5 函数的微分
5微分中值定理及其应用
CH 5 微分中值定理及其应用1．中值定理定理1 Rolle 中值定理设)(x f 在],[b a 连续，在),(b a 可导，且)()(b f a f =，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)('=ξf 。
定理2 Lagrange 中值定理设)(x f 在],[b a 连续，在),(b a 可导，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得))((')()(a b f a f b f -=-ξ。
定理3 Cauchy 中值定理设)(x f ，)(x g 在],[b a 连续，在),(b a 可导，且0)('≠x g ，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =--。
定理4 Taylor 中值定理设)(x f 在0x 的某个邻域有1+n 阶导数，则在该邻域成立=+=)()()(x R x P x f n n)()(!)(...)(!2)(''))((')(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f n n n +-++-+-+=其中)(x P n 称为)(x f 在0x 的n 次Taylor 多项式，)(x R n 称为n 次Taylor 多项式的余项。
Lagrange 型余项10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ。
Peano 型余项))(()(0n n x x o x R -=。
常见初等函数的展开式:(1) 132)!1(!1...!31!211++++++++=n n xx n e x n x x x e ξ(2) +--+-+-=-+12153)!12(1)1(...!51!31sin n n x n x x x x12)!12()2sin()1(+++-n n x n πξ (3) 221242)!22(cos )1()!2(1)1(...!41!211cos +++-+-+-+-=n n n n x n x n x x x ξ (4) 1132)1)(1(1)1(1)1(...3121)1ln(+-++-+-+++-=+n n n n x n x n x x x x ξ (5) ++--++-++=+n x n n x x x !)1)...(1( (2)1(1)1(2ααααααα11)1()!1())...(1(+--++--n n x n n αξααα2．单调性及其判定定理5 设)(x f 在),(b a 可导,则 (1) )(x f 在),(b a 内单调递增(递减)的充要条件是)0)('(0)('≤≥x f x f ;(2) )(x f 在),(b a 内严格单调递增(递减)的充要条件是:1) )0)('(0)('≤≥x f x f ,),(b a x ∈∀;2) 在),(b a 的任何子空间上,0)('≠x f .注意掌握利用函数单调性证明不等式方法.3．极值与最值设)(x f 在),(0b a x ∈取到极值,则或者0)('0=x f 或者)(x f 在0x 不可导,两者必居其一.极值判断的充要条件:定理6 第一充分条件设0x 在的某邻域可导,且0)('0=x f .若)('x f 在0x x =左右两侧异号,则0x x =是)(x f 极值点;若)('x f 在0x x =左右两侧同号,则0x x =不是)(x f 极值点.1) 当),(00x x x δ-∈时,0)('<x f ;当),(00δ+∈x x x 时, 0)('>x f ,则)(x f 在0x x =取到极小值;2) 1) 当),(00x x x δ-∈时,0)('>x f ;当),(00δ+∈x x x 时,0)('<x f ,则)(x f 在0x x =取到极值;定理7 第二充分条件设)(x f 在0x 处二阶可导,则0x x =是)(x f 的极值点.1) 当0)(''0>x f 时, 0x x =是)(x f 的极小值点,2) 当0)(''0<x f 时, 0x x =是)(x f 的极大值点.若)(x f 在],[b a 连续,则)(x f 在],[b a 必取到最值.最值点将只会在区间端点,驻点获导数不存在的点取得.逐一比较,便可获得最大值,最小值.4．凹凸性与拐点定义 设)(x f y =在区间D 有定义,对任意]1,0[∈λ,任意D x x ∈21,,1) 若),()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+则称)(x f 为D上的凸函数(上凸);2) 若),()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+则称)(x f 为D上的凹函数(下凸).