解析几何中定点、定值、定直线问题

解析几何中定点、定值、定直线问题

解析几何中定点定值问题

2

例1已知椭圆 —=1(2)的上顶点为M( 0, 1),过M

a

的两条动弦MA MB 满足MAL MB 对于给定的实数a(a 1), 证明：直线AB 过定点。

解：由MA MB =0知MA_MB ,从而直线MA 与坐标轴不垂直， 故可

设直线MA 的方程为y 二kx 1，直线MB 的方程为

1 y x 1

k

将y 二kx1代入椭圆C 的方程，整理得

(1 a 2 k 2 )x 2 2a 2

k=x 0

例3已知椭圆的中心为坐标原点 O ,焦点在x 轴上， 斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点, OA OB 与 a

=(3,-1)

共线.

(1) 求椭圆的离心率；

解得x=0或 -2a 2

k

1 a 2k 2

故点A 的坐标为

-2a 2

k

1 a 2k

2 2 2

1-a k )

1 a k 同理，点B 的坐标为

2 2 2

(2a k k -a )

k a k a

知直线l 的斜率为

k 2 - a 2 1 -a 2k 2 k 2

a 2

1 a 2k 2

=

k _1

2a k _ -2a k

(a 2 1)k

~T2

2

^~2

k a 1 a k 直线l 的方程为 k 2 -1 2

(a 2

- (x- 2a 2k

k 2 a 2

k 2 a 2

k 2 -1

a 2 -1 2

(a 2

-

a 2 1

-直线l 过定点0,

a 2 -1 a 2 1

化简得(a 2

b 2

)x 2

—2a 2

cx a 2c 2

-a 2b 2

令 A(x i

,y i

), B(X 2

, y 2),

2

贝 y X

i X 2

|a -c

^,x i x 2

a +b

2 2

a c 2

2

a b

a 2

b 2

由OA OB

=(为 X 2

,% y 2

), a =(3,- 1),OA OB 与a 共线，得

3(% y 2)(x i X 2) =0.

y i =Xi -cy 7 -c, 3( x 2 -2c)区 x 2) =

0, 3c 2 .

二至,所以a 2 =3b 2. X-| x 2

2a 2c

a 2

b 2

2 2 16a c = a 「b ,

3

I

故离心率e = c

—.

(II )证明：由(I )知a 2

=3b 2

，所以椭圆

2 2

0 y__

a 2

b 2

x 2 3y 2 =3b 2

.

设OM =(x,y),由已知得(x,y) = (Xi,y )；；

■丄化

小),

x

=檢1 + %,

「・ J

y =环卡%.

(2)设M 为椭圆上任意一点，且OM 「OA .OB(.i R),

证明，」为定值.

2 2

笃与=1(a b ■ 0), F(c,0), a b

2 2

则直线AB 的方程为y=x —c,代入笃吕

a b

(I )解：设椭圆方程为

由(| )知 X

i

x^|c,a^|c 2,b^ -2c 2

.

a 2c 2 -a 2

b 2

3 2

X i X 2 = -------2

2

c . a 2 b 2 8

X 1X 2 3y

』

2 = % X 2

3(x i -c)(X 2 -c)

2

二

4X J X 2 - 3(x 1 x 2)c 3c

3 2 9 2 2

c ' 3c

2

故2

」为定值，定值为1.

2

二一

^又 x

1

3y 1 = 3b 2

, x ； 3y ； = 3b

2

又，代入①得

,

2

」=1.

例4设F I

,F 2

是椭圆

2

c ：£

4

2

才胡的左右焦

A,B

分别为左

顶点和上顶点，过右焦点 直线AM,AN 分别与已知直线

F 2

的直线I 交椭圆C 于M,N 两点， x=4

交于点P,Q ，试探究以PQ 为

直径的圆与直线l 的位置关系.

（2）根据题意可知*亘线「斜率不为山 设宜线厂方n^x = my + l.

（乃•

必），

3 Y 2 - 41?2 =12

、

'

”得（3w _

+4）y 2

—9 = 0 ,

—9

由韦达宦理得北—弘=—.—J 】片=——，又蛙点p （4.y o ）,

_

3wi _

+4 +4

" V A.M.P 三点共线”由药7 =(枠］-土珀，AP = (6. v p )得,y p =

6?- ”阴+ 3

同理* % = &■儿'线段P0的中点D （丄+

） T 即（4.-

伽）*

_

用乃十3 ____ 2

则D 到直线F 的距离'hd = 3血+1 .