特殊平行四边形拔高复习
《特殊平行四边形》全章复习与巩固(提高)知识讲解
《特殊平行四边形》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 理解矩形、菱形的概念，探索并证明矩形、菱形的性质定理，以及它们的判定定理.2. 理解正方形的概念，探索并掌握正方形的对称性及其他有关性质，以及一个四边形是正方形的条件.3.会初步综合应用特殊平行四边形的知识，解决一些简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：宽＝长矩形 S４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．要点二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点三、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、矩形1、（2015春•青山区期中）如图1，已知AB∥CD，AB=CD ，∠A=∠D．（1）求证：四边形ABCD 为矩形；（2）E 是AB 边的中点，F 为AD 边上一点，∠DFC=2∠BCE．①如图2，若F 为AD 中点，DF=1.6，求CF 的长度：②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC= ，AF= ．【答案与解析】（1）证明：∵AB∥CD，AB=CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵∠A=∠D，∠A+∠D=180°，∴∠A=90°，∴四边形ABCD 为矩形；（2）解：①延长DA，CE交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠B=90°，AD∥BC，∴∠GAE=90°，∠G=∠ECB，∵E是AB边的中点，∴AE=BE，在△AGE和△BCE中，，∴△AGE≌△BCE（AAS），∴AG=BC，∵DF=1.6，F为AD中点，∴BC=3.2，∴AG=BC=3.2，∴FG=3.2+1.6=4.8，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠BCF，∵∠DFC=2∠BCE，∴∠BCE=∠FCE，∵AD∥BC，∴∠BCE=∠G，∴CF=FG=4.8；②若CE=4，CF=5，由①得：AG=BC，CF=FG，GE=CE=4，AG=AD，∴CG=8，AF+BC=AF+AG=FG=CF=5；故答案为：5；设DF=x，根据勾股定理得：CD2=CF2﹣DF2=CG2﹣DG2，即52﹣x2=82﹣（5+x）2，解得：x=，∴DG=5+=，∴AD=DG=，∴AF=AD﹣DF=；故答案为：．．【总结升华】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理的运用；本题有一定难度.举一反三：【变式】如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．（1）四边形DEFG是什么四边形，请说明理由；（2）若四边形DEFG是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．【答案】解：（1）四边形DEFG是平行四边形．理由如下：∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG是△ABC的中位线；∴DG∥BC，且DG＝12 BC；同理可证：EF∥BC，且EF＝12 BC；∴DG∥EF，且DG＝EF；故四边形DEFG是平行四边形；（2）O在BC边的高上且A和垂足除外．理由如下：连接OA；同（1）可证：DE∥OA∥FG；∵四边形DEFG是矩形，∴DG⊥DE；∴OA⊥BC；即O点在BC边的高上且A和垂足除外．2、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4．过点A作AE⊥AB且AB＝AE，过点E分别作EF⊥AC，ED⊥BC，分别交AC和BC的延长线与点F，D．若FC＝5，求四边形ABDE的周长．【思路点拨】首先证明△ABC≌△EAF，即可得出BC＝AF，AC＝EF，再利用勾股定理得出AB 的长，进而得出四边形EFCD是矩形，求出四边形ABDE的周长即可．【答案与解析】解：∵∠ACB＝90°，AE⊥AB，∴∠1＋∠B＝∠1＋∠2＝90°．∴∠B＝∠2．∵EF⊥AC，∴∠4＝∠5＝90°．∴∠3＝∠4．在△ABC 和△EAF 中，∵342B AB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，∴△ABC≌△EAF（AAS ）．∴BC＝AF ，AC ＝EF ．∵BC＝4，∴AF＝4．∵FC＝5，∴AC＝EF ＝9．在Rt△ABC 中，AB=．∵ED⊥BC，∴∠7＝∠6＝∠5＝90°．∴四边形EFCD 是矩形．∴CD＝EF ＝9，ED ＝FC ＝5．∴四边形ABDE 的周长＝AB ＋BD ＋DE ＋EA＋4＋9＋5＝18＋．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股定理等知识，根据已知得出AC ＝EF ＝9是解题关键．举一反三：【变式】（2015•杭州模拟）如图，平行四边形ABCD 中，AC=6，BD=8，点P 从点A 出发以每秒1cm 的速度沿射线AC 移动，点Q 从点C 出发以每秒1cm 的速度沿射线CA 移动．（1）经过几秒，以P ，Q ，B ，D 为顶点的四边形为矩形？（2）若BC⊥AC 垂足为C ，求（1）中矩形边BQ 的长．【答案】解：（1）当时间t=7秒时，四边形BPDQ 为矩形．理由如下：当t=7秒时，PA=QC=7，∵AC=6，∴CP=AQ=1∴PQ=BD=8∵四边形ABCD为平行四边形，BD=8∴AO=CO=3∴BO=DO=4∴OQ=OP=4∴四边形BPDQ为平形四边形，∵PQ=BD=8∴四边形BPDQ为矩形；（2）由（1）得BO=4，CQ=7，∵BC⊥AC∴∠BCA=90°BC2+CQ2=BQ2∴BQ=．类型二、菱形3、如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC AC，BD 相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．【思路点拨】（1）当旋转角为90°时，∠AOF＝90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF为平行四边形；（2）证明△AOF≌△COE即可；（3）当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，又由AB⊥AC，AB＝1，BC OA＝AB，即可得∠AOB＝45°，求得∠AOF＝45°，则可得此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为45°．【答案与解析】（1）证明：当∠AOF＝90°时，AB∥EF，又AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形．（2）证明：四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO，∠FAO＝∠ECO，∠AOF＝∠COE.∴△AOF≌△COE∴AF＝CE（3）四边形BEDF可以是菱形．理由：如图，连接BF，DE，由（2）知△AOF≌△COE，得OE＝OF，∴EF与BD互相平分．∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．AC==，在Rt△ABC中，2∴OA＝1＝AB，又AB⊥AC，∴∠AOB＝45°，∴∠AOF＝45°，∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．【总结升华】要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.举一反三：【变式】已知:如图所示，BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，交BC于点F.求证:四边形BFDE是菱形.【答案】证明：∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∠EBD＝∠EDB.又∵∠EBD＝∠FBD，∴∠FBD＝∠EDB，ED∥BF. 同理，DF∥BE，∴四边形BFDE是平行四边形.又∵EB＝ED，∴四边形BFDE是菱形.4、在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AB，点E、F分别是OA、BC的中点．连接BE、EF．（1）求证：EF＝BF；（2）在上述条件下，若AC＝BD，G是BD上一点，且BG：GD＝3：1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．【思路点拨】（1）根据平行四边形性质推出BD＝2BO，推出AB＝BO，根据三线合一定理得出BE⊥AC，在△BEC中，根据直角三角形斜边上中线性质求出EF＝BF＝CF即可；（2）根据矩形性质和已知求出G为OD中点，根据三角形中位线求出EG∥AD，EG＝12 BC，求出EG∥BC，EG＝12BC，求出BF＝EG，BF∥EG，EG＝GF，得出平行四边形，根据菱形的判定推出即可．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BD＝2BO，∵BD＝2AB，∴AB＝BO，∵E为OA中点，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∵F为BC中点，∴EF＝BF＝CF，即EF＝BF；（2）四边形EBFG是菱形，证明：连接CG，∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2BO＝2OD，∴BD＝2AB＝2CD，∴OC＝CD，∵BG：GD＝3：1，OB＝OD，∴G为OD中点，∴CG⊥OD（三线合一定理），即∠CGB＝90°，∵F为BC中点，∴GF＝12BC＝12AD，∵E为OA中点，G为OD中点，∴EG∥AD，EG＝12 AD，∴EG∥BC，EG＝12 BC，∵F为BC中点，∴BF＝12BC，EG＝GF，即EG∥BF，EG＝BF，∴四边形EBFG是平行四边形，∵EG＝GF，∴平行四边形EBFG是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，三角形的中位线，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．类型三、正方形5、（2016•日照）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是∠QED的平分线；（2）EF2=BE2+DF2．【思路点拨】（1）直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE（SAS），进而得出∠AEQ=∠AEF，即可得出答案；（2）利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案．【答案与解析】证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB=DF，AQ=AF，∠BAQ=∠DAF，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°，∴∠QAE=45°，∴∠QAE=∠FAE，在△AQE和△AFE中，∴△AQE≌△AFE（SAS），∴∠AEQ=∠AEF，∴EA是∠QED的平分线；（2）由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE=EF，在Rt△QBE中，QB2+BE2=QE2，则EF2=BE2+DF2．【总结升华】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，正确得出△AQE≌△AFE（SAS）是解题关键．举一反三：【变式】如图（1），正方形ABCD和正方形CEFG有一公共顶点C，且B、C、E在一直线上，连接BG、DE．（1）请你猜测BG、DE的位置关系和数量关系？并说明理由．（2）若正方形CEFG绕C点向顺时针方向旋转一个角度后，如图（2），BG和DE是否还存在上述关系？若存在，试说明理由；若不存在，也请你给出理由．【答案】解：(1)BG＝DE，BG⊥DE；理由是：延长BG交DE于点H，因为BC＝DC，CG ＝CE，∠BCG＝∠DCE所以△BCG ≌△DCE ，所以BG ＝DE ，∠GBC ＝∠CDE ．由于∠CDE ＋∠CED ＝90°，所以∠GBC ＋∠DEC ＝90°， 得∠BHE ＝90°．所以BG ⊥DE.(2)上述结论也存在．理由：设BG 交DE 于H ，BG 交DC 于K ，同理可证△BCG ≌△DCE ，得BG ＝ED ，∠KBC ＝∠KDH ．又因为∠KBC ＋∠BKC ＝90°，可得∠DKH ＋∠KDH ＝90°，从而得∠KHD ＝90°．所以BG ⊥DE.6、探究：如图①，在四边形ABCD 中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB ＝AD ，AE⊥CD 于点E ．若AE ＝10，求四边形ABCD 的面积．应用：如图②，在四边形ABCD 中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB ＝AD ，AE⊥BC 于点E ．若AE ＝19，BC ＝10，CD ＝6，则四边形ABCD 的面积为_______.【思路点拨】探究：过点A 作AF⊥CB，交CB 的延长线于点F ，先判定四边形AFCE 为矩形，根据矩形的四个角都是直角可得∠FAE＝90°，然后利用同角的余角相等求出∠FAB＝∠EAD，再利用“角角边”证明△AFB 和△AED 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE ＝AF ，从而得到四边形AFCE 是正方形，然后根据正方形的面积公式列计算即可得解；应用：过点A 作AF⊥CD 交CD 的延长线于F ，连接AC ，根据同角的补角相等可得∠ABC＝∠ADF，然后利用“角角边”证明△ABE 和△ADF 全等，根据全等三角形对应边相等可得AF ＝AE ，再根据ABC ACD ABCD S S S =+V V 四边形列式计算即可得解．【答案与解析】解:探究：如图①，过点A 作AF⊥CB，交CB 的延长线于点F ，∵AE⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形AFCE 为矩形，∴∠FAE＝90°，∴∠FAB＋∠BAE＝90°，∵∠EAD＋∠BAE＝90°，∴∠FAB＝∠EAD，∵在△AFB 和△AED 中，90FAB EAD F AED AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AFB≌△AED（AAS ），∴AF＝AE ，∴四边形AFCE 为正方形，∴AFCE ABCD S S =正方形四边形＝2210AE =＝100；应用：如图，过点A 作AF⊥CD 交CD 的延长线于F ，连接AC ，则∠ADF＋∠ADC＝180°，∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADF，∵在△ABE 和△ADF 中， 90ABC ADF AEB F AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADF（AAS ），∴AF＝AE ＝19，∴ABC ACD ABCD S S S =+V V 四边形 ＝12BC•AE＋12CD•AF ＝12×10×19＋12×6×19 ＝95＋57＝152．故答案为：152．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，（1）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键；（2）作辅助线构造出全等三角形并把四边形分成两个三角形是解题的关键．。