定理8 设)(x f 在D 上可导,则下述论断等价:1) )(x f 为D 上的凹函数;2) )(x f 在D 上单调函数;3) 对任意D x x ∈21,,成立))((')(12212x x x f x x f -+≥.推论 设)(x f 在D 上二阶可导,则)(x f 为D 上的凹函数的充要条件是0)(''≥x f . Jensen 不等式:若)(x f 为],[b a 上的凹函数, 对任意的D x x x n ∈,,21,0≥i λ,11=∑=n i i λ,则成立)()(11i n i i i n i i x f x f ∑∑==≤λλ.函数凹凸性发生改变的转折点,称为拐点.若)(x f 在0x 二阶可导,则))(,(00x f x 成为曲线)(x f y =拐点的必要条件是0)(''=x f .通过考察0x x =处两侧)(''x f 的变号情况,可以确定))(,(00x f x 是否为拐点. 若)(x f 为],[b a 上的凸函数,相应的结论可以推得.5．渐近线水平渐近线:,A y =若A x f x =∞→)(lim . 垂直渐近线: 0x x =,若∞=→)(lim 0x f x x . 斜渐近线:b kx y +=, 若k xx f x x =→)(lim 0,b kx x f x x =-→])([lim 0.6．弧微分与曲率对于适当定义的有向曲线弧,成立22dy dx ds +=. 对于不同形式的曲线,分别有dy y x dx x y ds 1)()(122+=+=dt t y t x ds )()(22+=θθθd r r ds )(')(2+=曲率|lim |||0s ds d K s ∆∆==→∆ϕϕ,曲率半径KR 1=.例题分析例1．若)(x f 在],[b a 连续,在),(b a 可导,0)()(==b f a f ,证明存在),(b a ∈ξ,使得)()('ξξf f =.证:构造函数xe xf x F )()(=. 易证)(x F 在],[b a 满足Rolle 定理条件,故存在),(b a ∈ξ,使.0)('=ξF0)()(')('2=-=ξξξξξξe e f e f F ,即)()('ξξf f =.例2．设函数f 在],[b a 上可导,证明存在),(b a ∈ξ,使得)(')()]()([222ξξf a b a f b f -=-.证:构造)(')()]()([)(222ξf a b a f b f x x F ---=.验证 )()()()(22a F a f b b f a b F =-=故)(x F 在],[b a 上满足Rolle 定理条件,于是存在),(b a ∈ξ,使得 0)(')()]()([2)('22=---=ξξξf a b a f b f F .。
数学分析5.5微分(含习题详解)
第五章导数和微分5 微分一、微分的概念定义1：设函数y=f(x)定义在点x0的某邻域U(x0)内. 当给x0一个增量△x，x0+△x∈U(x0)时，相应地得到函数的增量为△y=f(x0+△x)-f(x0). 如果存在常数A，使得△y能表示为△y=A△x +o(△x)，则称函数f在点x0可微，并称上式中的第一项A△x为f在点x0的微分，记作：dy=A△x，或df(x)=A△x.当A≠0时，微分dy称为增量△y的线性主部。
定理5.10：函数f在点x0可微的充要条件是函数f在点x0可导，而且定义中的A=f’(x0).证：先证必要性：若f在点x0可微，则△y=A△x +o(△x)，即=A+o(1)，两边取极限得：f’(x0)==(A+o(1))=A.再证充分性：若f在点x0可导，则f在点x0的有限增量公式为：△y=f’(x0)△x+o(△x)，根据微分的定义，f在点x0可微且有dy=f’(x0)△x.微分的几何意义：(如图)当自变量由x0增加到x0+△x时，函数增量△y= f(x0+△x)-f(x0)=RQ，而微分则是在点P处的切线上与△x所对应的增量，即dy=f’(x0)△x=RQ’，且==f’(x0)=0，所以当f ’(x 0)≠0时，=0. 即当x →x 0时线段Q ’Q 远小于RQ ’。
若函数y=f(x)在区间I 上每一点都可微，则称f 为I 上的可微函数.函数y=f(x)在I 上任一点x 处的微分记作dy=f ’(x)△x ，x ∈I. 特别地，当y=x 时，dy=dx=△x ，则微分也可记为dy=f ’(x)dx ，即 f ’(x)=，可见函数的导数等于函数微分与自变量微分的商。
因此导数也常称为微商。
二、微分的运算法则1、d[u(x)±v(x)]=du(x)±dv(x)；2、d[u(x)v(x)]=v(x)du(x)+u(x)dv(x)；3、d=；4、d(f ◦g(x))=f ’(u)g ’(x)dx ，其中u=g(x)，或dy=f ’(u)du.例1：求y=x 2lnx+cosx 2的微分。
函数的微分
dy f ( x)dx. ——微分计算公式 dy 此时, 定理可重述为: dy f ( x)dx f ( x). dx
10
dy dy dx. 故导数也称为“微商”. dx 导数的这种定义在某些场合下应用会很方便 .
