在任意三角形ABC中，三条边a、b、c和对应的角A、B、C之间满足以下关系，
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，其中R为三角形外接圆的半径。
这个定
理可以用来求解三角形的边长或角度，特别适用于不等边三角形的
计算。
此外，还有余弦定理和正弦定理等可以描述三角形三边关系的
定理。
余弦定理可以用来计算三角形的边长，而正弦定理则可以用
来计算三角形的面积等。
总的来说，三角形的三边关系涉及到了三角形的边长大小关系、三角函数和三角形的几何性质。
通过这些关系，我们可以更好地理
解和计算三角形的各种性质，从而更好地解决与三角形相关的问题。
三角形三边关系
三角形三边关系（1）三角形三边关系定理及推论定理：三角形两边的和大于第三边。
（2）表达式：△ABC 中，设a ＞b ＞c 则b-c ＜a ＜b+ca-c ＜b ＜a+ca-b ＜c ＜a+b （3）应用1、给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形。
方法（设a 、b 、c 为三边的长）①若a+b ＞c ，a+c ＞b ，b+c ＞a 都成立，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形； ②若c 为最长边且a+b ＞c ，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形；③若c 为最短边且c ＞|a-b|，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形。
2、已知三角形两边长为a 、b ，求第三边x 的范围：|a-b|＜x ＜a+b 。
3、已知三角形两边长为a 、b(a ＞b)，求周长L 的范围：2a ＜L ＜2(a+b)。
4、证明线段之间的不等关系。
复习巩固，引入新课2、已知：如图△ABC 中AG 是BC 中线，AB=5cm AC=3cm ，则△ABG 和△ACG 的周长的差为多少？△ABG 和△ACG的面积有何关系？3、三角形的角平分线、中线、高线都是（ ）A 、直线B 、线段C 、射线D 、以上都不对4、三角形三条高的交点一定在（ ）A 、三角形的内部B 、三角形的外部C 、顶点上D 、以上三种情况都有可能5、直角三角形中高线的条数是（ ）A 、3B 、2C 、1D 、06、判断：（1） 有理数可分为正数和负数。
（2） 有理数可分为正有理数、正分数、负有理数和负分数。
BE FB C7、现有10cm 的线段三条，15cm 的线段一条，20cm 的线段一条，将它们任意组合能够得到几种不同形状的三角形？三角形三边的关系一、三角形按边分类（见同步辅导二）练习１、两种分类方法是否准确：不等边三角形 不等三角形三角形 三角形 等腰三角形等腰三角形 等边三角形2、如图，从家A 上学时要走近路到学校B ，你会选哪条路线？ ３、以下各组里的三条线段组成什么形状的三角形？（1）3cm 4cm 6cm （2）4cm 4cm 6cm（3）7cm 7cm 7cm （4）3cm 3cm ７ｃｍ４、求复习巩固，引入新课中的练习４中各三角形的任意两边的和，比较与第三边的关系。
直角三角形的三边关系与计算
直角三角形的三边关系与计算直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。
在直角三角形中，三条边之间存在着一定的关系，可以通过已知条件计算出未知边的长度。
本文将详细介绍直角三角形的三边关系与常见的计算方法。
1. 三边关系在直角三角形中，三条边分别称为斜边、邻边和对边。
根据三边关系，我们可以得出以下结论：1.1 斜边与邻边的关系斜边是直角三角形中最长的一条边，通常用字母c表示。
邻边是直角三角形中与直角相邻的边，通常用字母a表示。
根据勾股定理，斜边的长度c可以通过邻边的长度a和对边的长度b计算得出，即c^2 = a^2 + b^2。
1.2 对边与邻边的关系对边是直角三角形中与直角相对的边，通常用字母b表示。
根据三角函数定义，正弦函数（sin）可以用对边与斜边的比值来表示，即sin(A) = b / c，其中A为直角对边所对的角。
1.3 对边与斜边的关系根据三角函数定义，正切函数（tan）可以用对边与邻边的比值来表示，即tan(A) = b / a。
2. 计算方法在已知直角三角形的一些条件下，可以使用上述三边关系来计算未知边的长度。
2.1 已知斜边和一边如果已知斜边c的长度和邻边a（或对边b）的长度，可以使用勾股定理来计算未知的边。