特殊的平行四边形复习总结课件
第一讲 特殊的平行四边形题型分类： 无星代表普通高中 ★重点高中 ★★三大名校知识点1、矩形1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.矩形的性质:矩形具有平行四边形的所有性质；(1)矩形的对边平行且相等； (2)矩形的四个角都相等，且都是直角； (3)矩形的对角线互相平分且相等.3.矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义)； (2)有三个角是直角的四边形是矩形； (3)对角线相等的平行四边形是矩形.4.面积公式： S=ab(a 、b 是矩形的边长).知识点二、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质：菱形具有平行四边形的所有性质； (1)菱形的对边平行，四条边都相等；(2)菱形的对角相等；(3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形的判定方法：(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义)；(2)四条边都相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.4.面积公式： S=ah(a 是平行四边形的边长，h 是这条边上的高)或s=mn(m 、n 是菱形的两条对角线长).知识点三、正方形1.正方形的定义：有一组邻边相等的矩形叫做正方形；或有一个角是直角的菱形叫做正方形.2.正方形的性质:正方形具有平等四边形、矩形、菱形的所有性质；(1)正方形的对边平行，四条边都相等；(2)正方形的四个角都是直角；(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角；3.正方形的判定方法：(1)有一组邻边相等的矩形是正方形；(2)有一个角是直角的菱形是正方形；(3)对角线相等的菱形是正方形；(4)对角线互相垂直的矩形是正方形.4.面积公式：S=a2(a是边长)或s=b2(b正方形的对角线长).知识点四、梯形1.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底.(2)不平行的两边叫做梯形的腰.(3)梯形的四个角都叫做底角.2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.3.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.4.等腰梯形的性质：(1)等腰梯形的两腰相等；(2)等腰梯形同一底上的两个底角相等. (3)等腰梯形的对角线相等.5. 等腰梯形的判定方法：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)；(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.6.梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.7.面积公式：S=(a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).例题1．（2007义乌）在下列命题中，正确的是（ ）A ．一组对边平行的四边形是平行四边形B ．有一个角是直角的四边形是矩形C ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形例题2．如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，AE ⊥BD 于E ，DE = EO ，OF ⊥AB 于F ，OF = 3cm ，则BD = ________cm ． 例题3．如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在F 处，BF 交AD 于点E ，若∠EBD = 25º，则∠FDE = ________．【变式1】（2007大连）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若OA ＝2，则BD 的长为（ ）。
第五章 特殊平行四边形总复习
如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C＝90°,BC=16, DC=12,AD＝21.动点P从点D出发,沿射线DA的方向以 每秒2个单位长的速度运动,动点Q从点C出发,在线段 CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动,点P,Q分别 从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止 运动.设运动的时间为t（秒） （1）当t＝2时，求△BPQ的面积；
平行 四边形
矩形
1、定义：有一角是直角的平行四边形 2、三个角是直角的四边形 3、对角线相等的平行四边形 1、定义：一组邻边相等的平行四边形 2、四条边都相等的四边形 3、对角线互相垂直的平行四边形 1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2、有一组邻边相等的矩形 3、有一个角是直角的菱形
C2
D
B1 C
B2
C1
如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个 等边三角形，即△ABD、△BCF、△ACE，请回答下 列问题，并说明理由.
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形. （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEFD是矩形? （3）当△ABC满足什么条件时，四边形AEFD是菱形? （4）当△ABC满足什么条件时，以A、E、F、D为顶点 F 的四边形不存在？
G
A
F
D
B
E
C
如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、 CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱 形，并说明理由。 AC＝BD 解：添加的条件是__________
A H D E G B F C
我想到：三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边 的一半.
A A1
D3
D2
C3
特殊的平行四边形专题复习
× 2、两条对角线相等的四边形是矩形。（ ）
3、一组邻边相等的矩形是正方形。 （ ）
×√ 4、对角线互相垂直的四边形是菱形。（ ）
5、菱形的对角线相等 。
（×）
6、矩形的对角线垂直。
× （ ）
1. 矩形、菱形、正方形的共同的性质是（ C ）
A. 对角线相等
B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分
矩形
菱形
正方形
第二部分
矩形
定义：
有一个角是直角的平行四 边形叫矩形
菱形
定义： 有一组邻边相等的 平行四边形叫菱形
定义： 一组邻边相等的矩形叫 正方形
正方形
1、几种特殊平行四边形的性质：
项目 四边形
边
角
对角线
矩形
四个角 平行且相等
都是直角
互相平分且相等
菱形
平行 且四边相等
对角相等 邻角互补
互相垂直平分，且每 一条对角线平分一组 对角
正方形
平行 且四边相等
四个角 都是直角
互相垂直平分且相等， 每一条对角线平分一 组对角
2、几种特殊平行四边形的常用判定方法：
四边形
条件
矩形
1、定义：有一个角是直角的平行四边形 2、三个角是直角的四边形 3、对角线相等的平行四边形
菱形 正方形
1、定义：一组邻边相等的平行四边形 2、四条边都相等的四边形 3、对角线互相垂直的平行四边形
面积是 ＿1＿2 .
C
如图,在正方形ABCD外作一个等边三 D 角形ABE,
A E
则∠AED=＿1＿5 °.
C
B
1.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过
第08讲特殊平行四边形单元整体分类总复习(原卷版)
第08讲特殊平行四边形章节分类总复习考点一矩形的判定与性质【知识点睛】❖矩形的判定方法：①有一个角是直角的平行四边形是矩形; ②有三个角是直角的四边形是矩形;③四个角都相等的四边形是矩形; ④对角线相等的平行四边形是矩形;⑤对角线相等且互相平分的四边形是矩形.❖矩形的性质①矩形的对边平行且相等; ②矩形的四个角都是直角;③矩形的对角线相等且互相平分; ④矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
【类题训练】1．如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝124°，则∠CDE 的度数为（）A．62°B．56°C．28°D．30°2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且，连接EF．若AC＝10，则EF的长为（）A．B．3C．4D．53．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，则DE的长为（）A．2﹣2B．﹣1C．﹣1D．24．如图，矩形ABCD和矩形BDEF，点A在EF边上，设矩形ABCD和矩形BDEF的面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＝S2B．S1＞S2 C．S1＜S2D．3S1＝2S25．如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（）A．MB＝MO B．OM＝AC C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND6．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3B．C．D．47．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连结CP、QD，则PC+QD的最小值为（）A．22B．24C．25D．268．如图，在▱ABCD中，下列条件①AC＝BD；②∠1+∠3＝90°；③OB＝AC；④∠1＝∠2，能判断▱ABCD是矩形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（）A．B．C．D．10．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（）A．（3，1）或（3，3）B．（3，）或（3，3）C．（3，）或（3，1）D．（3，）或（3，1）或（3，3）11．如图所示，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为．12．矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点A是y轴正半轴上任意一点，点B在x轴正半轴上．连接OD．则OD的最大值是．13．如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE＝°．14．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是．17．矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝．18．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是．19．如图，在三角形ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN平行于BC，设MN交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于F．问：（1）求证：OE＝OF；（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．20．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．（1）求证：四边形ABDF是矩形；（2）若AD＝10，BD＝8，求△BCF的面积．考点二菱形的判定与性质【知识点睛】❖菱形的判定方法：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
初中八年级 平行四边形 拔高题 综合题 压轴题(含答案)
初中八年级平行四边形拔高题综合题压轴题(含答案)题目一已知平行四边形ABCD中，AB = 6cm，BC = 8cm，过点B作平行于AD的直线与AC交于点E，连接DE交BC的延长线于点F。
求EF的长度。
答案一连接DE并延长交BC于点G，根据平行四边形的性质，我们知道AG || DE。
所以AG || BF。
由此可得∆BFG与∆BCD为三角形对应边平行，则根据平行线截断比定理可知：$\frac{{BE}}{{BD}} = \frac{{FG}}{{GC}}$又已知$BE = BC + CE$，$CE = BD$，$BC = 8$，代入得：$\frac{{8+BD}}{{BD}} = \frac{{FG}}{{GC}}$整理可得：$\frac{{BD}}{{FG}} = \frac{{GC}}{{8+BD}}$ 由于$FG = GD$，所以：$\frac{{BD}}{{FG}} = \frac{{BD}}{{GD}} = 1$ 代入可得：$\frac{{1}}{{1}} = \frac{{GC}}{{8+BD}}$整理得：$BD = GC - 8$题目中已知BC=8，所以GC=16。
代入可得：$BD = 16 - 8 = 8$所以EF的长度等于BD，即EF=8cm。
题目二平行四边形PQRS中，已知PR = 5cm，PQ = 6cm，PS = 7cm。
点A在PS上，且PA的长度是PS的一半。
连接AQ并延长交QR 的延长线于点B，连接RP交QA的延长线于点C。
求BC的长度。
答案二设PS的长度为2x，则PA = x。
由平行四边形的性质可知AQ || RB，所以根据平行线截断比定理：$\frac{{RP}}{{PC}} = \frac{{AQ}}{{CQ}}$代入已知条件，得：$\frac{{2x + 6}}{{PC}} = \frac{{4}}{{2x - 6}}$ 整理可得：$(2x + 6)(2x - 6) = 4PC$解方程得：$x = 3$所以PA = 3cm。
数学八年级下《特殊平行四边形》复习课件 (定稿)
2.矩形的判定
例2.（2012青岛8分)如图，四边形ABCD的对角线AC、 BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是 AC的中点，又是EF的中点． (1)求证：△BOE≌△DOF；
1 (2)若OA＝ 2
BD，则四边
形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由．
练习．（2012吉林） 如图，在△ABC中，AB=AC， D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE， 连接AD，EC． （1）求证：△ADC≌△ECD； （2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩 形．
A D
P B E
F C
8、如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三
个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF.请回答下列 问题（不要求证明）： （1）四边形ADEF是什么四边形？ （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？ （3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点 的四边形不存在？ E F D
