北师大版数学九年级下册：第三章 圆 知识点及习题

九年级下册第三章圆
【知识梳理】
一、圆的认识
1. 圆的定义：
描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆．；固定的端点O叫做圆心
．．；以点O为圆心的圆，记作⊙
．．；线段OA叫做半径
O，读作“圆O”
集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。

其中定点叫做圆心
．．．．，圆
．．，定长叫做圆的半径
心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆
．．。

对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；
②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。

2、与圆相关的概念
①弦和直径：
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．。

直径：经过圆心的弦叫做直径
．．。

②弧、半圆、优弧、劣弧：
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧
．．，简称弧．，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。

半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆
．．。

优弧：大于半圆的弧叫做优弧
．．。

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧
．．。

(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。

)
③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形
．．。

④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆
．．．。

⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。

⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧
．．。

⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角
．．．.
⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距
．．．.
3、点与圆的位置关系及其数量特征：
如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则
①点在圆上 <===> d=r;
②点在圆内 <===> d<r;
③点在圆外 <===> d>r.
其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。

二. 圆的对称性:
1、圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。

2、圆是中心对称图形，对称中心为圆心
3、定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。

推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
2. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：
①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

三. 圆周角和圆心角的关系:
1.1°的弧的概念: 把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1°的圆心角,相应的整个圆也被
等分成360份,每一份同样的弧叫1°弧.
2. 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.
这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成 ∠AOB= , 这是错误的.
3. 圆周角的定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.
4. 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等； 推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 推论3：圆内接四边形的对角互补。

圆周角的三种情况：
四. 确定圆的条件:
1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件:
B
A C
O O
A
B
C
B
A
C
O
圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上. 2. 经过三点作圆要分两种情况:
(1)经过同一直线上的三点不能作圆.
(2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆. 定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.
3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:
(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三
角形叫做圆的内接三角形.
(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. (3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等. 五. 直线与圆的位置关系 1. 直线和圆相交、相切相离
设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d ；
①d<r <===> 直线L 和⊙O 相交.——两个公共点
②d=r <===> 直线L 和⊙O 相切.——惟一公共点，惟一的公共点做切点. ③d>r <===> 直线L 和⊙O 相离.——没有公共点
相离 相切 相交 2. 切线的总判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线. 3. 切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径. ※推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. ※推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论: 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个. ①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.
切线长定理：过圆外一点所画的圆的两切线长相等
即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠
外接圆
r
d
d=r
d
r
B
O
O
B
C
A
C B
A
O
C
B
A
O
4. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.
三角形内心的性质: (1)三角形的内心到三边的距离相等.
(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.
由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角. 六. 圆和圆的位置关系.
1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)
外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+；
外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；
相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；(R ≥r) 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-；(R>r) 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；(R>r)
2. 相切两圆的性质: 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.
3. 相交两圆的性质: 相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 七. 弧长及扇形的面积
1. 圆周长公式: 圆周长C=2πR (R 表示圆的半径)
2. 弧长公式: 弧长180
R
n l π=
(R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数) 3. 扇形定义: 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. 4. 弓形定义: 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.
弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5. 圆的面积公式：圆的面积2
R S π= (R 表示圆的半径) 6. 扇形的面积公式: 扇形的面积3602R n S π=扇形 =l R 2
1(R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数，l 表示弧长) 弓形的面积公式: 图1
r
R
d
图3
r
R d
r R
d 图4r
R
d 图5
r R
d
内切圆
(1)当弓形所含的弧是劣弧时, 三角形扇形弓形S S S -= (2)当弓形所含的弧是优弧时, 三角形扇形弓形S S S += (3)当弓形所含的弧是半圆时, 扇形弓形S R S ==2
2
1π 八. 圆锥的有关概念:
1. 圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一条直角边旋转而成 的面叫做圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.
2. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算:
圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.
如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l, 底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它的侧面积是:
rl rl cl S ππ=⋅==221
21侧 )(2l r r r rl S S S +=+=+=πππ底面侧表 圆锥的体积：213V r h π=
圆柱： （1）圆柱侧面展开图 2S S S =+侧表底=2
22rh r ππ+
（2）圆柱的体积：2
V r h π= *九. 与圆有关的辅助线
1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.
2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.
3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.
4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线. *十. 圆内接四边形
若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.
圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补;
②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.
十一.北师版数学未出现的有关圆的性质定理
1.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

