数学：1.2.2复合函数的求导法则教案
高中数学 第一章《1.2.3复合函数的求导法则》教案 新人教A版选修2-2
"福建省长乐第一中学2014高中数学 第一章《1.2.3复合函数的求导法则》教案 新人教A 版选修2-2 "教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授三．典例分析例1（课本例4）求下列函数的导数：（1）2(23)y x =+；（2）0.051x y e -+=；（3）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数）．例2求2sin(tan )y x =的导数．解：'2'222[sin(tan )]cos(tan )sec ()2y x x x x ==⋅⋅2222cos(tan )sec ()x x x =⋅'2222cos(tan )sec ()y x x x =⋅【点评】 求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．例3求y =的导数．解：'y =222(2)a x ax ==--，'22(2)a y x ax =-- 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例4求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝s in 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋41cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ．四．课堂练习1．求下列函数的导数 (1) y =sin x 3+sin 33x ；（2）122sin -=x x y ;(3))2(log 2-x a 2.求)132ln(2++x x 的导数五．回顾总结六．教后反思：。
复合函数求导教案大学版
课时：2课时教学对象：大学数学专业学生教学目标：1. 理解复合函数的概念及其求导方法。
2. 掌握复合函数求导的基本法则，包括链式法则、反函数求导法则等。
3. 能够运用复合函数求导法则解决实际问题。
教学重点：1. 复合函数的概念。
2. 复合函数求导的基本法则。
教学难点：1. 复合函数求导法则的应用。
2. 复合函数求导过程中中间变量的确定。
教学准备：1. 教学课件2. 例题和习题教学过程：第一课时一、导入1. 回顾一元函数求导的基本方法。
2. 引入复合函数的概念，说明复合函数求导的重要性。
二、讲解1. 复合函数的概念：由两个或多个函数复合而成的函数称为复合函数。
2. 复合函数求导的基本法则：a. 链式法则：设函数f(u)和u=g(x)复合而成函数y=f(g(x))，则y对x的导数为y' = f'(g(x)) g'(x)。
b. 反函数求导法则：设函数f(x)的反函数为g(y)，则g(y)对y的导数为g'(y) = 1 / f'(x)。
三、例题讲解1. 例1：求函数y = sin(2x)的导数。
解：y' = cos(2x) 2 = 2cos(2x)。
2. 例2：求函数y = ln(x^2)的导数。
解：y' = 1 / (x^2) 2x = 2/x。
四、课堂练习1. 求函数y = e^sin(x)的导数。
2. 求函数y = ln(cos(x))的导数。
第二课时一、复习上节课所学内容1. 复合函数的概念。
2. 复合函数求导的基本法则。
二、讲解复合函数求导过程中中间变量的确定1. 确定中间变量的方法：a. 从内层函数开始，逐层向外层函数求解。
b. 观察复合函数的结构，找出中间变量。
三、例题讲解1. 例1：求函数y = ln(2x+3)的导数。
解：y' = 1 / (2x+3) 2 = 2 / (2x+3)。
2. 例2：求函数y = sin(e^x)的导数。
数学：1..2..2复合函数的求导法则教案
§1.2.2复合函数的求导法则教学目标理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．LxIm36V6lJ教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景<一）基导数本初等函数的导数公式表<二）导数的运算法则．．．<2）推论：<常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授复合函数的概念一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。
LxIm36V6lJ复合函数的导数复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．若，则三．典例分析例1求y ＝sin<tan x2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．LxIm36V6lJ例2求y ＝的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin4x ＋cos 4x的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin2x ＋cos2x>2－2sin2cos2x ＝1－sin22 xLxIm36V6lJ＝1－<1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x．【解法二】y′＝(sin 4 x>′＋(cos 4 x>′＝4 sin 3 x(sin x>′＋4 cos 3x (cos x>′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x>＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x>＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 xLxIm36V6lJ【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x<x ＋1）<2－x）有两条平行于直线y ＝x的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y′＝1即3 x2－2 x －1＝0，解得 x ＝－或x ＝1．于是切点为P<1，2），Q<－，－），过点P的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为＝．四．课堂练习1．求下列函数的导数(1> y =sinx3+sin33x；<2）;(3>2.求的导数五．回顾总结六．布置作业申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
高中数学复合函数求导教案
高中数学复合函数求导教案一、复合函数的定义1. 复合函数是指一个函数由两个或两个以上的函数组合而成的函数。
2. 复合函数的表示：如果函数 f 和函数 g 都是数学上的函数，则复合函数 f(g(x)) 表示先对x 进行函数 g 的运算，然后再对结果进行函数 f 的运算。
这里 g(x) 是函数 g 的输出，f(g(x)) 是复合函数的输出。
二、复合函数的求导法则1. 复合函数的导数公式：设函数 y = f(u)，u = g(x) 为复合函数，则 y 的导数为：dy/dx = dy/du * du/dx2. 具体步骤：a. 先对内函数 u 进行求导，求得 dy/dub. 再对外函数 y 进行求导，求得 du/dxc. 最后将两者相乘即可得到最终导数 dy/dx三、实例演练例题：已知函数 y = (2x + 1)^2，求 dy/dx1. 设 u = 2x + 1，则 y = u^22. 求内函数 u 的导数：du/dx = 23. 求外函数 y 的导数：dy/du = 2u4. 根据公式，dy/dx = dy/du * du/dx = 2u * 2 = 4u5. 将 u = 2x + 1 代入，得到 dy/dx = 4(2x + 1)四、练习题1. 已知函数 y = sin(x^2)，求 dy/dx2. 已知函数 y = ln(3x + 2)，求 dy/dx3. 已知函数 y = e^(2x - 1)，求 dy/dx五、作业1. 完成练习题中的题目，写出解题思路和计算过程2. 自行设计一个复合函数，并求其导数3. 查阅相关资料，了解复合函数的应用领域及意义六、总结1. 复合函数求导是高中数学中的重要内容，掌握其求导法则可以帮助我们解决更复杂的问题。
2. 通过练习和实践，加深对复合函数求导的理解和掌握，提高数学解题能力。
2019-2020年高中数学《1.2.2 导数的运算法则及复合函数的导数》教案2 新人教A版选修2-2
2019-2020年高中数学《1.2.2 导数的运算法则及复合函数的导数》教案2 新人教A版选修2-2教学目标理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（2）推论：（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。