3.菱形的面积 例7：（2012沈阳）如图，菱形ABCD的边长为 8cm，∠A=60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC 于点F，则四边形BEDF的面积为 （ ）．
16 3
练习：（2012山西）如图，已 知菱形ABCD的对角线AC、 BD的长分别为6cm、8cm， AE⊥BC于点E，则AE的长 是（ ） 4.8
A D P Q B C
6、如图，已知矩形纸片ABCD中，AD＝9cm， AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么 折叠后DE的长和折痕EF的长分别是（ ）
A、4cm、 10 cm C、4cm、 2 3 cm
A E D
B、5cm、 10 cm D、5cm、 2 3 cm
B G
F
特殊平行四边形拔高复习
第一章特殊平行四边形拔高复习一特殊平行四边形知识汇总矩形1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2.性质：（1）矩形的四个角都是直角（2）矩形的对角线相等（3）具备平行四边形的性质3.判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）（2）对角线相等的平行四边形是矩形（3）有三个角是直角的四边形是矩形菱形1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.性质：（1）菱形的四条边都相等（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（3）具备平行四边形的性质3.判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（3）四边相等的四边形是菱形正方形1.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形2.性质：（1）边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直（2）内角：四个角都是90°；（3）对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；（4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）。
（5）形状：正方形也属于长方形的一种。
（6）正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。
3.判定：（1）对角线相等的菱形是正方形。
（2）有一个角为直角的菱形是正方形。
（3）对角线互相垂直的矩形是正方形。
（4）一组邻边相等的矩形是正方形。
（5）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
（6）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。
（7）对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。
（8）一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。
（9）既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
二专题整合与拔高专题一特殊四边形的综合应用1、（2013•白银）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF 和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．解答：解：（1）BD=CD．理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD；（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90°，∴▱AFBD是矩形．点评：本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．2、（13年山东青岛、21）已知：如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，E 、F 分别是线段BM 、CM 的中点（1）求证：△ABM ≌△DCM（2）判断四边形MENF 是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD ：AB=____________时，四边形MENF 是正方形（只写结论，不需证明）解析：（1）因为四边形ABCD 是矩形，所以，∠A ＝∠D ＝90°，AB ＝DC ，又MA ＝MD ，所以，△ABM ≌△DCM（2）四边形MENF 是菱形； 理由：因为CE ＝EM ，CN ＝NB ，所以，FN ∥MB ，同理可得：EN ∥MC ，所以，四边形MENF 为平行四边形， 又△ABM ≌△DCM（3）2：13.（2012珠海，18，7分）如图，把正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到正方形A ’B ’CD ’（此时，点B ’落在对角线AC 上，点A ’落在CD 的延长线上），A ’B ’交AD 于点E ，连结AA ’、CE.求证：（1）△ADA ’ ≌△CDE ；（2）直线CE 是线段AA ’的垂直平分线.【解析】（1）由题设可得A D ＝DC, ∠ADA ′＝∠CDE ＝90°, DA ′＝DE.∴△ADA ′≌△CDE.（2）证CE 是∠ACA ′的角平分线,由等腰三角形的“三线合一”可得CE 是线段AA ’的垂直平分线.【答案】（1）由正方形的性质及旋转,得A D ＝DC,∠ADC=90°,AC ＝A ′C,∠DA ′E ＝45°,∠ADA ′＝∠CDE ＝90°,∴∠DEA ′＝∠DA ′E ＝45°. ∴DA ′＝DE. A DM EN F∴△ADA ′≌△CDE.（2）由正方形的性质及旋转,得CD ＝CB ′, ∠CB ′E ＝∠CDE ＝90°,CE ＝CE,∴Rt △CB ′E ≌Rt △CDE.∵AC ＝A ′C,∴直线CE 是线段AA ’的垂直平分线.【点评】本题要求综合应用正方形的性质,旋转变换,三角形全等的判定,等腰三角形的“三线合一”, 线段垂直平分线的判定等知识解决问题,是一道证线段垂直平分线的典型范例.第18题图E D'A'B'AD CB专题二构造特殊四边形解决问题1.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形对角线交于点O ，连接OC ，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC 的长为 7 ．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 专题：计算题；压轴题． 分析： 过O 作OF 垂直于BC ，再过A 作AM 垂直于OF ，由四边形ABDE 为正方形，得到OA=OB ，∠AOB为直角，可得出两个角互余，再由AM 垂直于MO ，得到△AOM 为直角三角形，其两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直角相等，OA=OB ，利用AAS 可得出△AOM 与△BOF 全等，由全等三角形的对应边相等可得出AM=OF ，OM=FB ，由三个角为直角的四边形为矩形得到ACFM 为矩形，根据矩形的对边相等可得出AC=MF ，AM=CF ，等量代换可得出CF=OF ，即△COF 为等腰直角三角形，由斜边OC 的长，利用勾股定理求出OF 与CF 的长，根据OF ﹣MF 求出OM 的长，即为FB 的长，由CF+FB 即可求出BC 的长．解答： 解法一：如图1所示，过O 作OF ⊥BC ，过A 作AM ⊥OF ，∵四边形ABDE 为正方形， ∴∠AOB=90°，OA=OB ，∴∠AOM+∠BOF=90°，又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，∴∠BOF=∠OAM ，在△AOM 和△BOF 中，，∴△AOM ≌△BOF （AAS ），∴AM=OF ，OM=FB ，又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四边形ACFM 为矩形，∴AM=CF，AC=MF=5，∴OF=CF，∴△OCF为等腰直角三角形，∵OC=6，∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，解得：CF=OF=6，∴FB=OM=OF﹣FM=6﹣5=1，则BC=CF+BF=6+1=7．故答案为：7．解法二：如图2所示，过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．易证△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=NB．∴O点在∠ACB的平分线上，∴△OCM为等腰直角三角形．∵OC=6，∴CM=ON=6．∴MA=CM﹣AC=6﹣5=1，∴BC=CN+NB=6+1=7．故答案为：7．2、（2013聊城）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．考点：全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质．专题：证明题．分析：过点B作BF⊥CE于F，根据同角的余角相等求出∠BCF=∠D，再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE，再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF，从而得证，解答：证明：如图，过点B作BF⊥CE于F，∵CE⊥AD，∴∠D+∠DCE=90°，∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠DCE=90°，∴∠BCF=∠D，在△BCF和△CDE中，，∴△BCF≌△CDE（AAS），∴BF=CE，又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE，∴四边形AEFB是矩形，∴AE=BF，∴AE=CE．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，难度中等，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键．专题三特殊四边形中的动态与变换1、（2013•内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=5．考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．分析：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出OC、OB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．解答：解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ=BC，∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3，BO=BD=4，在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，故答案为：5．点评：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．2.（2014•襄阳，第12题3分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质分析：求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根据翻折的性质求出∠BEF=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE，判断出①正确；利用30°角的正切值求出PF=PE，判断出②错误；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出③错误；求出∠PBF=∠PFB=60°，然后得到△PBF是等边三角形，判断出④正确．解答：解：∵AE=AB，∴BE=2AE，由翻折的性质得，PE=BE，∴∠APE=30°，∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=（180°﹣∠AEP）=（180°﹣60°）=60°，∴∠EFB=90°﹣60°=30°，∴EF=2BE，故①正确；∵BE=PE，∴EF=2PE，∵EF＞PF，∴PF＞2PE，故②错误；由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°，∴BE=2EQ，EF=2BE，∴FQ=3EQ，故③错误；由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°，∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°，∴△PBF是等边三角形，故④正确；综上所述，结论正确的是①④．故选D．点评：本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的关键．3. （2014•扬州，第23题，10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DF、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．（第5题图）考点：旋转的性质；正方形的判定；平移的性质分析：（1）根据旋转和平移可得∠DEB=∠ACB，∠GFE=∠A，再根据∠ABC=90°可得∠A+∠ACB=90°，进而得到∠DEB+∠GFE=90°，从而得到DE、FG的位置关系是垂直；（2）根据旋转和平移找出对应线段和角，然后再证明是矩形，后根据邻边相等可得四边形CBEG是正方形．解答：（1）解：FG⊥E D．理由如下：∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，∴∠DEB=∠ACB，∵把△ABC沿射线平移至△FEG，∴∠GFE=∠A，∵∠ABC=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠DEB+∠GFE=90°，∴∠FHE=90°，∴FG⊥ED；（2）证明：根据旋转和平移可得∠GEF=90°，∠CBE=90°，CG∥EB，CB=BE，∵CG∥EB，∴∠BCG+∠CBE=90°，∴∠BCG=90°，∴四边形BCGE是矩形，∵CB=BE，∴四边形CBEG是正方形．点评： 此题主要考查了图形的旋转和平移，关键是掌握新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．4.（2012河南省）18.（9分）如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠DAB =60°，点E 是AD 边的中点，点M 是AB 边上一动点（不与点A 重合），延长ME 交射线CD 于点N ，连接MD 、AN 。
《特殊平行四边形》全章复习与巩固(提高)知识讲解
