华师大版八年级数学上册 全等三角形综合
华师大版八年级数学上册《13.2.3三角形全等的判定》课件
结论：
两边及其夹角分别相等 的两个三角形全等（简 记为S.A.S.或边角边)
温馨提示:
两边及其夹角分别相等的两个三角形 全等（简记为S.A.S.或边角边)
用符号语言表达为：
A
AB=DE
在△ABC与△DEF中 ∠B=∠E B BC=EF
C D
∴△ABC≌△DEF（SAS） E
F
分别找出各题中的全等三角形
探究新知
A B
因铺设电线的需要，要 在池塘两侧A、B处各埋 设一根电线杆（如图）， 因无法直接量出A、B两 点的距离，现有一足够的 米尺。请你设计一种方案， 粗略测出A、B两杆之间 的距离。。
小明的设计方案：先在池塘 旁取一个能直接到达A和B处的 点C，连结AC并延长至D点， 使AC=DC，连结BC并延长至E 点，使BC=EC，连结CD，用 米尺测出DE的长，这个长度就 等于A，B两点的距离。请你说 明理由。 AC=DC
应该有两种情况：一种是角夹在两条边的 中间，形成两边夹一角；另一情况是角不 夹在两边的中间，形成两边一对角。
思考
如果已知两个三角形有两边一角对应
相等时，应分为几种情形讨论？
Ａ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｂ
Ｃ
Ａ'
Ａ'
Ｂ'
Ｃ'
边－角－边
第一种
Ｂ'
Ｃ'
边－边－角
第二种
做一做：画△ABC,使AB=3cm，AC=4cm。
这样画出来的三角形与同桌所画的三角 形进行比较，它们互相重合吗？
A
B
40°
A
B
DC
D
C
(2)
F
△ADC≌△CBA 根据“SAS”
2021-2022学年华师大版八年级数学上册《三角形全等的判定》期末综合复习题(附答案)
2021-2022学年华师大版八年级数学上册《三角形全等的判定》期末综合复习题（附答案）1．如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（）A．30°B．25°C．35°D．65°2．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（）去最省事．A．①B．②C．③D．①③3．已知△ABC与△DEF全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，且E点在AC上，B、F、C、D四点共线，如图所示．若∠A＝40°，∠CED＝35°，则下列叙述何者正确？（）A．EF＝EC，AE＝FC B．EF＝EC，AE≠FCC．EF≠EC，AE＝FC D．EF≠EC，AE≠FC4．如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD5．如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（）A．∠ABC＝∠DCB B．AB＝DC C．AC＝DB D．∠A＝∠D6．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D．请添加一个条件，使△ABF≌△DCE．7．如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是．（只需写出一个条件即可）8．如图，四边形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，请补充一个条件，使△ABC≌△ADC．9．如图，∠A＝∠BCD，CA＝CD，点E在BC上，且DE∥AB，求证：AB＝EC．10．如图，点E，C在线段BF上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF．求证：AC＝DF．11．如图，AB∥DE，B，C，D三点在同一条直线上，∠A＝90°，EC⊥BD，且AB＝CD．求证：AC＝CE．12．如图，点D、E分别是AB、AC的中点，BE、CD相交于点O，∠B＝∠C，BD＝CE．求证：（1）OD＝OE；（2）△ABE≌△ACD．13．如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE＝DF．14．如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：BC＝EF．15．如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．16．如图，AB交CD于点O，在△AOC与△BOD中，有下列三个条件：①OC＝OD，②AC ＝BD，③∠A＝∠B．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）．（1）你选的条件为、，结论为；（2）证明你的结论．17．如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOB≌△COD．18．如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．证明：在△DEC和△ABC中，，∴△DEC≌△ABC（SAS），∴．19．如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE ＝DF，CE＝BF．求证：∠B＝∠C．20．已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．求证：（1）△ABO≌△DCO；（2）∠OBC＝∠OCB．21．如图，BD∥AC，BD＝BC，点E在BC上，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．22．在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在AB边上（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，CD，BE与CD相交于点F．若，求证：BE＝CD．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．23．如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．求证：△ABC ≌△DEF．24．如图．已知AB＝DC，∠A＝∠D，AC与DB相交于点O，求证：∠OBC＝∠OCB．25．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC＝BD，AC与BD相交于点E．求证：∠DAC ＝∠CBD．26．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．27．如图，点D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE．参考答案1．解：∵△ABC≌△DEC，∴∠ACB＝∠DCE，∵∠BCE＝65°，∴∠ACD＝∠BCE＝65°，∵AF⊥CD，∴∠AFC＝90°，∴∠CAF+∠ACD＝90°，∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°，故选：B．2．解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，所以，最省事的做法是带③去．故选：C．3．解：∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠D＝40°，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，∵∠ACB＝∠DFE，∴EF＝EC．∵∠CED＝35°，∠D＝40°，∴∠D＞∠CED．∴CE＞CD．∵AC＝DF，∴AC﹣CE＜DF﹣CD，即AE＜FC．∴AE≠FC．∴EF＝EC，AE≠FC．故选：B．4．解：∵BF＝EC，∴BF+FC＝EC+FC，∴BC＝EF，又∵∠B＝∠E，∴当添加条件AB＝DE时，△ABC≌△DEF（SAS），故选项A不符合题意；当添加条件∠A＝∠D时，△ABC≌△DEF（AAS），故选项B不符合题意；当添加条件AC＝DF时，无法判断△ABC≌△DEF，故选项C符合题意；当添加条件AC∥FD时，则∠ACB＝∠DFE，故△ABC≌△DEF（ASA），故选项D不符合题意；故选：C．5．解：在△ABC和△DCB中，∵∠ACB＝∠DBC，BC＝BC，A：当∠ABC＝∠DCB时，△ABC≌△DCB（ASA），故A能证明；B：当AB＝DC时，不能证明两三角形全等，故B不能证明；C：当AC＝DB时，△ABC≌△DCB（SAS），故C能证明；D：当∠A＝∠D时，△ABC≌△DCB（AAS），故D能证明；故选：B．6．解：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，∴BF＝CE，添加∠B＝∠C，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（AAS），故答案为：∠B＝∠C（答案不唯一）．