求函数导数或微分的方法也称为“微分法”. 可微、可导、连续的关系
2
第五节
函数的微分
一、微分的定义 设有函数 y f ( x) , 当 x 在 x0 处有增量 x 时, 函数 y 有对应的增量 y f ( x0 x) f ( x0 ) .
当函数 f ( x ) 较为复杂时, y 的计算就比较麻烦.
例如 y arctan x , 在 x0 1 处有增量 x 0.02 , 求 y .
（保留3位小数）
y arctan1.02 arctan1 计算困难
任务： 为 y 寻求一个既简单（容易计算）又满足一定精度 要求的近似表达式.
3
实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由 x0变到x0 x,
x0
x
( x ) 2
x
正方形面积 A x ,
2 0
2 A ( x0 x)2 x0
y f ( x0 ) , (2) 充分性 设 函数f ( x)在点x0可导, 则 lim x 0 x y f ( x 0 ) x lim 0 , 于是 y f ( x0 )x o(x) , x 0 x
即 y Ax o(x ) , 函数 f ( x )在点x0可微 .
3
求函数的改变量 y .
3 y ( x 0 x ) 3 x 0 2 3 x0 x 3 x 0 ( x ) 2 ( x ) 3 .
微分公式大全24个
微分公式大全24个微分公式是微积分中非常重要的一部分，下面我将列举24个常见的微分公式：1. 常数函数微分，(k)' = 0。
2. 幂函数微分，(x^n)' = nx^(n-1)。
3. 指数函数微分，(e^x)' = e^x.4. 对数函数微分，(ln(x))' = 1/x.5. 三角函数微分，(sin(x))' = cos(x)，(cos(x))' = -sin(x)，(tan(x))' = sec^2(x)。
6. 反三角函数微分，(arcsin(x))' = 1/√(1-x^2)，(arccos(x))' = -1/√(1-x^2)，(arctan(x))' = 1/(1+x^2)。
7. 和差函数微分，(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)。
8. 积函数微分，(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
9. 商函数微分，(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x)f(x)g'(x))/g(x)^2。
10. 复合函数微分，(f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x)。
11. 反函数微分，如果y = f(x)和x = g(y)是互为反函数的函数，那么有dy/dx = 1/(dx/dy)。
12. 参数方程的微分，如果x = f(t)和y = g(t)是参数方程，那么dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)。
13. 隐函数微分，如果F(x, y) = 0定义了y作为x的隐函数，那么dy/dx = (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
14. 对数微分，d(ln(x)) = 1/x dx.15. 指数微分，d(e^x) = e^x dx.16. 对数函数微分，d(log_a(x)) = (1/xln(a)) dx.17. 幂函数微分，d(x^n) = nx^(n-1) dx.18. 三角函数微分，d(sin(x)) = cos(x) dx，d(cos(x)) = -sin(x) dx，d(tan(x)) = sec^2(x) dx.19. 反三角函数微分，d(arcsin(x)) = 1/√(1-x^2) dx，d(arccos(x)) = -1/√(1-x^2) dx，d(arctan(x)) = 1/(1+x^2) dx.20. 对数函数的微分，d(log_b(x)) = (1/xln(b)) dx.21. 反双曲函数微分，d(arcsinh(x)) = 1/√(x^2+1) dx，d(arccosh(x)) = 1/√(x^2-1) dx，d(arctanh(x)) = 1/(1-x^2) dx.22. 反双曲函数微分，d(arccsch(x)) = -1/|x|√(1+x^2) dx，d(arccoth(x)) = -1/(1-x^2) dx.23. 反双曲函数微分，d(arccsech(x)) = -1/(x√(1-x^2)) dx.24. 反双曲函数微分，d(arccoth(x)) = -1/(1-x^2) dx.这些是常见的微分公式，它们在求导过程中经常被使用。