如图6，∵PA ，PB 分别切⊙O 于A 、B
∴PA=PB ，PO 平分∠APB
2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

如图7，CD 切⊙O 于C ，则，∠ACD=∠B
_ 图
6
_ P
_ O
_ B _ A
B1
R
r C
B
O
3．和圆有关的比例线段：
①相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等；
②推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

如图8，AP •PB=CP •PD
如图9，若CD ⊥AB 于P ，AB 为⊙O 直径，则CP 2
=AP •PB 4．切割线定理
①切割线定理，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项； ②推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

如图10， ①PT 切⊙O 于T ，PA 是割线，点A 、B 是它与⊙O 的交点，则PT 2
=PA •PB
②PA 、PC 是⊙O 的两条割线，则PD •PC=PB •PA
5．两圆连心线的性质
①如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。

②如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。

如图11，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B 两点，则连心线O 1O 2⊥AB 且AC=BC 。

6．两圆的公切线
两圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。

如图12，AB 分别切⊙O 1与⊙O 2于A 、B ，连结O 1A ，O 2B ，过O 2作O 2C ⊥O 1A 于C ，公切线长为l ，两圆的圆心距为d ，半径分别为R ，r 则外公切线长：22)(r R d L --=
如图13，AB 分别切⊙O 1与⊙O 2于A 、B ，O 2C ∥AB ，O 2C ⊥O 1C 于C ，⊙O 1半径为R ，⊙O 2半径为r ，则内公切线长：22)(r R d L +-=
_O
_B
_D _P
_A
_C
图8
_ 图9
_P
_A
_B
_C
_D
_O _ 图
10
_B
_D
_C
_O
_A
_
T _P
_ 图
11
_B _C _A _O _
2 _O _
1 _O _
2 _d
_C
_R _r
_A
_B
_O _
1 _ 图13
_O
_C
_D
_A
_B
_ 图
7
O D
C
B
A 3. 1 圆的认识
1、（1）下列命题：①直径是弦；②半径确定了，圆就确定了；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④长度相
等的弧是等弧；⑤弦是直径。

其中错误的说法有________个。

（2）如何在操场上画一个半径是
5m 的圆？说出你的理由。

（3）如图，在⊙O 中，直径是______，弦有__________， 劣弧有_________，优弧有____ _
2、判断：①直径是弦，弦是直径（ ） ②半圆是弧，弧是半圆（ ）
③优弧一定大于劣弧（ ） ④半径相等的圆是等圆（ ）
3、⊙O 的半径为5，圆心O 的坐标为O （0，0），点A 的坐标为A （4，2）则点A 与⊙O 的位置关系是（ ）
A.点A 在⊙O 内
B.点A 在⊙O 上
C.点A 在⊙O 外
D.点A 在⊙O 内或在⊙O 上 4、如图，一根绳子长4 m ，一端拴着一只羊，另一端拴在 墙BC 边A 处的柱子上，请画出羊的活动区域．
5、如图，已知在同心圆O 中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点．求证：∠AOC ＝∠BOD ．
3．2 圆的对称性（一）
1.若⊙O 的直径为10厘米，弦AB 的弦心距为3厘米，则弦AB 的长为________．
2.已知⊙O 的半径为8cm ，OP =5cm ，则在过点P 的所有弦中，最短的弦长为______ 最长的弦长为___________
3.已知⊙O 的半径为5cm ，则垂直平分半径的弦长为__________．
4.已知圆的两弦AB 、CD 的长分别是18和24，且AB ∥CD ，又两弦之间的距离为3，则圆的半径长是（ ）
A.12
B.15
C.12或15
D.21
5.如图，直径为1000mm 的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB 为800mm ，求水的最大深度CD ．
A
小羊
D
C B
O
A C D B
A
B
D
C O 800
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