7．解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，即∠BAC＝∠EAD，∵AC＝AD，∴当添加∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；当添加∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；当添加AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED．故答案为∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．8．解：添加的条件是AD＝AB，理由是：在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SAS），故答案为：AD＝AB（答案不唯一）．9．证明：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ABC，在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS），∴AB＝EC．10．证明：∵AB∥ED，∴∠ABC＝∠DEF．在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．∴AC＝DF．11．证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠D，∵EC⊥BD，∠A＝90°，∴∠DCE＝90°＝∠A，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（ASA），∴AC＝CE．12．证明：（1）在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE（AAS），∴OD＝OE；（2）∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴AD＝BD＝AB，AE＝CE＝AC，∵BD＝CE．∴AD＝AE，AB＝AC，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS）．13．证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C．在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（AAS）．∴AE＝DF．14．证明：∵AD＝BE，∴AD+BD＝BE+BD，即AB＝DE，∵AC∥DF，∴∠A＝∠EDF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴BC＝EF．15．（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．（2）∵△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝4．∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．16．（1）解：由AAS，选的条件是：①，③，结论是②，故答案为：①，③，②（答案不唯一）；（2）证明：在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴AC＝BD．17．证明：∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC﹣∠AOD＝∠BOD﹣∠AOD，即∠COD＝∠AOB，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（SAS）．18．证明：在△DEC和△ABC中，，∴△DEC≌△ABC（SAS），∴DE＝AB．故答案为：CA，∠DCE＝∠ACB，CB，DE＝AB．19．证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°，在△BDF和△CDE中，，∴△BDF≌△CDE（SAS），∴∠B＝∠C．20．证明：（1）在△ABO和△DCO中，，∴△ABO≌△DCO（AAS）；（2）由（1）知，△ABO≌△DCO，∴OB＝OC∴∠OBC＝∠OCB．21．证明：∵BD∥AC，∴∠ACB＝∠EBD，在△ABC和△EDB中，，∴△ABC≌△EDB（SAS），∴∠ABC＝∠D．22．证明：选择条件①的证明为：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD；选择条件②的证明为：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴BE＝CD；选择条件③的证明为：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∵FB＝FC，∴∠FBC＝∠FCB，∴∠ABC﹣∠FBC＝∠ACB﹣∠FCB，即∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴BE＝CD．故答案为①AD＝AE（②∠ABE＝∠ACD或③FB＝FC）23．证明：∵AC∥DF，∴∠CAB＝∠FDE（两直线平行，同位角相等），又∵BC∥EF，∴∠CBA＝∠FED（两直线平行，同位角相等），在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）．24．证明：在△AOB与△COD中，，∴△AOB≌△DOC（AAS），∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB．25．证明：在△CDA和△DCB中，，∴△CDA≌△DCB（SSS），∴∠DAC＝∠CBD．26．证明：在△ABE与△ACD中，∴△ABE≌△ACD（ASA）．∴AD＝AE．∴AB﹣AD＝AC﹣AE，∴BD＝CE．27．证明：在△ABE与△ACD中，，∴△ACD≌△ABE（ASA），∴AD＝AE（全等三角形的对应边相等）．。
2024—2025学年华东师大版数学八年级上册第13章《全等三角形》基础复习
第13章基础复习知识点1命题、定理与证明1.一般地，判断某一件事情的语句叫做命题.命题一般由条件和结构两部分组成，可以写成“如果……,那么……”的形式.2.基本事实是在继续学习过程中用来判断其他命题真假的原始依据.3.定理：有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.4.根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明.1.下列命题中，是真命题的是()A.无限小数是无理数B.从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离C.平行于同一条直线的两条直线平行D.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直2.判断命题“如果n<1，那么W−1<0”是假命题，只需举出一个反例.反例中的n可以为()A.-2u−12 C.0D123.把命题“对顶角相等”改写成“如果⋯⋯，那么⋯⋯”的形式：.4.填写下列证明过程中的推理根据：已知:如图所示,AC、BD相交于点O,DF平分∠CDO与AC相交于点F,BE平分∠ABO与AC相交于点E,∠A=∠C.求证:∠1=∠2.证明:∵∠A=∠C(),∴AB∥CD(),∴∠ABO=∠CDO(),又∵DF平分∠CDO,BE平分∠ABO,∴∠1=12∠Cs∠2=12∠B(),∴∠1=∠2().知识点2三角形全等的判定1.能够完全重合的两个三角形是全等三角形，相互重合的顶点是对应顶点，相互重合的边是对应边，相互重合的角是对应角，全等三角形的对应边相等，对应角相等.2.全等三角形的判定条件：①两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简写为S. A.S.(或边角边).②两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简写为A.S. A.(或角边角).③两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简写为A. A.S.(或角角边).④三边分别相等的两个三角形全等.简写为S.S.S.(或边边边).⑤斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简写为H.L.(或“斜边直角边”).5.如图,AB=AD,CB=CD,∠B=32°,∠BAD=72°,则∠ACD的度数是()A.102°B.112°C.114°D.1226.