D2_5微分
y y f (x) y
o
x0
x
x0 x
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二、 微分运算法则
（一）四则运算法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
(1) d(u v) du dv (2) d(Cu) Cdu (C 为常数)
(3) d(uv) vdu udv
(4)
d(
u v
)
vdu udv v2
d x x x x
故以后我们把x 记为d x, 称为自变量的微分。则有
dy f (x)x f (x) dx
即有
f (x)
dy dx
函数关某个变量的导数等函数的微分与该变量微分的商
故导数也叫微商。
比较 f (x) dy , f (x) lim y lim y
dx
x dx x0
x0
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注 (1)可导能得可微，可微能得可导。但导数与微分
含义完全不同！导数反映的是函数值变化快慢，而微分是
反映的是函数值变化了多少的线性近似值。相当于速度与 路程的关系
(2) 故当f (x0 ) 0 时 , lim y lim y 1 lim y 1
x0 dy x0 f (x0 )x f (x0 ) x0 x
)
1
y 1 ex2
ex2
2xex2 1 ex2
1 1 ex2
(
d1
dex2
)
1 1 ex2
0
e x 2d
(x2 )
故
dy
2 xe x 2 1 ex2
dx
1
1 e
x
2
ex2
2xdx
微分公式大全高等数学
微分公式大全高等数学在高等数学中，微分是研究函数的变化率和导数的一门重要内容。
微分公式的正确掌握是学习和应用微分的重要基础。
下面将列举一些常见的微分公式，供大家参考。
1. 基本微分公式（1）常数函数微分：若y=C，C为常数，则dy/dx=0；（2）幂函数微分：若y=x^n，n为常数，则dy/dx=nx^(n-1)；（3）指数函数微分：若y=a^x，a>0且a≠1，则dy/dx=a^x*lna；（4）对数函数微分：若y=log_a x，a>0且a≠1，则dy/dx=1/(xlna)；（5）三角函数微分：若y=sin x，则dy/dx=cos x；若y=cos x，则dy/dx=-sin x；若y=tan x，则dy/dx=sec^2 x；（6）反三角函数微分：若y=arcsin x，则dy/dx=1/sqrt(1-x^2)；若y=arccos x，则dy/dx=-1/sqrt(1-x^2)；若y=arctan x，则dy/dx=1/(1+x^2)；（7）双曲函数微分：若y=sinh x，则dy/dx=cosh x；若y=cosh x，则dy/dx=sinh x；若y=tanh x，则dy/dx=sech^2 x；（8）反双曲函数微分：若y=arcsinh x，则dy/dx=1/sqrt(1+x^2)；若y=arccosh x，则dy/dx=1/sqrt(x^2-1)；若y=arctanh x，则dy/dx=1/(1-x^2)。
2. 复合函数微分法则（1）链式法则：若y=f(u)，u=g(x)，则dy/dx=dy/du*du/dx；（2）乘积法则：若y=u*v，u=g(x)，v=h(x)，则dy/dx=u*(dv/dx)+v*(du/dx)；（3）商积法则：若y=u/v，u=g(x)，v=h(x)，则dy/dx=(v*du/dx-u*dv/dx)/v^2。
3. 隐函数微分若方程F(x, y)=0表示一个隐函数，其中y是x的显含函数，则通过隐函数微分可以求出dy/dx。
函数的微分
(e 2 x cosx)' dx (2e 2 x - sinx)dx
(
1 3 x )’= 3
x dx
2
x2
1 2x e 2x 2 d ＿＿＿＿ = e dx
1 d 2 sin(2 x 1) ＿＿＿＿＿＿ = cos(2 x 1)dx
( 1 e 2 x )’= e 2 x 2 (
1 sin(2 x 1) )’= cos(2 x 1) 2
(1)当f ' ' ( x0 ) 0时, f ( x)在x0处取得极大值f ( x0 ); (2)当f ' ' ( x0 ) 0时, f ( x)在x0处取得极小值f ( x0 ).