例如，已知斜边c = 5，邻边a = 3，可以使用勾股定理计算对边b 的长度：b = √(c^2 - a^2) = √(5^2 - 3^2) = √(25 - 9) = √16 = 42.2 已知对边和邻边如果已知对边b和邻边a的长度，可以使用正切函数来计算斜边c 的长度。
例如，已知对边b = 4，邻边a = 3，可以使用正切函数计算斜边c 的长度：tan(A) = b / ac = √(a^2 + b^2) = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 52.3 已知斜边和对边如果已知斜边c和对边b的长度，可以使用正弦函数来计算邻边a 的长度。
普通三角形三边关系
普通三角形三边关系三角形是几何学中的基本图形之一，它由三条边和三个角组成。
在普通三角形中，三条边的关系是其中一个重要的性质，它们之间存在着一定的关系。
我们来讨论三边之间的关系。
对于一个普通三角形ABC，它的三条边分别为a、b、c。
根据三角形的定义，任意两边之和大于第三边，即a+b>c，a+c>b，b+c>a。
这是因为，如果两边之和等于第三边，那么这三条边就不能构成一个三角形，而是一条直线。
如果两边之和小于第三边，那么这三条边也无法连接起来形成一个封闭图形。
所以，三边之间的关系可以表达为a+b>c，a+c>b，b+c>a。
接下来，我们来探讨三边的长度关系。
在普通三角形中，三边的长度不一定相等，但它们之间有一定的大小关系。
根据三角形三边关系定理，如果一个三角形的两条边的长度之和大于第三条边的长度，那么这两条边所对应的两个角的夹角就是锐角。
如果两条边的长度之和等于第三条边的长度，那么这两条边所对应的两个角的夹角就是直角。
如果两条边的长度之和小于第三条边的长度，那么这两条边所对应的两个角的夹角就是钝角。
三边之间还存在着一种关系，即三边的长度之间的比值关系。
在普通三角形中，三边的长度之间满足一定的比例关系。
这个比例关系可以通过正弦定理、余弦定理和正切定理来描述，但在本文中我们不涉及公式。
简单来说，如果已知三角形的一个角和两边的长度，那么可以通过正弦、余弦或正切函数来计算出其余两边的长度。
这些函数可以帮助我们解决一些实际问题，比如测量无法直接测量的距离。
我们来总结一下普通三角形三边关系的要点。
在普通三角形中，三边之间满足a+b>c，a+c>b，b+c>a的关系。
三边的长度之间也存在着一定的大小关系，可以分为锐角、直角和钝角三种情况。
此外，三边的长度之间还满足一定的比例关系，可以通过正弦、余弦或正切函数来计算出未知边的长度。
这些关系和定理在解决实际问题时非常有用，可以帮助我们更好地理解和应用三角形的性质。
三角形的三边关系
三角形的三边关系教学目标：1、了解线段构成三角形的条件2、知道三角形三边之间的关系3、了解三角形所特有的稳定性教学重点：三角形三边关系及其简单应用教学难点：探究构成三角形的条件一、复习引入1、三角形的三个内角和是多少？三角形的外角有什么性质？2、如图（1），在连接两点的所有线中最短的是哪一条？二、探索新知1、结合课本，用手中的小木棒做实验（按要求摆三角形）(1)2cm 5cm 6cm(2)3cm 5cm 6cm(3)2cm 3cm 5cm(4)2cm 3cm 6cm2、是不是任何长度的三根小木棒都能围成三角形？3、通过实验，你发现三角形的三边之间有什么样的关系？定理：三角形的两边之和大于第三边。
此定理可依据公理“两点之间线段最短”得出。
说明三角形任何一边都小于其他两边的和，即便是最大边也必须小于其他两边之和。
推论：三角形两边的差小于第三边。
说明三角形任意一边都大于其他两边的差，即便是最小边也必须大于其他两边之差。
知识点一三角形的任何两边的和大于第三边，三角形的任何两边的差小于第三边。
点拨：判断三条线段能否组成三角形，就用较短的线段长度的和与最长线段比较，若是大于，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形。
配套练习：判断下列长度的各条线段能否组成三角形（口答）。
(1)15cm，10cm，7cm(2)4cm，5cm，10cm(3)3cm，8cm，5cm(4)4cm，5cm，6cm【拓展】：运用三角形的三边关系，可求第三边的取值范围。
例1：在三角形ABC中，三角形的三条边分别为a、b、c，已知a=8cm，b=5cm，求第三条边c的取值范围。
知识点二三角形的稳定性当三角形的三边长确定之后，这个三角形的大小和形状就完全确定了，三角形的这一特性称为三角形的稳定性。
三角形的稳定性在生产、生活实践中有着广泛的应用，如桥梁、电视塔底座等等，都是三角形结构。