如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是()A.∠A=∠DB.AC=DFC.AB=EDD.BF=EC7.如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,若AB=4,CF=3,则BD的长是()A.0.5B.1C.1.5D.28.图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MFQ，则点Q可能是图中的()A.点DB.点CC.点BD.点A9.下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC一定全等的是()A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙10.如图所示,在Rt△ACD和Rt△BCE中,若AD=BE,DC=EC,则不正确的结论是()A.Rt△ACD≌Rt△BCEB.OA=OBC.E是AC的中点D.AE=BD11.如图,点D在线段BC上,若BC=DE,AC=DC,AB=EC,且∠ACE=180°-∠ABC-2x°,则下列角中，大小为x°的角是()A.∠EFCB.∠ABCC.∠FDCD.∠DFC12.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,AB>BC,点D在边BC上,且C B=14,点E、F在线段AD上，满足∠BED=∠CFD=∠BAC,若△B=20,则.△B+△C=()A.18B.15C.12D.913.如图,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,结论:①EM=FN;②CD=DN;③∠FAN=∠EAM;④△ACN≌△ABM.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个14.如图,AC=DC,BC=EC,请你添加一个适当的条件:,使得△ABC≌△DEC.15.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,,则全等三角形有对.16.如图,已知△ABC中,F是高AD和BE的交点,且AD=BD,CD=4,则线段DF的长度为.17.(南通中考)如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连结AC并延长到点D，使CD=CA.连结BC并延长到点E，使CE= CB.连结DE，那么量出DE的长就是A、B的距离.为什么?18.如图,在△ABC中,AC=5,中线AD=7,求边AB的取值范围.19.如图,点O是线段AB的中点,OD∥BC且OD=BC.(1)求证:△AOD≌△OBC.(2)若∠ADO=35°,求∠DOC的度数.20.王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC，∠ACB=90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合.(1)求证:△ADC≌△CEB.(2)求两堵木墙之间的距离.21.如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.(1)求证:△ABC≌△ADE.(2)求∠FAE的度数.(3)求证:CD=2BF+DE.。
华师大版八年级数学上册 全等三角形综合
全等三角形综合一条件合成图形的两个全等的证明例题：如图，AB∥CD，AE=CF，求证：AB=CD。
练习：已知，如图：AD=AE，∠ACD=∠ABE，求证：BD=CE。
二由复杂条件证明边角关系例1（角度相等模式）．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，D是AC上的一点，E在BC的延长线上，且AE=BD，BD的延长线与AE交于点F练习已知：BE⊥CD，BE=DE，BC=DA，求证：DF⊥BC例3 （旋转折叠模式）2 已知：正方形ABCD ，ο45=∠EAF ，EF AH ⊥．求证：AH AD =．三 由全等求边长1、△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为100cm ，A 、B 分别与D 、E 对应，并且AB=30cm ，DF=25cm ，那么BC 的长等于（ ）A ．45cmB ．55cmC ．30cmD ．25cm2 如图4，已知⊿ABC ≌⊿ADE ，D 是∠BAC 的平分线上一点，且∠BAC=60°，则∠CAE= 。
练习：如图5，△ABC ≌△A ′BC ′，AA ′∥BC ，∠ABC=70°，求∠C ′BC 的度数图4EDC BA习题练习：1 如图，AE=AF，AB=AC，∠A=60°，∠B=24°，则∠BOE= 。
2．如图，△ABC中，AD⊥BC，且AD=BD，E是AD上一点，若DE=DC，连BE并延长交AC于F。
求证：BF⊥AC。
3．如图10，已知:∠C=∠D，∠BAC=∠ABD，求证：OC=OD。
4．如图12，已知:AB=DC，∠BAD=∠CDA，求证：∠1=∠2。
5已知如图，B 是CE 的中点，AD =BC ，AB =D C ．DE 交AB 于F 点 求证：AF =BF ．6、 如图6，已知:AB=CD ，AD=BC ，O 是BD 的中点，过O 点的直线分别交DA 和BC 的延长线于E 、F 。
求证：AE=CF 。
八年级数学上册第13章全等三角形单元综合测试含解析华东师大版
第13章全等三角形一、选择题1．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB,BC的点,且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE;②△AGE≌△ECF;③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH 其中,正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H,BE、AH交于点G，则下列结论：①AG⊥BE；②BG=4GE;③S△BHE=S△CHD;④∠AHB=∠EHD．其中正确的个数是(）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题3．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2,则CE=．4．如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB=2，BC=2，点E，F 分别是线段AB，AD上的点，连接CE，CF．当∠BCE=∠ACF，且CE=CF时，AE+AF=．5．如图,在正方形ABCD中，如果AF=BE,那么∠AOD的度数是．6．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上,∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=cm．7．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论:①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是．(请写出正确结论的序号)．三、解答题8．如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D 作DE⊥AF，垂足为点E．(1）求证：DE=AB．(2）以D为圆心,DE为半径作圆弧交AD于点G．若BF=FC=1，试求的长．9．如图，∠1=∠2,∠3=∠4,求证：AC=AD．10．如图,AC=DC，BC=EC,∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D．11．如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧,点C，D在线段AE上,AC=DE，AB∥EF，AB=EF．求证：BC=FD．12．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG,DE ⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系,并说明理由．13．已知:如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线,连接EF、AD,其交点为O．求证：（1）△CDE≌△DBF；（2)OA=OD．14．