注：此方法只能判断驻点处的极值，不能判断尖点处极值。对于尖点， 只能用第一判断法。
例2：求函数f ( x) x 3 - 3x的极值
由V r 2 h 54 ,
54 r2 108 54 2 2r 2 S 2r 2r 2 r r 108 (4r 3 108 ) S ' 4r - 2 r r2 令S ' 0，得唯一驻点r 3 得h
当0 r 3时，S ' 0
例1：f ( x) ln x在[1, e]上是否满足拉格朗日中值定理？若满足，求出
解：) f ( x) ln x在[1, e]上连续 (1
1 (2) f ' ( x) (ln x)' ， x
故f ( x)在(1, e)内可导
所以f ( x)在[1, e]内满足拉格朗日中值定 理，
至少存在一点 (1, e), 使得
f (e) f (1) f ' ( ) , e 1
函数微分的定义
函数微分的定义函数微分的定义:设函数在某区间内有定义,x0 及 x0+△x 在这区间内,若函数的增量可表示为,其中 A 就是不依赖于△x 的常数, 就是△x 的高阶无穷小,则称函数在点 x0可微的。
叫做函数在点 x0 相应于自变量增量△x 的微分,记作dy,即: = 。
通过上面的学习我们知道:微分 就是自变量改变量△x 的线性函数,dy 与△y 的差 就是关于△x 的高阶无穷小量,我们把 dy 称作△y 的线性主部。
于就是我们又得出:当△x→0 时,△y≈dy、导数的记号为:,现在我们可以发现,它不仅表示导数的记号,而且还可以表示两个微分的比值(把△x 瞧成 dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分),还可表示为:由此我们得出:若函数在某区间上可导,则它在此区间上一定可微,反之亦成立。
导数的定义:设函数在点 x0 的某一邻域内有定义,当自变量 x在 x0 处有增量△x(x+△x 也在该邻域内 )时,相应地函 数有增量,若△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在,则称这个极限值为在 x0 处的导数。
记为: 还可记为:,函数 在点 x0 处存在导数简称函数 在点 x0 处可导,否则不可导。
若函数 在区间(a,b)内每一点都可导,就称函数 在区间(a,b)内可导。
这时函数对于区间(a,b)内的每一个确定的 x 值,都对应着一个确定的导数,这就构成一个新的函数,我们就称这个函数为原来函数函数微分的定义的导函数。
导数公式微分公式函数与、差、积、商的求导法则函数与、差、积、商的微分法则拉格朗日中值定理 如果函数少有一点 c,使在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那末在(a,b)内至成立。
这个定理的特殊情形,即:的情形,称为罗尔定理。
描述如下:若在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且,那末在(a,b)内至少有一点 c,使成立。
函数微分的定义注:这个定理就是罗尔在 17 世纪初,在微积分发明之前以几何的形式提出来的。
函数微分的运算
解 dy = d(excos x) = ex dcos x + cos xdex = ex (cos x - sin x)dx .
3.复合函数的微分
定理 3 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可 微， 则 y = f ( (x)) 也可微， 且
dx.
1 x2
d arctan x
1 1 x2 dx.
1 darc cot x 1 x2 dx.
2.微分的四则运算
定理 2 设函数 u、v 可微， 则
d(u v) = du dv
d(uv) = udv + vdu
d
v u
udv vdu u2
(u 0).
推论 1
当
v
为常数
c
时，则
2 ln(1 x) d (1 x) 2 ln(1 x) dx
1 x
x 1
也可以不写中间变量
dy d ln2 (1 x) 2 ln(1 x)d ln(1 x) 2 ln(1 x) dx 1 x
• 例 求下列隐函数的微分和导数
1 y3 x2 xy y2
dy3 d (x2 xy y2 ) dx2 dxy dy2
4. d ( 1 cos 2 x C ) sin 2 x d x 2
5. 设
由方程
确定,
求
解: 方程两边求微分, 得
3 x2 d x 3 y2 d y 3 cos3x d x 6 d y 0
当x
0时y
0,由上式得 d
y
x0
1 2
d
x
2已知xy exy，求dy
dxy dex y
5-3全微分的定义与可微的条件
二、可微的条件
一、全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x , y ) f ( x , y ) f x ( x, y )x
f ( x , y y ) f ( x , y ) f y ( x , y ) y
二元函数 对 x 和对 y 的偏增量
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 原理．
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
u u u du dx dy dz. x y z
叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
z f x ( x, y )x 1x f y ( x , y )y 2 y
1x 2 y 0 1 2 0,
故函数z f ( x , y ) 在点( x , y ) 处可微.
z z 习惯上，记全微分为 dz dx dy. x y
z z dz x y ． x y
为
证 如果函数 z f ( x , y ) 在点P ( x , y ) 可微分,
P ( x x , y y ) P 的某个邻域
z Ax By o( )
总成立,
当y 0 时，上式仍成立，此时 | x | ,
函数在点(0,0) 处不可微.