3．2 圆的对称性（二）
1.在⊙O 中，60°的圆心角所对的弦长为5cm ，则这个圆的半径为_________．
2.若⊙O 的弦AB 的长为8cm ，O 到AB 的距离为43cm ，弦AB 所对的圆心角为__________．
3.下列结论中正确的是（ ）
A.长度相等的两条弧相等
B.相等的圆心角所对的弧相等
C.圆是轴对称图形
D.平分弦的直径垂直于弦
4.如图，三点A 、B 、C 在⊙O 上．（1）已知：∠ABC =∠ACB ，求证：AB=AC ； （2）已知：AB=AC ，求证：∠ABC =∠ACB
3．3 圆周角和圆心角的关系（一）
1.如图，点A 、B 、C 在⊙O 上．
（1）若∠AOB =70°，则∠ACB =_____°；（2）若∠ACB =40°，则∠AOB =________°． 2.如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 的延长线相交于点P ，∠AOC =64°，∠BOD =16°， 则∠APC 的度数为______°．
3.如图，⊙O 的直径AD =6，∠BAC =30°，则弦BC 的长为 （ ）
A.3
B.33
C.6
D.23
（第1题） （第2题） （第3题）
4.在同圆或等圆中，同一弦所对的两个圆周角（ ） A.相等 B.互补 C.互余 D.相等或互补
3．3 圆周角和圆心角的关系（二）
1.如图，⊙O 的弦AB ，CD 相交于点E ，AC 所对的圆心角是100°，弧BD 所对的圆心角是50°．则∠AEC =_______．
2.下列命题中，①顶点在圆上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对
O
B
C
A
C
P
O
D B A
O
D
C
B
A
O
C
B
A
O B
A C D
E
圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对
的弧也相等；
推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；
的弦是直径；④直径所对的角是直角；⑤同弧或等弧所对的圆周角相等．正确的个数为 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3．4 确定圆的条件
1.____________________的三个点确定一个圆．
2.锐角三角形的外心位于三角形的_______，直角三角形的外心在_________，钝角三角形的外心位于三角形 的__________．
3.等腰直角三角形外接圆半径为3，则这个三角形三边的长为____________．
4.直角三角形两条直角边长为6和8，则外接圆面积为________．
5.下列四个命题中，①直径是弦；②经过三点可以作圆；③三角形的外心到各顶点的距离都相等；④钝角三角形的外心在三角形的外部.正确的有 （ ） A.个 B.2个 C.3个 D.4个
6. 如图，以⊙O 的半径OA 为直径作⊙D ，⊙O 的弦AB 与⊙D 相交于点C ，已知AB =20，求AC 的长．
3．5 直线和圆的位置关系（一）
1.在Rt △ABC 中，∠C =Rt ∠，AB =5cm ，BC =3cm ，以A 为圆心，4cm 为半径作圆，则：（1）直线BC 与⊙A 的
位置关系是_________；（2）直线AC 与⊙A 的位置关系是_________．（3）以C 为圆心，半径为________的
圆与直线AB 相切．
2.半径等于3的⊙P 与x 轴相切，且OP 与x 轴正半轴的夹角为30°，则点P 的坐标为_______．
3.如果直线l 与⊙O 有公共点，那么直线l 与⊙O 的位置关系是 （ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交
3．5 直线和圆的位置关系（二）
1.如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，D 、E 、F 分别是切点，∠ACB =90°，∠BOC =115°，则∠A =______，∠ABC =_______．
2.如图，⊙I 是Rt △ABC 的内切圆，D 、E 、F 分别是切点，∠ACB =90°，AB =5cm ，BC =4cm ，则⊙I 的半径IE 的长为_______．
O A
D
B
C
（第1题）
F
A
D
E C
B
O 第2题
F A
D
E C
B
I
切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径.
3.如图，直线l 1、l 2、 l 3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路距离相等，则可选择的地址有 （ ）
A.一处
B.两处
C.三处
D.四处
4.如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ．求证：DC 是⊙O 的切线．
3．6 圆和圆的位置关系
1. 奥运五环图中，红环与绿环的位置关系是______，红环与黑环的位置关系是____．
2. 已知两圆的半径分别是2，3，圆心距是d ，若两圆有公共点，则下列结论正确的是（ ）
A.d ＝1
B.d ＝5
C.1≤d ≤5
D.1＜d ＜5
3. 半径分别为1和2的两个圆外切，那么与这两个圆都相切，且半径为3的圆的个数有（ ） A.1个 B.3个 C.5个 D.6个
4．两圆相切，圆心距为9 cm ，已知其中一圆半径为5 cm ，另一圆半径为_____.
5．两个同心圆，小圆的切线被大圆截得的部分为6，则两圆围成的环形面积为_________。

