一次不定方程非负整数解的组数问题
不定方程非负整数解的个数
不定方程非负整数解的个数
1【不定方程正整数解的个数】--m n C 11
不定方程12(,)m x x x n m n N +++⋅⋅⋅+=∈正整数解12(,,,)m x x x ⋅⋅⋅的个数为11m n C --。
证明：n 可看作是n 个圈“〇”（每个圈代表1，k 个圈代表数值k ，），圈与圈之间有1n -个空位，要保证是正整数解，即每个(1,2,,)i x i m =⋅⋅⋅位置上必须保证有一个圈，则只能在圈与圈之间的1n -个空位的相应位置上插入1m -个隔板（隔成m 个x ）
，第i 个隔板前的两个隔板间的圈的个数即表示i x （紧靠第i 个隔板前的k 个圈即表示i x k =）。
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
1x 个2x 个m x 个
所以从1n -个圈与圈之间的空位中选1m -个空位插入隔板即可解得不定方程解的个
数，即11m n C --。
2【不定方程非负整数解的个数】-+-m n m C 11
不定方程12(,)m x x x n m n N +++⋅⋅⋅+=∈非负整数解12(,,,)m x x x ⋅⋅⋅的个数为111n m n m n m C C -+-+-=。
证明：令1(1,2,,)i i y x i m =+=⋅⋅⋅，则12m y y y n m ++⋅⋅⋅+=+，所以不定方程12m x x x n ++⋅⋅⋅+=的非负整数解的个数等于不定方程12m y y y n m ++⋅⋅⋅+=+的正
整数解的个数，即111m n n m n m C C -+-+-=。
排列组合练习题与答案
排列组合习题精选一、纯排列与组合问题：1.从9人中选派2人参加*一活动，有多少种不同选法？2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源〞、“生态〞和“环保〞三个夏令营活动，共有90种不同的方案，则男、女同学的人数是〔〕A.男同学2人，女同学6人B.男同学3人，女同学5人C. 男同学5人，女同学3人D. 男同学6人，女同学2人4.一条铁路原有m个车站，为了适应客运需要新增加n个车站〔n>1〕，则客运车票增加了58种〔从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票〕，则原有的车站有〔〕A.12个B.13个C.14个D.15个2221322选C.二、相邻问题：1. A、B、C、D、E五个人并排站成一列，假设A、B必相邻，则有多少种不同排法？2. 有8本不同的书，其中3本不同的科技书，2本不同的文艺书，3本不同的体育书，将这些书竖排在书架上，则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法种数为( )A.720B.1440C.2880D.3600答案：1.242448A A= (2) 选B 3253251440A A A=三、不相邻问题：1.要排一个有4个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目都不相邻，有多少种不同排法？2、1到7七个自然数组成一个没有重复数字的七位数，其中奇数不相邻的有多少个？3.4名男生和4名女生站成一排，假设要求男女相间，则不同的排法数有〔〕A.2880B.1152C.48D.1444.排成一排的8个空位上，坐3人，使每人两边都有空位，有多少种不同坐法？5.8椅子放成一排，4人就坐，恰有连续三个空位的坐法有多少种？6. 排成一排的9个空位上，坐3人，使三处有连续二个空位，有多少种不同坐法？7. 排成一排的9个空位上，坐3人，使三处空位中有一处一个空位、有一处连续二个空位、有一处连续三个空位，有多少种不同坐法？8. 在一次文艺演出中，需给舞台上方安装一排彩灯共15只，以不同的点灯方式增加舞台效果，要求设计者按照每次点亮时，必须有6只灯是熄灭的，且相邻的灯不能同时熄灭，两端的灯必须点亮的要求进展设计，则不同的点亮方式是〔 〕A.28种B.84种C.180种D.360种答案：1.43451440A A = 〔2〕3434144A A = 〔3〕选B 444421152A A = 〔4〕3424A = 〔5〕4245480A A =〔6〕333424A C = 〔7〕3334144A A = 〔8〕选A 6828C = 四、定序问题：1. 有4名男生，3名女生。
(完整版)排列组合练习试题和答案解析
A.9种B.12种C.15种D.18种
5.将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒至少1球的方法有多少种？
6.某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题竞赛活动，使代表中每班至少有1人参加的选法有多少种？
A.1:14 B.1:28 C.1:140 D.1:336
十、插空
1.要排一个有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目都不相邻，有多少种不同排法？
2、4名男生和4名女生站成一排，若要求男女相间，则不同的排法数有（）
A.2880 B.1152 C.48 D.144
3.要排一个有5个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单，如果舞蹈节目不相邻，则有多少种不同排法？
(2)奇约数中步不含有2的因数,因此75600的每个奇约数都可以写成 的形式,同上奇约数的个数为4×3×2=24个.
3. 2名医生和4名护士被分配到两所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同分配方法有多少种？
4．有四位同学参加三项不同的比赛，
（1）每位同学必须参加一项竞赛，有多少种不同的结果？
十一、隔板法
1.不定方程 的正整数解的组数是，非负整数解的组数是。
2.某运输公司有7个车队，每个车队的车多于4辆，现从这7个车队中抽出10辆车，且每个车队至少抽一辆组成运输队，则不同的抽法有
A.84种B.120种C.63种D.301种
3.要从7所学校选出10人参加素质教育研讨班，每所学校至少参加1人，则这10个名额共有种分配方法。
（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？
新编六年级奥数精讲和测试：第22讲二元一次不定方程
例1．求11x+15y=7的整数解。
例2．求方程7x+19y=213的所有正整数解。
例3．求方程组310053100x y zx y z++=⎧⎨++=⎩的全部整数解。
例4．现有5分和7分的两种硬币，用它们去支付142分货款，有多少种不同的方法？例5．一个布袋中有红、黄、兰三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，兰球上标有数字3。
小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字和等于21，则小明摸出的球中红球的个数和最多不超过多少个？A卷01．a、b都是正整数，且143a+500b=2001，求a+b。
02．求方程9x+21y=79的整数解。
03．求方程3x+4y=5的整数解。
04．求方程7x+11y=123的整数解。
05．求方程6x+22y=90的非负整数解。
06．某人计划使用不超过100元的资金购买单价分别为7元和9元的光盘x张和y张，每种光盘至少买3张，问购买的方式共有多少种？B卷01．三元方程x+y+z=2007的非负整数解的组数有多少？02．求方程2x+3y+7z=23的整数解。
03．求方程组5795235736x y zx y z++=⎧⎨++=⎩的正整数解。
04．求方程123x+57y =531的全部正整数解。
05．求方程3x+5y=1306的正整数解的组数。
06．甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中60道题。