如图,已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点,AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明;（2）如图2,E是直线BC上一点,且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是,请说明理由．15．如图,正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上,且AE=DF，连接BE,AF．求证：BE=AF．16．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M，N 分别在AB，AC边上,AM=2MB，AN=2NC．求证：DM=DN．17．在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处,BE和AD相交于点O，求证：OA=OE．18．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形"．如图，四边形ABCD是一个筝形,其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O,OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF．第13章全等三角形参考答案与试题解析一、选择题1．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF,AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中,正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】全等三角形的判定与性质;正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE，根据勾股定理得出BE=GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据SAS推出△GAE≌△CEF,即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCB=90°,AB=BC，∵AG=CE，∴BG=BE，由勾股定理得：BE=GE,∴①错误；∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°,∵∠BEG=45°,∴∠AEG+∠FEC=45°,∴∠GAE=∠FEC,在△GAE和△CEF中∴△GAE≌△CEF,∴②正确；∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有2个．故选B．【点评】本题考查了正方形的性质,等腰三角形的性质,全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定,勾股定理等知识点的综合运用,综合比较强，难度较大．2．如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点,BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①AG⊥BE;②BG=4GE;③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】首先根据正方形的性质证得△BAE≌△CDE，推出∠ABE=∠DCE,再证△ADH≌△CDH,求得∠HAD=∠HCD,推出∠ABE=∠HAD；求出∠ABE+∠BAG=90°;最后在△AGE中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE=90°即可得到①正确．根据tan∠ABE=tan ∠EAG=,得到AG=BG，GE=AG,于是得到BG=4EG,故②正确；根据AD∥BC,求出S△BDE=S△CDE,推出S△BDE﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE=S△CHD,故③正确；由∠AHD=∠CHD，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB=∠EHD,故④正确；【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，∴AE=DE，AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°,在△BAE和△CDE中∵，∴△BAE≌△CDE（SAS），∴∠ABE=∠DCE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC,∠ADB=∠CDB=45°,∵在△ADH和△CDH中，,∴△ADH≌△CDH(SAS），∴∠HAD=∠HCD,∵∠ABE=∠DCE∴∠ABE=∠HAD，∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90°，∴∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AGB=180°﹣90°=90°，∴AG⊥BE，故①正确；∵tan∠ABE=tan∠EAG=，∴AG=BG,GE=AG,∴BG=4EG，故②正确；∵AD∥BC,∴S△BDE=S△CDE，∴S△BDE﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE=S△CHD，故③正确；∵△ADH≌△CDH，∴∠AHD=∠CHD,∴∠AHB=∠CHB，∵∠BHC=∠DHE,∴∠AHB=∠EHD,故④正确；故选:D．【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式,解答本题要充分利用正方形的特殊性质：①四边相等，两两垂直；②四个内角相等，都是90度；③对角线相等，相互垂直，且平分一组对角．二、填空题3．如图,在△ABC中，已知∠1=∠2,BE=CD，AB=5，AE=2，则CE= 3．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】由已知条件易证△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质得出结论．【解答】解：△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AD=AE=2，AC=AB=5，∴CE=BD=AB﹣AD=3,故答案为3．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟记定理是解题的关键．4．如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB=2，BC=2，点E,F 分别是线段AB，AD上的点,连接CE,CF．当∠BCE=∠ACF,且CE=CF 时，AE+AF=．【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．【专题】压轴题．【分析】过点F作FG⊥AC于点G，证明△BCE≌△GCF，得到CG=CB=2，根据勾股定理得AC=4，所以AG=4﹣2，易证△AGF∽△CBA，求出AF、FG，再求出AE，得出AE+AF的值．【解答】解:过点F作FG⊥AC于点G,如图所示，在△BCE和△GCF中，，∴△BCE≌△GCF（AAS），∴CG=BC=2，∵AC==4，∴AG=4﹣2，∵△AGF∽△CBA∴，∴AF==，FG==，∴AE=2﹣=,∴AE+AF=+=．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和性质以及三角形相似的判定与性质，有一定的综合性，难易适中．5．如图,在正方形ABCD中，如果AF=BE,那么∠AOD的度数是90°．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据全等三角形的判定与性质,可得∠ODA与∠BAE的关系,根据余角的性质,可得∠ODA与∠OAD的关系，根据直角三角形的判定，可得答案．【解答】解:由ABCD是正方形，得AD=AB,∠DAB=∠B=90°．在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴∠BAE=∠ADF．∵∠BAE+∠EAD=90°,∴∠OAD+∠ADO=90°，∴∠AOD=90°，故答案为：90°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，余角的性质，直角三角形的判定．6．如图,△ABC中,∠C=90°,CA=CB,点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=4cm．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】如图,作MD⊥BC于D,延长DE交BG的延长线于E，构建等腰△BDM、全等三角形△BED和△MHD，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等得到：BE=MH，所以BG=MH=4．【解答】解：如图，作MD⊥BC于D，延长MD交BG的延长线于E,∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB,∴∠ABC=∠A=45°，∵∠GMB=∠A，∴∠GMB=∠A=22。
