特殊平行四边形拔高复习

第一章特殊平行四边形拔高复习

一特殊平行四边形知识汇总

矩形

1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

2. 性质：（1）矩形的四个角都是直角

（2）矩形的对角线相等

（3）具备平行四边形的性质

3. 判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）

（2）对角线相等的平行四边形是矩形

（3）有三个角是直角的四边形是矩形

菱形

1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2. 性质：（1）菱形的四条边都相等

（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

（3）具备平行四边形的性质

3. 判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形

（3）四边相等的四边形是菱形

正方形

1. 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形

2. 性质：（1）边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直

（2）内角：四个角都是90°;

（3）对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；

（4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）。

（5）形状：正方形也属于长方形的一种。

（6）正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。

3. 判定：（1）对角线相等的菱形是正方形。

（2）有一个角为直角的菱形是正方形。

（3）对角线互相垂直的矩形是正方形。

（4）一组邻边相等的矩形是正方形。

（5）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形

（6）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。

（7）对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形。

（8）—组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。

（9）既是菱形又是矩形的四边形是正方形。

二专题整合与拔高

专题一特殊四边形的综合应用

1、( 2013?白银)如图，在△ ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD，连接BF.

(1)BD与CD有什么数量关系，并说明理由；

(2)当厶ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由.

考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质.

专题：证明题.

分析：(1)根据两直线平行，内错角相等求出/ AFE= / DCE ,然后利用角角边”证明△ AEF 和厶DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；

(2)先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四

边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知/ ADB=90 °由等腰三角形三

线合一的性质可知必须是AB=AC .

解答：解：(1) BD=CD .

理由如下：•/ AF // BC ,

••• / AFE= / DCE ,

••• E是AD的中点，

•AE=DE ,

i r ZAFK=ZDCE 在厶AEF和厶DEC中，丄怔卩二ZDEC ,

^AE=DE

•△ AEF◎△ DEC (AAS ),

•AF=CD ,

•/ AF=BD ,

•BD=CD;

(2)当厶ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形. 理由如下：•/ AF // BD ,

AF=BD ,

•四边形AFBD是平行四边形，

•/ AB=AC , BD=CD ,

•/ ADB=90 °

•?AFBD是矩形.

B D C

点评：本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题, 明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键.

2、( 13年山东青岛、21)已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点

(1)求证：△ ABM BA DCM

(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；

(3)当AD: AB= ____________ 时，四边形MENF是正方形(只写结论，不需证明)

解析：

(1 )因为四边形ABCD是矩形，所以，/ A=Z D= 90°,

AB= DC 又MA= MD 所以，△ ABM^A DCM

(2)四边形MENF是菱形；

理由：因为CE= EM, CN= NB,

所以，FN// MB,同理可得：EN// MC, 所以，四边形MENF为

平行四边形，

又厶ABM^A DCM

E r X ML 1■ '

F f J

(3) 2: 1

3. (2012珠海，18, 7分)如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A'B'CD'(此时，点B'落在对角线AC上，点A'落在CD的延长线上)，A'B'交AD于点E,连结AA'、CE.

求证：(〔)△ ADA' ◎△ CDE

(2)直线CE是线段AA '的垂直平分线.

【解析】(1)由题设可得AD- DC, /ADA =Z CDE= 90° , DA '= DE.

•••△ ADA ◎△ CDE.

(2)证CE是/ ACA的角平分线，由等腰三角形的“三线合一”可得CE是线段AA '的垂直平分线•

【答案】(1 )由正方形的性质及旋转，得AD= DC,/ ADC=90 ,AC = A' C, / DA E= 45° ,

/ADA =/ CDE= 90° ,

•••/ DEA =/ DA E= 45° . • DA = DE.