《特殊平行四边形》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 理解矩形、菱形的概念，探索并证明矩形、菱形的性质定理，以及它们的判定定理.2. 理解正方形的概念，探索并掌握正方形的对称性及其他有关性质，以及一个四边形是正方形的条件.3.会初步综合应用特殊平行四边形的知识，解决一些简单的实际问题. 【知识网络】【要点梳理】 要点一、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：宽＝长矩形 S４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 要点二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形.要点三、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】 类型一、矩形1、（青山区期中）如图1，已知AB∥CD，AB=CD ，∠A=∠D． （1）求证：四边形ABCD 为矩形；（2）E 是AB 边的中点，F 为AD 边上一点，∠DFC=2∠BCE． ①如图2，若F 为AD 中点，DF=1.6，求CF 的长度：②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC= ，AF= ．【答案与解析】（1）证明：∵AB∥CD，AB=CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∵∠A=∠D，∠A+∠D=180°， ∴∠A=90°，∴四边形ABCD 为矩形；（2）解：①延长DA，CE交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠B=90°，AD∥BC，∴∠GAE=90°，∠G=∠ECB，∵E是AB边的中点，∴AE=BE，在△AGE和△BCE中，，∴△AGE≌△BCE（AAS），∴AG=BC，∵DF=1.6，F为AD中点，∴BC=3.2，∴AG=BC=3.2，∴FG=3.2+1.6=4.8，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠BCF，∵∠DFC=2∠BCE，∴∠BCE=∠FCE，∵AD∥BC，∴∠BCE=∠G，∴CF=FG=4.8；②若CE=4，CF=5，由①得：AG=BC，CF=FG，GE=CE=4，AG=AD，∴CG=8，AF+BC=AF+AG=FG=CF=5；故答案为：5；设DF=x，根据勾股定理得：CD2=CF2﹣DF2=CG2﹣DG2，即52﹣x2=82﹣（5+x）2，解得：x=，∴DG=5+=，∴AD=DG=，∴AF=AD﹣DF=；故答案为：．．【总结升华】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理的运用；本题有一定难度.举一反三：【变式】如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．（1）四边形DEFG是什么四边形，请说明理由；（2）若四边形DEFG是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．【答案】解：（1）四边形DEFG是平行四边形．理由如下：∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG是△ABC的中位线；∴DG∥BC，且DG＝12 BC；同理可证：EF∥BC，且EF＝12 BC；∴DG∥EF，且DG＝EF；故四边形DEFG是平行四边形；（2）O在BC边的高上且A和垂足除外．理由如下：连接OA；同（1）可证：DE∥OA∥FG；∵四边形DEFG是矩形，∴DG⊥DE；∴OA⊥BC；即O点在BC边的高上且A和垂足除外．2、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4．过点A作AE⊥AB且AB＝AE，过点E分别作EF⊥AC，ED⊥BC，分别交AC和BC的延长线与点F，D．若FC＝5，求四边形ABDE的周长．【思路点拨】首先证明△ABC≌△EAF，即可得出BC＝AF，AC＝EF，再利用勾股定理得出AB 的长，进而得出四边形EFCD是矩形，求出四边形ABDE的周长即可．【答案与解析】解：∵∠ACB＝90°，AE⊥AB，∴∠1＋∠B＝∠1＋∠2＝90°．∴∠B＝∠2． ∵EF⊥AC，∴∠4＝∠5＝90°． ∴∠3＝∠4．在△ABC 和△EAF 中，∵342B AB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，， ∴△ABC≌△EAF（AAS ）． ∴BC＝AF ，AC ＝EF ． ∵BC＝4， ∴AF＝4． ∵FC＝5， ∴AC＝EF ＝9．在Rt△ABC 中，AB ＝22224997CB AC +=+=. ∴AE＝97．∵ED⊥BC，∴∠7＝∠6＝∠5＝90°． ∴四边形EFCD 是矩形． ∴CD＝EF ＝9，ED ＝FC ＝5．∴四边形ABDE 的周长＝AB ＋BD ＋DE ＋EA ＝97＋4＋9＋5＋97＝18＋297． 【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股定理等知识，根据已知得出AC ＝EF ＝9是解题关键．举一反三： 【变式】（杭州模拟）如图，平行四边形ABCD 中，AC=6，BD=8，点P 从点A 出发以每秒1cm 的速度沿射线AC 移动，点Q 从点C 出发以每秒1cm 的速度沿射线CA 移动． （1）经过几秒，以P ，Q ，B ，D 为顶点的四边形为矩形？ （2）若BC⊥AC 垂足为C ，求（1）中矩形边BQ 的长．【答案】解：（1）当时间t=7秒时，四边形BPDQ 为矩形．理由如下：当t=7秒时，PA=QC=7， ∵AC=6， ∴CP=AQ=1∴PQ=BD=8∵四边形ABCD为平行四边形，BD=8∴AO=CO=3∴BO=DO=4∴OQ=OP=4∴四边形BPDQ为平形四边形，∵PQ=BD=8∴四边形BPDQ为矩形；（2）由（1）得BO=4，CQ=7，∵BC⊥AC∴∠BCA=90°BC2+CQ2=BQ2∴BQ=．类型二、菱形3、如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5．对角线AC，BD 相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．【思路点拨】（1）当旋转角为90°时，∠AOF＝90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF为平行四边形；（2）证明△AOF≌△COE即可；（3）当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，又由AB⊥AC，AB＝1，BC5OA＝AB，即可得∠AOB＝45°，求得∠AOF＝45°，则可得此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为45°．【答案与解析】（1）证明：当∠AOF＝90°时，AB∥EF，又AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形．（2）证明：四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO，∠FAO＝∠ECO，∠AOF＝∠COE.∴△AOF≌△COE∴AF＝CE（3）四边形BEDF可以是菱形．理由：如图，连接BF，DE，由（2）知△AOF≌△COE，得OE＝OF，∴EF与BD互相平分．∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．AC=-=，在Rt△ABC中，512∴OA＝1＝AB，又AB⊥AC，∴∠AOB＝45°，∴∠AOF＝45°，∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．【总结升华】要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.举一反三：【变式】已知:如图所示，BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，交BC于点F.求证:四边形BFDE是菱形.【答案】证明：∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∠EBD＝∠EDB.又∵∠EBD＝∠FBD，∴∠FBD＝∠EDB，ED∥BF. 同理，DF∥BE，∴四边形BFDE是平行四边形.又∵EB＝ED，∴四边形BFDE是菱形.4、在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AB，点E、F分别是OA、BC的中点．连接BE、EF．（1）求证：EF＝BF；（2）在上述条件下，若AC＝BD，G是BD上一点，且BG：GD＝3：1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．【思路点拨】（1）根据平行四边形性质推出BD＝2BO，推出AB＝BO，根据三线合一定理得出BE⊥AC，在△BEC中，根据直角三角形斜边上中线性质求出EF＝BF＝CF即可；（2）根据矩形性质和已知求出G为OD中点，根据三角形中位线求出EG∥AD，EG＝12 BC，求出EG∥BC，EG＝12BC，求出BF＝EG，BF∥EG，EG＝GF，得出平行四边形，根据菱形的判定推出即可．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BD＝2BO，∵BD＝2AB，∴AB＝BO，∵E为OA中点，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∵F为BC中点，∴EF＝BF＝CF，即EF＝BF；（2）四边形EBFG是菱形，证明：连接CG，∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2BO＝2OD，∴BD＝2AB＝2CD，∴OC＝CD，∵BG：GD＝3：1，OB＝OD，∴G为OD中点，∴CG⊥OD（三线合一定理），即∠CGB＝90°，∵F为BC中点，∴GF＝12BC＝12AD，∵E为OA中点，G为OD中点，∴EG∥AD，EG＝12 AD，∴EG∥BC，EG＝12 BC，∵F为BC中点，∴BF＝12BC，EG＝GF，即EG∥BF，EG＝BF，∴四边形EBFG是平行四边形，∵EG＝GF，∴平行四边形EBFG是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，三角形的中位线，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．类型三、正方形5、（日照）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是∠QED的平分线；（2）EF2=BE2+DF2．【思路点拨】（1）直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE（SAS），进而得出∠AEQ=∠AEF，即可得出答案；（2）利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案．【答案与解析】证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB=DF，AQ=AF，∠BAQ=∠DAF，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°，∴∠QAE=45°，∴∠QAE=∠FAE，在△AQE和△AFE中，∴△AQE≌△AFE（SAS），∴∠AEQ=∠AEF，∴EA是∠QED的平分线；（2）由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE=EF，在Rt△QBE中，QB2+BE2=QE2，则EF2=BE2+DF2．【总结升华】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，正确得出△AQE≌△AFE（SAS）是解题关键．举一反三：【变式】如图（1），正方形ABCD和正方形CEFG有一公共顶点C，且B、C、E在一直线上，连接BG、DE．（1）请你猜测BG、DE的位置关系和数量关系？并说明理由．（2）若正方形CEFG绕C点向顺时针方向旋转一个角度后，如图（2），BG和DE是否还存在上述关系？若存在，试说明理由；若不存在，也请你给出理由．【答案】解：(1)BG＝DE，BG⊥DE；理由是：延长BG交DE于点H，因为BC＝DC，CG ＝CE，∠BCG＝∠DCE所以△BCG ≌△DCE ，所以BG ＝DE ，∠GBC ＝∠CDE ． 由于∠CDE ＋∠CED ＝90°，所以∠GBC ＋∠DEC ＝90°， 得∠BHE ＝90°． 所以BG ⊥DE.(2)上述结论也存在．理由：设BG 交DE 于H ，BG 交DC 于K ， 同理可证△BCG ≌△DCE ， 得BG ＝ED ，∠KBC ＝∠KDH ． 又因为∠KBC ＋∠BKC ＝90°，可得∠DKH ＋∠KDH ＝90°，从而得∠KHD ＝90°． 所以BG ⊥DE.6、探究：如图①，在四边形ABCD 中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB ＝AD ，AE⊥CD 于点E ．若AE ＝10，求四边形ABCD 的面积．应用：如图②，在四边形ABCD 中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB ＝AD ，AE⊥BC 于点E ．若AE ＝19，BC ＝10，CD ＝6，则四边形ABCD 的面积为_______.【思路点拨】探究：过点A 作AF⊥CB，交CB 的延长线于点F ，先判定四边形AFCE 为矩形，根据矩形的四个角都是直角可得∠FAE＝90°，然后利用同角的余角相等求出∠FAB＝∠EAD，再利用“角角边”证明△AFB 和△AED 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE ＝AF ，从而得到四边形AFCE 是正方形，然后根据正方形的面积公式列计算即可得解； 应用：过点A 作AF⊥CD 交CD 的延长线于F ，连接AC ，根据同角的补角相等可得∠ABC＝∠ADF，然后利用“角角边”证明△ABE 和△ADF 全等，根据全等三角形对应边相等可得AF ＝AE ，再根据ABCACDABCD S SS=+四边形列式计算即可得解．【答案与解析】解:探究：如图①，过点A 作AF⊥CB，交CB 的延长线于点F ， ∵AE⊥CD，∠BCD＝90°， ∴四边形AFCE 为矩形， ∴∠FAE＝90°，∴∠FAB＋∠BAE＝90°， ∵∠EAD＋∠BAE＝90°， ∴∠FAB＝∠EAD，∵在△AFB 和△AED 中，90FAB EAD F AED AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△AFB≌△AED（AAS ）， ∴AF＝AE ，∴四边形AFCE 为正方形，∴AFCE ABCD S S =正方形四边形＝2210AE =＝100；应用：如图，过点A 作AF⊥CD 交CD 的延长线于F ，连接AC ， 则∠ADF＋∠ADC＝180°， ∵∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝∠ADF，∵在△ABE 和△ADF 中，90ABC ADF AEB F AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△ABE≌△ADF（AAS ）， ∴AF＝AE ＝19， ∴ABCACDABCD S S S=+四边形＝12BC•AE＋12CD•AF ＝12×10×19＋12×6×19 ＝95＋57 ＝152．故答案为：152．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，（1）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键；（2）作辅助线构造出全等三角形并把四边形分成两个三角形是解题的关键． 【巩固练习】 一.选择题1. 如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形面积的( )A. B. C. D.2.下列说法中，正确的是（）A．同位角相等B．对角线相等的四边形是平行四边形C．四条边相等的四边形是菱形D．矩形的对角线一定互相垂直3.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是（）A．48 B．60 C．76 D．804. 如图，在矩形ABCD中，点P是BC边上的动点,点R是CD边上的定点。
特殊平行四边形复习课ppt课件
菱形的
四条边都相等.