其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，试问难题多还是容易题多？多的比少的多几道题？C卷01．小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分。
小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。
小明套10次共得61分，问小鸡至少被套中几次？02．今有浓度为5％、8％、9％的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克，现要配制成浓度为7％的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？03．今有公鸡每只五元钱，母鸡每只三元钱，小鸡每元钱三只。
排列组合练习试题和答案解析
《排列组合》一、排列与组合1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是A.男同学2人，女同学6人B.男同学3人，女同学5人C. 男同学5人，女同学3人D. 男同学6人，女同学2人4.一条铁路原有m个车站，为了适应客运需要新增加n个车站（n>1），则客运车票增加了58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有A.12个B.13个C.14个D.15个5．用0，1，2，3，4，5这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？（5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？二、注意附加条件1.6人排成一列（1）甲乙必须站两端，有多少种不同排法？（2）甲乙必须站两端，丙站中间，有多少种不同排法？2.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数？3.由数字1，2，3，4，5，6，7所组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排列起来，第379个数是A.3761B.4175C.5132D.61574. 设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有A.30种B.31种C.32种D.36种5.从编号为1，2，…，10,11的11个球中取5个，使这5个球中既有编号为偶数的球又有编号为奇数的球，且它们的编号之和为奇数，其取法总数是A.230种B.236种C.455种D.2640种6.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有1双同色的取法有A.240种B.180种C.120种D.60种7. 用0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列起来，第71个数是 。
排列组合练习题及答案
排列组合习题精选一、纯排列与组合问题：1。
从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出,有多少种不同选派方法？3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是（）A.男同学2人，女同学6人B.男同学3人，女同学5人C。
男同学5人，女同学3人 D。
男同学6人，女同学2人4.一条铁路原有m个车站，为了适应客运需要新增加n个车站(n>1)，则客运车票增加了58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票）,那么原有的车站有（ )A.12个 B。
13个 C。
14个 D.15个2221322选C。
二、相邻问题：1。
A、B、C、D、E五个人并排站成一列，若A、B必相邻，则有多少种不同排法？2. 有8本不同的书, 其中3本不同的科技书，2本不同的文艺书，3本不同的体育书，将这些书竖排在书架上，则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法种数为( ）A.720B.1440C.2880 D。
3600答案：1。
242448A A= (2) 选B 3253251440A A A=三、不相邻问题：1.要排一个有4个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目都不相邻，有多少种不同排法？2、1到7七个自然数组成一个没有重复数字的七位数,其中奇数不相邻的有多少个？3。
4名男生和4名女生站成一排，若要求男女相间，则不同的排法数有（）A 。
2880 B.1152 C 。
48 D 。
1444.排成一排的8个空位上,坐3人,使每人两边都有空位，有多少种不同坐法？ 5。
8张椅子放成一排,4人就坐，恰有连续三个空位的坐法有多少种？6. 排成一排的9个空位上，坐3人,使三处有连续二个空位,有多少种不同坐法?7. 排成一排的9个空位上，坐3人,使三处空位中有一处一个空位、有一处连续二个空位、有一处连续三个空位，有多少种不同坐法？8。
带限制条件的不定方程正整数解的计数问题
广 ， 到一 些 未 知数 带 有 限制 条件 的 多元 一 次 不定 方 程 的非 负整 数 解 的计 数 公 式 ． 得
关键词 ： 不定方程 ； 计数 问题 ； 组合数学
中图分 类 号 ： １ １ １ ０ ５ ．
文 献标识码 ： Ａ
文章 编号 ：０ ８— ２ ５ ２ １ ） １ ０ ７— ３ １ ０ ８ ４ （ ０ １ Ｏ —０ ３ ０
Ａｂｓ ｒ ｃ ：Ｉ ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｈ ｅ ｅ ｕ ｒ ｔ ｎ ｑ ｅ ｔ ｎ ｏ ｅ ｉ ｔ ｇ ｒ ｓ ｌ ｔ ｎ ｆ ｒ ｓ ｍｅ ｉ ｄ ｔ ｒ ｎ ｔ ｑ ａ ｉ ｎ ｔ ａ ｔ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ，ｔ ｎ ｍｅ ａ ｉ ｕ ｓｉ ｆ ｔ ｎ ｅ ｅ ｏ ｕ ｉ ｏ ｏ ｎ ｅ ｅ ｍｉ ａ ｅ ｅ ｕ ｔ ｓ ｏ ｏ ｈ ｏ ｏ
黄
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理
工
学
院
学
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，
如果 ｒ ≥ｍ， 一 次 不 定 则
数 即为不定方程 （ ） 正整数解 的组数． ５ 的
ｆ ｌ ２ ＋ ＋… ＋ ： ｎ ｒ
记 ＋ １ ｍ ： ．
，
方 程
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一
＝
…
、
的 正 整 数 解 的 组 数
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｛ ≥１ｉ １２ …， （＝ ，， １ ）
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（ ６ ）
（ 的 负 数 的 数 ｆ＋ 。一 ． ４ 非 整 解 组 为 凡卜ｍ 此 ） １
时 ， ｉ ｉ Ｙ ＝戈 一口 ≥０， 即 ≥ 口 ＞０ ．故 不 定 方 程 （ 的 非 负 整 数 解 的 组 数 即 为 一 次 不 定 方 程 ４）
排列组合练习题及答案
