18.乘法公式(含答案)-

18.乘法公式

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乘法公式(multiplication formula)是在多项式乘法的基础上,•将多项式乘法的一般法

则应用于一些特殊形式的多项式相乘,得出的既有特殊性、•又有实用性的具体结论，在复杂

的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应

用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：

1.熟悉每个公式的结构特征,理解掌握公式;

2.根据待求式的特点,模仿套用公式;

3.对公式中字母的全面理解,灵活运用公式;

4.既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合,综合运用公式.

例题求解

【例1】•(•1)•已知两个连续奇数的平方差为•2000,•则这两个连续奇数可以是______.

(江苏省竞赛题)

(2)已知(2000-a)·(1998-a)=1999,那么,(2000-a)2+(1998-a)2=________.

(2000年重庆市竞赛题)

思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组;(2)视(2000-a)·(1998-a)为整体,•由平方

和想到完全平方公式(formula for the square the sum)及其变形.

解:(1)设两个连续奇数为x,y,且x>y,则

222000

2

x y

x y

⎧-=±

⎨

-=

⎩

得x+y=1000或x+y=-1000,解得(x,y)=(499,501)或(-501,-499).

(2)4002 提示:(2000-a)2+(1998-a)2=[(2000-a)-(1998-a)]2+2(2000-a)·(1998-a)

【例2】若x是不为0的有理数,已知M=(x2+2x+1)(x2-2x+1),N=(x2+x+1)(x2-x+1),则M

与N 的大小关系是( ). (“祖冲之”杯邀请赛试题)

A.M>N

B.M

C.M=N

D.无法确定

思路点拨 运用乘法公式,在化简M 、N 的基础上,作差比较它们的大小.

解:选B

【例3】计算:

(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1; (天津市竞赛题)

(2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452. (江苏省竞赛试题)

思路点拨 若按部就班计算,显然较繁,能否用乘法公式,简化计算,关键是对待求式恰

当变形,使之符合乘法公式的结构特征,对于(2),由于数字之间有联系,•可用字母表示数(称

为换元),将数值计算转化为式的计算,更能反映问题的本质特征.

解:(1)原式=(7-1)(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1=716

(2)设1.345=x,则原式=x(x-1)·2x-x 3-x(x-1)2=-x=-1.345

【例4】(1)已知x 、y 满足x 2+y 2+54

=2x+y,求代数式xy x y +的值. (“希望杯”邀请赛试题) (2)整数x,y 满足不等式x 2+y 2+1≤2x+2y,求x+y 的值. (第14届“希望杯”邀请赛试题)

(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.

甲商场:•第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b;

乙商场:两次提价的百分率都是 2

a b + (a>0,•b>0); 丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,•

则哪个商场提价最多?说明理由. (2003年河北省竞赛题)

思路点拨 对于(1)、(2)两个未知数一个等式或不等式,•须运用特殊方法与手段方能求

出x 、y 的值,由平方和想到完全平方公式及其逆用,解题的关键是拆项与重组;对于(3)把三个

商场经两次提价后的价格用代数式表示,作差比较它们的大小.

解:(1)提示:由已知得(x-1)2+(y-12)2=0,得x=1,y=12,原式=13

(2)原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1,且x 、y 为整数,

(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,•

所以可能有的结果是1010x y -=⎧⎨-=⎩或1110x y -=±⎧⎨-=⎩或1011

x y -=⎧⎨-=±⎩,

解得11x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩ 或 12x y =⎧⎨=⎩或10x y =⎧⎨=⎩

,x+y=1或2或3 (3)甲、乙、丙三个商场两次提价后,价格分别为

(1+a)(1+b)=1+a+b+ab; (1+2a b +)·(1+2a b +)=1+(a+b)+( 2

a b +)2; (1+b)(1+a)=1+a+b+ab; 因(

2a b +)2-ab>0,所以(2a b +)2>ab, 故乙商场两次提价后,价格最高.

【例5】已知a 、b 、c 均为正整数,且满足a 2+b 2=c 2,又a 为质数. 证明:

(1)b 与c 两数必为一奇一偶; (2)2(a+b+1)是完全平方数.

思路点拨 从a 2+b 2=c 2的变形入手;a 2=c 2-b 2,运用质数、奇偶数性质证明.

解:(1)因(c+b)(c-b)=a 2,又c+b 与c-b 同奇同偶,c+b>c-b,

故a•不可能为偶质数2,a 应为奇质数,c+b 与c-b 同奇同偶,b 与c 必为一奇一偶.

(2)c+b=a 2,c-b=1,两式相减,得2b=a 2-1,

于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a 2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.