1三角形全等的判定(第4课时)PPT课件(华师大版)
当堂检测
1．为班级中每名同学准备了长分别为a、b、c三根木条，所有同学都
用三根木条，首尾顺次拼接组成三角形，这时小陈同学说：“我们所
有人的三角形，形状和大小是完全一样的”小陈同学的说法根据
_______．
SSS
根据：三个木条长度a，b，c，无论怎么摆放，长度不变，利用三
角形全等的判定理由：SSS
当堂检测
（简写为“边边边”或“S.S.S.”）
A
几何语言：
在△ABC和△ DEF中，
AB=DE，
B
C
D
BC=EF，
CA=FD，
∴ △ABC ≌△ DEF（S.S.S.）.
E
F
讲授新课
典例精析
【例1】如图，在四边形 ABCD 中，AD = CB，AB = CD.
求证: ∠B = ∠D.
证明：在△ABC 和△CDA 中，
＝，
＝ ,
＝.
∴△ABC≌△DFC(SSS).
讲授新课
变式1 若将上题中右边的三角形向左平移(如图)，若AB＝DF，
AC＝DE，BE＝CF.问：△ABC和△DFE全等吗？
解:全等.
A
B
E
D
C
F
∵ BE＝CF ，
∴BE+EC=CF+EC.
即BC＝FE .
在△ABC和△DFE中，
在△ABD和△CDB中,
＝(已知)，
= (已知),
＝(公共边).
∴△ABD≌△CDB（SSS）,
∴∠A=∠C.（全等三角形的对应角相等）.
②证明:∵ △ABD≌△CDB（已证） ,
∴∠ABD=∠CDB， ∠ADB=∠CBD .
（全等三角形的对应角相等）
第13章 全等三角形 华东师大版数学八年级上册素养检测(含解析)
第13章全等三角形素养综合检测(满分100分,限时60分钟)一、选择题(每小题3分,共30分)1.(2023山东青岛五十三中期末)下列语句属于命题的是( )A.你今天打卡了吗?B.请戴好口罩!C.画出两条相等的线段D.同位角相等2.【教材变式·P106T19】如图,AC与BD相交于点O,∠D=∠C,添加下列哪个条件后,仍无法证明△ADO≌△BCO( )A.AD=BCB.AC=BDC.OD=OCD.∠ABD=∠BAC3.(2023海南东方期末)下列命题中是假命题的是( )A.同旁内角互补,两直线平行B.若直线a⊥b,则a与b的夹角为直角C.如果两个角互补,那么这两个角一个是锐角,一个是钝角D.若a∥b,a⊥c,则b⊥c4.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于点D,如果AC=3 cm,那么AE+DE等于( )A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm5.(2022广西百色中考)如图,根据尺规作图痕迹,下列结论不一定成立的是( )A.∠B=45°B.AE=EBC.AC=BCD.AB⊥CD6.【教材变式·P99T4】如图,E是∠AOB的平分线上的一点,EC⊥OA 于点C,ED⊥OB于点D,连结CD,若∠ECD=25°,则∠AOB=( )A.50°B.45°C.40°D.25°7.(2022四川南充期末)如图,点B,C,E在同一直线上,且AC=CE,∠B=∠D=90°,AC⊥CD,下列结论不一定成立的是( )A.∠A=∠2 B.∠A+∠E=90°C.BC=DE D.∠BCD=∠ACE8.【尺规作图】(2023山东泰安泰山期末)如图,在△ABC中,根据尺规作图痕迹,下列说法不一定正确的是( )A.AF=BFB.∠AFD+∠FBC=90°C.DF⊥ABD.∠BAF=∠CAF9.【易错题】如图,已知点P是射线OD上一动点(不与O重合),∠AOD=30°,当△AOP为等腰三角形时,∠A的度数为( )A.120°B.30°或75°C.30°或75°或120°D.120°或75°或45°或30°10.【规律探究题】如图,已知AB=A1B,A1B1=A1A2,A2B2=A2A3,A3B3=A3A4,……,若∠A=70°,则∠A n-1A n B n-1的度数为( )A.70°2n -1B.70°2n +1C.70°2nD.70°2n +2二、填空题(每小题3分,共24分)11.【新独家原创】命题“若a =2,则a=4”的逆命题是 .12.【分类讨论思想】将一条长为24 cm 的细线围成一边长为9 cm 的等腰三角形,则该等腰三角形的腰长为 .13.【开放型试题】(2023北师大附中月考)如图,已知∠1=∠2,请你添加一个条件,使得△ABD ≌△ACD,添加的条件可以为 .(添加一个即可)14.(2023福建泉州永春五中期中)如图,在△ABC 中,∠C=90°,ED ⊥AB 于点D,BD=BC,若AC=10 cm,则AE+DE= .15.(2022山东潍坊昌乐期中)如图,△ABC 中,∠B=32°,∠BCA=78°,根据尺规作图的作图痕迹,得∠α= .16.(2022北京海淀外国语实验学校期中)如图所示的是由6个边长相等的正方形组成的图形,∠1+∠2+∠3= .17.(2022福建福州延安中学期中)如图,△ABC中,AB=AC=10 cm,BC= 8 cm,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3 cm/s的速度由B 点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动,当点Q的运动速度为 时,能够使△BPD与△CQP全等.18.(2023吉林长春吉大附中月考)如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,且AD=6,E是AC边的中点,M是AD边上的动点,则EM+CM 的最小值是 .三、解答题(共46分)19.【新考法】(2023北师大附中月考)(6分)马小虎在整理八年级的数学资料时,找到了一张残缺的试卷,剩下的部分如图1所示,他发现△ABC只留下一条完整的边BC和一个完整的角∠B,请你帮助他还原△ABC.要求在图2中尺规作图,保留作图痕迹,保留作法.图1 图220.(2023吉林长春南关期末)(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,BD是△ABC的角平分线,过点D作DE∥BC交AB于点E.(1)求证:△BED是等腰三角形;(2)若∠A=36°,直接写出图中所有顶角是锐角的等腰三角形.21.【手拉手模型】(6分)如图,已知AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=α,点B,D,E在同一条直线上.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系,并证明;(3)当AD∥EC时,直接写出α的度数.22.【燕尾型】(2023吉林长春一零八学校期中)(8分)如图,点P是∠BAC 的平分线AD上的一点,AC=9,AB=5,PB=3,求PC长的取值范围.23.(2022山西太原期末)(9分)如图,直线l与m分别是△ABC的边AC 和BC的垂直平分线,l与m分别交边AB于点D和点E.(1)若AB=10,则△CDE的周长是多少?为什么?(2)若∠ACB=125°,求∠DCE的度数.24.(11分)(1)【问题发现】如图①,在△ABC中,AC=BC,D、E分别在AC、BC上,若CD=CE,则△CDE和△CAB是顶角相等的等腰三角形,连结AE、BD,则∠AEB、∠C、∠CAE之间的数量关系是 ,AD与BE的数量关系是 ;(2)【类比探究】如图②,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连结BE.试求∠AEB的度数及AD与BE的数量关系;(3)【拓展延伸】如图③,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连结BE.请猜想∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系,并说明理由; (4)【解决问题】在(3)的条件下,若BE=4,CM=3,求四边形ABEC的面积.图①图②图③答案全解全析一、选择题1.D A是疑问句,未作出判断,不是命题;B是祈使句,未作出判断,不是命题;C是描述性语句,未作出判断,不是命题;D符合命题的概念,故本选项正确.故选D.2.B 添加AD=BC,根据A.A.S.可证明△ADO≌△BCO;添加AC=BD,不能证明△ADO≌△BCO;添加OD=OC,根据A.S.A.