1. 一组邻边相等的平行四边形
对角相等.
是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形
是菱形.
菱形两条对角线互相 3.四条边都相等的四边形是菱形.
垂直；且每条对角线
平分一组对角.
跟踪训练：
如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作 DP∥OC，且 DP=OC，连结CP
试判断四边形CODP的形状．
二、知识梳理 (正方形)
性质
判定
边
四条边都相等.
有一组邻边相等的矩形 是正方形.
角
四个角都是直角.
有一个角是直角的菱形 是正方形.
两条对角线相等且互相
对角线 垂直平分.每条对角线
平分一组对角.
①对角线相等的菱形是 正方形.
②对角线互相垂直的矩 形是正方形.
跟踪训练：
如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且 AE=BF=CM=DN，四边形EFMN是什么图形?证明你的结论.
矩形的四个角都是直角 矩形的两条对角线相等
对角线相等的平行四边形 是矩形
有三个角是直角的四边形是矩 形
跟踪训练：
Hale Waihona Puke 如图，平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别 是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的平分线，AQ与BN
交于P，CN与DQ交于M.
A
D
求证：四边形MNPQ是矩形．
N
P
M
中考链接：
结论：四边形CODP是菱形
证明： ∵ DP∥OC， DP=OC， ∴ 四边形CODP是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形 ， ∴CO=DO． ∴四边形CODP是菱形 ．
特殊平行四边形的复习
18.2特殊平行四边形复习(1)一、学习目标：1．进一步理解矩形、菱形、正方形的概念及其相互联系；2．掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定；3．会把各种平行四边形的相关知识进行结构化整理．二、学习重点：梳理特殊平行四边形的知识结构体系，根据具体问题情境，选择适当的知识进行推理计算，并解决问题．三、创设情境回顾知识本章学习了哪些特殊的四边形？是按照什么顺序学习这些四边形的？请说说这些四边形之间的关系．（一）、矩形的定义及性质1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2、性质：（1）矩形的对边平行且相等；（2）矩形矩的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等且互相平分．（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（5）矩形是轴对称图形，连接对边中点的直线是它的两条对称轴．3、判定：（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形．（二）菱形的定义及性质及判定1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、性质（1）菱形具有平行四边形的一切性质；（2）菱形的四条边都相等；（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形是轴对对称图形；也是中心对称图形；（5）菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半。
3、判定（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边都相等的四边形是菱形。
（三）正方形的定义及性质及判定1、定义：四个角都是直角，四条边都相等的四边形叫正方形．2、性质：正方形既是矩形又是菱形．（1）四个角都是直角，四条边都相等；（2）两组对边分别平行；（3）对角线互相平分，相等，互相垂直，每一条对角线平分一组对角。
3、判定：既是矩形又是菱形的四边形是正方形．如：矩形+一组邻边相等→正方形菱形+一个直角→正方形四、基础练习1、在图中的标号下面写出所有的判定定理：___________________________________________；___________________________________________；___________________________________________．平四边形菱形正方形①④？2、如果矩形的对角线长为13，一边长为5，则该矩形的周长是__________．3、已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______4、菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______。
北师大版数学九年级上册《特殊平行四边形》复习
教学内容特殊的四边形复习一、特殊的平行四边形总结1、特殊的平行四边形性质及判定矩形菱形正方形等腰梯形性质边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等两底平行，两腰相等角四个角都是直角对角相等四个角都是直角同一底上的两个底角相等对角线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角对角线相等判定·三个角是直角的四边形；·一个角是直角的平行四边形；·对角线相等的平行四边形·四边相等的四边形；·一组邻边相等的平行四边形；·对角线互相垂直的平行四边形·有一组邻边相等的矩形·有一个角是直角的菱形·两腰相等的梯形·同一底上两个底角相等的梯形·对角线相等的梯形2、几种特殊四边形的面积问题（1）设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab．（2）设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S菱形=ab．（3）设梯形ABCD的上底为a，下底为b，高为h，则S梯形=(a+b)h3、常用结论（1）直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半；（2）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（3）三角形的中线平行于底边，且等于底边的一半；（4）梯形的中位线，平行于上下底，且等于上底加下底的一半。
二、概念性题型1、下列说法中错误．．的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．一组对边平行的四边形是平行四边形2、下列命题正确的是（）A、同一边上两个角相等的梯形是等腰梯形B、一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形图形，请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是 ________________（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）. 三、求线段的长度例1：如图，矩形ABCD 的两个顶点B 和C 在直线上，AB=6，BC=8. 点P 是线段BC 上的一个动点，作PE ⊥OB ，PF ⊥OC. 则PE+PF ＝ .13、如图所示，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ） A. 2B. 3C. 4D. 514、如图，将一块边长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E ，使DE=5，折痕为PQ ，则PQ 的长为（ ）A ．15B ．14C ．13D ．1215、如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为对角线AC 上一点，且CP = 3，PE ⊥PB 交CD 于点E ，则PE =____________.例1图 13题图 14题图 15题图16、如图，□ABCD 中，点E 在AB 边上，将△EBC 沿CE 所在直线折叠，使点B 落在AD 边上的点B ′处，再将折叠后的图形打开，若△AB ′E 的周长为4cm ，△B ′DC 的周长为11cm ，则B ′D 的长为_________cm ．17、如图所示，矩形纸片ABCD 中，6AB cm =，8BC cm =，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，则AF 长为（ ） A 、258cm B 、254cm C 、252cm D 、8cm四、求角的度数EBCD APDAlE O FPBCA BCDB'E 16题图17题图第9题图HGF E DCBA例2：如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，CE=CF ，∠FDC=30°，求∠BEF 的度数．18、如图，在矩线ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，∠AOB=60°，AE 平分∠BAD ，AE 交BC 于E ．求∠BOE 的度数．五、求周长例3：如图，在△ACB 中，BD 、CE 是△ABC 的中线，BD 与CE 相交于O ，点F 、G 分别 是BO 、CO 的中点，连结AO ，若AO=6㎝，BC=8㎝，则四边形DEFG 的周长是（ ） A 、14㎝ B 、18㎝ C 、24㎝ D 、28cm19、如图，已知矩形ABCD 的对角线AC 的长为10cm ，连结各边中点E 、F 、G 、H 得四边形EFGH ，则四边形EFGH 的周长为（ ）A 、20cmB 、202cmC 、203cmD 、25cm20、如图，在周长为20cm 的平行四边形ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（ ）A ．4cm B.6cm C.8cm D.10cm21、如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AD ＞CD ，过点O 作OE ⊥BD 交AD 于E ，已知△ABE 的周长是a ，则平行四边形ABC D 的周长是_ ________。
特殊的平行四边形考点梳理与提升(含答案)
特殊的平行四边形考点梳理与提升考点一、正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定．1．下列命题是假命题的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．B．对角线互相垂直的矩形是正方形．C．对角线相等的菱形是正方形．D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形．【答案】D．2．已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【答案】B．【解析】试题分析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；故选B．3．如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）A．3.5 B．4 C．7 D．14【答案】A．【解析】试题分析：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=12AB=12×7=3.5．故选A．考点二、正方形、矩形、菱形的性质．4．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=12GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B．5．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A B．C．D【答案】B．6．如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为3cm，则对角线AC长和BD长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：2D．1：3【答案】D．【解析】试题分析：如图，设AC，BD相较于点O，∵菱形ABCD的周长为8cm，∴AB=BC=2cm，∵高AE长为3cm，∴BE==1（cm），∴CE=BE=1cm，∴AC=AB=2cm，∵OA=1cm，AC⊥BD，∴OB=3（cm），∴BD=2OB=cm，∴AC：BD=1：3．故选D．7.如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A．B．C．5 D．6【答案】C．8．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=53，且∠ECF=45°，则CF的长为（）A．103C D2B．5【答案】A．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质；4．综合题；5．压轴题．9．在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3、A 3B 3C 3D 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O =60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是（ ） A ．201421）（ B ．201521）（ C ．201533）（D ．201433）（【答案】D ．10．如图，已知E 、F 、G 、H 分别为菱形ABCD 四边的中点，AB =6cm ，∠ABC =60°，则四边形EFGH 的面积为 cm 2．【答案】．【解析】试题分析：连接AC，BD，相交于点O，如图所示，∵E、F、G、H分别是菱形四边上的中点，∴EH=12BD=FG，EH∥BD∥FG，EF=12AC=HG，∴四边形EHGF是平行四边形，∵菱形ABCD中，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴AO=12AB=3，∴AC=6，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB=，∴BD=，∵EH=12BD，EF=12AC，∴EH=EF=3，∴矩形EFGH的面积=EF•FG=cm2．故答案为：11．菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P 是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．【答案】（3-，2-）．的交点，∴点P的坐标为方程组(11y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+-⎩的解，解方程组得：32x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以点P的坐标为（3，2-），故答案为：（3-，2）．12．菱形ABCD 在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0），动点P 从点A 出发，沿A →B →C →D →A →B →…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P 的坐标为 ．【答案】（0.5，．13．如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ．【答案】8．【解析】试题分析：∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，∴∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，∵∠CAE=15°，∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°．∵在Rt△ADE 中，∠ADE=90°，∠E=30°，∴AE=2AD=8．故答案为：8．考点：1．含30度角的直角三角形；2．正方形的性质．14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．【答案】45°．考点三：1．特殊的平行四边形与全等三角形的综合问题(含勾股定理、数量规律问题)．15．如图，已知正方形ABCD 边长为3，点E 在AB 边上且BE =1，点P ，Q 分别是边BC ，CD 的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ 的周长取最小值时，四边形AEPQ 的面积是 ．【答案】92． 【解析】试题分析：如图1所示，作E 关于BC 的对称点E ′，点A 关于DC 的对称点A ′，连接A ′E ′，四边形AEPQ 的周长最小，∵AD =A ′D =3，BE =BE ′=1，∴AA ′=6，AE ′=4．∵DQ ∥AE ′，D 是AA ′的中点，∴DQ 是△AA ′E ′的中位线，∴DQ =12AE ′=2；CQ =DC ﹣CQ =3﹣2=1，∵BP ∥AA ′，∴△BE ′P ∽△AE ′A ′，∴'''BP BE AA AE =，即164BP =，BP =32，CP =BC ﹣BP =332-=32，S 四边形AEPQ =S 正方形ABCD ﹣S △ADQ ﹣S △PCQ ﹣SBEP =9﹣12AD •DQ ﹣12CQ •CP ﹣12BE •BP =9﹣12×3×2﹣12×1×32﹣12×1×32=92，故答案为：92．