复合函数的导数 复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．若，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦三．典例分析例1求y ＝sin （tan x 2）的导数． 【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－sin 22 x ＝1－（1－cos 4 x ）＝＋cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ．【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x 【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步． 例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－，－），过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|++-＝．四．课堂练习1．求下列函数的导数 (1) y =sin x 3+sin 33x ；（2）;(3) 2.求的导数五．回顾总结六．布置作业2019-2020年高中数学《1.2.2 条件语句》教案新人教A版必修3教学分析通过上一节的学习，学生学会了输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法，本节介绍条件语句的用法. 程序中的条件语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系，这种对应关系对于学生理解条件语句的结构，进一步理解算法中的条件结构都是很有帮助的.我们可以给出条件语句的一般格式，让学生自己画出相应的程序框图，也可以给出程序框图，让学生写出算法语句.三维目标1．理解学习基本算法语句的意义.2．学会条件语句的基本用法.3.理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系，学会算法语句的写法.重点难点教学重点：条件语句的基本用法.教学难点：算法语句的写法.课时安排1课时教学过程导入新课思路1（情境导入）一位老农平整了一块良田，种瓜好呢，还是种豆好呢，他面临着一个选择.如果他选择种瓜，他会得瓜，如果他选择种豆，他会得豆.人的一生面临许多选择，我们要做出正确的选择.前面我们学习了条件结构，今天我们学习条件语句.思路2（直接导入）前面我们学习了程序框图的画法,为了让计算机能够理解算法步骤、程序框图，上一节我们学习了输入语句、输出语句、赋值语句，今天我们开始学习条件语句.推进新课新知探究提出问题（1）回忆程序框图中的两种条件结构.（2）指出条件语句的格式及功能.（3）指出两种条件语句的相同点与不同点.（4）揭示程序中的条件语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系.讨论结果：（1）一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向.条件结构就是处理这种过程的结构.用程序框图表示条件结构如下图：（2）条件语句1°“IF—THEN—ELSE”语句格式：IF 条件 THEN语句体1ELSE语句体2END IF功能：在“IF—THEN—ELSE”语句中，“条件”表示判断的条件，“语句体1”表示满足条件时执行的操作内容；“语句体2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF表示条件语句的结束.计算机在执行“IF—THEN—ELSE”语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果符合条件，则执行THEN后面的“语句1”；若不符合条件，则执行ELSE后面的“语句2”. 2°“IF—THEN”语句格式：IF 条件 THEN语句体END IF功能：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足时，直接结束判断过程；END IF表示条件语句的结束.计算机在执行“IF—THEN”语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果符合条件就执行THEN后边的语句，若不符合条件则直接结束该条件语句，转而执行其他后面的语句.（3）相同点：首先对IF后的条件进行判断，如果符合条件就执行THEN后边的语句.不同点：对于“IF—THEN—ELSE”语句，若不符合条件，则执行ELSE后面的“语句体2”.对于“IF—THEN”语句，若不符合条件则直接结束该条件语句，转而执行其他后面的语句. （4）程序中的条件语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系如下图：应用示例思路1例1 编写一个程序，求实数x的绝对值.算法分析：首先，我们来设计求实数x的绝对值的算法，因为实数x的绝对值为|x|=所以算法步骤可以写成：第一步，输入一个实数x.第二步，判断x的符号.若x≥0，则输出x；否则，输出-x.显然，“第二步”可以用条件结构来实现.程序框图如下图：程序：INPUT xIF x＞=0 THENPRINT xELSEPRINT -xEND IFEND点评：通过本题我们看到算法步骤可以转化为程序框图，程序框图可以转化为算法语句.本题揭示了它们之间的内在联系，只要理解了程序框图与算法语句的对应关系，把程序框图转化为算法语句就很容易了.变式训练阅读下面的程序，你能得出什么结论？INPUT xIF x＜0 THENx=-xEND IFPRINT xEND解：由程序得出，该程序是输出x的绝对值.例2 把前面求解一元二次方程ax2+bx+c=0的程序框图转化为程序.解：由程序框图可以发现，其中包含着两个条件结构，而且内层的条件结构是外层的条件结构的一个分支，所以，可以用“IF—THEN—ELSE—END IF”来完成转化.程序：INPUT “a,b,c=”;a,b,cd=b^2-4*a*cIF d＞=0 THENp=-b/(2*a)q=SQR(d)/(2*a)IF d=0 THENPRINT “x1=x2=”;pELSEPRINT “x1,x2=”;p+q,p-qEND IFELSEPRINT“No real root”END IFEND例3 编写程序，使任意输入的3个整数按从大到小的顺序输出.算法分析：用a，b，c表示输入的3个整数.为了节约变量，把它们重新排列后，仍用a，b，c表示，并使a≥b≥c.具体操作步骤如下：第一步，输入3个整数a，b，c.第二步，将a与b比较，并把小者赋给b，大者赋给a.第三步，将a与c比较，并把小者赋给c，大者赋给a（此时a已是三者中最大的）.第四步，将b与c比较，并把小者赋给c，大者赋给b（此时a，b，c已按从大到小的顺序排列好）.第五步，按顺序输出a，b，c.如下图所示，上述操作步骤可以用程序框图更直观地表达出来.根据程序框图，写出相应的计算机程序.INPUT “a,b,c=”;a,b,cIF b＞a THENt=aa=bb=tEND IFIF c＞a THENt=aa=cc=tEND IFIF c＞b THENt=bb=cc=tEND IFPRINT a,b,cEND思路2例1 编写程序，输出两个不相等的实数a、b的最大值.分析：要输出两个不相等的实数a、b的最大值，从而想到对a，b的大小关系进行判断，a，b的大小关系有两种情况：（1）a>b；（2）b>a.这也就用到了我们经常提及的分类讨论的方式，找出两个数的最大值.解：算法一：第一步，输入a， b的数值.第二步，判断a，b的大小关系，若a>b，则输出a的值，否则，输出b的值.（程序框图如下图）程序如下：（“IF—THEN—ELSE”语句）INPUT “a，b”；a，bIF a＞b THENPRINT aELSEPRINT bEND IFEND算法二：第一步，输入a,b的数值.第二步，判断a,b的大小关系，若b>a，则将b的值赋予a；否则，直接执行第三步.第三步，输出a的值，结束.（程序框图如下图）程序如下：（“IF—THEN”语句） INPUT “a，b”；a ，b IF b ＞a THEN a=b END IF PRINT a END点评：设计一个“好”的算法需要在大量的算法设计中积累经验.我们也可以先根据自己的思路设计算法，再与 “成形”的、高效的、优秀的算法比较，改进思路，改进算法，以避免重复计算等问题，提高算法设计的水平.（2）我们在平常的训练中尽可能地少引用变量，过多的变量不仅会使得算法和程序变得复杂，而且不利于计算机的执行.为此，我们在练习中要尽可能少引入变量并且要积极思考才能少引入变量.例2 高等数学中经常用到符号函数，符号函数的定义为y=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>,0,1,0,0,0,1x x x 试编写程序输入x的值，输出y 的值. 解：程序一：（嵌套结构） 程序框图：（下图）程序如下： INPUT x IF x>0 THEN y=1 ELSEIF x=0 THEN y=0 ELSE y=－1 END IF END IF PRINT y END程序二：（叠加结构） 程序框图（右图）：程序如下：INPUT xIF x>0 THENy=1END IFIF x=0 THENy=0END IFIF x<0 THENy=－1END IFPRINT yEND点评：（1）条件结构的差异，造成程序执行的不同.当代入x的数值时，“程序一”先判断外层的条件，依次执行不同的分支，随后再判断内层的条件；而“程序二”中执行了对“条件1”的判断，同时也对“条件2”进行判断，是按程序中条件语句的先后依次判断所有的条件，满足哪个条件就执行哪个语句.（2）条件语句的嵌套可多于两层，可以表达算法步骤中的多重限制条件.知能训练中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话费0.22元；如果通话时间超过3分钟，则超出部分按每分钟0.1元收取通话费，不足一分钟按以一分钟计算.设通话时间为t（分钟），通话费用y（元），如何设计一个程序，计算通话的费用.解：算法程序如下：INPUT “请输入通话时间：”；tIF t<=3 THENy=0.22ELSEIF INT(t)=t THENy=0.22+0.1*(t－3)ELSEy=0.22+0.1*(INT(t －3)+1) END IF END IFPRINT “通话费用为：”；y END拓展提升函数y=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<≤≤,128),12(2,84,8,40,2x x x x x 写出求函数的函数值的程序.解：INPUT x=”;xIF x>=0 and x<=4 THEN y=2*xELSE IF x<=8 THEN y=8ELSE y=2*(12-x) END IF。