说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全
微分存在，
定理２（充分条件） 如果函数z f ( x , y ) 的偏
z z ( x, y) 导数 、 在点( x , y ) 连续，则该函数在点 x y
可微分．
证 z f ( x x , y y ) f ( x , y )
函数的微分
y
T
当y是曲线的纵
坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
y f (x)
）
o
当 x 很小时, 在点M的附近,
N
P
o(x)
M
dy y
x
x0 x0 x
x
切线段 MP可近似代替曲线段MN .
五、微分的求法
dy f ( x)dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
1.基本初等函数的微分公式
(2)求f (x)在点x 0附近的近似值;
令 x0 0, x x. f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x,
f ( x) f (0) f (0) x.
常用近似公式 ( x 很小时)
(1) n 1 x 1 1 x; (2) sin x x ( x为弧度); n
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
可导 可微. A f ( x0 ). 函数 y f ( x)在任意点x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或df ( x), 即 dy f ( x)x.
例1 求函数 y x3 当 x 2, x 0.02时的微分.
解 dy ( x3 )x 3x2x.
用铜多少克 .
解: 已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
时体积的增量
R 1 4 R2R R 1
R 0.01
R 0.01
0.13 (cm3)
因此每只球需用铜约为
8.9 0.13 1.16 ( g )
3、误差估计
由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法 等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差， 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误 差，我们把它叫做间接测量误差. 定义：如果某个量的精度值为A,它的近似值
函数的微分
例如 dcos x(cos x)Dx sin x Dx
dex(e x)DxexDx.
yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx). dyADx. 例1 求函数yx2在x1和x3处的微分. 解 函数yx2在x1处的微分为 dy(x2)|x1Dx2Dx 函数yx2在x3处的微分为 dy(x2)|x3Dx6Dx. 例2 求函数 yx3当x2 Dx 0.02时的微分. 解 先求函数在任意点x 的微分 dy(x3)Dx3x2Dx. 再求函数当x2 Dx0.02时的微分 dy|x2 Dx0.02 3x2| x2, Dx0.02 3220.020.24.
§2.5 函数的微分
一、微分的定义
二、微分的几何意义 三、基本微分公式与微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用
一、微分的定义
引例 一块正方形金属片受热后其边长 x 由 x0 变到 x0Dx 考查此薄片的面积 A 的改变情况. 因为 Ax2 所以金属片面积 的改变量为 DA(x0Dx)2(x0)2 2x0Dx(Dx)2. 当Dx0时 (Dx)2o(Dx ) DA的主要部分是Dx的线性函数 2x0Dx 2x0Dx是DA的近似值.
根据等价无穷小的性质 Dydyo(dy). 结论 在f (x0)0的条件下 以微分dyf (x0)Dx近似代替增 量Dyf(x0Dx)f(x0)时 其误差为o(dy). 因此 当|Dx|很小时 有近似等式Dydy.
二、微分的几何意义
当x从x0变到x0Dx时 Dy是曲线上点的纵坐标的增量 dy是过点(x0 f(x0))的切线上点的纵坐标的增量.
