哈工大数学文化结课论文 - 从数学式看数学之美
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从数学式看数学之美
【摘 要】在数学这门学科里,处处充满着等式、不等式、关系式等各式各样的式子,这些式子往往表达了几个相互关联的量之间的关系,本文通过介绍几个著名的数学式,从不同的角度去理解观察这些式子,加深对这些数学式的认识,从中挖掘数学文化的内涵和数学之美。
【关键字】数学文化 欧拉公式 勾股定理 牛顿-莱布尼兹公式
数学文化包含着数学的思想、精神、方法、观点、语言,以及它们的形成和发展,数学文化还包含数学家,数学史,数学美,数学教育。数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系,等等。 可见数学文化是一个非常广阔的命题,就更不用说数学了,毕达哥拉斯说万物皆数,数学是一个奇幻而美丽的学科,其中数不清的数学式就包含着一种数学独有的美,下面就让我们从数学式的角度去欣赏数学之美。
1. 欧拉公式
1748年,瑞士数学家、复变函数论的先驱者欧拉导入了一个重要的公式:
θθθsin cos i i e +=
这就是著名的欧拉公式.下面我们来分析欧拉公式中蕴含的数学美。
欧拉公式包含着统一多样美。在欧拉公式中,第一次将指数函数、虚数单位i 与三角函数统一于一个优美而简洁的公式中。欧拉公式具有一目了然的简洁美,而愈简单就愈能体现真、善、美的统一。一位哲人说:美是真理的光辉。而欧拉公式就是向人们永远发出熠熠夺目的真理光辉的典范!举世公认的科学巨匠爱因斯坦曾经宣称我们在寻求一个能把观察到的事实联结到一起的思路体系,它将具有最大可能的简单性.我们说.欧拉已经寻求到了一个美妙绝伦的公式,它在把指数函数、三角函数和虚数联结到一起时,就具有了最大可能的简单性。
欧拉公式具有和谐奇异的美。令πθ=,得到01=+πi e ,式中出现了五个常数
e,i,π ,1 ,0,它们都是自然科学中十分重要的常数。在法国巴黎的发明宫中,有一个数学史陈列室,其中在古代数学与近代数学部分的间壁培上,就悬挂着这个公式,这是非常发人深思的,这个公式散发着奇花异草般的芳香,表砚出惊人的数学奇异美:π和e 是重要的超越数.-1与i.又标志着数学发展的两个重要阶段—数的概念由正数扩展到负数,由实数扩展到虚数,和谐美与奇异美对立统一于一体。
欧拉公式还具有动态平衡美。数学的动态平衡美,反映出事物的量变到质变的规律,若将欧拉公式展开成幂级数形式就不难看出其动态美了,事实上欧拉公式的多样统一美与和谐奇异美也是幂级数收敛于和函数的极限过程的动态平衡美的结果。
2. 勾股定理
大体上勾股定理可以从两方面描述: 1.从代数角度叙述:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a 、b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2 + b2=c2。
2.从几何角度叙述:以直角三角形斜边为边的正方形的面积等于以直角三角形两直角边为边的正方形的面积和。如上所述,该定理内容精准、清晰、言简意赅,在用最平实的语言阐明道理的同时,留给读者充足的想象空间,引发其积极思考.其中公式a2 + b2 = c2形式整齐、和谐、简单、美观,给人以美的感受.另外,此定理的条件恰到好处,多一个太多,少一个
太少,严密简练.爱因斯坦说过“美,本质上终究是简单性.”这种简单性、准确性、严密性是美的特征,也是数学美的基本内容。
有着“千古第一定理”之称的“勾股定理”可以说是初等数学中最重要、最美丽的定理.之所以美丽,不仅在于定理本身是联系数学中最基本、最原始的两个对象—数与形的第一定理,是代数方法与几何方法相互渗透的完美体现;不仅在于它是解决许多问题的重要工具和有效媒介,在现实生活中有着广泛的应用;更在于其本身蕴涵的丰富历史见证了古代人民的坚持与智慧,更见证了数学这门科学不断发展、不断超越的光辉历程。
3.牛顿-莱布尼兹公式
我们知道,微积分主要由微分学和积分学两大部分构成。历史上微分学的中心问题是切线问题,积分学的中心问题是求积问题,微分和积分本质上是平行发展互不干涉的两个概念。而当牛顿一莱布尼兹公式出现后,才在微分和积分之间架起一座联系的桥梁。该公式不仅给出了计算定积分的具体方法,而且在理论上标志着微积分完整体系的形成。从此,微积分才真正成为互相不能分离的一门学科。
牛顿-莱布尼兹的公式不仅没在它将微分学和积分学联系到了一起,更美在牛顿一莱布尼兹公式还揭示了这样的一个事实:定积分可归结为一个只与被积函数与积分区间端点有关的量。并且这一思想可以推广到多元函数的积分,如林格公式、高斯公式、斯托克斯公式就表明多元函数在某个区域上的积分,可归结为一个只与被积函数和积分区域的边界有关的量(积分区域为区间时,其区域为区间端点;积分区域为平面区域或曲面区域时,其边界为一条封闭的曲线)。
导数、微分、不定积分、定积分是微积分学中最重要的概念。其中微分与不定积分都是由导数定义的,三者之间的联系是显而易见的,但定积分同这三个概念间的联系都不能从定义中看出,正是牛顿一莱布尼兹公式从理论上揭示了定积分与微分间的互逆关系,使微积分的四个重要概念融为一体。
数学本身蕴含着鲜活的文化背景,浸润了人类不断探索、不断发现的精神本质和力量,与人类社会(自然的、人文的、历史的)有着千丝万缕的联系。数学视角使我们透过现象看本质,透过孤立的事物看其背后的关联,体察思想与方法的激烈碰撞与高度统一。只要用心感受我们就会发现数学无处不在、数学无处不用、数学无处不美。
参考文献:
徐光甫、张邦基.欧拉公式中的数学美.东疆学刊.1998.11.15
吴晓丹、徐章韬.欣赏数学之美-以勾股定理为例.中国数学杂志.2015.04.10
王世莹.牛顿-莱布尼兹公式随想.成都教育学院学报.2002.07.15