简单复合函数求导教案高中
简单复合函数求导教案高中高中数学教学中，简单复合函数求导是一个重要的知识点。
本文将介绍简单复合函数求导的相关概念和方法，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、简单复合函数的概念。
1.1 复合函数。
在数学中，复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而得到一个新的函数。
设有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数可以表示为(f∘g)(x)= f(g(x))。
其中，g(x)的输出作为f(x)的输入，得到新的函数(f∘g)(x)。
1.2 简单复合函数。
简单复合函数是指由两个简单函数复合而成的函数。
简单函数通常是指幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数。
二、简单复合函数求导的方法。
2.1 复合函数求导法则。
设有两个函数u(x)和v(x)，它们的复合函数为y = u(v(x))。
根据链式法则，复合函数的导数可以表示为dy/dx = u'(v(x)) v'(x)，其中u'(v(x))表示u(x)对v(x)的导数，v'(x)表示v(x)对x的导数。
2.2 简单复合函数求导的具体步骤。
对于简单复合函数y = f(g(x))，求导的具体步骤如下：（1）首先求出g(x)的导数g'(x)；（2）然后求出f(u)的导数f'(u)，其中u = g(x)；（3）最后将g'(x)和f'(u)相乘，即得到复合函数y = f(g(x))的导数。
三、简单复合函数求导的例题。
为了更好地理解简单复合函数求导的方法，我们通过例题来进行具体的讲解。
例题1，已知y = (3x^2 + 1)^4，求dy/dx。
解，将y = (3x^2 + 1)^4表示为y = u^4，其中u = 3x^2 + 1。
根据链式法则，有dy/dx = 4u^3 6x = 24x(3x^2 + 1)^3。
例题2，已知y = sin(2x + 1)，求dy/dx。
解，将y = sin(2x + 1)表示为y = sin(u)，其中u = 2x + 1。
1.2.2(2)复合函数的求导法则教学设计
情境一：复习 ：1.基本初等函数有哪些？2.求下列函数的导数：（1）()324y x x =-（2）sin x y x=（3）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+（5）()ln 2y x =+ 问题1：函数（4）利用基本初等函数求导公式如何求导?问题2：函数(5)能用学过的公式求导吗?问题3：函数()ln 2y x =+有什么结构特点？情境二：分清以上函数的结构特点之后，你能尝试给出复合函数的概念吗？复合函数的概念：一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。
情境三：复合函数的求导法则是什么？一般分几个步骤进行？求复合函数的导数需要注意哪些方面？复合函数的导数：复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．即：若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦注意：①中间变量的选择应是基本初等函数结构 ②关键是正确分清函数的复合层次③一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地求导 ④要善于把一部分表达式作为一个整体 ⑤最后要把中间变量换成自变量的函数（即代回）【典例分析】例1（课本例4）求下列函数的导数：（1）2(23)y x =+；（2）0.051x y e -+=；（3）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数）．例2求2sin(tan )y x =的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。
变式训练：求下列函数的导数（1）cos 3x y = （2）y 3）x x y 44cos sin += 解（3）时注意方法的灵活性，多样性。
数学：1.2.2复合函数的求导法则教案
§1.2.2复合函数的求导法则教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授 复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。
复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦三．典例分析例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝ax x ax 22--的导数． 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋41cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x【点评】 解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－31或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－31，－2714）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|++-＝22716．四．课堂练习1．求下列函数的导数 (1) y =sin x 3+sin 33x ；（2）122sin -=x x y ;(3))2(log 2-x a2.求)132ln(2++x x 的导数五．回顾总结六．布置作业。
人教版数学高二第一章 1.2第2课时复合函数求导及应用
第2课时 复合函数求导及应用[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 16“思考”～P 17的内容，回答下列问题． 函数y ＝l n (x ＋2)与函数y ＝l n u 和u ＝x ＋2之间有什么关系？ 提示：y ＝l n (x ＋2)是由函数y ＝l n u 和u ＝x ＋2复合而成的复合函数． 2．归纳总结，核心必记 (1)复合函数的概念一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．(2)复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[问题思考](1)函数y ＝log 2(x 2－3x ＋5)是由哪些函数复合而成的？提示：y ＝log 2(x 2－3x ＋5)是由y ＝log 2u ，u ＝x 2－3x ＋5复合而成． (2)函数y ＝l n (2x ＋1)的导函数是什么？提示：y ＝l n (2x ＋1)是由函数y ＝l n u 和u ＝2x ＋1复合而成的，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(2x＋1)′＝2u ＝22x ＋1.[课前反思](1)复合函数的概念是什么？ (2)复合函数的求导公式是什么？知识点1简单复合函数求导问题讲一讲1．(链接教材P 17－例4)求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝e S i n x ；(3)y ＝S i n ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)． [尝试解答] (1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2，则y ′＝⎝⎛⎭⎫u 12′(1－2x 2)′＝⎝⎛⎭⎫12u －12·(－4x ) ＝12(1－2x 2)－12(－4x )＝－2x 1－2x 2 . (2)设y ＝e u ，u ＝S i n x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·co S x ＝e S i n x co S x . (3)设y ＝S i n u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·2＝2co S ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.