可证明△ADO≌△BCO;添加∠ABD=∠BAC,得OA=OB,根据A.A.S.可证明△ADO≌△BCO.故选B.3.C 如果两个角互补,那么这两个角可能都为90°,所以C选项中命题为假命题.故选C.4.B ∵∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于点D,∴EC=DE,∴AE+DE=AE+EC=AC=3 cm.故选B.5.A 由作图痕迹得直线CD是线段AB的垂直平分线,∴AE=BE,AC=BC,AB⊥CD.故B、C、D选项中的结论成立.无法得到∠B=45°,故A选项中的结论不一定成立.故选A.6.A ∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,∴ED=EC,∴∠EDC=∠ECD=25°,∵∠ODE=∠OCE=90°,∴∠ODC=∠OCD=65°,∴∠AOB=180°-∠ODC-∠OCD=50°,故选A.7.D ∵AC⊥CD,∴∠ACD=90°,∴∠1+∠2=90°,∵∠B=90°,∴∠1+∠A=90°,∴∠2=∠A,故A 中结论成立.在△ABC 和△CDE 中,∠B =∠D ,∠A =∠2,AC =CE ,∴△ABC ≌△CDE(A.A.S.),∴BC=DE,∠1=∠E,∵∠2+∠E=90°,∴∠A+∠E=90°,故B,C 中结论成立.无法得到∠BCD=∠ACE,故D 中结论不一定成立.故选D.8.D 由作图痕迹可知DF 垂直平分线段AB,BE 平分∠ABC,∴FA=FB,DF ⊥AB,∠FBC=∠FBD,∴∠AFD=∠BFD,∵∠FBD+∠BFD=90°,∴∠AFD+∠FBC=90°,故选项A,B,C 中说法正确,由已知条件无法得到∠BAF=∠CAF,故选项D 中说法不一定正确.故选D.9.C 解决此题时易因没有考虑等腰三角形腰的情况而漏解.分三种情况:①当OA=OP 时,∠A=∠OPA=12(180°-∠O)=12×(180°-30°)=75°;②当AO=AP 时,∠APO=∠O=30°,∴∠A=180°-∠O-∠APO=120°;③当PO=PA 时,∠A=∠O=30°.综上所述,当△AOP 为等腰三角形时,∠A=30°或75°或120°.故选C.10.A ∵∠A=70°,AB=A 1B,∴∠BA 1A=∠A=70°,∵A 1A 2=A 1B 1,∴∠B 1A 2A 1=∠A 1B 1A 2,∵∠BA 1A 是△A 1A 2B 1的外角,∴∠B 1A 2A 1=∠B A 1A 2=70°2,同理可得∠B 2A 3A 2=12∠B 1A 2A 1=70°22,∠B 3A 4A 3=12∠B 2A 3A 2=70°23,……∴∠A n-1A n B n-1=70°2n -1.故选A.二、填空题11.答案 若a=4,则a =2解析 将原命题的条件、结论互换位置即可.12.答案 9 cm 或7.5 cm解析 分两种情况:当9 cm 为等腰三角形的腰长时,底边长=24-9×2=6 cm,∴三角形的三边长分别为9 cm,9 cm,6 cm,能组成三角形;当9 cm 为等腰三角形的底边长时,腰长=12×(24-9)=7.5 cm,∴三角形的三边长分别为7.5 cm,7.5 cm,9 cm,能组成三角形.综上所述,该等腰三角形的腰长为9 cm 或7.5 cm.13.答案 AB=AC(答案不唯一)解析 添加AB=AC,在△ABD和△ACD中,∵AB=AC,∠1=∠2,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(S.A.S.).(答案不唯一) 14.答案 10 cm解析 ∵DE⊥AB于点D,∴∠BDE=90°,在Rt△BDE和Rt△BCE中,BE=BE, BD=BC,∴Rt△BDE≌Rt△BCE(H.L.),∴ED=CE,∴AE+DE=AE+CE=AC=10 cm.15.答案 81°解析 ∵∠B=32°,∠BCA=78°,∴∠BAC=70°,由作图痕迹可知,AD是∠BAC的平分线,直线EF是线段BC的垂直平分线,∴∠CAD=12∠BAC=35°,BF=CF,∴∠BCF=∠B=32°,∴∠ACF=∠ACB-∠BCF=46°,∴∠α=∠CAD+∠ACF=81°.16.答案 135°解析 如图,根据题意得DE=BC,EC=AB,GF=GC,∠DEC=∠ABC=∠FGC=90°,∴△CGF为等腰直角三角形,∴∠2=45°,在△ABC 和△CED 中,AB =CE ,∠ABC =∠CED ,BC =ED ,∴△ABC ≌△CED(S.A.S.),∴∠1=∠DCE,∵∠DCE+∠3=90°,∴∠1+∠3=90°,∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°.17.答案 3 cm/s 或 154 cm/s解析 设点Q 的运动速度为x cm/s,运动的时间为t s,则BP=3t cm,CQ=xt cm,∴PC=(8-3t)cm,∵点D 为AB 的中点,∴BD=5 cm,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴当BD=CP,BP=CQ 时,△BDP ≌△CPQ,即5=8-3t,3t=xt,解得t=1,x=3;当BD=CQ,BP=CP 时,△BDP ≌△CQP,即5=xt,3t=8-3t,解得t=43,x =154.综上所述,点Q 的运动速度为3 cm/s 或154 cm/s.18.答案 6解析 ∵三角形ABC 是等边三角形,AD ⊥BC,∴BD=CD,∴直线AD 是线段BC 的垂直平分线,连结BM,如图所示,则BM=CM,∴EM+CM=EM+BM,根据“两点之间,线段最短”可知,当B,M,E三点共线时,EM+BM的值最小,为BE的长.∵E是AC的中点,∴BE是等边三角形ABC的边AC上的高,∴BE=AD=6,∴EM+BM的最小值为6,即EM+CM的最小值是6.三、解答题19.解析 分别以点B、C为圆心,大于1BC长为半径画圆弧,两弧相交2于两点,连结这两个点,交∠B的边(非BC所在的边)于一点A,连结AC,△ABC即为所求,如图所示:20.解析 (1)证明:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,∵ED∥BC,∴∠EDB=∠DBC,∴∠ABD=∠EDB,∴EB=ED,∴△BED是等腰三角形.(2)△ABC,△BDC,△AED是顶角为锐角的等腰三角形.理由:∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=12(180°-∠A)=72°,∵DE∥BC,∴∠AED=∠ABC=72°,∠ADE=∠C=72°,∴∠AED=∠ADE.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=36°,∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°,∴∠C=∠BDC=72°,∴BD=BC,∴△ABC,△BDC,△AED是顶角为锐角的等腰三角形.21.解析 (1)证明:∵∠BAC=∠DAE=α,∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠CAE,∴∠1=∠CAE,在△ABD和△ACE中,AB=AC,∠1=∠CAE, AD=AE,∴△ABD≌△ACE(S.A.S.).(2)∠3=∠2+∠1.证明:∵△ABD≌△ACE,∴∠2=∠ABD,∵∠3=∠ABD+∠1,∴∠3=∠2+∠1. (3)∵AD∥EC,∴∠3=∠BEC,∵AD=AE,∴∠3=∠AED,∴∠DAE=180°-2∠3,∵△ABD≌△ACE,∴∠ADB=∠AEC=180°-∠3,∴∠BEC=∠AEC-∠AED=180°-2∠3=∠DAE=α,∴∠AED=∠3=∠BEC=∠DAE=α,∵∠3+∠AED+∠DAE=180°,∴3α=180°,∴α=60°.22.解析 在AC上截取AE=AB,连结PE,如图,∵AC=9,∴CE=AC-AE=AC-AB=9-5=4,∵点P是∠BAC的平分线AD上的一点,∴∠CAD=∠BAD,在△APE和△APB中,AE=AB,∠EAP=∠BAP, AP=AP,∴△APE≌△APB(S.A.S.),∴PE=PB=3,∵4-3<PC<4+3,∴1<PC<7.23.解析 (1)△CDE的周长为10.理由:∵直线l与m分别是△ABC的边AC和BC的垂直平分线,∴AD=CD,BE=CE,∴△CDE的周长=CD+DE+CE=AD+DE+BE=AB=10.(2)∵AD=CD,BE=CE,∴∠A=∠ACD,∠B=∠BCE,∵∠ACB=125°,∴∠A+∠B=180°-125°=55°,∴∠ACD+∠BCE=55°,∴∠DCE=∠ACB-(∠ACD+∠BCE)=125°-55°=70°.24.解析 (1)∠AEB=∠C+∠CAE;AD=BE.(2)∵△ACB和△DCE均为等边三角形,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,∴△ACD≌△BCE(S.A.S.).∴∠ADC=∠BEC,AD=BE,∵△DCE为等边三角形,∴∠CDE=∠CED=60°.∵∠ADC+∠CDE=180°,∴∠ADC=120°,∴∠BEC=120°.∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°.(3)∠AEB=90°,AE=BE+2CM.理由如下:∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,AC=BC,∠ACD=∠BCE, CD=CE,∴△ACD≌△BCE(S.A.S.).∴AD=BE,∠ADC=∠BEC.∵△DCE为等腰直角三角形,∴∠CDE=∠CED=45°.∵∠ADC+∠CDE=180°,∴∠ADC=135°,∴∠BEC=135°.∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°.∵△DCE是等腰直角三角形,CM⊥DE,∴三角形CDM 与三角形CEM 都是等腰直角三角形,∴DM=ME=CM.∴AE=AD+DE=BE+2CM.(4)由(3)知∠AEB=90°,AE=BE+2CM,∴AE=10,∴四边形ABEC 的面积=△ACE 的面积+△ABE 的面积=12AE·CM+12AE·BE=12×10×3+12×10×4=35.。