你能举出三角形的稳定性在生产、生活中应用的例子吗？四边形有这样的性质吗？三、实践应用1、下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（）A. 2cm，4cm，5cmB. 5cm，4cm，9cmC. 0.2cm，0.5cm，0.2cmD. 7cm，3cm，11cm2、五条线段的长分别为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm，以其中三条线段为边长可以构成_______个三角形。
三角形三边的关系
三角形三边的关系三角形是由三条线段组成的闭合图形，这三条线段被称为三角形的边。
三角形的三边之间存在一定的关系，这些关系在几何学中有着重要的应用。
本文将介绍三角形三边的基本关系，包括三角形的边长关系、角度关系和面积关系。
一、三角形的边长关系三角形的三边之间存在着一定的长度关系。
根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这是三角形存在的基本条件。
具体来说，假设三角形的三边分别为a、b、c，则有：1.a+b>c2.a+c>b3.b+c>a同时，三角形的任意两边之差小于第三边，即：1.ab<c2.ac<b3.bc<a这两个条件可以保证三角形的稳定性，即三角形的三个顶点不会相互塌陷。
在解决实际问题时，我们可以利用这两个条件来判断一个图形是否为三角形。
二、三角形的角度关系三角形的三边与三个角之间也存在一定的关系。
根据三角形的内角和定理，三角形的三个内角之和等于180度。
假设三角形的三个内角分别为A、B、C，则有：A+B+C=180°1.正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C分别为三角形的对应角。
2.余弦定理：c²=a²+b²2abcosC，其中a、b、c分别为三角形的边长，C为夹角。
这两个定理在解决三角形问题时具有重要意义，可以帮助我们求出三角形的角度和边长。
三、三角形的面积关系三角形的面积与其三边之间也存在一定的关系。
根据海伦公式，设三角形的三边分别为a、b、c，p为半周长（即p=(a+b+c)/2），则三角形的面积S可以表示为：S=√[p(pa)(pb)(pc)]根据正弦定理，三角形的面积还可以表示为：S=1/2absinC其中，C为夹角。
这个公式在解决实际问题中具有重要意义，可以帮助我们求出三角形的面积。
三角形的三边之间存在着边长关系、角度关系和面积关系。
三角形三边关系公式
三角形三边关系公式三角形是几何学中的一种非常重要的形状。
它由三条线段组成，称为三角形的三边。
三角形有许多重要的属性和关系，其中一些是基于三边的关系。
在本文中，我们将探讨一些与三角形三边相关的重要公式和关系。
首先，让我们定义一些基本概念。
三角形的三边通常用a、b和c表示。
我们可以通过测量三边的长度来唯一地确定一个三角形。
三边的长度可以用单位长度（例如厘米或英寸）来表示，或者用任何其他适当的单位。
一种与三边相关的基本公式是三角形的周长公式。
周长是指沿着三角形的边界测量的总长度。
对于三角形，周长等于三边的长度之和。
因此，我们可以使用以下公式来计算三角形的周长：周长=a+b+c另一个与三边相关的重要公式是三角形的面积公式。
面积是指一个图形所占据的平面区域的大小。
对于三角形，面积可以通过以下公式计算：面积=(底边长度×高)/2在上述公式中，“底边长度”是指与高垂直的边的长度。
“高”是指从底边到顶点之间的垂直距离。
需要注意的是，高必须垂直于底边，否则计算结果可能不准确。
除了周长和面积外，三角形的三边还有一些重要的关系和性质。
其中最著名的是三角不等式，它说明了三角形三边之间的关系。
三角不等式的基本原则是，任何两条边的和必须大于第三条边的长度。
换句话说，对于一个三角形来说，任意两条边的和必须大于第三条边的长度。
这可以用以下公式表示：a+b>ca+c>bb+c>a这些不等式可用于判断给定的线段是否可以形成一个三角形。
如果对于给定的边长a、b和c，这些不等式都成立，则可以构成一个三角形。
否则，无法构成三角形。
在三角形三边的关系中，还有一个重要的性质是海伦公式（Heron's formula）。
这个公式可以用来计算三角形的面积，只需要知道三边的长度，而不需要底边和高。
海伦公式如下：面积=√(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，s是三角形的半周长，可以通过以下方式计算：s=(a+b+c)/2海伦公式非常有用，因为它可以用于任何三角形，无论是等边三角形、等腰三角形还是一般三角形。
《三角形三边的关系》-(多场合应用)
《三角形三边的关系》三角形是平面几何中的基本图形之一，由三条线段（即三边）组成，每两条线段的端点相连形成一个角。