6. 如图，⊙O 1和⊙O 内切于点A ，AB 为⊙O 的直径，点O 1在OA 上， ⊙O 的弦BC 切⊙O 1于点D ，两圆的半径R =4，r =3． （1）求BD 的长（2）求CD 的长
l 1
l 3 l 2 D O A
B
C
O 1 O
C A
B
D
经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.
切线长定理：过圆外一点所画的圆的两切线长相等
3. 7 切线长定理：
1．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A的度为________．
1题图2题图3题图
2．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．
3．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度．
4.如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长．
5．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．
6．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．
3. 8 圆内接正多边形
1、（1
） 都在同一个圆上的正多边形叫做 ，这个圆叫做该正多边形的 。

(2)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的 ，外接圆的半径叫做正多边形的 ，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的 ，正n 边形的中心角是 ，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的 。

2、正六边形的边心距为2，则该正六边形的边长是 。

3、中心角为30度的圆内接正n 边形的n 为 。

6、如图，正五边形ABCDE 内接于☉O ，点F 在劣弧AB 上，求∠CFD 的大小
3．9 弧长及扇形的面积
1.如图，当半径为30cm 的转动轮转过120︒的角时，传送带上的物体A 平移的距离为________cm ．
2.水平放置的一个水管的截面半径为10厘米，其中有水部分的水面宽103厘米．求截面上
弧长公式: 弧长180R
n l π= 3602R n S π=扇形 =l R 2
1
有水部分的面积．
3.如图，AB 是半⊙O 的直径，C 、D 是半圆的三等分点，半圆的半径为R ．
（1）CD 与AB 平行吗？为什么？ （2）求阴影部分的面积．
4.如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点C ，并且分别与⊙O 内切于A 、B ，若⊙O 的半径为3，⊙O 1和⊙O 2的半径都
为1．求阴影部分的面积和周界长．
3．8圆锥的侧面积
1.粮仓的顶部是一个底面直径为4m ，母线长为3m 的圆锥，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为 （ ）
A.6m 2
B.6πm 2
C.12m 2
D.12πm 2
2.用铁皮做一个圆锥形的烟囱帽（图中上部），它的底面直径是80cm ，高是30cm ，不计加工余料，求需用 铁皮的面积．
rl rl cl S ππ=⋅==221
21侧 )(2l r r r rl S S S +=+=+=πππ底面侧表
C
B
D
O C
A
B O 2 O 1
·
O C
A
B O 2 O 1
·
3.如图，在半径为40米的圆形广场中央点O 的上空安装了一个照明光源S ，S 射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面（经过圆锥的轴的截面）ASB 的顶角为60°，求光源离地面的高度SO （精确到0.1米）．
4.如图，这是一个滚珠轴承的平面示意图，若滚珠轴承的内外半径
分别为6cm 和8cm ，那么该轴承内最多能放________颗半径为1cm 的滚珠．
5.如图，在正方形纸板上剪下一个扇形和圆，围成一个圆锥模型，设围成的圆锥底 面半径为r ，母线长为R ，则r 与R 之间的关系为 （ ）
A.2R r =
B.49R r =
C.3R r =
D.4R r =
6.如图，A 、B 、C 在直角坐标系中的坐标分别为A （1，0），B （3，0），C （0，1）．求
△ABC 绕y 轴旋转一周所得几何体的表面积．
7.如图，⊙P 与扇形OAB 的半径OA 、OB 分别相切于点C 、D ，与弧AB 相切于点E ，已知OA =15cm ，∠AOB =60°，求图中阴影部分的面积．
O A
B
S
| | | | | | |
| | |
O A B
C
x
y
圆锥
O
C
A
B D
E
P
8.如图，一根木棒（AB ）的长为2米，斜靠在与地面（OM ）垂直的墙壁（ON ）上，与地面的倾角为60°，若木棒A 端沿NO 下滑，B 端沿OM 向右滑行，于是木棒的中点P 也随之运动，已知A 端下滑到A ′时，AA ′=32 ．求中点P 随之运动的路线有多长
P ′
· ·
N M
O
B
A B ′
A ′ P
综合练习
一、选择题
1．在△ABC中，∠C=90°，AB＝3cm，BC＝2cm,以点A为圆心，以2.5cm为半径作圆，则点C和⊙A的位置关系是（）。

A．C在⊙A 上Ｂ．C在⊙A 外
C．C在⊙A 内Ｄ．C在⊙A 位置不能确定。

2．一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm,则圆的半径为（）。

A．16cm或6cm Ｂ．3cm或8cm C．3cm Ｄ．8cm
3．AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°则弦AB所对的圆周角是（）。