华东师大版八年级数学上册《三角形全等的判定》课件
C
在△ABC和△ABD中 ∠1=∠2，(已知)
A
1 2B
∠C=∠D，(已知)
D
AB=AB，(公共边)
∴△ABC≌△ABD．(AAS)
∴AC=AD．(全等三角形的对应边 相等)
2．如图，AB∥CD，AE∥CF，BF=DE．试找 出图中其他的相等关系，并给出证明．
解：∵AB∥CD，AE∥CF，
∴∠B=∠D，∠AEB=∠CFD．
动脑思考，分类辨析
思考 如果只满足这些条件中的一部分，那么 能保证△ABC ≌△A′B′C′吗？
追问 当满足两个条件时， △ABC 与 △A′B′C′全等吗？
两个条件
① 两边 ② 一边一角 ③ 两角
动脑思考，分类辨析
思考 如果只满足这些条件中的一部分，那么能 保证△ABC ≌△A′B′C′吗？
追问 当满足三个条件时， △ABC 与△A′B′C′ 全等吗？满足三个条件时，又分为几种情况呢？
形叫做全等三角形．
请同学们观察下图中的两个三角形， 它们有何对应关系？
点A 与点D、点B 与点E、
A
点C 与点F 重合，称为对应顶点；
边AB 与DE、边BC 与EF、 B
C
边AC 与DF 重合，称为对应边；
D
∠A 与∠D、∠B 与∠E、
∠C 与∠F 重合，称为对应角．
E
F
你能用符号表示出这两个全等三角形吗？
C
C'
B
A B'
A'
全等
A.S.A
如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相等，那么 这两个三角形全等．简记为A.S.A. （或角边角）．
用符号语言表达为：
在△ABC和△DEF中，
第13章全等三角形-13.2.2全等三角形+课件+++2024—-2025学年华师大版数学八年级上册
巩固练习
1.如图所示，∠1=∠2，∠B=∠D，△ABC翻折后与
△ADE重合，说明△ABC≌△ADE，则下列结论正确
的是（ D ）
A．AB=AE C．∠ABC=∠AED
B．AC=ED D．∠BAC=∠DAE
巩固练习
2.如图所示，若△ABC沿AB方向平移得到△A′B′C′， 则∠A=∠B′A′C′，∠ABC= ∠A′B′C′，∠C= ∠C′， AB= A′B′，AA′= BB′，AC∥ A′C′．
能否减少一些条件，找到更简便的判定两个三角形 全等的方法呢？
对两个三角形来说，六个元素(三条边、三对角)中至少 要有几个元素对应相等，这两个三角形才会全等呢？
探索新知
探究1 如果两个三角形只有一组对应相等的元素，那么会出 现几种可能的情况？这两个三角形会全等吗？
两种，一组角或者边对应相等. （1） 画几个有一边长为 8 cm 的三角形，这样得到的三角 形是否全等？
巩固练习
3. 如图，△ABC≌△AED，AB 是△ABC 的最大边，AE 是△AED 的最大边，∠BAC 与∠ EAD 是对应角，且∠BAC = 25°，∠B = 35°，AB = 3 cm，BC = 1 cm，求出∠E，∠ ADE 的度数和线段 DE，AE 的长度.
解：∵ △ABC≌△AED(已知)， ∴∠E =∠B = 35°(全等三角形对应角相等)， A
三种，一条边和一个角相等；两个角相等；两条边相等.
按照下面的条件，用刻度尺或量角器画三角形，并和周围 的同学比较一下，所画的图形是否全等.
掌握新知
(1) 三角形的两个内角分别为 30° 和 70°.
30° 70°
新华师大版八年级上册初中数学 1-全等三角形 教学课件
13.2 三角形全等的判定 1.全等三角形
第一页，共二十八页。
目
录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解
5 当堂小练
7 布置作业
2 新课导入
4 课堂小结
6 拓展与延伸
第二页，共二十八页。
学习目标
1.理解并掌握全等三角形的概念及其基本性质.（重点） 2.能正确表示两个全等三角形，能找准全等三角形的对应边、对应角.（难 点）
3、△ABC与△DEF完全重合. 结论：一个图形经过 旋 转 后，位置发生变化，但是 大小、形状没有发生变化，旋转前后的图形是全等形.
第九页，共二十八页。
新课讲解
知识点2 全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
全等三角形中的对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫
做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.
对应顶点：点A与点D，点B与点E，
点C与点F.
对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF.
对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F.
第十页，共二十八页。
A
B
C
D
E
F
新课讲解
知识点2 全等三角形 全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. △ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF ，读作“三角形ABC全等于三角 形DEF”. 注意：书写时应把对应顶点写在相对应的位置上.
新课讲解
知识点1 全等形
定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形.
思考 判断下列两组图形是不是全等形？
不是。形状不同，大小不等
不是。形状相同，大小不等
第六页，共二十八页。
华东师大版初中八年级数学上册专项素养综合练(五)几何动态问题与全等三角形课件
由题意得6-t=3t-8,解得t=3.5,∴CQ=3t-8=2.5; 当点Q与点A重合,点P运动到BC上时,分析易得△PCE≌△ CQF,此时CQ=AC=CP=6. 综上,当△PEC与△QFC全等时,CQ的长为5或2.5或6.
题型二 半角型 4.(2023山西大同平城中学校月考)定义:过等腰三角形顶角 的顶点引两条射线,使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的 一半,这样的模型称为“半角模型”.常见的图形有正方形、 正三角形、等腰直角三角形等,在解决“半角模型”的问题 时,旋转是一种常用的方法. 已知,如图1,四边形ABCD是正方形,E,F分别在边BC、CD上, 且∠EAF=45°, (1)在图1中,连结EF,为了证明结论“EF=BE+DF”,小亮将△ ADF绕点A顺时针旋转90°后解答了这个问题,请按小亮的思
AG AF,
在△AGE和△AFE中, GAE EAF, ∴△AGE≌△AFE(S.A.SA.E),∴ AGEE, =EF, ∵GE=GB+BE=BE+DF,∴EF=BE+DF.
(2)如图,把△ABE绕点A逆时针旋转90°,使AB与AD重合,点E 与点G对应,∴△ABE≌△ADG,∴BE=DG, 与(1)同理可证得△AEF≌△AGF(S.A.S.),∴EF=GF,∴EF= GF=DF-DG=DF-BE,即EF=DF-BE.
2
综上所述,当t的值为 31 或17 时,能使△ABC≌△CFE.
22
3.(2024重庆九龙坡期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6, BC=8.点P从点A出发,沿折线AC-CB以每秒1个单位长度的速 度向终点B运动,点Q从点B出发沿折线BC-CA以每秒3个单位 长度的速度向终点A运动,P、Q两点同时出发,当其中一点到 达终点时,另一点立刻停止运动.分别过P、Q两点作PE⊥l于 E,QF⊥l于F,当△PEC与△QFC全等时,求CQ的长.