排列组合习题精选一、纯排列与组合问题：1.从9人中选派2人参加某一活动,有多少种不同选法2.从9人中选派2人参加文艺活动,1人下乡演出,1人在本地演出,有多少种不同选派方法3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动,已知共有90种不同的方案,那么男、女同学的人数是A.男同学2人,女同学6人B.男同学3人,女同学5人C. 男同学5人,女同学3人D. 男同学6人,女同学2人4.一条铁路原有m 个车站,为了适应客运需要新增加n 个车站n>1,则客运车票增加了58种从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票,那么原有的车站有个 个 个 个222132258m nm A A +-= 选C.二、相邻问题：1. A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一列,若A 、B 必相邻,则有多少种不同排法2. 有8本不同的书, 其中3本不同的科技书,2本不同的文艺书,3本不同的体育书,将这些书竖排在书架上,则科技书连在一起,文艺书也连在一起的不同排法种数为答案：1.242448A A = 2 选B 3253251440A A A = 三、不相邻问题：1.要排一个有4个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目都不相邻,有多少种不同排法2、1到7七个自然数组成一个没有重复数字的七位数,其中奇数不相邻的有多少个名男生和4名女生站成一排,若要求男女相间,则不同的排法数有4.排成一排的8个空位上,坐3人,使每人两边都有空位,有多少种不同坐法张椅子放成一排,4人就坐,恰有连续三个空位的坐法有多少种6. 排成一排的9个空位上,坐3人,使三处有连续二个空位,有多少种不同坐法7. 排成一排的9个空位上,坐3人,使三处空位中有一处一个空位、有一处连续二个空位、有一处连续三个空位,有多少种不同坐法8. 在一次文艺演出中,需给舞台上方安装一排彩灯共15只,以不同的点灯方式增加舞台效果,要求设计者按照每次点亮时,必须有6只灯是熄灭的,且相邻的灯不能同时熄灭,两端的灯必须点亮的要求进行设计,那么不同的点亮方式是种 种 种 种答案：1.43451440A A = 23434144A A = 3选B 444421152A A = 43424A = 54245480A A =6333424A C = 73334144A A = 8选A 6828C = 四、定序问题：1. 有4名男生,3名女生;现将他们排成一行,要求从左到右女生从矮到高排列,有多少种排法2. 书架上有6本书,现再放入3本书,要求不改变原来6本书前后的相对顺序,有多少种不同排法答案：1.7733840AA= 2.9966504AA=五、分组分配问题：1.某校高中二年级有6个班,分派3名教师任教,每名教师任教两个班,不同的安排方法有多少种2. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人一本、二本、三本的不同分法有多少种项工程,甲承包三项,乙承包一项,丙、丁各承包二项,不同的承包方案有多少种4. 6人住ABC三个房间,每间至少住1人,有多少种不同住宿方案5.有4个不同小球放入四个不同盒子,其中有且只有一个盒子留空,有多少种不同放法6. 把标有a,b,c,d,e,f,g,h,8件不同纪念品平均赠给甲、乙两位同学,其中a、b不赠给同一个人,则不同的赠送方法有种用数字作答;答案：1.222364233390C C C A A = 212336533360C C C A = 33122285422221680C C C C A A = 41142223123336546423653332323540C C C C C C A C C C A A A A ++= 5211134214322144C C C C A A = 6331122632122222240C C C C A A A A ⋅= 六、相同元素问题：1. 不定方程 的正整数解的组数是 ,非负整数解的组数是 ;2.某运输公司有7个车队,每个车队的车多于4辆,现从这7个车队中抽出10辆车,且每个车队至少抽一辆组成运输队,则不同的抽法有 种 种 种 种3.将7个相同的小球全部放入4个不同盒子中, （1）每盒至少1球的方法有多少种 （2）（3）恰有一个空盒的方法共有多少种4.有编号为1、2、3的3个盒子和10个相同的小球,现把10个小球全部装入3个盒子中,使得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数,这种装法共有 种 种 种 种5.某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队,参加市中学数学应用题竞赛活动,使代表中每班至少有1人参加的选法有多少种答案：1.3361020 , 120C C == 2.选A 6984C = 3.13620C = 2124660C C = 4选C,2615C =5611462C = 七、直接与间接问题：1.有6名男同学,4名女同学,现选3名同学参加某一比赛,至少有1名女同学,由多少种不 同选法12347x x x x +++=人排成一列1甲乙必须站两端,有多少种不同排法2甲必须站两端,乙站最中间,有多少种不同排法3 甲不站排头乙不站排尾, 有多少种不同排法3.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且不是5的倍数的五位数4. 2名男生4名女生排成一行,女生不全相邻的排法有多少种5. 从5门不同的文科学科和4门不同的理科学科中任选4门,组成一个综合高考科目组,若要求这组科目中文理科都有,则不同的选法的种数 种 种 种 种6. 5人排成一排,要求甲、乙之间至少有1人,共有多少种不同排法7.四面体的顶点和各棱中点共有10个点,在其中取4个不共面的点不同取法有多少种答案：1、1221346464100C C C C C ++= 或 33106100C C -= 2.12525240A A = 21525240A A = 3115655563720A A A A +=或76576523720A A A -+= 3、1455600A A =或5465600A A -= 4、643643576A A A -=或32221224234223576A A A A A A A += 5、选C.132231545454120C C C C C C ++=或 444954120C C C --= 6、123222323233223272A A A A A A A A ++=或52452472A A A -= 7、44106463141C C ---=八、分类与分步问题： 1.求下列集合的元素个数． 1{(,)|,,6}M x y x y N x y *=∈+≤；2． 2.一个文艺团队有10名成员,有7人会唱歌,5人会跳舞,现派2人参加演出,其中1名会唱歌,1名会跳舞,有多少种不同选派方法3. 9名翻译人员中,6人懂英语,4人懂日语,从中选拔5人参加外事活动,要求其中3人担任英语翻译,2人担任日语翻译,选拔的方法有 种用数字作答;4.某博物馆要在20天内接待8所学校的学生参观,每天只安排一所学校,其中一所人数较多的学校要连续参观3天,其余学校只参观1天,则在这20天内不同的安排方法为 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种5. 从10种不同的作物种子选出6种放入6个不同的瓶子展出,如果甲乙两种种子不能放第一号瓶内,那么不同的放法共有A. 种B. 种C. 种D. 种6. 在画廊要展出1幅水彩画、4幅油画、5幅国画,要求排成一排,并且同一种的画摆放在一起,还要求水彩画不能摆两端,那么不同的陈列方式有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种7. 把一个圆周24等分,过其中任意3个分点,可以连成圆的内接三角形,其中直角三角形的个数是8. 有三张纸片,正、反面分别写着数字1、2、3和4、5、6 ,将这三张纸片上的数字排成三位数,共能组不同三位数的个数是 A. 249.在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种10．用0,1,2,3,4,5这六个数字,{(,)|,,14,15}H x y x y N x y *=∈≤≤≤≤372017C A 820A 171817C A 1818A 24108C A 1599C A 1589C A 1598C A 1545A A 245345A A A 145445A A A 245245A A A1可以组成多少个数字不重复的三位数2可以组成多少个数字允许重复的三位数3可以组成多少个数字不重复的三位数的奇数4可以组成多少个数字不重复的三位数的偶数5可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数6可以组成多少个大于3000,小于5421的数字不重复的四位数11.