错误!复合函数求导的步骤练一练1．求下列函数的导数．(1)f (x )＝(－2x ＋1)2；(2)f (x )＝l n (4x －1)； (3)f (x )＝23x ＋2；(4)f (x )＝5x ＋4； (5)f (x )＝S i n ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6；(6)f (x )＝co S 2x . 解：(1)设y ＝u 2，u ＝－2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－2)＝－4(－2x ＋1)＝8x －4. (2)设y ＝l n u ，u ＝4x －1， 则y ′＝y u ′·u x ′＝1u ·4＝44x －1.(3)设y ＝2u ，u ＝3x ＋2，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u l n 2·3＝3l n 2·23x ＋2. (4)设y ＝u ，u ＝5x ＋4， 则y ′＝y u ′·u x ′＝12u ·5＝525x ＋4 . (5)设y ＝S i n u ，u ＝3x ＋π6，则y ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·3＝3co S ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6. (6)法一：设y ＝u 2，u ＝co S x ， 则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－S i n x ) ＝－2co S x ·S i n x ＝－S i n 2x ；法二：∵f (x )＝co S 2x ＝1＋cos 2x 2＝12＋12co S 2x ，所以f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫12＋12cos 2x ′ ＝0＋12·(－S i n 2x )·2＝－S i n 2x .知识点2复合函数与导数运算法则的综合应用讲一讲2．求下列函数的导数．(1)y ＝x 1＋x 2；(2)y ＝x co S ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2S i n ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. [尝试解答] (1)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2. (2)∵y ＝x co S ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2S i n ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝x (－S i n 2x )co S 2x ＝－12xS i n 4x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－12x sin 4x ′ ＝－12S i n 4x －x2co S 4x ·4＝－12S i n 4x －2x co S 4x .类题·通法复合函数求导应注意的问题(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数[如讲2(2)]，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．练一练2．求下列函数的导数．(1)y ＝S i n 2x3；(2)y ＝S i n 3x ＋S i n x 3；(3)y ＝11－x 2；(4)y ＝x l n (1＋x )． 解：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 3′＝2S i n x 3·⎝⎛⎭⎫sin x 3′ ＝2S i n x 3·co S x 3·⎝⎛⎭⎫x 3′＝13S i n 2x3.(2)y ′＝(S i n 3x ＋S i n x 3)′＝(S i n 3x )′＋(S i n x 3)′ ＝3S i n 2x co Sx ＋co S x 3·3x 2＝3S i n 2x co S x ＋3x 2co S x 3. (3)y ′＝0－(1－x 2)′1－x 2＝－12(1－x 2)－12(1－x 2)′1－x 2＝x (1－x 2)－121－x 2＝x(1－x 2) 1－x 2 .(4)y ′＝x ′l n (1＋x )＋x []ln (1＋x )′ ＝l n (1＋x )＋x1＋x .知识点3复合函数导数的综合问题讲一讲3. 设f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋a x ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x在(0,0)点相切．求a ，b 的值．[思路点拨] 当直线与曲线相切时，切点为直线与曲线的公共点．[尝试解答] 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得l n 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1.由f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋a x ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，此即为曲线y＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.类题·通法本题正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．练一练 3．曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23 D ．1 解析：选A 依题意得y ′＝e －2x ·(－2)＝－2e －2x ，y ′|x ＝0＝－2e －2×0＝－2.曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在坐标系中作出直线y ＝－2x ＋2、y ＝0与y ＝x 的图象，因为直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点坐标是⎝⎛⎭⎫23，23，直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于12×1×23＝13.[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是复合函数求导公式及其应用，这也是本节课的难点．2．本节课要重点掌握的规律方法是复合函数的导数的求法，见讲1和讲2.3．求复合函数的导数的注意点(1)内、外层函数通常为基本初等函数．(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．(3)逐层求导结束后对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁．课下能力提升(四)[学业水平达标练]题组1简单复合函数求导问题1．函数y＝co S(－x)的导数是()A．co S x B．－co S xC．－S i n x D．S i n x解析：选C y′＝－S i n (－x)(－x)′＝－S i n x.2．y＝co S3x的导数是()A．y′＝－3co S2xS i n xB．y′＝－3co S2xC．y′＝－3S i n2xD．y′＝－3co S xS i n2x解析：选A令t＝co S x，则y＝t3，y′＝y t′·t x′＝3t2·(－S i n x)＝－3co S2xS i n x. 3．设曲线y＝a x－l n(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 令y ＝a x －l n (x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.所以f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3.4．求下列函数的导数． (1)y ＝l n (e x ＋x 2)； (2)y ＝102x ＋3； (3)y ＝S i n 4x ＋co S 4x .解：(1)令u ＝e x ＋x 2，则y ＝l n u .∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2)′＝1e x ＋x 2·(e x ＋2x )＝e x ＋2x e x ＋x2.