A．40°Ｂ．140°或40°C．20°Ｄ．20°或160°
4．O是△ABC的内心，∠BOC为130°，则∠A的度数为（）。

A．130°Ｂ．60°C．70°Ｄ．80°
5．如图1，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠A = 100°，∠C = 30°，则∠DFE的度数是（）。

A．55°Ｂ．60°C．65°Ｄ．70°
6．如图2，边长为12米的正方形池塘的周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一棵树，且AB=BC=CD=3米．现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上．为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（）。

A．A处B．B处C．C处D．D 处
图1 图2
7．已知两圆的半径分别是2和4，圆心距是3，那么这两圆的位置是（）。

A．内含Ｂ．内切C．相交Ｄ．外切
8．已知半径为R和r的两个圆相外切。

则它的外公切线长为（）。

A．R＋r Ｂ．R2+r2C．R+r Ｄ．2Rr
9．已知圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面积为（）。

Ａ．10π B．12π Ｃ．15π Ｄ．20π
10．如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n的值是（）。

A．3 B．4 C．5 D．6
11．下列语句中不正确的有（）。

①相等的圆心角所对的弧相等
②平分弦的直径垂直于弦
③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧
A ．3个 Ｂ．2个 C ．1个 Ｄ．4个
12．先作半径为
2
3
的第一个圆的外切正六边形，接着作上述外切正六边形的外接圆，再作上述外接圆的外切正六边形，…，则按以上规律作出的第8个外切正六边形的边长为（ ）。

A ．7)332(
Ｂ．8)332( C ．7)2
3
( Ｄ．8)23(
13．如图3，⊿ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O 内切于⊿ABC ，则阴影部分面积为( ) A ．12-π Ｂ．12-2π C ．14-4π Ｄ．6-π
14．如图4，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心、2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交 AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是（ ）。

A ．4－
94π B ．4－98π C ．8－9
4
π D ．8－98π
15．如图5，圆内接四边形ABCD 的BA 、CD 的延长线交于P ，AC 、BD 交于E ，则图中相似三角形有（ ）。

A ．2对 Ｂ．3对 C ．4对 Ｄ．5对
图3 图4 图5
二、填空题
1．两圆相切，圆心距为9 cm ，已知其中一圆半径为5 cm ，另一圆半径为_____.
2．两个同心圆，小圆的切线被大圆截得的部分为6，则两圆围成的环形面积为_________。

3．边长为6的正三角形的外接圆和内切圆的周长分别为_________。

4．同圆的外切正六边形与内接正六边形的面积之比为_________。

5．矩形ABCD 中，对角线AC ＝4，∠ACB ＝30°，以直线AB 为轴旋转一周得到圆柱的表面积是_________。

6.扇形的圆心角度数60°，面积6π，则扇形的周长为_________。

7．圆的半径为4cm ，弓形弧的度数为60°，则弓形的面积为_________。

8．在半径为5cm 的圆内有两条平行弦，一条弦长为6cm ，另一条弦长为8cm ，则两条平行弦之间的距离为_________。

9．如图6，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，∠BOC=100°，MN 是过B 点而垂直于OB 的直线，则∠ABM=________，
∠CBN=________；
10．如图7，在矩形ABCD 中，已知AB=8 cm ，将矩形绕点A 旋转90°，到达A ′B ′C ′D ′的位置，则在转过程 中，边CD 扫过的(阴影部分)面积S=_________。

图6 图7 三、解答下列各题
1．如图，P 是⊙O 外一点，PAB 、PCD 分别与⊙O 相交于A 、B 、C 、D 。

(1)PO 平分∠BPD ； (2)AB=CD ；(3)OE ⊥CD ，OF ⊥AB ；(4)OE=OF 。

从中选出两个作为条件，另两个作为结论组成一个真命题，并加以证明。

2．如图，⊙O 1的圆心在⊙O 的圆周上，⊙O 和⊙O 1交于A ，B ，AC 切⊙O 于A ，连结CB ，BD 是⊙O 的直径，∠D ＝40°求：∠A O 1B 、∠ACB 和∠CAD 的度数。

3．已知：如图20，在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC ，
BC=43，以A 为圆心，2为半径作⊙A ，试问：直线BC 与⊙A 的关系如何？并证明你的结论。

A
B
P
O E F
C
D
4．如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，DP ∥AC ，交BA 的延长线于P ，求证：AD ·DC ＝PA ·BC 。