由数字1,2,3,4,5,6,7所组成的没有重复数字的四位数,按从小到大的顺序排列起来,第379个数是12. 设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖,将五个杯盖盖在五个茶杯上,至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有种种种种13.从编号为1,2,…,10,11的11个球中取5个,使得这5个球的编号之和为奇数,其取法总数是种种种种14.从6双不同颜色的手套中任取4只,试求各有多少种情况出现如下结果1 4只手套没有成双；2 4只手套恰好成双；3 4只手套有2只成双,另2只不成双15.从5部不同的影片中选出4部,在3个影院放映,每个影院至少放映一部,每部影片只放映一场,共有 种不同的放映方法用数字作答;3.32223153535390C C C C C C ++=4.选C 171817C C 5.选C 1589C A 6.选D 452452A A A 7.选C3321112111(5) 325325551231C C C +⨯+⨯= 13、选B 1432565656236C C C C C ++= 14、14111162222240C C C C C =22615C =312116522240C C C C =15.211434215322180C C C C A A = 16.所有不同的三角形可分为三类： 第一类:其中有两条边是原五边形的边,这样的三角形共有5个;第二类:其中有且只有一条边是原五边形的边,这样的三角形共有5×4=20个;第三类:没有一条边是原五边形的边,即由五条对角线围成的三角形,共有5+5=10个.由分类计数原理得,不同的三角形共有5+20+10=35个. 九、元素与位置问题：1．有四位同学参加三项不同的比赛,1每位同学必须参加一项竞赛,有多少种不同的结果2每项竞赛只许一位学生参加,有多少种不同的结果2. 25200有多少个正约数有多少个奇约数答案：1.1每位学生有三种选择,四位学生共有参赛方法：333381⨯⨯⨯=种；2每项竞赛被选择的方法有四种,三项竞赛共有参赛方法：44464⨯⨯=种.2. 25200的约数就是能整除25200的整数,所以本题就是分别求能整除25200的整数和奇约数的个数. 由于 25200=24×32×52×71 25200的每个约数都可以写成lk j l 7532⋅⋅⋅的形式,其中40≤≤i ,02j ≤≤,20≤≤k ,10≤≤l于是,要确定25200的一个约数,可分四步完成,即l k j i ,,,分别在各自的范围内任取一个值,这样i 有5种取法,j 有3种取法,k 有3种取法,l 有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5×3×3×2=90个.2奇约数中步不含有2的因数,因此25200的每个奇约数都可以写成lk j 753⋅⋅的形式,同上奇约数的个数为3×3×2=18个. 十、染色问题：1.如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为 A. 180 B. 160 C. 96 D. 60若变为图二,图三呢2. 某班宣传小组一期国庆专刊,现有红、 黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用, 要求在黑板中A 、B 、C 、D 如图每一图一图二图三部分只写一种颜色,相邻两块颜色不同,则不同颜色粉笔书写的方法共有种用具体数字作答;答案：1.选A 5433180⨯⨯⨯= 5×4×4×4=320 2.⨯⨯⨯=5434240⨯⨯⨯=5433180。
六年级下册奥数第七讲-整数的分拆 例题 习题 ｜通用版(例题含答案)
第七讲整数的分拆整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题.把自然数n分成为不计顺序的若干个自然数之和n=n1+n2+…＋nm（n1≥n2≥…≥nm≥1）的一种表示法，叫做n的一种分拆.对被加项及项数m加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆.早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究.1742年德国的哥德巴赫提出“每个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数的和”，这就是著名的哥德巴赫猜想，中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果.下面我们通过一些例题，简单介绍有关整数分拆的基本知识.一、整数分拆中的计数问题例1有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？解：根据分拆的项数分别讨论如下：①把6分拆成一个自然数之和只有1种方式；②把6分拆成两个自然数之和有3种方式6=5+1=4+2=3+3；③把6分拆成3个自然数之和有3种方式6=4+1+1=3+2+1=2+2+2；④把6分拆成4个自然数之和有2种方式6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；⑤把6分拆成5个自然数之和只有1种方式6=2+1+1＋1＋1；⑥把6分拆成6个自然数之和只有1种方式6＝1+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成若干个自然数之和共有1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法.说明：本例是不加限制条件的分拆，称为无限制分拆，它是一类重要的分拆.例2有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？解法1：采用有限穷举法并考虑到加法交换律：1994=1993+1=1＋1993=1992+2=2＋1992=…=998＋996=996+998=997+997因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和.解法2：构造加法算式：于是，只须考虑从上式右边的1993个加号“+”中每次确定一个，并把其前、后的1分别相加，就可以得到一种分拆方法；再考虑到加法交换律，因此共有997种不同的分拆方式.说明：应用本例的解法，可以得到一般性结论：把自然数n≥2表示为两个自然数之和，一共有k种不同的方式，其中例3有多少种方法可以把100表示为（有顺序的）3个自然数之和？（例如，把3+5＋92与5+3+92看作为100的不同的表示法）分析本题仍可运用例1的解法2中的处理办法.解：构造加法算式于是，考虑从上式右边的99个加号“+”中每次选定两个，并把它们所隔开的前、中、后三段的1分别相加，就可以得到一种分拆方法.因此，把100表示为3个自然数之和有种不同的方式.说明：本例可以推广为一般性结论：“把自然数n≥3表示为（有顺序科奥林匹克数学竞赛第10题）.例4用1分、2分和5分的硬币凑成一元钱，共有多少种不同的凑法？分析用1分、2分和5分硬币凑成一元钱与用2分和5分硬币凑成不超过一元钱的凑法数是一样的.于是，本题转化为：“有2分硬币50个，5分硬币20个，凑成不超过一元钱的不同凑法有多少种？解：按5分硬币的个数分21类计数；假若5分硬币有20个，显然只有一种凑法；假若5分硬币有19个，则2分硬币的币值不超过100-5×19=5（分），于是2分硬币可取0个、1个、或 2个，即有3种不同的凑法；假若5分硬币有18个，则2分硬币的币值不超过100-5×18=10（分），于是2分硬币可取0个、1个、2个、3个、4个、或5个，即有6种不同的凑法；…如此继续下去，可以得到不同的凑法共有：1+3+6+8+11＋13+16+18+21+…+48+51=5×（1+3+6+8）+4×（10+20＋30+40）+51=90＋400＋51=541（种）.说明：本例实际上是求三元一次不定方程x+2y+5z=100的非负整数解的组数.上述例2、例3、例4都是有限制条件的特殊的整数分拆问题.二、整数分拆中的最值问题在国内外的数学竞赛试题中经常出现与整数分拆有关的最大值或最小值的问题.