三角形的三边和三个角之间存在着一定的关系，这些关系在几何学中有着广泛的应用。
本文将探讨三角形三边之间的关系，包括三角形的边长关系、角度关系以及三角形的面积和周长的计算方法。
三角形的三边之间存在着一个基本的关系，即任意两边之和大于第三边。
这个关系也被称为三角形的三角不等式定理。
根据这个定理，如果已知三角形的两边，那么第三边的长度必须满足一定的条件才能构成一个三角形。
具体来说，设三角形的三边分别为a、b、c，那么三角形的三角不等式定理可以表示为：a+b>ca+c>bb+c>a这个定理是判断一个图形是否为三角形的必要条件。
如果三条线段不能满足这个条件，那么它们就不能构成一个三角形。
三角形的三边之间还存在着一定的比例关系。
在直角三角形中，勾股定理描述了三角形的三边之间的比例关系。
勾股定理指出，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么勾股定理可以表示为：a^2+b^2=c^2这个定理是直角三角形特有的性质，也是解决直角三角形相关问题的关键。
三角形的三边之间还存在着一定的角度关系。
在任意三角形中，三角形的内角和等于180度。
设三角形的三个内角分别为A、B、C，那么三角形的内角和定理可以表示为：A+B+C=180°这个定理是解决三角形内角相关问题的关键。
根据内角和定理，我们可以推导出三角形内角的其他性质，如三角形的内角和与外角的关系，以及三角形的内角与边长的关系等。
三角形的三边之间还存在着一定的面积和周长的关系。
三角形的面积可以通过海伦公式计算，该公式利用三角形的三边长度来计算其面积。
设三角形的三边分别为a、b、c，半周长为p，那么海伦公式可以表示为：面积=√[p(pa)(pb)(pc)]其中，半周长p=(a+b+c)/2。
三角形三边关系的证明
三角形三边关系的证明在几何学中，三角形是最基本的图形之一。
三角形由三条线段组成，这三条线段称为三角形的边。
三角形的三边之间存在着一定的关系，这个关系被称为三角形的三边关系。
本文将证明三角形三边关系的正确性。
假设有一个三角形ABC，其中AB、BC、AC分别代表三角形的三条边的长度。
我们需要证明以下三个关系：1. 任意两边之和大于第三边：即AB + BC > AC，AB + AC > BC，BC + AC > AB。
我们可以通过几何推理得知，两条线段之和大于第三条线段是构成一个三角形的必要条件。
假设有两条线段AB和BC，我们可以假设它们的长度分别为a和b，其中a > b。
那么根据三角形的定义，AB + BC > AC就等价于a + b > AC。
由于a > b，所以a + b > a + b - a = b。
而根据数学基本定理，任何一个正数加上一个正数都会得到一个更大的正数，所以a + b > b。
因此，我们可以得出结论：AB + BC > AC。
同理，我们可以推导出AB + AC > BC和BC + AC > AB的正确性。
因此，我们证明了任意两边之和大于第三边的三角形三边关系。
2. 任意两边之差小于第三边：即|AB - BC| < AC，|AB - AC| < BC，|BC - AC| < AB。
为了证明这个关系，我们可以假设有两条线段AB和BC，长度分别为a和b，其中a > b。
那么根据三角形的定义，|AB - BC| < AC 就等价于a - b < AC。
由于a > b，所以a - b < a - b + b = a。
同样地，我们可以得出结论：|AB - BC| < a。
同理，我们可以推导出|AB - AC| < BC和|BC - AC| < AB的正确性。
三角形边长间的关系
三角形边长间的关系是三角形的一个重要属性，它描述了三角形三条边之间的长度关系。
根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这个性质可以用来判断给定的三条线段是否可以构成一个三角形。
如果三条线段满足任意两边之和大于第三边的条件，那么它们可以构成一个三角形。
否则，它们不能构成一个三角形。
此外，三角形边长间的关系还可以用来计算三角形的面积。
对于给定的三角形，其面积可以通过海伦公式计算，该公式需要知道三角形的三条边长。
总的来说，三角形边长间的关系是三角形的一个重要属性，它可以帮助我们理解三角形的属性和性质，以及如何使用三角形的边长来计算其面积。
三角型三边的关系
三角型三边的关系三角形是几何学中的一个基本概念，它由三条线段组成，分别称为三角形的边。
三角形的三边之间有一些特殊的关系，这些关系在解决几何问题时非常有用。
本文将探讨三角形三边的关系，并说明它们在实际生活中的应用。
我们来讨论三角形的三边关系中最基本的一个定理：三角形两边之和大于第三边。