d(a x)ax ln adx d(e x)exdx
Байду номын сангаас数公式:
微分公式:
(log a x) 1 x ln a (ln x) 1 x 1 (arcsin x) 1 x2 (arccosx) 1 1 x2 (arctan x) 1 2 1 x (arc cot x) 1 2 1 x
第二章第五节 函数的微分
高等数学
二、微分的几何意义
当x从x0变到x0+∆x时, ∆y是曲线上点的纵坐 标的增量; dy是过点(x0, f(x0))的切 线上点的纵坐标的增量. 当|∆x|很小时, |∆y−dy|比|∆x|小得多. 因此, 在点M的邻近, 我们可以用切线段来近似代 替曲线段. 记 自变量的微分, ∆y = ∆x = dx 称∆x为 自变量的微分 记作 dx dy = f ′(x) 导数也叫作微商 则有 dy = f ′(x) dx 从而 dx
高等数学
§2.5函数的微分 函数的微分
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似计算中的应用
高等数学
一、微分的概念 引例: 引例 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其 边长由 x0 变到 x0 + ∆x , 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A= x2 , 当 x 在 x0 取 得增量 ∆x 时, 面积的增量为 (∆x)2 x0∆x ∆x 关于△x 的 ∆x →0时为 线性主部 高阶无穷小 故 称为函数在 x0 的微分
高等数学
2、 微分的四则运算法则 、 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
= du ± dv = vdu + udv
3. 复合函数的微分 分别可微 , 则复合函数 的微分为
(C 为常数)
= f ′(u) ϕ′(x) dx dy = f ′(u) du
du
微分形式不变
高等数学
若y=f(u), u=j(x), 则dy=f ′(u)du. 例3 y=sin(2x+1), 求dy. 解 把2x+1看成中间变量u, 则 dy=d(sin u) =cos udu =cos(2x+1)d(2x+1) =cos(2x+1)⋅2dx =2cos(2x+1)dx. 在求复合函数的导数时, 可以不写出中间变量. 例4. y =ln(1+ex2 ) , 求 dy. 解 dy =d ln(1+ex2 ) = 1 2 d(1+ex2 ) 1+ex 1 ⋅ex2d(x2) = 1 ⋅ex2 ⋅2xdx = 2xex2 dx = . x2 x2 x2 1+e 1+e 1+e
微分的概念
(1) 2x0 x是y的线性主部；
(2) ( x ) 是比x高阶的无穷小。
2
当 | x | 很小时， y 2 x0 x
2013-9-23 1
§2.2.1 微分的概念
定义1：若函数 y f ( x )在 x0的改变量 y与自变量 x的改变量
x有下列关系， y Ax o(x ),
(1)
其中 A是仅依赖于 x0而与 x无关的常数，o( x )是比 x高阶 的无穷小量，则称函数 y f ( x )在 x0可微，Ax称为函数 f ( x ) 在点 x0处的微分，记作dy | x x0 ，即 dy | x x0 Ax .
注：函数在一点的微分就是函数在该点的增量的线性主部。
1
dx( 1 x 1);
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10
§2.2.1 微分的概念
4.微分法则 a.函数的和、差、积、商的微分法则
设 u u(x ), v v (x ) 都可导，则有
(1) d( u v)=d u d v ; (2) d( uv) vd u ud v;
u vdu udv (3) d( ) (v 0). 2 v v
dy f (u)du
注1：这说明，y作为自变量 x的函数的微分与 y作为中间变量
u的函数的微分是相等的，这一性质称为微分形式不变性。 dy dy 注2：值得注意的是导数没有这种不变性。即 . dx du
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§2.2.1 微分的概念
例3 求下列函数的微分：
(1) y a
cos 2 x
;
(2) y arctan x ;
(3) y lncot 3 x;
tan x (4) y . x 1 e
高等数学 第2章 第七节 函数的微分
2
3、问题：函数可微的条件是什么？
A?
设函数 y f ( x) 在点 x0 可微, 则有(1)成立，即 y Ax o(x)
等式两端除以
x ,得
y A o(x) .
x
x
于是, 当 x 0时, 由上式就得到
f x0
ex e x ,
微分公式
d x x 1dx ,
dsin x cos xdx, dcos x sin xdx,
dtan x sec2 xdx, dcot x csc2 xdx, dsecx secx tan xdx, dcsc x csc x cot xdx,
d a x a x ln adx,
d ex e xdx, 8
loga
x
1 x lna
,
ln 1 ,
x
arcsin x 1 ,
1 x2
arccos x 1 ,
1 x2
arctan x 1 ,
1 x2
arc cot x 1 .
1 x2
2.函数的和、差、积、商的微分法则
d log a
x
1 x ln a
dx,
dln x 1 dx,
cos x e13x 3dx e13x sin xdx
e13x (3cos x sin x)dx.
例7 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立。
(1)d(__) xdx;(2)d(__) costdt
解: (1)因为 d ( x 2 ) 2 xdx.
可见，xdx 1 d x2 2
1、不论自变量还是函数，对方程两边求微分。并将微分进行 到dy、dx 。
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解
y
1 2 xe x2 x ex2
,
dy
1 2 xe x2 x ex2
dx.