例5试把14分拆为两个自然数之和，使它们的乘积最大.解：由例2可知，把14分拆成两个自然数之和，共有7种不同的方式.对每一种分拆计算相应的乘积：14=1＋13，1×13＝13；14=2+12，2×12=24；14=3＋11，3×11=33；14=4＋10，4×10=40；14=5＋9，5×9=45；14=6+8，6×8=48；14=7+7，7×7=49.因此，当把14分拆为两个7之和的时候，乘积（7×7=49）最大.说明：本例可以推广为一般性结论：“把自然数n≥2分拆为两个自然数a与b（a≥b）之和，使其积a×b取最大值的条件是a=b或a-b=1（a＞b）”.事实上，假设a-b=1＋m（其中m是一个自然数），显然n=a ＋b=（a-1）+（b＋1），而有（a-1）×（b＋1）＝a×b＋a-b-1＝a×b ＋m＞a×b.换句话说，假设n=a+b且a-b＞1，那么乘积a×b不是最大的.这样，例6试把14分拆为3个自然数之和，使它们的乘积最大.分析由例5的说明可知，假设n＝a+b＋c（a≥b≥c）且a-c＞1时，乘积a×b×c不是最大的.换句话说，若n=a+b＋c（a≥b≥c），当a、b、c中的任意两数相等或差为1时，乘积a×b×c取最大值.解：因为14=3×4＋2，由分析可知：当a=b=5且c=4时，乘积a×b ×c=5×5×4＝100为最大值.说明：本题可以推广为一般结论：把自然数n≥3分拆为3个自然数a、下面我们再研究一个难度更大的拆数问题.问题：给定一个自然数N，把它拆成若干个自然数的和，使它们的积最大.这个问题与前面研究的两个拆数问题的不同点是：问题中没有规定把N拆成几个自然数的和.这也正是这题的难点，使分拆的种类要增加许多.我们仍旧走实验-观察-归纳结论这条路.先选择较小的自然数5开始实验.并把数据列表以便比较.实验表1：结果：5拆成2＋3时，其积6最大.你注意到了吗？我们的实验结果是按把5拆分数的个数多少，由多到少的次序进行的.再注意，当被拆数n＞3时（这里n=5），为了使拆分数的乘积最大，拆分数中不能有1.因为当n＞3，n=1+（n-1）=2+（n-2），且2×（n-2）＞1×（n-1）.结果：7拆分成2＋2+3时.其积12最大.注意，分拆数中有4时，总可把4再分拆成2与2之和而不改变分拆的乘积.实验结果4：8拆分成2＋3+3时，其积最大.实验结果5：9拆分成3+3+3时，其积最大.实验结果6：10拆分成3+3+2＋2时，其积最大.观察分析实验结果，要使拆分数的乘积最大，拆分数都由2与3组成，其形式有三种：①自然数=（若干个3的和）；②自然数=（若干个3的和）+2；③自然数=（若干个3的和）+2＋2.因此，我们得到结论：把一个自然数N拆分成若干个自然数的和，只有当这些分拆数由2或3组成，其中2最多为2个时，这些分拆数的乘积最大.（因为2+2+2=3+3，2×2×2＜3×3，所以分拆数中2的个数不能多于2个.）例分别拆分1993、1994、2001三个数，使分拆后的积最大.解：∵1993=664×3＋1.∵1994=664×3＋2∴1994分拆成（664个3的和）＋2时，其积最大.∵2001=667×3∴2001分拆成（667个3的和）时，其积最大.我们以上采用的“实验-观察-归纳总结”方法，在数学上叫做不完全归纳法.我国著名数学家华罗庚讲过：难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前怎么去找出公式.不完全归纳法正是人们寻找公式的重要方法之一.但是这种方法得出的结论有时会不正确，所以所得结论还需要严格证明.这一步工作要等到学习了中学的课程才能进行.习题七1.两个十位数1111111111和9999999999的乘积中有几个数字是奇数？2.计算：3.计算：9999×2222+3333×3334.4.在周长为18，边长为整数的长方形中，面积最大的长方形的长和宽各是多少？5.用6米长的篱笆材料在围墙角修建如下图所示的鸡圈.问鸡圈的长与宽分别是多少时，鸡圈的面积最大？6.把17、18两个自然数拆成若干个自然数的和，并分别求这些分拆的自然数的乘积的最大值.。
不定方程的解法
数论的方法和技巧之一不定方程的解法一． 几种特殊的不定方程1. 二元一次不定方程c by ax =+ ，形如c by ax =+（b a Z c b a ,,,,∈不同时为零）的方程称为二元一次不定方程．有以下结论：(1)不定方程c by ax =+有整数解的充要条件是.|),(c b a(2)若,1),(=b a 设),(00y x 是方程c by ax =+的一组整数解，则此方程的一切整数解可表示为⎩⎨⎧-=+=,,00at y y bt x x .Z t ∈例l 将属于[0，1]之间分母不超过99的最简分数从小到大排列，求与7617相邻的两个数．解：设,1),(*,,=∈y x N y x 且y x 是上述排列中7617左边的数，则 .07676177617>-=-yxy y x 注意到x y 1617-为整数，所以.17617≥-x y 下面先求不定方程 17617=-x y ① 满足991≤≤y 的正整数解(x ，y)．,17184Z x x y ∈++= 试算可知)9,2(),(=y x 是一个特解．所以①的全部整数解为⎩⎨⎧∈+=+=.,,769172Z t t y t x满足①的正整数解中)85,19(),(=y x 是符合991≤≤y 且y 最大的解，而此时,29985>=y 所以，与7617相邻的两个数中左边那个是⋅8519 类似可知，所求的右边那个数为⋅6715评注：对一次不定方程求解可以用辗转相除法、同余及试验等方法来寻找其特解．2. 勾股方程222z y x =+设勾股方程222z y x =+ ①的一组正整数解是(x ，y ，z)，如果,),(d y x =则,|22z d 即.|z d 这样仅需在1),(=y x 时讨论，此时x ，y ，z 实际上是两两互质的．这种两两互质的勾股数(x ，y ，z)，称为①的本原解或本原勾股数．定理 不定方程①满足 y z y x z x |2,0,0,0,1),(>>>= ② 的全部整数解(x ，y ，z )可表示成 ,,2,2222b a z ab y b a x +==-= ③ 其中a ，b 为满足b a b a ,,0>>一奇一偶，且(a ，b )=1的任意整数．例2 证明方程 222221y x x x n =+++ 有无穷多组整数解。
用插空法求一次同系数不定方程的非负整数解
3用插空法求一次同系数不定方程的非负整数解杜先存 1 ,李 凌 2 ,万 飞 1( 1. 红河学院 教师教育学院 ,云南 蒙自 661100; 2. 红河学院 数学系 ,云南 蒙自 661100 )摘 要 :用插空法求解一次同系数不定方程 ,得到了方程的非负整数解的个数及所有整数解 。
关键词 :插空法 ;同系数 ;不定方程 ;整数解 中图分类号 : O17文献标识码 : A文章编号 : 1008 - 9128 ( 2007) 05 - 0020 - 03 + a x n = b ( a, b 为非零实数 ) ( 3 1 )的非负整数解可以利用矩阵求一次同系数不定方程 a x 1 + a x 2 + 解 ,详见文献 [ 1 ] ;关于 n 元一次不定方程的非负整数解也可以利用矩阵求解 ,详见文献 [ 2 ] ;关于 ( 3 1 )的特例a x 1 + a x 2 + a x 3 =b ( 3 2 )的形式即三元一次同系数不定方程的非负整数解可以利用“初等数论 ”中对三元一次不定方程给出的求整数解的方法来求解 ,即通过求两个有关二元一次不定方程的整数解的表达式 ,从而消去参变量而得 ,详见文献 [ 3 ] ;而用这些方法来解一次同系数不定方程的非负整数解 ,则显得过于繁琐 ,在这里可以 用一种简便的解法 ———插空法来解决此问题 .插空法的原理 :先把原有元素排好 ,再将指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置 ,然后进行所有 元素的重新组合.对于一次同系数不定方程 + a x n = b ( 3 1 ) ( a, b 为非零实数 )有如下定理 :a x 1 + a x 2 + +定理 1: x 1 + x 2 + + x n = b 有正整数解的充要条件是 b ≥ n 且 b ∈ Z . +证明 : (必要性 )若方程有正整数解 ,则 x 1 , x 2 , x 3 ,, x n ≥ 1 ,且 x 1 , x 2 , x 3 , , x n ∈ Z ,则 x 1 + x 2 ++ ++ x n ≥ n 且 x 1 + x 2 ++ x n ∈ Z . 