华东师大版八年级数学上册第13章《全等三角形》全章课件(共285张PPT)
练习：将下列命题改写成“如果…那么…”
的形式，然后指出这个命题的题设和结论。
（1）同角的补角相等。 （2）两直线平行，同位角相等。 （3）在同一平面内，同垂直于第三条
直线的两直线平行。
分析命题“不相等的两个角不可能是对顶角” 条件： 两个角不相等
结论： 这两个角不可能是对顶角
改写成“如果……，那么……”的形式： 如果两个角不相等， 那么这两个角不可能是对顶角。
观察 2、下列各图中的两个三角形是全等形吗？ 思考
A
D
B A
C
E
M C
F S
O
O
B
D
N
T
经过平移、旋转、翻折等位移变换
得到的三角形与原三角形全等。
1、能够完全重合的两个三角形,叫做
全等三角形。
A
D
B
CE
F
2、把两个全等的三角形重叠到一起时， 重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做 对应边，重合的角叫做对应角。
强调：
观察、猜想、度量、实验得 出的结论未必都正确；
一个命题的真假，常常需要 进行有理有据的推理才能作出正 确的判断，这个推理过程叫做命 题的证明．把经过证明的真命题 叫做定理．
巩固：
下列语句中哪些是命题？请判断其中命题 的真假，并说明理由。
（1）每单位面积所受到的压力叫做压强. （2）两个奇数的和是偶数. （3）两个无理数的乘积一定是无理数. （4）偶数一定是合数吗？ （5）连结AB. （6）不相等的两个角不可能是对顶角.
3、全等三角形的表示法：
A
D
B
CE
F
表示图中的△ABC和△DEF全等：
记作△ABC≌△DEF， 读作△ABC全等于△DEF.
华师大版八年级数学上册课件：1三角形全等的判定(SAS)
用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中
A
D
AC=DF ∠C=∠F BC=EF
CF
B
E
∴△ABC≌△DEF（SAS）
探索边边角
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?
已知：AC=10cm,BC=8cm, ∠A=45 °.
C
△ABC的形状与大小是唯 一确定的吗?
10cm 8cm
8cm
45°
AE=AD，AC=AB，请说明△AEC ≌ △ADB
的理由。
解：在△AEC和△ADB中
C
_A_E__=__A_D_(已知)
D
∠A= ∠A( 公共角)
A
E
B
_A_C___=_A__B_(已知)
∴ △AEC≌△ADB（ SAS ）
巩固训练
3.已知AB∥DC， AD=BC ， ∠A＝ ∠ B ， 点 M 是 AB 的 中 点 ， 求 证 ： △AMD≌△BMC ．
∴ ∠ADB＝ ∠ADC （全等三角形的对应角相等） 又∵ ∠ADB+ ∠ADC＝180° ∴ ∠ADB＝ ∠ADC＝ 90°∴ AD⊥BC
A
这说明了什么？
等腰三角形顶角的平分线， B D C 就是底边上的中线，也是 底边上的高。
“三线合一”
巩固训练
1、根据题目条件，判断下面的三角形是否全等． （1） AC＝DF，∠C＝∠F，BC＝EF； （2） BC＝BD，∠ABC＝∠ABD．
2、 “边边角”能不能判定两个三角形全等？
答：不能
∵ AB＝AC
∠BAD＝∠CAD
B
D
C
AD＝AD ∴△ABD≌△Fra bibliotekCD（S.A.S.）
初中数学华东师大八年级上册全等三角形华东师大版八年级上册全等三角形PPT
求证：AC∥BD.
C
B
证明 ：
O D
A ∵△AOC≌△BOD,
(已知)
∴∠A=∠B, (全等三角形的对应角相等)
∴AC∥BD. (内错角相等，两直线平行)
3、如图, △EFG≌△NMH.
E 1.1H
M
2.1
2.2 3.3
2.1
F
G
(1)请找出对应边和对应角。
N
(2)如果EF=2.1cm,EH=1.1cm,HN=3.3cm,
C D
如图，∵△ABC≌△DEF
E
F
∴ ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F.
根据图形变换，写出全等式，再指出 它们的对应边和对应角.
(1) A
L △ABC≌△LMN
C
NB
M
对应边:AB和LM, BC和MN, AC和LN；
对应角:∠A和∠L, ∠ABC和∠M, ∠C和 ∠LNM.
CN和BM相等吗？理由是什么？
注意
记两个三角形全等时，通常把表示 对应顶点的字母写在对应的位置上
。
两个全等三角形的位置变化了，对应边
、对应角的大小有没有变化？由此你能
得到什么结论？
A
D
观察 思考
B
CE
F
A
M
S
C
O
O B
D
N
T
全等三角形的对应边相等，
全等三角形的对应角相等. A
如图，∵△ABC≌△DEF ∴ AB=DE, BC=EF, AC=DF； B
的位置上.
作业；
P59做一做
(4) A
D
O
BM
NCB
C
△ABN≌△ACM
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全等三角形综合
一条件合成图形的两个全等的证明
例题：如图，AB∥CD，AE=CF，求证：AB=CD。
练习：已知，如图：AD=AE，∠ACD=∠ABE，求证：BD=CE。
二由复杂条件证明边角关系
例1（角度相等模式）．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，
的一点，E在BC的延长线上，且AE=BD，BD的延长线与AE
⊥AE。
练习已知：BE⊥CD，BE=DE，BC=DA，求证：DF⊥BC
例3 （旋转折叠模式）2 已知：正方形ABCD，ο45
∠EAF，EF
=
AH⊥．求证：AH
AD=．
三由全等求边长
1、△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100cm，A、B分别与D、E对应，并且
AB=30cm，DF=25cm，那么BC的长等于（）
A．45cm B．55cm C．30cm D．25cm
2 如图4，已知⊿ABC≌⊿ADE，D是∠BAC的平分线上一点，且∠BAC=60°，
则∠CAE= 。
练习：如图5，△ABC≌△A′BC′，AA′∥BC，∠ABC=70°，求∠C′BC的度数图4
E
D C
B
A
习题练习：
1 如图，AE=AF，AB=AC，∠A=60°，∠B=24°，则∠BOE= 。
2．如图，△ABC中，AD⊥BC，且AD=BD，E是AD上一点，若DE=DC，连BE并延长交AC于F。
求证：BF⊥AC。
3．如图10，已知:∠C=∠D，∠BAC=∠ABD，求证：OC=OD。