(2)令u ＝2x ＋3，则y ＝10u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u ·l n 10·(2x ＋3)′＝2×102x ＋3l n 10. (3)y ＝S i n 4x ＋co S 4x ＝(S i n 2x ＋co S 2x )2－2S i n 2x ·co S 2x ＝1－12S i n 22x ＝1－14(1－co S 4x )＝34＋14co S 4x . 所以y ′＝⎝⎛⎭⎫34＋14cos 4x ′＝－S i n 4x . 题组2 复合函数与导数运算法则的综合应用 5．函数y ＝x 2co S 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x co S 2x －x 2S i n 2x B ．y ′＝2x co S 2x －2x 2S i n 2x C ．y ′＝x 2co S 2x －2xS i n 2x D ．y ′＝2x co S 2x ＋2x 2S i n 2x解析：选B y ′＝(x 2)′co S 2x ＋x 2(co S 2x )′＝2x co S 2x ＋x 2(－S i n 2x )·(2x )′＝2x co S 2x －2x 2S i n 2x .6．函数y ＝x l n (2x ＋5)的导数为( ) A ．l n (2x ＋5)－x 2x ＋5 B ．l n (2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x l n (2x ＋5) D.x2x ＋5解析：选B y ′＝[x l n (2x ＋5)]′＝x ′l n (2x ＋5)＋x [l n (2x ＋5)]′＝l n (2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝l n (2x ＋5)＋2x 2x ＋5. 7．函数y ＝S i n 2x co S 3x 的导数是________． 解析：∵y ＝S i n 2x co S 3x ，∴y ′＝(S i n 2x )′co S 3x ＋S i n 2x (co S 3x )′ ＝2co S 2x co S 3x －3S i n 2xS i n 3x . 答案：2co S 2x co S 3x －3S i n 2xS i n 3x 8．已知f (x )＝e πx S i n πx ，求f ′(x )及f ′⎝⎛⎭⎫12. 解：∵f (x )＝e πx S i n πx ， ∴f ′(x )＝πe πx S i n πx ＋πe πx co S πx ＝πe πx (S i n πx ＋co S πx )． f ′⎝⎛⎭⎫12＝πe π2⎝⎛⎭⎫sin π2＋cos π2＝πe π2. 题组3 复合函数导数的综合问题9．曲线y ＝l n (2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．0解析：选A 设曲线y ＝l n (2x －1)在点(x 0，y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． ∵y ′＝22x －1，∴y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴y 0＝l n (2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5，即曲线y ＝l n (2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.10．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10l n 2(太贝克/年)，则M (60)＝( )A ．5太贝克B ．75l n 2太贝克C ．150l n 2 太贝克D ．150太贝克解析：选D M ′(t )＝－130l n 2×M 02－t30，由M ′(30)＝－130l n 2×M 02－3030＝－10 l n 2，解得M 0＝600，所以M (t )＝600×2－t30，所以t ＝60时，铯137的含量为M (60)＝600×2－6030＝600×14＝150(太贝克)．[能力提升综合练]1．函数y ＝(2 018－8x )3的导数y ′＝( ) A ．3(2 018－8x )2 B ．－24x C ．－24(2 018－8x )2 D ．24(2 018－8x 2)解析：选C y ′＝3(2 018－8x )2×(2 018－8x )′＝3(2 018－8x )2×(－8)＝－24(2 018－8x )2.2．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( )A.12(e x －e －x )B.12(e x ＋e －x ) C ．e x －e －x D ．e x ＋e －x解析：选A y ′＝12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )．3．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝l n (x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2解析：选B设切点坐标是(x 0，x 0＋1)，依题意有⎩⎨⎧1x 0＋a ＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＋1＝0，x 0＝－1，a ＝2.4．函数y ＝l n e x1＋e x 在x ＝0处的导数为________．解析：y ＝l n e x1＋e x＝l n e x －l n (1＋e x )＝x －l n (1＋e x )， 则y ′＝1－e x 1＋e x .当x ＝0时，y ′＝1－11＋1＝12.答案：125．设曲线y ＝e a x 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：令y ＝f (x )，则曲线y ＝e a x 在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e a x ，所以f ′(x )＝(e a x )′＝e a x ·(a x )′＝a e a x ，所以f ′(0)＝a e 0＝a ，故a ＝2.答案：26．f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2，则a 的值为________．解析：∵f (x )＝(a x 2－1)12，∴f ′(x )＝12(a x 2－1)－12·(a x 2－1)′＝ax ax 2－1 .又f ′(1)＝2，∴aa －1＝2，∴a ＝2. 答案：27．求函数y ＝a S i n x 3＋b co S 22x (a ，b 是实常数)的导数． 解：∵⎝⎛⎭⎫a sin x 3′＝a co S x 3·⎝⎛⎭⎫x 3′＝a 3co S x 3， 又(co S 22x )′＝⎝⎛⎭⎫12＋12cos 4x ′＝12(－S i n 4x )×4＝－2S i n 4x ， ∴y ＝a S i n x 3＋b co S 22x 的导数为 y ′＝⎝⎛⎭⎫a sin x 3′＋b (co S 22x )′＝a 3co S x 3－2b S i n 4x . 8．曲线y ＝e 2x co S 3x 在(0,1)处的切线与l 的距离为5，求l 的方程．解：由题意知y ′＝(e 2x )′co S 3x ＋e 2x (co S 3x )′＝2e 2x co S 3x ＋3(－S i n 3x )·e 2x＝2e 2x co S 3x －3e 2x S i n 3x ，所以曲线在(0,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝0＝2.所以该切线方程为y －1＝2x ，即y ＝2x ＋1.设l 的方程为y ＝2x ＋m ，则d ＝|m －1|5＝ 5. 解得m ＝－4或m ＝6.当m ＝－4时，l 的方程为y ＝2x －4; 当m ＝6时，l 的方程为y ＝2x ＋6.综上，可知l 的方程为y ＝2x －4或y ＝2x ＋6.。
1.2.2导数的计算(复合函数的导数)
法则3:两个函数的积的导数 等于第一个函数的导数乘第二个 法则 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 两个函数的积的导数 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 再除以第二个函 函数 减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即 数的平方 即:
f (x)′ f ′(x)g(x) − f (x)g′(x) (g(x) ≠ 0) g(x) = 2 [ g(x)]
'
y = y ⋅u
= e
( ) ⋅ (− 0.05x + 1)
u '
'
= −0.05eu = −0.05e −0.05 x +1.
(3)函数y = sin (πx + φ )可以看作函数y = sin u和
u = πx + φ的复合函数.
由复合函数求导法则有
' ' ' y x = yu ⋅ u x
例 3 日常生活中的饮用水 通常是 经过 净化的 .随着水 纯净度的提高 , 所需净化费 用不断增加.已知将1吨水净 用(单位 : 元 )为 化到纯净度为x%时所需费
5284 (80 < x < 100).求净化到下纯度 c( x ) = 100 − x 时, 所需净化费用的瞬时变化率 : (1) 90% ; (2)98% .