所以 b ≥ n ,且 b ∈ Z .(充分性 )若 b ≥ n ,且 b ∈ Z + . 则总存在一组数满足 : x = x =,则 x ≥ 1且 x ∈ Z +,则方= x 1 2 n - 1 n n 程有正整数解 ,得证 .推论 1: + a x n = b ( a, b 为非零实数 )有正整数解的充分必要条件是 :a x 1 + a x 2 +bb∈ Z +,且 ≥ n .aa b b b b 所以当∈ Z + ,且≥ n 时 , ( 3 )有正整数解;当 +Z 或; n 时 , ( 3 )无正整数解. 1 1 aaaa关于非负整数解 ,有以下 2种基本思想 : 基本思想 1:b+ 先把 ( 3 1 )化为 x 1 + x 2 ++ x n = c ( c = ) ( 3 3 ) . 当 c ∈ Z ,且 c ≥ n 时 ( 3 3 )有非负整数解 ;当 ca +Z 时 , ( 3 3 )无非负整数解 . 现讨论 ( 3 3 )有非负整数解的情况 :把 c 个“1 ”及 n 个“0 ”排成一排 ,相邻的两个 数 ( 2个“1 ”或 2 个“0 ”或 1个“0 ”1个“1 ”)之间有一个空 ,共计 n + c - 1个空 ,在 n + c - 1个空中选 n - 1个空 ,0 ,共有 C n - 1种选法 ,由于被“ + ”分割开的“1 ”与“0 ”的和分别对应一个解中 x ( i = 1, 2 , 3 , , n )所取的n +c - 1 i 值 ,因此 ,每种选法恰 好 对应 方 程 的 一 个 非 负 整 数 解 , 反 过 来 也 成 立 . 因 此 , 该 方 程 的 非 负 整 数 解 的 个 数 为n - 1C n +c - 1 .3收稿日期 : 2006 - 10 - 21第一作者 :杜先存 ( 1981 - ) ,女 ,云南凤庆人 ,硕士 。
从不定方程的非负整数解个数谈起
从不定⽅程的⾮负整数解个数谈起序求将n个⽆标号元素⽤m−1 个隔板分⼊m个有标号可空集合的⽅案数。
或求不定⽅程x1+x2+⋯+x m=n(m,n∈N+,m≤n)的⾮负整数解的个数。
是⼀个⾮常经典的组合问题，众所周知其答案为组合数{n+m-1 \choose m-1}，这可以根据其组合意义结合隔板法容易的得到。
然⽽，笔者发现还有很多有趣的⽅法可以得到上式，值得探讨⼀番。
组合意义如上⽂所说，组合意义可以结合隔板法容易的得到。
考虑将n个⽆标号元素⽤m-1个隔板分⼊m个有标号⾮空集合，其⽅案数为{n-1\choose m-1}。
然⽽我们需要的是各集合可空情况下的⽅案数。
考虑新增m个元素，先给每个集合放⼀个元素垫底，再做各组可空的分配。
这个⼩Trick让我们将问题转化为求n+m个⽆标号元素分⼊m个⾮空有标号集合的⽅案数。
再⽤隔板法，得到答案{n+m-1 \choose m-1}。
形式化的，我们令y_i = x_i + 1，则我们现在只需求y_1 + y_2 + \dots + y_m = n + m的正整数解，隔板法得到答案{n+m-1 \choose m-1}。
枚举空位——范德蒙德卷积公式我们使⽤另⼀种⽅法将隔板法应⽤到可空集合上。
枚举m个集合中有⼏个是空集，可以得到下式\mathrm{ans} = \sum_{k=0}^{m-1} {m \choose k} {n-1 \choose m-k-1}⼜由范德蒙德卷积公式{n+m \choose k} = \sum_{i=\max(0,k-m)}^{\min(n,k)} {n \choose i} {m \choose k-i}（范德蒙德卷积公式易由(1+x)^{n+m} = (1+x)^n (1+ x)^m的⼆项式展开说明）可直接得到（k' = m-1，n' = m，m' = n-1）\mathrm{ans} = \sum_{k=\max(0,(m-1)-(n-1))}^{\min(m,m-1)} {m \choose k} {n-1 \choose m-k-1} = {n+m-1 \choose m-1}递推——杨辉三⾓这固然很妙，但要是我想不到这些Trick怎么办？不会通项就设状态dp呗（反正是OIer有电脑帮我算设状态f(n,m)表⽰将n个⽆标号元素放⼊m个有标号可空集合的⽅案数。
排列组合练习题及问题详解
排列组合习题精选一、纯排列与组合问题：1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是（ ）A.男同学2人，女同学6人B.男同学3人，女同学5人C. 男同学5人，女同学3人D. 男同学6人，女同学2人4.一条铁路原有m 个车站，为了适应客运需要新增加n 个车站（n>1），则客运车票增加了58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有 （ ）A.12个B.13个C.14个D.15个答案：1、2936C = 2、2972A = 3、选 B. 设男生n 人，则有2138390n n C C A -=。
4、2258m nm A A +-= 选C.二、相邻问题：1. A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一列，若A 、B 必相邻，则有多少种不同排法？2. 有8本不同的书， 其中3本不同的科技书，2本不同的文艺书，3本不同的体育书，将这些书竖排在书架上，则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法种数为( ) A.720 B.1440 C.2880 D.3600 答案：1.242448A A = (2) 选B 3253251440A A A = 三、不相邻问题：1.要排一个有4个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目都不相邻，有多少种不同排法？2、1到7七个自然数组成一个没有重复数字的七位数，其中奇数不相邻的有多少个？ 3.4名男生和4名女生站成一排，若要求男女相间，则不同的排法数有（ ）A.2880B.1152C.48D.1444.排成一排的8个空位上，坐3人，使每人两边都有空位，有多少种不同坐法？5.8椅子放成一排，4人就坐，恰有连续三个空位的坐法有多少种？6. 排成一排的9个空位上，坐3人，使三处有连续二个空位，有多少种不同坐法？7. 排成一排的9个空位上，坐3人，使三处空位中有一处一个空位、有一处连续二个空位、有一处连续三个空位，有多少种不同坐法？8. 在一次文艺演出中，需给舞台上方安装一排彩灯共15只，以不同的点灯方式增加舞台效果，要求设计者按照每次点亮时，必须有6只灯是熄灭的，且相邻的灯不能同时熄灭，两端的灯必须点亮的要求进行设计，那么不同的点亮方式是 （ ）A.28种B.84种C.180种D.360种答案：1.43451440A A = （2）3434144A A = （3）选B 444421152A A = （4）3424A = （5）4245480A A =（6）333424A C = （7）3334144A A = （8）选A 6828C = 四、定序问题：1. 有4名男生，3名女生。
利用可变循环求多元一次不定方程非负整数解
效 率 ． 以在 较 短 时 间 内正 确 给 出多元 一 次 不 定 方程 的非 负整 数 解 集 。 实验 结 果 表 明 ， 算 法通 用性 较 强 ， 用 于 求 可 该 可
解 任 意 元 一 次 不 定 方程 。
关 键 词 ： 变式 循 环 ； 定 方 程 ；解 集 ； 环界 值 可 不 循 中 图分 类号 ： Ｐ ９ Ｔ ３ 文 献标 识 码 ： Ａ 文 章编 号 ：１ ７ — ２ ６ ２ １ ） ｌ ０ ｌ － ２ ６ ４ ６ ３ （ ０ １ Ｉ 一 ｌ０ ０
第 １ ９卷 第 １ １期
Ｖ０． ９ １ １
Ｎｏ １ ．１
电子 设计 工程
Ｅｌｃ ｒ ｎ ｃ Ｄｅ ｉｎ Ｅ ｇ ｎ ｅ ｉ ｇ ｅ ｔ ｉ ｓ ｎ ｉ ｅ ｒｎ ｏ ｇ
２ １ 年 ６月 ０１
Ｊ ｎ ２ １ ｕ．０１
利 用可变循环求多元一次不定方程 非负整数解