16．在直角坐标系中，直线1y x =+与y 轴交于点A ，按如图方式作正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 1C 2…，A 1、A 2、A 3…在直线1y x =+上，点C 1、C 2、C 3…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为1S 、2S 、3S 、…n S ，则n S 的值为（用含n的代数式表示，n为正整数）．【答案】232n-．故答案为：232n-．17．如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3D4，…，依此规律，则A2014A2015= ．【答案】2014．18．如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2．【解析】19．如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE．（1）求证：AG=CE；（2）求证：AG⊥CE．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．【解析】试题分析：（1）由ABCD、BEFG均为正方形，得出AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，得出∠ABG=∠CBE，从而得到△ABG≌△CBE，即可得到结论；（2）由△ABG≌△CBE，得出∠BAG=∠BCE，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角∠AMB=∠CMN，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可．试题解析：（1）∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，∴AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，∴∠ABG=∠CBE，在△ABG和△CBE中，∵AB=CB，∠ABG=∠CBE，BG=BE，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴AG=CE；（2）如图所示：∵△ABG≌△CBE，∴∠BAG=∠BCE，∵∠ABC=90°，∴∠BAG+∠AMB=90°，∵∠AMB=∠CMN，∴∠BCE+∠CMN=90°，∴∠CNM=90°，∴AG⊥CE．20．已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．①求EFAK的值；②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．【答案】（1）①32；②3(8)2S x x=-，S的最大值是24；（2）245或24049．试题解析：（1）①∵EF∥BC，∴AK EFAD BC=，∴EF BCAK AD==128=32，即EFAK的值是32；21．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P A=PE，PE交CD于F．（1）PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°；（3）AP=CE．【解析】试题分析：（1）先证出△ABP≌△CBP，得到P A=PC，由P A=PE，得到PC=PE；（2）由△ABP≌△CBP，得到∠BAP=∠BCP，进而得到∠DAP=∠DCP，由P A=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．22.如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，AE，则MF的长是（）A B C．1 D．【答案】D．23．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④【答案】D．【解析】试题分析：∵AE=13AB，∴BE=2AE．由翻折的性质得，PE=BE，∴∠APE=30°．∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=12（180°﹣∠AEP）=12（180°﹣60°）=60°．∴∠EFB=90°﹣60°=30°．∴EF=2BE．故①正确．∵BE=PE，∴EF=2PE．∵EF＞PF，∴PF＞2PE．故②错误．由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°．∴BE=2EQ，EF=2BE．∴FQ=3EQ．故③错误．由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°．∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°．∴△PBF是等边三角形．故④正确；综上所述，结论正确的是①④．故选D．24．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）GE=BE+GD成立，理由见解析．【解析】试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．试题解析：（1）在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF （SAS）．∴CE=CF．（2）GE=BE+GD成立．理由是：考点四：翻折变换与坐标计算．25．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB 1E ，则△AB 1E 与四边形AECD 重叠部分的面积为（ ）A ．0.7B ．0.9C ．−2 D【答案】C ． 【解析】试题分析：如图，∵∠B =45°，AE ⊥BC ，∴∠BAE =∠B =45°，∴AE =BE ，由勾股定理得：BE 2+AE 2=22，解得：BE=，由题意得：△ABE ≌△AB 1E ，∴∠BAB 1=2∠BAE =90°，BE =B 1E，∴BBB 1C-2，∵四边形ABCD 为菱形，∴∠FCB 1=∠B =45°，∠CFB 1=∠BAB 1=90°，∴∠CB 1F =45°，CF =B 1F ，∵CF ∥AB ，∴△CFB 1∽△BAB 1，∴11B C CF AB BB =，解得：CF，∴△AEB 1、△CFB 1的面积分别为：112=，21(232⨯=-，∴△AB 1E 与四边形AECD 重叠部分的面积=1(32--=．故选C ．26．如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标系原点，顶点A 在x 轴上，∠B =120°，OA =2，将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转105°至OA ′B ′C ′的位置，则点B ′的坐标为（ ）A．（）B．，）C．（2，-2）D．【答案】B．27．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④ 【答案】D ．综上所述，结论正确的是①④．故选D ．28．如图，在矩形ABCD 中，AB ，AD =1，把该矩形绕点A 顺时针旋转α度得矩形AB ′C ′D ′，点C ′落在AB 的延长线上，则图中阴影部分的面积是 ．4π．29．如图，在矩形ABCD中，AB=3，⊙O与边BC，CD相切，现有一条过点B的直线与⊙O 相切于点E，连接BE，△ABE恰为等边三角形，则⊙O的半径为．【答案】．【解析】试题分析：过O点作GH⊥BC于G，交BE于H，连接OB、OE，∴G是BC的切点，OE⊥BH，∴BG=BE，∵△ABE为等边三角形，∴BE=AB=3，∴BG=BE=3，∵∠HBG=30°，∴GH，BH OG=OE=x，则EH，OH-x，在RT△OEH中，EH2+OE2=OH2，即（-3）2+x2=x）2，解得x，∴⊙O的半径为．故答案为：．30．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．．31．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．【答案】（1）FG⊥E D．理由见解析；（2）证明见解析．【解析】32．如图，已知点E，F分别是□ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．【答案】（1）见解析（2【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质和菱形的性质即可判定四边形AECF是菱形；（2）连接EF交于点O，运用解直角三角形的知识点，可以求得AC与EF的长，再利用菱形的面积公式即可求得菱形AECF的面积．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=B C．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC边的中点，∴AE=CE=12B C．同理，AF=CF=12A D．∴AF=CE．∴四边形AECF是平行四边形．∴平行四边形AECF是菱形．考点五、特殊四边形中的复杂问题含相似三角形、解一元二次方程、分类讨论、在型与探究)．33．如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞O B．(提示:sinθ表示以角θ为锐角的直角三角形的对边比斜边.)（1）求sin∠ABC的值；（2）若E为x轴上的点，且S△AOE=163，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）45．（2）△AOE∽△DAO．（3）F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．【解析】试题分析：（1）求得一元二次方程的两个根后，判断出OA、OB长度，根据勾股定理求得AB长，那么就能求得sin∠ABC的值；（2）易得到点D 的坐标为（6，4），还需求得点E 的坐标，OA 之间的距离是一定的，那么点E 的坐标可能在点O 的左边，也有可能在点O 的右边．根据所给的面积可求得点E 的坐标，把A 、E 代入一次函数解析式即可．然后看所求的两个三角形的对应边是否成比例，成比例就是相似三角形；（3）根据菱形的性质，分AC 与AF 是邻边并且点F 在射线AB 上与射线BA 上两种情况，以及AC 与AF 分别是对角线的情况分别进行求解计算．试题解析：（1）解x 2-7x +12=0，得x 1=4，x 2=3．∵OA ＞OB ，∴OA =4，OB =3．在Rt △AOB中，由勾股定理有AB 5=，∴sin ∠ABC =54OA AB =；（3）根据计算的数据，OB =OC =3，∴AO 平分∠BAC ，①AC 、AF 是邻边，点F 在射线AB 上时，AF =AC =5，所以点F 与B 重合，即F （-3，0）；②AC 、AF 是邻边，点F 在射线BA 上时，M 应在直线AD 上，且FC 垂直平分AM ，点F （3，8）；③AC 是对角线时，做AC 垂直平分线L ，AC 解析式为y =-43x +4，直线L 过（32，2），且k 值为34（平面内互相垂直的两条直线k 值乘积为-1），L 解析式为y =34x +78，联立直线L 与直线AB 求交点， ∴F （4751-，722-）； ④AF 是对角线时，过C 做AB 垂线，垂足为N ，根据等积法求出CN =245，勾股定理得出，AN =75，做A 关于N 的对称点即为F ，AF =145，过F 做y 轴垂线，垂足为G ，FG =145×35=4225，∴F （-4225，4425）．综上所述，满足条件的点有四个：F 1（3，8）；F 2（-3，0）；F 3（4751-，722-），F 4（-4225，4425）． 34．如图，已知正方形ABCD ，E 是AB 延长线上一点，F 是DC 延长线上一点，连接BF 、EF ，恰有BF =EF ，将线段EF 绕点F 顺时针旋转90°得FG ，过点B 作EF 的垂线，交EF 于点M ，交DA 的延长线于点N ，连接NG ．（1）求证：BE =2CF ；（2）试猜想四边形BFGN 是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明． 【答案】（1）证明见解析．（2）四边形BFGN 为菱形，证明见解析．（2）解：四边形BFGN 为菱形，证明如下：35．如图，在菱形ABCD 中，AB =1，∠DAB =60°，把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到菱形AB ′C ′D ′，其中点C 的运动路径为 CC'，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】342π+-． 【解析】试题分析：连接CD ′和BC ′，∵∠DAB =60°，∴∠DAC =∠CAB =30°，∵∠C ′AB ′=30°，∴A 、D ′、C 及A 、B 、C ′分别共线∴AC ，∴扇形ACC ′4π=．∵AC =AC ′，AD′=AB，∴在△OCD′和△OC'B中，CD BCACO AC DCOD C OB''=⎧⎪''∠=∠⎨⎪''∠=∠⎩，∴△OCD′≌△OC′B（AAS），∴OB=OD′，CO=C′O．∵∠CBC′=60°，∠BC′O=30°，∴∠COD′=90°．∵CD′=AC-AD-1，OB+C′O=1，∴在Rt△BOC′中，BO2+（1-BO）2=-1）2，解得BO12-，32C O'=，∴。
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(1)四边形ABCD
是平行四边形
B
30°
30° D
吗？说出你的
结论和理由．
C
如图1
活动三 例题讲解
(2)如图，将Rt△BCD沿射线BD方向平移 到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平 行四边形吗？说出你的结论和理由．
A
B
30°
B1
D
30°
D1
C C1
活动三 例题讲解
(3)在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程 中，当点B的移动距离为___33___时，四 边形ABC1D1为矩形A ，请说明理由；
活动二 知识归纳
（2）特殊平行四边形的性质
边
角
对角线 对称性
具有平行四
矩 形 边形的一般
性质
四个角都 是直角
两条对角 线相等
是轴对称图 形，有2条 对称轴
菱形
四条边 都相等
具有平行四 边形的一般 性质
互相垂直，每 条对角线平分 一组对角
是轴对称图 形，有2条 对称轴
具有矩形和菱形的所有性质 四条边
正方形
1、有一组邻边相等的矩形是正方形 2、有一个角是直角的菱形是正方形
活动三 例题讲解
例1 如图，在矩形ABCD中，对角线BD的 垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交 于点N，连接BM，DN． （1）求证：四边形BMDN是菱形； （2）若AB=4，AD=8，求MD的长．
活动三 例题讲解
例2 将两块全等的含30°角的三角尺如图1 摆放在一起，设较短直角边为1．
B
30°
B1
1
D
30°
D1
C C1
活动三 例题讲解
(3)在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程 中，当点B的移动距离为____3 __时，四 边形ABC1D1为菱形A ，请说明理由；
特殊平行四边形综合复习PPT课件
B. 对角线互相平分
选择题与解析
C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等且互相平分
解析：平行四边形的性质包括对角线互相平分，因此选项B正确。
选择题与解析
选择题2：下列命题 中，真命题是 ( )
B. 对角线互相垂直的 平行四边形是正方形
四边相等的四边形是菱形
如果一个四边形的四条边长度都相等，则该四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
在平行四边形中，如果两条对角线互相垂直且相交于中点，则该平行四边形是菱形。
两条对角线分别平分两组对角的四边形是菱形
如果一个四边形的两条对角线分别平分两组对角，则该四边形是菱形。
正方形判定方法
既是矩形又是菱形的四边形是正方形
工程领域应用
机械工程
汽车工程
在机械设计中，特殊平行四边形可用 于机构的设计，实现特定的运动轨迹 和动力传递。
在汽车设计中，特殊平行四边形可用 于车身线条的设计，提高汽车的美感 和空气动力学性能。
航空航天
在航空航天领域，特殊平行四边形可 用于飞机、火箭等飞行器的翼面设计， 提高飞行性能和稳定性。
其他领域应用
特殊平行四边形的定义和性质
特殊平行四边形的判定
包括矩形、菱形、正方形等特殊平行四边 形的定义、性质及其相互关系。
掌握各种特殊平行四边形的判定方法，如 两组对边分别平行且相等、对角线互相平 分等。
特殊平行四边形的面积计算
特殊平行四边形在生活中的应用
熟悉特殊平行四边形面积的计算公式，并 能够运用公式解决实际问题。
面积推导
菱形可以被划分成两个等 面积的三角形，每个三角 形的面积等于对角线长度 之积的一半。
特殊的平行四边形复习课2
下课了!