3
4). y = x 1 + x
2
( +2x2) 1+ x2 1 ' 4).y = 1+ x2
又y x = y u y u v x
' ' '
∴ yx =
'
1
ex + 2 ex = x 3((e x + 2 )2
简单复合函数的导数(教学设计)
§一、内容和内容解析内容：简单复合函数的导数.内容解析：要正确地对复合函数求导，首先要分析清楚复合函数的结构，教学中应将重点放在引导学生理解简单复合函数地复合过程中，即因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程，并明确复合过程中的自变量、因变量以及中间变量分别是什么.二、目标和目标解析目标：掌握复合函数求导法则，会用复合函数求导法则求简单复合函数的导数. 目标解析：通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，能正确分解简单的复合函数，具备求出简单的形如复合函数的导数的能力.学生在独立思考的基础上，主动参与到数学活动的过程中,感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性,增强学好数学的信心.三、教学问题诊断分析教学问题：学生已经掌握了函数的求导以及一些基本初等函数的求导公式对于复合函数的导数,学生的认知困难主要在两个方面:（1）什么是复合函数？学生对新概念的理解和接受是比较困难的；（2）如何对复合函数进行求导？要求学生掌握方法并运用.因此,应该重视培养学生独立思考和计算的能力，重视学生参与知识的发现过程、重视课堂问题的设计,引导学生解决问题.基于以上分析，本节课的教学重点定为：运用复合函数求导法则求简单复合函数的导数的过程；教学难点定为：记忆复合函数求导法则的公式结构.四、教学策略分析教材主要研究形如()()y f g x =()ln 21y x =-，这样学生更容易理解复合函数是怎样“复合”的，同时也说明了该函数不是由基本初等函数通过加减乘除运算得到的，教材中通过细致研究sin 2y x =的导数，进而“抽象”地给出了复合函数的求导法则.对于复合函数的导数，教师在教学时要注意引导学生分析复合函数结构，找出中间变量，从而根据复合函数的求导法则进行求导；也可以再给几个复合函数的例子帮助学生掌握简单复合函数的求导，限于()f ax b +的形式即可.。
复合函数求导法则的教学设计
复合函数求导法则的教学设计
一、教学背景
1.1 教材依据：本次教学是基于中学数学课本的“复合函数求导法则”章节。
1.2 教学目的与要求：通过本次教学，使学生掌握复合函数求导法则，
达到理解复合函数求导法则的意义及熟练掌握对应的技能，可以更深
入地了解复合函数，以及更多地探索其他更复杂的复合函数求导问题。
二、教学内容
2.1 学习目标：
①了解复合函数求导法则中各个概念的定义和含义；
②熟练掌握各类复合函数求导法则；
③熟练运用复合函数求导法则解决具体问题。
2.2 教学重点：
1.掌握以下知识点：
①复合函数的概念；
②链式法则的定义、意义及其特点；
③背景知识：一阶和高阶导数的概念；
④运用复合函数求导法则解决具体问题。
2.教学步骤：
（1）让学生围绕复合函数在理论上进行讨论，学会建立函数和复合函
数之间的逻辑关系，从而让学生对复合函数有一个深入的了解和理解。
（2）让学生在重点知识点上举一反三，运用复合函数求导法则，学会联系复合函数的概念，积极发展活跃的思维，不断提高函数概念的把握水平，以及熟练掌握对应的技能。
（3）提供一些复杂的复合函数求导问题，让学生应用复合函数求导法则来解决，可以从多个角度进行不同的尝试，解决问题的过程将巩固学习知识并锻炼学生的技能。
三、教学方法
本次教学采用归纳法、演示法、解释法及讨论法，在每一重点知识点前用归纳法让学生对相关概念有一个大体的认识，在每一重点知识点中利用演示法让学生理解规律，在每一重点知识点的讲解过程中利用解释法，帮助学生进一步理解知识，同时使用讨论法让学生在团体中交换想法，达到彼此学习的目的。
《1.2.3简单复合函数的求导》教学设计
《1.2.3简单复合函数的求导》教学设计（共1课时，第1课时）【课程标准要求】利用导数的概念能求简单的复合函数的导数。
【教学目标】1.理解掌握复合函数的求导法则。
2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导。
3.培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律。
【学情与内容分析】本节在教材中起到了“承上启下”的作用，是前几节内容知识的延续，也是后面研究导数在函数中应用等函数综合问题的基础。
前几节学习了导数基本概念、基本初等函数的导数公式以及导数的四则运算法则。
教材以“你会求sin(21)y x =+的导数吗？”这个问题引入， 这个函数是不能通过基本初等函数的四则运算得到的，旧知识是不能求导的，那么我们有必要去研究这类函数的求导方法，激发学生对新知的求知欲。
在求导之前要弄清楚函数的结构，首先是引导学生分析sin(21)y x =+这个特殊复合函数的结构，让学生感受函数的复合过程，初步感知“复合函数”的概念，然后给出了复合函数的一般概念，体会数学抽象的过程。
在理解复合函数“复合”的过程中，重点引导学生理解因变量是如何通过中间变量表示为自变量的函数过程，自变量、中间变量、因变量是什么。
然后引导学生利用导数的定义来推导复合函数的求导公式，即((()))(())g ()f g x f g x x '''=，最后举例应用。
本节主要采用了“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的数学思想方法，体现数学学科核心素养。
【教学准备】多媒体课件，挂图，实物，模型，仪器。
【难重点】重点：复合函数的结构分析、复合函数的求导法则推导及应用。
难点：复合函数的结构分析、求导法则的推导。
【教学过程】,),0h dx ，(),()(f u x g x '→'→记作)【板书设计】【评价设计】【作业设计】1、完成导学案内容；2、教材P26 1题、P27 8题【教学反思】。
高中数学 第一章《1.2.3复合函数的求导法则》教案 新人教A版选修2-2
"福建省长乐第一中学2014高中数学 第一章《1.2.3复合函数的求导法则》教案 新人教A 版选修2-2 "教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（二）导数的运算法则（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授三．典例分析例1（课本例4）求下列函数的导数：（1）2(23)y x =+；（2）0.051x y e -+=；（3）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数）．例2求2sin(tan )y x =的导数．解：'2'222[sin(tan )]cos(tan )sec ()2y x x x x ==⋅⋅ 2222cos(tan )sec ()x x x =⋅'2222cos(tan )sec ()y x x x =⋅【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．例3求y =的导数．解：'y =222(2)a x ax ==--，'22(2)a y x ax =-- 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理． 例4求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋41cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ．四．课堂练习1．求下列函数的导数 (1) y =sin x 3+sin 33x ；（2）122sin -=x x y ;(3))2(log 2-x a 2.求)132ln(2++x x 的导数五．回顾总结六．教后反思：。
§1.2.2 复合函数求导
§1.2.2 复合函数求导 校对人：聂格娇 审核人：刘励钧复合函数的分解，求复合函数的导数.1617复习1：求)4(23-=x x y 的导数复习2：求函数2(23)y x =+的导数二、新课导学※ 学习探究探究任务一：复合函数的求导法则问题：求(sin 2)x '=?解答：由于(sin )cos x x '=，故(sin 2)cos 2x x '= 这个解答正确吗?新知：一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作：(())y f g x =复合函数的求导法则：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数.用公式表示为： ，其中u 为中间变量.即： y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.试试：(sin 2)x '=反思：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。
※ 典型例题例1 求下列函数的导数：（1）2(23)y x =+； （2）0.051x y e -+=；（3）sin()y x πϕ=+（其中π，ϕ均为常数）变式：求下列函数的导数：（1）cos 3x y =； （2）y小结：复合函数的求导不仅可以推广到三重，还可推广到四重、五重.例2 求描述气球膨胀状态的函数()r V =.小结：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。