詹 艳 艳
ｅ ｅｔ ｅｙ ｔｒｕ ｈ ｒ ｅ ｔ ｌ ｅ ｐ ｒ ｎ ，ｌａ ｔｍｅ ｃｎ ｍ ｄ Ｖ ｒ ｂｅＣ ｃ ｃＥ ｇ ｄｃＡ ｉ ｍ ｔ Ｖ Ｅ Ａ ｔｍ ｔ ） ｓ ｕ ｆ ｃ ｖ ｌ ， ｏ ｇ ｐ ａ ｄｙ ｘ ｅ ｍｅ ｔａ ｒ ｈ ｔ ａ ｅ ａ ａ ｌ ｙ ｌ ｒｏ ｉ ｒ ｅ ｃ（ Ｃ ｒ ｈ ｅｉ ｉ ｐ ｔ ｉ ｈ ｅ ｅ ｉ ｌｉ ｉ ｉ ｉ ｔ ｉ ｈ ｉ ｃ
不定方程的整数解问题及其方法简介(含答案)
专题三：不定方程的整数解问题所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些条件限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。
数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性地解决问题。
在本专题中我们一起来学习不定方程整数解的一些解法技巧。
【基础知识】1．不定方程整数解的常见类型：（1）求不定方程的整数解；（2）判定不定方程是否有整数解；（3）判定不定方程整数解的个数（有限个还是无限个）。
2．解不定方程整数解问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解法、配方法、分离整数法、换元法（参数法）等；（2）奇偶分析法：缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（3）构造法：如构造一元二次方程，利用根的判别式和韦达定理等性质；（4）枚举法：列举出所有可能的情况；（5）不等式分析法：通过不等式估算法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（6）无穷递推法。
【典型例题分析】一、代数恒等变形1、因式分解法【例1】已知,x y 都是整数，且满足22()xy x y +=+，求22x y +的最大值.分析：由22()xy x y +=+，得(2)(2)2x y --=因为(2),(2)x y --都是整数，所以2221x y -=⎧⎨-=⎩，或2122x y -=⎧⎨-=⎩，或2221x y -=-⎧⎨-=-⎩，或2122x y -=-⎧⎨-=-⎩ 解得43x y =⎧⎨=⎩，或34x y =⎧⎨=⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，或10x y =⎧⎨=⎩ 故22x y +的最大值为25注：一般地，整系数,,,a b c d 的二次方程0axy bx cy d +++=，可变形为：20a xy abx acy ad +++=分解，得 ()()ax c ay b bc ad ++=-.求整数解时，只需把整数()bc ad -分解成两个整数的积，转化为解几个方程组#ax c ay b +=∆⎧⎨+=⎩，（这#bc ad ∆⨯=-）来解，通过取舍求出符合题意的整数解。
浙教版七年级数学培优竞赛微专题训练(无答案)：求不定方程整数解几种方法
不定方程整数解（七，八年级） 一次不定方程“ax+by=c ”的非负整数解————倍数分析1、**思考：5x+7y=50有多少组解？整数解呢？正整数解呢？2、*方程5x+7y=49的正整数解有_____个。
3、**方程6x+22y=90非负整数解有_____个。
4、**方程3x+21y=231的正整数解有_____个。
5、***方程17x+27y=530的正整数解有_____个。
6、***若a,b 均为正整数，且2a>b ，2a+b=80,则满足条件的b 的值有____个。
7、***已知x,y 是非负整数，且使13921--=-y x 的解是整数，那么这样的数对（x,y）有_____个。
小结：用倍数方式分析，事半功倍。
找到合适的倍数主要看a，b，c特点。
8、***陈老师给42名学生每人买了一件纪念品，其中有：每支12元的钢笔，每把4元的圆规，每册16元的词典，一共用了216元，则陈老师买了钢笔____支，词典_____册。
9、****某人用2018元钱买了甲，乙，丙三种物品，甲每个7元，乙每个5元，丙每个6元。
三种物品一共有320个，而且每种物品至少一个，不同的买法一共有_____种。
小结：处理方程组，一般都是运用转化思想消元成方程，变陌生为熟悉。
但是选择消哪个元，对后续的操作有很大的影响。
对原始模型结构特点的认知非常重要。
高次不定方程的整数解①-------因式分解法1、**若x,y是正整数且xy+x+y=54,则x+y=_______。
2、**设正整数x,y满足xy-4x-4y+21=0,则x2+y2=_______.3、***已知整数x,y 满足15xy=21x+20y-13,则xy=_______。
4、***方程42=+-y x xy 的整数解有_______个。
5、***若正整数a,b,c 满足a+2bc=a48,则a+b+c 的最大值=_______.6、****整数x,y 满足方程2xy+x+y=83,则x+y=______。
专项测试03-隔板法(解析版)-2020-2021学年排列组合常考题型专项测试
人教版选修2-3第一章排列组合常考题型专项测试03——隔板法一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·全国高二课时练习）方程123412x x x x +++=的正整数解共有（ ）组 A ．165 B ．120C ．38D ．35【答案】A 【分析】本题可以将“方程123412x x x x +++=的正整数解”转化为“在12个球中插入隔板”，然后通过排列组合即可求出结果. 【详解】如图，将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是1x 、2x 、3x 、4x ，显然满足123412x x x x +++=，故()1234,,,x x x x 是方程123412x x x x +++=的一组解，反之，方程123412x x x x +++=的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，故方程123412x x x x +++=的正整数解的数目为：31111109165321C ⨯⨯==⨯⨯，【点睛】本题考查通过排列组合解决方程的解的数目，能否将“方程123412x x x x +++=的正整数解”转化为“在12个球中插入隔板”是解决本题的关键，考查推理能力，考查排列组合的实际应用，是中档题.2．（2020·四川省泸县第四中学）2020年高考强基计划中，北京大学给了我校10个推荐名额，现准备将这10个推荐名额分配给高三理科的6个班级，这6个班级每班至少要给一个名额，则关于分配方案的种数为（ ） A ．462 B ．126 C ．210D ．132【答案】B 【分析】利用隔板法进行求解，即可得答案. 【详解】将10个名额分为6份，即从9个分段中选择5个段分开，且不分顺序，共有59126N C ==种方案.3．（2020·全国高三专题练习）精准扶贫点用2400元的资金为贫困户购买良种羊羔，共有肉用山羊、毛用绵羊、产奶山羊三种羊羔，价格均为每只300元，若要求每种羊羔至少买1只，则所有可能的购买方案总数为 A ．12 B ．14 C ．21 D ．18【答案】C 【分析】由于每只羊羔的价格均为300元，则共有8个购买羊羔的指标，即将问题转化为各种羊的购买指标分别是多少的问题，转化为隔板法处理. 【详解】由于每只羊羔的价格均为300元，则共有8个购买羊羔的指标，可以看成8个无差别的小球，三种不同的羊羔可以看成三个编号1，2，3的盒子，则问题转化为把8个无差别的小球装入3个不同的盒子中，每个盒子至少装一个小球.用隔板法，8个小球共有7个空，插2个隔板，共有2721C =种不同的购买方案，4．（2020·浙江高三月考）小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择（可以有笔记本不被选择），单价均为一元一本，小明只有8元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有（ ） A ．70种 B ．165种 C ．280种 D ．