正方形
对边平行， 四个角 四边都相等 都是直角
对角线互相垂直平分 且相等，每条对角线 平分一组对角
2.特殊四边形的常用判定方法及证明流程
平 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 行 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 四 （3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 边 （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形； 形 （5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
课堂小结
1.理解并熟记特殊平行四边形的性质以及判定定理,并 能熟练运用. 2.经历应用定理解决问题的过程，掌握解决平行四边 形问题的一般方法，能够从边、角、对角线三个方面 思考问题。 3.在解题时，注意抓住题目中的位置和数量关系；每 一个判断都应有充分的理论依据.
通过本节课的 学习，你有哪 些收获？
2.如图，在一个由4×4个小 正方形组成的正方形网格中， 阴 AB影C部D的分面面积积比与是正_5方__：形_8_____
走进中考
3.(11.临沂) 如图，△ABC中，
F
AB=AC，AD、CD分别是
A
D
△ABC两个外角的平分线。
(1)求证：AC=AD; (2)若∠B= 60°，
B
CE
求证：四边形ABCD是菱 形。
知识梳理
※ 特殊平行四边形之间基本关系
菱形
矩形
知识归纳
1.平行四边形及特殊平行四边形的性质
简图
边
角
对角线
平行 四边形
对边平行 且相等
对角相等， 邻角互补
对角线互相平分
矩形
对边平行 且相等
四个角 对角线相等且互相平分 都是直角
菱形
对边平行， 对角相等, 对角线互相垂直平分，每 四边都相等 邻角互补 条对角线平分一组对角
九年级数学特殊的平行四边形中考总复习
《特殊的平行四边形》专题复习学习目标：1.平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定在几何问题中的综合运用。
2.连平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线，能得到特殊三角形（直角三角形和等腰三角形）、全等三角形，要用心体会方程思想（直角三角形）和分类讨论思想（等腰三角形）在解决问题中的作用．知识梳理：一．矩形、菱形、正方形的性质与判定．二．矩形、菱形、正方形与平行四边形的关系．（小组讨论）注意：以平行四边形为基础，从边、角、对角线等不同角度进行演变，推出特殊的四边形：矩形、菱形、正方形。
他们之间既有联系又有区别。
（1）矩形的性质与判定．注意：从矩形的图形中可以分解出：直角三角形、等腰三角形、对角线的夹角是60°时有等边三角形。
（2）矩形性质的推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （3）菱形的性质与判定．注意：从菱形的图形中可以分解出：直角三角形、等腰三角形或等边三角形。
（4）菱形的面积1.运用平行四边形的面积公式： ．2.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.（5）正方形的性质与判定．注意：从正方形的图形中可以分解出：等腰直角三角形。
例1.如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上任一点（不与A ，C 重合），连接BP ，DP ，过P 作PE ∥CD 交AD 于E ，过P 作PF ∥AD 交CD 于F ，连接EF ．（1）求证：△ABP ≌△ADP ；（2）若BP=EF ，求证：四边形EPFD 是矩形．S =⨯平行四形底高12ABCD S AC BD =⋅菱形跟踪练习.如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．例2.如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）若DC=，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的面积．跟踪练习.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O 的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．巩固提高：准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．总结中考这类题做题方法与注意事项：专项训练：1.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB 上，EF⊥AB，OG∥EF.（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长.2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF．（1）求证：AE＝CF；（2）若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC 的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△BDE≌△FAE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．4. 如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．（1）求证：△PDE≌△QCE；（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB＝PQ时，①求证：四边形AFEP是平行四边形；②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．5. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF＝．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）求线段EF的长．6. 如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．7. 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．8. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，求ABCD的面积？9. 如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．10. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积．11. 如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF ⊥CD于点F．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB=6，BC=10，求EF的长．12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．13. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且BE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OBEC是矩形；（2）若菱形ABCD的周长是4，tanα=，求四边形OBEC的面积．14. 如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G.(1)求证:BE=AF(2)若AB=4,DE=1,求AG的长.15.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，16.延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．。
特殊平行四边形拔高题含答案
第II 卷（非选择题）一、解答题（题型注释）1．如图.在平面直角坐标系中.正方形OABC 的边长为a ．直线y=bx+c 交x 轴于E.交y 轴于F.且a 、b 、c 分别满足-(a-4)2≥0.228c b b =-+-+（1）求直线y=bx+c 的解析式并直接写出正方形OABC 的对角线的交点D 的坐标；（2）直线y=bx+c 沿x 轴正方向以每秒移动1个单位长度的速度平移.设平移的时间为t 秒.问是否存在t 的值.使直线EF 平分正方形OABC 的面积？若存在.请求出t 的值；若不存在.请说明理由； 点P 为正方形OABC 的对角线AC 上的动点（端点A 、C 除外）.PM ⊥PO.交直线AB 于M.求PCBM的值2．如图.矩形OABC 摆放在平面直角坐标系xOy 中.点A 在x 轴上.点C 在y 轴上.OA=3.OC=2.P 是BC 边上一点且不与B 重合.连结AP.过点P 作∠CPD=∠APB.交x 轴于点D.交y 轴于点E.过点E 作EF ∥AP 交x 轴于点F ． （1）若△APD 为等腰直角三角形.求点P 的坐标；（2）若以A.P.E.F 为顶点的四边形是平行四边形.求直线PE 的解析式．3．把一个含45°角的直角三角板BEF 和一个正方形ABCD 摆放在一起.使三角板的直角顶点和正方形的顶点B 重合.联结DF.点M.N 分别为DF.EF 的中点.联结MA.MN ．（1）如图1.点E.F 分别在正方形的边CB.AB 上.请判断MA.MN 的数量关系和位置关系.直接 写出结论；（2）如图2.点E.F 分别在正方形的边CB.AB 的延长线上.其他条件不变.那么你在（1）中得到的两个结论还成立吗？若成立.请加以证明；若不成立.请说明理由．BFNME CDA FCBEMNAD图1 图24．如图.已知正方形ABCD.AC 、BD 相交于点O.E 为AC 上一点.AH ⊥EB 交EB 于点H.AH 交BD 于点F ． （1）若点E 在图1的位置.判断OE 与OF 的数量关系.并证明你的结论；（2）若点E 在AC 的延长线上.请在图2中按题目要求补全图形.判断OE 与OF 的数量关系.并证明你的结论．5．已知一个矩形纸片OACB.将该纸片放置在平面直角坐标系中.点A （11.0）.点B （0.6）.点P 为BC 边上的动点（点P 不与点B 、C 重合）.经过点O 、P 折叠该纸片.得点B′和折痕OP ．设BP=t ．（Ⅰ）如图①.当∠BOP=30°时.求点P 的坐标；（Ⅱ）如图②.经过点P 再次折叠纸片.使点C 落在直线PB′上.得点C′和折痕PQ.若AQ=m.试用含有t 的式子表示m ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下.当点C′恰好落在边OA 上时.求点P 的坐标（直接写出结果即可）． 6．阅读下列材料：已知：如图1.在Rt △ABC 中.∠C=90°.AC=4.BC=3.P 为AC 边上的一动点.以PB.PA 为边构造□APBQ .求对角线PQ 的最小值及此时APAC的值是多少．在解决这个问题时.小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中.垂直于平行线的线段最短．进而.小明构造出了如图2的辅助线.并求得PQ的最小值为3．参考小明的做法.解决以下问题：（1）继续完成阅读材料中的问题：当PQ的长度最小时.APAC= ；（2）如图3.延长PA到点E.使AE=nPA（n为大于0的常数）．以PE.PB为边作□PBQE.那么对角线PQ的最小值为.此时APAC= ；（3）如图4.如果P为AB边上的一动点.延长PA到点E.使AE=nPA（n为大于0的常数）.以PE.PC为边作□PCQE.那么对角线PQ的最小值为.此时APAC= ．7．在图1、图2、图3、图4中.点P在线段BC上移动（不与B、C重合）.M在BC的延长线上．（1）如图1.△ABC和△APE均为正三角形.连接CE．①求证：△ABP≌△ACE．②∠ECM的度数为°．（2）①如图2.若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形.连接CE．则∠ECM的度数为°．②如图3.若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形.连接CE．则∠ECM的度数为°．（3）如图4.n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形.连接CE.请你探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边数n 的数量关系（用含n的式子表示∠ECM的度数）.并利用图4（放大后的局部图形）证明你的结论．8．已知O是坐标原点.点A的坐标是（5.0）.点B是y轴正半轴上一动点.以OB.OA为边作矩形OBCA.点E.H分别在边BC和边OA上.将△BOE沿着OE对折.使点B落在OC上的F点处.将△ACH沿着CH对折.使点A落在OC上的G 点处。