※ 动手试试练1. 函数()r V 可以看成是哪两个函数的复合?练2. 一个距地心距离为r ，质量为m 的人造卫星，与地球之间的万有引力F 由公式2GMm F r=给出，其中M 为地球的质量，G 为常量，求F 对于r 的瞬时变化率.三、总结提升※ 学习小结1. 会分解复合函数.2. 会求复合函数的导数. '''x u x u y y ∙=；其中u 为中间变量.即：y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.※ 知识拓展人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 设2sin y x =，则y '=（ ）A ．sin 2xB ．2sin xC ．22sin xD ．2cos x2. 已知()ln(f x x =，则()f x '是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数3. 若函数3()log ()(0,1)a f x x ax a a =->≠在区间1(,0)2-内单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．1[,1)4B ．3[,1)4C ．9(,)4+∞D ．9(1,)4 4. 2(log (23))x '-+=5. (lg tan )x '=1. 求下列函数的导数；（1）99(1)y x =+； （2）2x y e -=；（3）2sin(25)y x x =+2. 求下列函数的导数；（1）2tan y x x =； （2）32(2)(31)y x x =-+；（3）2ln x y x =； （4）23(21)x y x =+。
高中数学：1.2《简单复合函数的导数》教案(苏教版选修2-2)
课 题：§简单复合函数的导数教学目的：知识与技能：理解掌握复合函数的求导法则.过程与方法：能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导情感、态度与价值观：培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．教学重点：复合函数的求导法则的概念与应用 教学难点：复合函数的求导法则的导入与理解 教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。
教学过程：学生探究过程： 一、复习引入：1.常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭二、讲解新课：: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量．2(32)y x =-的导数的两种方法与思路：方法一：22[(32)](9124)1812x y x x x x '''=-=-+=-；方法二：将函数2(32)y x =-看作是函数2y u =和函数32u x =-复合函数，并分别求对应变量的导数如下：2()2u y u u ''==，(32)3x u x ''=-=两个导数相乘，得232(32)31812u x y u u x x ''==-=-，从而有 x u x u y y '''⋅=对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y ′x 时，就可以转化为求y u ′和u ′x的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.3.复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅=或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u )ϕ′(x ).证明：（教师参考不需要给学生讲）设x 有增量Δx ，则对应的u ，y 分别有增量Δu ，Δy ，因为u =φ(x )在点x 可导，所以u =ϕ (x )在点x Δx →0时，Δu →0.当Δu ≠0时，由xu u y x y ∆∆⋅∆∆=∆∆. 且x y u y u x ∆∆=∆∆→∆→∆00lim lim .∴xuu y x u u y x u u y x y x u x x x x ∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆000000lim lim lim lim lim lim即x u x u y y '''⋅= (当Δu ＝0时，也成立)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 三、讲解X 例：例1试说明下列函数是怎样复合而成的？⑴32)2(x y -=； ⑵2sin x y =； ⑶)4cos(x y -=π； ⑷)13sin(ln -=x y ．解：⑴函数32)2(x y -=由函数3u y =和22x u -=复合而成； ⑵函数2sin x y =由函数u y sin =和2x u =复合而成；⑶函数)4cos(x y -=π由函数u y cos =和x u -=4π复合而成；⑷函数)13sin(ln -=x y 由函数u y ln =、v u sin =和13-=x v 复合而成． 说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．例2写出由下列函数复合而成的函数：⑴u y cos =，21x u +=； ⑵u y ln =，x u ln =． 解：⑴)1cos(2x y +=； ⑵)ln(ln x y =． 例3求5)12(+=x y 的导数． 解：设5u y =，12+=x u ，则x u x u y y '''⋅=)'12()'(5+⋅=x u x2)12(52534⋅+=⋅=x u 4)12(10+=x ．注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.例4求f (x )=sin x 2的导数. 解：令y =f (x )=sin u ; u =x 2∴x u x u y y '''⋅==(sin u )′u ·(x 2)x ′=cos u ·2x =cos x 2·2x =2x cos x 2 ∴f ′(x )=2x cos x 2 例5求y =sin 2(2x +3π)的导数.分析: 设u =sin(2x +3π)时，求u ′x ，但此时u 仍是复合函数，所以可再设v =2x +3π.解：令y =u 2，u =sin(2x +3π)，再令u =sin v ，v =2x +3π∴x u x u y y '''⋅==y ′u (u ′v ·v ′x )∴y ′x =y ′u ·u ′v ·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(2x +3π)′x=2u ·cos v ·2=2sin(2x +3π)cos(2x +3π)·2=4sin(2x +3π)cos(2x +3π)=2sin(4x +32π) 即y ′x =2sin(4x +32π) 例6求32c bx ax y ++=的导数.解：令y =3u ，u =ax 2+bx +c∴x u x u y y '''⋅==(3u )′u ·(ax 2+bx +c )′x =3231-u ·(2ax +b )=31(ax 2+bx +c )32-(2ax +b )=322)(32c bx ax bax +++即y ′x =322)(32c bx ax b ax +++例7求y =51xx-的导数. 解：令xxu u y -==1,5 ∴x u x u y y '''⋅==(5u )′u ·(xx-1)′x 4455221(1)(1)11(1)()55x x x x x x x u x x x--''-------=⋅=⋅21x -=== 即y ′x =－542)(51x x x -例8 求y =sin 2x 1的导数.解：令y =u 2，u =sinx 1，再令u =sin v ，v =x 1∴x u x u y y '''⋅=·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(x 1)′x=2u ·cos v ·210x -=2sin x 1·cos x 1·21x -=－21x ·sin x 2∴y ′x =－21x sin x2例9 求函数y =(2x 2－3)21x +的导数.分析: y 可看成两个函数的乘积，2x 2－3可求导，21x +是复合函数，可以先算出21x +对x 的导数.解：令y =uv ，u =2x 2－3，v =21x +, 令v =ω，ω=1+x 2x x v v ωω'''=⋅=ω' (1+x 2)′x=22211122)2(21xxx x x +=+=-ω ∴y ′x =(uv )′x =u ′x v +uv ′x =(2x 2－3)′x ·21x ++(2x 2－3)·21xx +=4x23232161321xx x xx x x ++=+-++即y ′x =2316xx x ++四、巩固练习：1．求下列函数的导数(先设中间变量，再求导).(1)y =(5x －3)4(2)y =(2+3x )5 (3)y =(2－x 2)3(4)y =(2x 3+x )2 解：(1)令y =u 4，u =5x －3∴x u x u y y '''⋅==(u 4)′u ·(5x －3)′x =4u 3·5=4(5x －3)3·5=20(5x －3)3 (2)令y =u 5，u =2+3x∴x u x u y y '''⋅==(u 5)′u ·(2+3x )′x =5u 4·3=5(2+3x )4·3=15(2+3x )4 (3)令y =u 3，u =2－x 2∴x u x u y y '''⋅==(u 3)′u ·(2－x 2)′x =3u 2·(－2x )=3(2－x 2)2(－2x )=－6x (2－x 2)2 (4)令y =u 2，u =2x 3+x∴x u x u y y '''⋅==(u 2)′u ·(2x 3+x )′x=2u ·(2·3x 2+1)=2(2x 3+x )(6x 2+1)=24x 5+16x 3+2x2.