5 函数的微分

微分 dy叫做函数增量y的线性主部(.微分的实质)
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数;
(2) y dy o(x)是比x高阶无穷小;
(3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小;
y dy
1
o(x) A x
(4) A是与x无关的常数, 但与f ( x)和x0有关;
(5) 当x 很小时,y dy (线性主部).
解
y
1 2 xe x2 x ex2
,
dy
1 2 xe x2 x ex2
dx.
例3 设 y e13x cos x, 求dy. 解 dy cos x d(e13x ) e13x d(cos x)
(e13x ) 3e13x , (cos x) sin x. dy cos x (3e13x )dx e13x ( sin x)dx
函数的微分
前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是 微分学的一个重要概念。在工程技术中，还会遇 到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变 量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的 增量。一般来说，计算函数增量的准确值是比较 繁难的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算 它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概 念——微分。
d(ln x) 1 dx x
d(arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
d
(arc
cot
x
)
1
1 x
2
dx
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d(u v) du dv d(uv) vdu udv
d(Cu) Cdu
u vdu udv
d( ) v
v2
例2 设 y ln( x e x2 ), 求dy.
一、问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
正方形面积 A x02, A ( x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
(1)
(2)
x0
x0x
x (x)2
x
A x02
x0x x0
(1) : x的线性函数,且为A的主要部分; (2) : x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
d(tan x) sec2 xdx d(cot x) csc2 xdx
d(sec x) sec x tan xdx d(csc x) csc x cot xdx
d(a x ) a x ln adx
d(e x ) e xdx
d (loga
x)
1 x lna
dx
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
可导 可微. A f ( x0 ). 函数 y f ( x)在任意点x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或df ( x), 即 dy f ( x)x.
yf(x)在点x0可微yAxo(x)。 dyf (x0)x。
例1．求函数 yx3当x2，x 0. 02时的微分。 解：先求函数在任意点x 的微分，
dyf (x)dx。
dy f (x)dx.
dy f ( x). dx
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于
该函数的导数. 导数也叫"微商".
由微分的定义及上述定理可知 若f ( x)在x0处可导
则f ( x)在x0处可微，且dy f ( x0 )x
当f ( x0 ) 0时
lim y lim y 1 x0 dy x0 f ( x0 )x
y ~ dy (x 0) y dy o(y)
这表明 在f ( x0 ) 0的条件下 y dy
不仅是比 x 高阶的无穷小，而且也是比 y
高阶的无穷小，因此 dy是y的主要部分
四、微分的几何意义
几何意义:(如图)
y
T
当y是曲线的纵
坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
y f (x)
三、可微的条件
定理 函数 f ( x)在点 x0可微的充要条件是函 数 f ( x)在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).
证 (1) 必要性 f ( x)在点x0可微,
y A x o(x),
y A o(x) ,
x
x
则 lim y A lim o(x) A.
x0 x
x0 x
）
o
当 x 很小时, 在点M的附近,
N
P
o(x)
M
dy y
x
x0 x0 x
x
切线段 MP可近似代替曲线段MN .
五、微分的求法
dy f ( x)dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
1.基本初等函数的微分公式
d(C) 0
d ( x ) x1dx
d(sin x) cos xdx
d(cos x) sຫໍສະໝຸດ Baidun xdx
即函数 f ( x)在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
lim y x0 x
f ( x0 ),
即 y x
f ( x0 ) ,
从而 y f ( x0 ) x (x), 0 (x 0),
f ( x0 ) x o(x),
dy(x3)x3x2x。 再求函数当x2，x0. 02时的微分，
dy x2,x0.02 3x 2 x x2,x0.02 3220.020.24。
自变量的微分：
因为当yx时， dydx(x)xx，
所以通常把自变量 x 的增量x称为自变量的微分， 记作dx ，即
dxx。 因此，函数yf(x)的微分又可记作
再例如, 设函数 y x3在点 x0处的改变量 为x时, 求函数的改变量y.
y ( x0 x)3 x03
3x02 x 3x0 (x)2 (x)3 .
(1)
(2)
当 x 很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x),
y 3x02 x.
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
二、微分的定义
定义 设函数 y f ( x)在某区间内有定义, x0及 x0 x在这区间内, 如果 y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f ( x)在点 x0可微, 并且称A x为函数 y f ( x)在点 x0相应于自变量增量x的微分, 记作dy x x0 或 df ( x0 ), 即dy x x0 A x.