例3 设 y e13x cos x, 求dy. 解 dy cos x d(e13x ) e13x d(cos x)
(e13x ) 3e13x , (cos x) sin x. dy cos x (3e13x )dx e13x ( sin x)dx
）
o
当 x 很小时, 在点M的附近,
N
P
o(x)
M
dy y
x
x0 x0 x
x
切线段 MP可近似代替曲线段MN .
五、微分的求法
dy f ( x)dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
1.基本初等函数的微分公式
d(C) 0
d ( x ) x1dx
d(sin x) cos xdx
d(cos x) sin xdx
y ~ dy (x 0) y dy o(y)
这表明 在f ( x0 ) 0的条件下 y dy
不仅是比 x 高阶的无穷小，而且也是比 y
高阶的无穷小，因此 dy是y的主要部分
四、微分的几何意义
几何意义:(如图)
y
T
当y是曲线的纵
坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
y f (x)
d(ln x) 1 dx x
d(arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
d
(arc
cot
x
)
1
1 x
2
dx
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d(u v) du dv d(uv) vdu udv
d(Cu) Cdu
u vdu udv
d( ) v
v2
例2 设 y ln( x e x2 ), 求dy.
二、微分的定义
定义 设函数 y f ( x)在某区间内有定义, x0及 x0 x在这区间内, 如果 y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f ( x)在点 x0可微, 并且称A x为函数 y f ( x)在点 x0相应于自变量增量x的微分, 记作dy x x0 或 df ( x0 ), 即dy x x0 A x.
再例如, 设函数 y x3在点 x0处的改变量 为x时, 求函数的改变量y.
y ( x0 x)3 x03
3x02 x 3x0 (x)2 (x)3 .
(1)
(2)
当 x 很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x),
y 3x02 x.
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
三、可微的条件
定理 函数 f ( x)在点 x0可微的充要条件是函 数 f ( x)在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).
证 (1) 必要性 f ( x)在点x0可微,
y A x o(x),
y A o(x) ,
x
x
则 lim y A lim o(x) A.
x0 x
x0 x
函数的微分
前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是 微分学的一个重要概念。在工程技术中，还会遇 到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变 量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的 增量。一般来说，计算函数增量的准确值是比较 繁难的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算 它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概 念——微分。
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
可导 可微. A f ( x0 ). 函数 y f ( x)在任意点x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或df ( x), 即 dy f ( x)x.
yf(x)在点x0可微yAxo(x)。 dyf (x0)x。
例1．求函数 yx3当x2，x 0. 02时的微分。 解：先求函数在任意点x 的微分，
一、问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
正方形面积 A x02, A ( x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
(1)
(2)
x0
x0x
x (x)2
x
A x02
x0x x0
(1) : x的线性函数,且为A的主要部分; (2) : x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
dyf (x)dx。
dy f (x)dx.
dy f ( x). dx
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于
该函数的导数. 导数也叫"微商".
由微分的定义及上述定理可知 若f ( x)在x0处可导
则f ( x)在x0处可微，且dy f ( x0 )x
当f ( x0 ) 0时
lim y lim y 1 x0 dy x0 f ( x0 )x
d(tan x) sec2 xdx d(cot x) csc2 xdx
d(sec x) sec x tan xdx d(csc x) csc x cot xdx
d(a x ) a x ln adx
d(e x ) e xdx
d (loga
x)
1 x lna
dx
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
dy(x3)x3x2x。 再求函数当x2，x0. 02时的微分，
dy x2,x0.02 3x 2 x x2,x0.02 3220.020.24。
自变量的微分：
因为当yx时， dydx(x)xx，
所以通常把自变量 x 的增量x称为自变量的微分， 记作dx ，即
dxx。 因此，函数yf(x)的微分又可记作
微分 dy叫做函数增量y的线性主部(.微分的实质)
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数;
(2) y dy o(x)是比x高阶无穷小;
(3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小;
y dy
1
o(x) A x
(4) A是与x无关的常数, 但与f ( x)和x0有关;
(5) 当x 很小时,y dy (线性主部).
即函数 f ( x)在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
lim y x0 x
f ( x0 ),
即 y x
f ( x0 ) ,
从而 y f ( x0 ) x (x), 0 (x 0),
f ( x0 ) x o(x),