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(n ∈N *) (1)y =sin nx (2)y =cos nx (3)y =tan nx (4)y =cot nx 解：(1)令y =sin u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(sin u )′u ·(nx )′x =cos u ·n =n cos nx(2)令y =cos u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(cos u )′u ·(nx )′x =－sin u ·n =－n sin nx(3)令y =tan u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(tan u )′u ·(nx )′x =(uucos sin )′u ·n=2)(cos )sin (sin cos cos u u u u u --⋅·n =nxnn u 22cos cos 1==n ·sec 2nx (4)令y =cot u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(cot u )′u ·(nx )′x =(uusin cos )′u ·n =2)(sin cos cos sin sin u u u u u ⋅-⋅-·n =－u 2sin 1·n =－nxn2sin =－n csc 2nx 五、教学反思 ：⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代六、课后作业：。
第一章-§1.2-§1.2.2复合函数求导
· 素
两个函数的积的导数 [f(x)·g(x)]′＝_f_′(_x_)_g_(_x_)＋__f_(_x_)_g_′(_x)
短 板 补
救 案 · 素
养
养
养 成
gf（（xx））′＝
培 优
两个函数的商的导数 f′（x）g（x）－f（x）g′（x）
课 堂
___________[_g_（__x_）__]_2_________
课 后
探 究
(g(x)≠0)
提 升
案
案
·
·
素
素
养
养
提
达
升
成
菜单
数学(A)·选修2-2
第一章 导数及其应用
课 前
(1)和(差)导数公式的拓展
短 板
预 习
①可以推广到有限个函数的和(或差)的情形：
补 救
案 · 素
若y＝f1(x)±f2(x)±…±fn(x)，
案 · 素
养 养
则y′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)．
养 培
成
优
（1）y=sin x; (2) y 4x 2x 1;
课
课
堂 探
(3) y cos2 (3x 6);
后 提
究
升
案
案
·
·
素
素
养
养
提
达
升
成
菜单
数学(A)·选修2-2
第一章 导数及其应用
课
短
前 预
知识点二 复合函数的 求导法则
板 补
习
救
案 ·
【问题2】
计算函数y＝cos(3x－1)的导数，试述复
复合函数求导法则的教学设计
复合函数求导法则的教学设计摘要：本文主要介绍了《复合函数求导法则》这节课的一种创新性讲法，利用这种新的教学设计方法，不仅便于理解、容易掌握，更加强了学员分析、解决问题的能力。
关键词：复合函数复合分解求导法则复合函数求导法则是《高等数学》课程中的一个重要内容，是在学习了导数的概念，函数求导法则的基础上，对函数求导方法的进一步研究，并为后面学习导数的应用打下了坚实的基础。
通过对本节课的学习，不仅增强了学员对函数性质的理解，同时也加强了学员对现实生活中客观现象的认知能力。
下面我根据自己的实际教学效果，介绍本节课的教学设计如下：一、教学目的（一）教学目标1.认知上：了解复合函数求导法则，通过对法则的学习，能够熟练求出复合函数的导数。
2.能力上：通过对复合函数求导法则的学习，培养学员分析归纳、抽象概括的能力以及联系与转化的思维方法。
3.情感上：通过对本节课的学习，激发学员学习数学的兴趣，并养成严谨的学习态度。
（二）教学重点和难点本节课的教学重点是复合函数求导法则和计算，教学难点是三层复合函数求导的计算。
（三）教学方法主要运用讲授法，并结合启发式教学法，引导学员从数学本身和军事现象入手，探讨复合函数求导数的方法。
充分贯彻“以学为主”，发挥学员的积极性。
二、教学创新通过深入挖掘教材，我突破了传统的教学模式，并没有直接给出复合函数求导法则，而是通过对“为什么学？学什么？有什么用？”这三个问题进行回答，来展开教学。
（一）为什么学？本节课，我首先从数学问题和军事问题入手，突出学习复合函数求导法则的必要性和迫切性，从而引出问题。
这么做的目的不仅考虑了数学的连贯性，并且在发挥素质教育功能的基础上，贯彻职业技术士官教改中的“为专业服务，注重应用和实践”的思想，同时回答了我们本节课“为什么要学习这个课题”。
这么设计即复合学员基础较差的实际特点，又符合学员从感性到理性，从具体到抽象的认知规律。
（二）学什么？如何计算？对于课题，我重点从法则和计算这两个方面来进行研究。
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§1.2.2复合函数的求导法则
教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．
教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．
教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．
一．创设情景
（一）基本初等函数的导数公式表
导数运算法则
1．[]'
''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]'
''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=± 3．[]
'
''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦
（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 函数 导数 y c = '0y = *()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -= sin y x = 'cos y x = cos y x = 'sin y x =- ()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =⋅> ()x y f x e ==
'x y e = ()log a f x x = '1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a ==>≠且 ()ln f x x = '1()f x x =
二．新课讲授 复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。
复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．
若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦
三．典例分析
例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．
【点评】
求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝ax x a x 22--的导数．
【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．
例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．
【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－
21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋4
1cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin
3 x cos x ＋
4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2
x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x
【点评】
解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．
例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．
【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2
令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－
31或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－31，－27
14）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．
显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2
|1271431|++-＝22716．
四．课堂练习
1．求下列函数的导数 (1) y =sin x 3+sin 33x ；（2）122sin -=
x x y ;(3))2(log 2-x a 2.求)132ln(2++x x 的导数
五．回顾总结
六．布置作业。