换句话说，如果三角形的两边之和小于或等于第三边的长度，那么这三条线段无法构成一个三角形。
这个定理可以通过直观的图示来理解。
假设我们有三条线段a、b和c，我们可以将线段a和b先放在一起，然后尝试将线段c与它们连接。
如果线段c太短，它无法与a和b相连，那么三条线段就不能构成一个三角形。
这个定理在实际生活中有很多应用，比如在建筑、航空和地理测量等领域。
接下来，我们讨论三角形的另一个重要关系：三边之间的角度关系。
根据三角形的特性，三个内角之和总是等于180度。
这意味着如果我们知道了三角形中的两个角度，就可以通过180度减去这两个角度的和来计算第三个角度。
这个关系在求解三角形的角度问题时非常有用。
例如，在导航中，当我们知道了两条直线之间的夹角，就可以通过计算补角来确定航向。
除了角度关系，三角形的三边之间还存在着一个重要的比例关系：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
这个关系被称为勾股定理，它是三角学中最著名的定理之一。
通过勾股定理，我们可以计算出一个直角三角形的任意一边的长度，只需知道另外两条边的长度即可。
勾股定理在解决测量和设计问题时非常有用，比如在建筑中测量墙角的垂直度。
除了上述基本的三边关系，三角形还有一些特殊的性质。
例如，等边三角形的三条边长度相等，等腰三角形的两条边长度相等，等角三角形的三个角度相等。
这些特殊的三角形在几何学中有着重要的地位，它们具有特殊的性质和应用。
三角形的三边关系在几何学中扮演着重要的角色，它们不仅有着理论上的意义，也有着广泛的实际应用。
通过理解和运用三角形的三边关系，我们可以解决各种与三角形相关的问题，如测量、设计、导航等。
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小 明 上 学 线 路 图
1、我上学有几条路可以走？ 2、走哪条路最近，为什么？
实验：用以下四组小棒摆三角形。
（1） 6厘米
√ 7厘米
8厘米
（2）
4厘米 5厘米 9厘米
×
3厘米
（3）
8厘米
（4）
× 6厘米
10厘米
√ 11厘米
11厘米
探索发现：三角形三条边之间究竟有什么样的关 系？
745 746 747
748
74 9
7 4 10
挑战自我
（1）任何三条线段都能组成一个三角形。
( ×)
（2）因为a+b>c,所以a、b、c三边可以构成三角形（ × ）
(3) 以长为3cm、5cm、7cm、10cm、12cm的五条线
段中的三条线段为边，可构成__4___个三角形。
小明想要给他的小狗做一个房子，房顶的 框架是三角形的，其中一根木条是3分米，另一 根是5分米，那么第三根木条可以是多少分米呢？
8+11（> ）11 11+11（> ）8
两条边之和小于第三条边
两条边之和小于第三条边
不能围成三角形
两条边之和等于第三条边
两条边长度之和等于第三条边 不能围成三角形
两条边长度之和大于第三条边
两条边之和大于第三条边
可以围成三角形
√
√
×
√
可以用较短的两条线段的和与第三条线段相 比较来检验
三条 边长 能否摆成 三角形
6cm 7cm 8cm
4cm
5cm 9cm
3cm 6cm 10cm
能 不能 不能
8cm
能
11cm
11cm
任意两边的和是否大于第三边
6+7 （ >）8 6+8（ >）7 7+8（ >）6
4+5（= ）9 4+9（ >）5 5+9（ >）4
3+6（ < ）10 3+10（ >）6 6+10（ > ）3
图书馆
3、请你设计。 公路两侧有A、B两个村子（如图），现
在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两 个村子的人都能最省时、最方便。请问，公 共汽车C应建在什么地方？
A
B
4、请你算一算
小明要取三根小棒。他已经取了两 根，第一根长4厘米，第二根长7 厘米。第三根取几厘米就一定能围 成一个三角形？
7 44
（取整分米数） 你认为最有可能是哪种？
533 534
3
3
5
535 536
5
5
dog
537
3
用长度为2cm、2cm、6cm、6cm、6cm 这五条线段中的任意三条线段拼成一个
三角形，你能拼成几种不同的形状？
6
6
2
6
6
6
用15根等长的火柴棒摆成的三角形中， 最长边最多可以由几根火柴棒组成？
下列各组线段能围成三角形吗？
1、4cm ，9cm， 5cm （×） 2、8cm ，7cm， 6cm （√ ） 3、3cm ，10cm， 5cm （×）
尽管草地不 允许踩，但还是 被人们踩出了一 条小路，这是为 什么？我们能不 能运用今天所学 的知识解释这一 现象？
教 学 楼
大 草坪
道
请勿 践踏！