5．如图⊿ABC 中∠A ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，E 为AC 边中点，求证：DE 是⊙O 的切线。

6．如图，已知扇形OACB 中，∠AOB ＝120°，弧AB 长为L ＝4π，⊙O ′和弧AB 、OA 、OB 分别相切于点C 、D 、E ，求⊙O 的周长。

7．如图，半径为2的正三角形ABC 的中心为O ，过O 与两个顶点画弧，求这三条弧所围成的阴影部分的面积。

P
A
B
C D
O A
B C
图③
图②
图①
B M
P P E
E D D B
C
B
C
A
A
N
M
P E D C
A
8．如图，ΔABC 的∠C ＝Rt ∠，BC ＝4，AC ＝3，两个外切的等圆⊙O 1，⊙O 2各与AB ，AC ，BC 相切于F ，H ，E ，G ，求两圆的半径。

9．如图①、②、③中，点E 、D 分别是正△ABC 、正四边形ABCM 、正五 边形ABCMN 中以C 点为顶点的相邻两边上的点，且BE = CD ，DB 交AE 于P 点。

⑴求图①中，∠APD 的度数；
⑵图②中，∠APD 的度数为___________，图③中，∠APD 的度数为___________；
⑶根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n 边形情况．若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由。

一、选择题
1．如图，把一个量角器放置在∠BAC 的上面，则∠BAC 的度数是（ ）
（A ）30o ．（B ）60o ．（C ）15o ．（D ）20o ．
（第1题） （第2题） （第3题）
2．如图，实线部分是半径为9m 的两条等弧组成的游泳池．若每条圆弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ）
（A ）12πm ．（B ）18πm ．（C ）20πm ．（D ）24πm ．
3．如图，P (x ，y )是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x ，y 都是整数，则这样的点共有（ ）
（A ）4．（B ）8．（C ）12．（D ）16．
4．用一把带有刻度尺的直角尺，（1）可以画出两条平行的直线a 和b ，如图①；（2）可以画出∠AOB 的平分线OP ，如图②；（3）可以检验工件的凹面是否为半圆，如图③；（4）可以量出一个圆的半径，如图④．这四种说法正确的有（ ）
图① 图② 图③ 图④
（A ）4个．（B ）3个．（C ）2个．（D ）1个．
5．如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一幅图案，它是一扇形，其中∠AOB 为120o ，OC 长为8cm ，CA 长为12cm ，则阴影部分的面积为（ ）
（A ）264cm π．（B ）2112cm π．（C ）2114cm π．（D ）2152cm π．
（第5题） （第6题） （第7题）
6．如图，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向行走，走到场地边缘B 后，再沿与半径OB 夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB 上，此时∠AOE ＝56o ，则α的度数是（ ）
（A ）52o ．（B ）60o ．（C ）72o ．（D ）76o ．
7．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃片应该是（ ）
O P
y
x
（A ）第①块．（B ）第②块．（C ）第③块．（D ）第④块．
8．已知圆锥的底面半径为1cm ，母线长为3cm ，则其全面积为（ ）
（A ）π．（B ）3π．（C ）4π．（D ）7π．
二、填空题
9．某单位拟建的大门示意图如图所示，上部是一段直径为10米的圆弧形，下部是矩形ABCD ，其中AB ＝
3.7米，BC ＝6
米，则弧AD 的中点到BC 的距离是____________米．
（第9题） （第10题） （第11题）
10．如图，一宽为2cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm ），则该圆的半径为_____________cm ．
11．如图，∠1的正切值等于_____________．
12．一个小熊的头像如图所示．图中反映出圆与圆的四种位置关系，但是其中有一种位置关系没有反映出来．请你写出这种位置关系，它是____________．
（第12题） （第13题） （第14题）
13．如图，U 型池可以看作一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m 的半圆，其边缘AB ＝CD ＝20m ，点E 在CD 上，CE ＝2m ，一滑板爱好者从A 点滑到E 点，则他滑行的最短距离约为______________m ．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）
14．三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm ）如图所示．则三个几何体的体积和为 cm 3．（计算结果保留π）
三、解答题
15．如图，AB 为⊙O 直径，BC 切⊙O 于B ，CO 交⊙O 交于D ，AD 的延长线交BC 于E ，若∠C = 25°，求∠A 的度数．
16．如图，AB 是OD 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F ，且AE ＝BF ，请你找出线
3
21
32
1O y
x 1。