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第一章特殊平行四边形拔高复习一特殊平行四边形知识汇总矩形1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2. 性质：（1）矩形的四个角都是直角（2）矩形的对角线相等（3）具备平行四边形的性质3. 判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）（2）对角线相等的平行四边形是矩形（3）有三个角是直角的四边形是矩形菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2. 性质：（1）菱形的四条边都相等（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（3）具备平行四边形的性质3. 判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（3）四边相等的四边形是菱形正方形1. 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形2. 性质：（1）边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直（2）内角：四个角都是90°;（3）对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；（4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）。
（5）形状：正方形也属于长方形的一种。
（6）正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。
3. 判定：（1）对角线相等的菱形是正方形。
（2）有一个角为直角的菱形是正方形。
（3）对角线互相垂直的矩形是正方形。
（4）一组邻边相等的矩形是正方形。
（5）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形（6）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。
（7）对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形。
（8）—组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。
（9）既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
二专题整合与拔高专题一特殊四边形的综合应用1、( 2013?白银)如图，在△ ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD，连接BF.(1)BD与CD有什么数量关系，并说明理由；(2)当厶ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由.考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：(1)根据两直线平行，内错角相等求出/ AFE= / DCE ,然后利用角角边”证明△ AEF 和厶DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；(2)先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知/ ADB=90 °由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC .解答：解：(1) BD=CD .理由如下：•/ AF // BC ,••• / AFE= / DCE ,••• E是AD的中点，•AE=DE ,i r ZAFK=ZDCE 在厶AEF和厶DEC中，丄怔卩二ZDEC ,^AE=DE•△ AEF◎△ DEC (AAS ),•AF=CD ,•/ AF=BD ,•BD=CD;(2)当厶ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形. 理由如下：•/ AF // BD ,AF=BD ,•四边形AFBD是平行四边形，•/ AB=AC , BD=CD ,•/ ADB=90 °•?AFBD是矩形.B D C点评：本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题, 明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键.2、( 13年山东青岛、21)已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点(1)求证：△ ABM BA DCM(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；(3)当AD: AB= ____________ 时，四边形MENF是正方形(只写结论，不需证明)解析：(1 )因为四边形ABCD是矩形，所以，/ A=Z D= 90°,AB= DC 又MA= MD 所以，△ ABM^A DCM(2)四边形MENF是菱形；理由：因为CE= EM, CN= NB,所以，FN// MB,同理可得：EN// MC, 所以，四边形MENF为平行四边形，又厶ABM^A DCME r X ML 1■ 'F f J(3) 2: 13. (2012珠海，18, 7分)如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A'B'CD'(此时，点B'落在对角线AC上，点A'落在CD的延长线上)，A'B'交AD于点E,连结AA'、CE.求证：(〔)△ ADA' ◎△ CDE(2)直线CE是线段AA '的垂直平分线.【解析】(1)由题设可得AD- DC, /ADA =Z CDE= 90° , DA '= DE.•••△ ADA ◎△ CDE.(2)证CE是/ ACA的角平分线，由等腰三角形的“三线合一”可得CE是线段AA '的垂直平分线•【答案】(1 )由正方形的性质及旋转，得AD= DC,/ ADC=90 ,AC = A' C, / DA E= 45° ,/ADA =/ CDE= 90° ,•••/ DEA =/ DA E= 45° . • DA = DE.•••△ADA ◎△ CDE.(2)由正方形的性质及旋转，得CD = CB , / CB E=Z CDE= 90° ,CE= CE,• Rt △ CB E B Rt △ CDE.v AC= A' C, •直线CE是线段AA '的垂直平分线.【点评】本题要求综合应用正方形的性质，旋转变换，三角形全等的判定，等腰三角形的“三线合一”，线段垂直平分线的判定等知识解决问题，是一道证线段垂直平分线的典型范例•第18题图专题二构造特殊四边形解决问题1. 如图，Rt△ ABC中，/ C=90°,以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点0,连接0C,已知AC=5 , OC=6二，则另一直角边BC的长为7 .考正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.占：八、、♦专计算题；压轴题.题：分过0作0F垂直于BC,再过A作AM垂直于0F,由四边形ABDE为正方形，得到OA=OB，/ AOB 析：为直角，可得岀两个角互余，再由AM垂直于M0，得到△ A0M为直角三角形，其两个锐角互余，利用同角的余角相等可得岀一对角相等，再由一对直角相等，0A=0B ,利用AAS可得岀△ A0M ” B0F 全等，由全等三角形的对应边相等可得岀AM=0F ,0M=FB，由三个角为直角的四边形为矩形得到ACFM 为矩形，根据矩形的对边相等可得岀AC=MF , AM=CF，等量代换可得岀CF=0F，即△ C0F为等腰直角三角形，由斜边0C的长，利用勾股定理求岀0F与CF的长，根据0F - MF求岀0M的长，即为FB 的长，由CF+FB即可求岀BC的长.解解法一：如图1所示，过0作0F丄BC,过A作AM丄0F , 答：•••四边形ABDE为正方形，•••/ A0B=90 , 0A=0B ,•••/ A0M+ / B0F=90 ,又/ AM0=90 ，•/ A0M+ / 0AM=90•••/ B0F= / 0AM , 在厶A0M和厶B0F中，r ZAM0=Z0FB=90flgOB•••△ A0M B0F (AAS ),• AM=0F , 0M=FB ,又/ ACB= / AMF= / CFM=90 ,•四边形ACFM为矩形，••• AM=CF , AC=MF=5 ,••• OF=CF ,•△ OCF为等腰直角三角形，T 0C=6 二•根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2,解得：CF=OF=6 ,•FB=OM=OF - FM=6 - 5=1, 则BC=CF+BF=6+1=7 .故答案为：7 .解法二：如图2所示，过点O作OM丄CA，交CA的延长线于点M ;过点O作ON丄BC于点N . 易证△ OMA ONB , • OM=ON , MA=NB .•O点在/ ACB的平分线上，•△ OCM为等腰直角三角形.••• OC=6 :■:,•CM=ON=6 .•MA=CM - AC=6 - 5=1 ,•BC=CN+NB=6+1=7 . 故答案为：7 .2、（2013聊城）如图，四边形ABCD 中,考点：全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质.专题：证明题.分析：过点B作BF丄CE于F,根据同角的余角相等求出 / BCF= / D,再利用角角边”证明△ BCF和厶CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE，再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF，从而得证，解答：证明：如图，过点B作BF丄CE于F, •/ CE 丄AD ,•/ D+ / DCE=90 °•/ / BCD=90 °•/ BCF+ / DCE=90 °•/ BCF= / D,rZBCF=ZD在厶BCF 和厶CDE 中， --I - ■''[BC=CD•••△ BCF ◎△ CDE ( AAS ),••• BF=CE ,又•••/ A=90 ° CE丄AD , BF 丄CE ,•四边形AEFB是矩形，• AE=BF ,点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，难度中等，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键.专题三特殊四边形中的动态与变换1、（2013?内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD 上一点，则PM+PN的最小值=5 .考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质.分析：作M关于BD的对称点Q,连接NQ，交BD于P,连接MP ,此时MP+NP的值最小, 连接AC,求出OC、OB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案.作M关于BD的对称点Q,连接NQ，交BD于P,连接MP ,此时MP+NP的值最小, 连接AC ,•••四边形ABCD是菱形，•AC 丄BD , / QBP= / MBP ,即Q在AB上，•/ MQ 丄BD ,•AC // MQ ,••• M为BC中点，•Q为AB中点，••• N为CD中点，四边形ABCD是菱形，••• BQ // CD , BQ=CN ,•••四边形BQNC是平行四边形，•NQ=BC,•••四边形ABCD是菱形，•CO=AC=3, B0=BD=4 ,在Rt △ BOC中，由勾股定理得：BC=5 ,即NQ=5 ,•MP+NP=QP+NP=QN=5，故答案为：5.点评：本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置.2. （2014?襄阳，第12题3分）如图，在矩形ABCD中，点E, F分别在边AB, BC上，且AE=±AB,将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q , 对于下列结论：①EF=2BE:②PF=2PE :③FQ=4EQ:④厶PBF是等边三角形.其中正确的是（）A巩和________ 7>E£ F CA. ①② B . ②③C. ①③D. ①④考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质分析：求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出/ APE=30°,然后求出/ AEP=60°，再根据翻折的性质求出/ BEF=60°,根据直角三角形两锐角互余求出/ EFB=30°,然后根据直角三角形30° 角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE，判断出①正确；利用30°角的正切值求出PF^S PE，判断出②错误；求出BE=2EQ , EF=2BE,然后求出FQ=3EQ，判断出③错误；求出/ PBF = Z PFB=60°然后得到厶PBF是等边三角形，判断出④正确.解答：解：T AE」AB,• BE=2AE,由翻折的性质得，PE=BE,•Z APE=30°,•Z AEP=90°- 30° =60°,•Z BEF)( 180°-Z AEP)=丄(180°- 60°=60°,2 2•Z EFB=90°- 60° =30°,••• EF=2BE，故①正确；•/ BE=PE,•EF=2PE,•/ EF > PF ,•PF > 2PE，故②错误；由翻折可知EF丄PB,•/ EBQ= / EFB=30°,•BE=2EQ, EF=2BE,•FQ=3EQ，故③错误；由翻折的性质，/ EFB = Z BFP=30°•/ BFP=30°+30°=60°,•••/ PBF=90°-Z EBQ=90°- 30° =60°,•/ PBF=Z PFB=60°,•△ PBF是等边三角形，故④正确；综上所述，结论正确的是①④.故选D.点评：本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质, 直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的关键.3. (2014?扬州，第23题，10分)如图，已知Rt A ABC中，Z ABC=90 °先把△ ABC绕点B顺时针旋转90。