1860种【答案】B 【分析】将问题等价转化为将8个完全相同的小球放入4个盒子里，允许有空盒，进一步转化为：将12个完全相同的小球放入4个盒子里，每个盒子里至少有1个球，利用隔板法可得出结果. 【详解】问题等价转化为将8个完全相同的小球放入4个盒子里，允许有空盒.进一步转化为：将12个完全相同的小球放入4个盒子里，每个盒子里至少有1个球.由隔板法可知，不同的选购方法有311165=C 种.5．（2020·全国高二单元测试）有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同的分配方案？ A ．680 B ．816 C ．1360 D ．1456【答案】A 【详解】先给每个小朋友分三个苹果，剩余18个苹果利用“隔板法”，18个苹果有17个空，插入三个 “板”，共有317C =680种方法.6．（2019·安徽省泗县第一中学高二月考）从A 、B 、C 、D 4个班级中选10人组成卫生检查小组，每班至少选一人，每班人数的不同情况有多少种 A ．42 B ．56 C ．84 D ．168【答案】C 【分析】将10人分为四个组，且每个组至少1人，利用“隔板法”求解即可． 【详解】将10个人排成一排，然后从中间形成的9个空中选3个，分别放入一个隔板，即可将10个人分为4个部分，且每部分至少1个人，由此可得每班人数的不同情况有3998784321C ⨯⨯==⨯⨯种．7．（2021·全国高二课时练习）不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为（ ） A ．55 B ．60 C ．91 D ．540【答案】C 【分析】将问题转化为将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数，进一步可将问题转化为将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，利用隔板法可得出结果. 【详解】不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数. 现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.8．（2020·山西太原市·太原五中高三月考）把9个完全相同的口罩分给6名同学，每人至少一个，不同的分法有（）种A．41B．56C．156D．252【答案】B【分析】本题要使用挡板法，在9个完全相同的口罩所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入档板，即产生符合要求的方法数．【详解】问题可转化为将9个完全相同的口罩排成一列，再分成6堆，每堆至少一个，求其方法数．事实上，只需在上述9个完全相同的口罩所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入档板，即产生符合要求的方法数．故有5856C=种．9．（2020·浙江温州市·浙鳌高级中学高二期中）把14个相同的球全部放入编号为1、2、3的三个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，则不同的放入方法种数为（）A．36B．45C．72D．165【答案】B【分析】根据题意，首先在13个球种取出1个球放到编号为2的盒子里，再取出2个球放在编号为3的盒子里，将原问题转化为“将剩下的10个球，分为3组，每组至少一个，分别放到三个盒子里”，用挡板法分析：将10个球排成一列，排好后，有9个空位，在9个空位中任取2个，插入挡板，由组合数公式计算可得答案．【详解】根据题意，先在14个球种取出1个球放到编号为2的盒子里，再取出2个球放在编号为3的盒子里，此时只需将剩下的11个球，分为3组，每组至少一个，分别放到三个盒子里即可；将11个球排成一列，排好后，有10个空位，在10个空位中任取2个，插入挡板，有21045C=种方法，即有45种将11个球分为3组的方法，将分好的3组对应3个盒子，即可满足盒内的球数不小于盒号数，则盒内的球数不小于盒号数的放入方法有45种，10．（2021·全国高二课时练习）把座位号为1、2、3、4、5、6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（）A．96B．240C．280D．480【答案】B【分析】根据题意，利用隔板法，先将座号1、2、3、4、5、6分成四份，然后再分给甲、乙、丙、丁四个人即可.【详解】因为每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，又分给甲、乙、丙、丁四个人，则在座位号1、2、3、4、5、6的五个空位插3个板子，有3510C=种，然后再分给甲、乙、丙、丁四个人，有4424A=种，所以不同的分法种数为1024240⨯=,11．（多选题）（2021·全国高三专题练习）把座位号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为N种，则N的值不可能为（）.A．18B．24C．36D．48【答案】ABD【分析】根据题意，利用隔板法，先将座号1、2、3、4、5分成三份，然后再分给甲、乙、丙三个人即可.【详解】因为每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，又分给甲、乙、丙三个人，则在座位号1、2、3、4、5的四个空位插2个板子，有246C=种，然后再分给甲、乙、丙三个人，有336A=种，所以不同的分法种数为6636⨯=，故不可能为ABD.12．（多选题）（2020·全国高三专题练习）下列说法正确的为（）A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有222642C C C种不同的分法；B．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有123653C C C种不同的分法；C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法；D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540种不同的分法．【答案】ACD【分析】利用均匀编号分组法可判断A；先将6本不同的书分成三组，然后甲、乙、丙三人任取一组即可判断B；利用挡板法可判断C；分类讨论可判断D.【详解】对于A，6本不同的书中，先取2本给甲，再从剩余的4本中取2本给乙，最后2本给丙，共有222642C C C种不同的分法，故A正确；对于B，6本不同的书中，先取1本作为一组，再从剩余的5本中取2作为一组，最后3本2作为一组，共有12365360C C C=种，再将3分给甲、乙、丙三人，共有12336533360C C C A=种，故B不正确；对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，利用挡板法2510C=种；对于D，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，分3种情况讨论：①一人4本，其他两人各1本，共有4113621390C C C A=；②一人1本，一人2本，一人3本，共有12336533360C C C A=种，③每人2本，共有22264290C C C=，故共有9036090540++=种.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2020·江西省宜丰中学高二月考）10个相同的小球放在三个编号为1，2，3的盒中，每盒至少1个，有_________种方分法.【答案】36【分析】转化条件可得将10个相同小球分成三组，每组至少1个，使用隔板法即可得解.【详解】依据题意，10个相同的小球放在3个盒中，每盒至少1个，可转化为将10个相同小球分成三组，每组至少1个；可将10个小球排成一列，进而在排除两端的9个空位中，选取2个，插入隔板即可，由组合公式可得共有2936C=种分法.14．（2020·上海浦东新区·华师大二附中）微信红包金额的单位为分.在某次抢红包游戏中，红包总额为10元，共有5人参加抢红包，每人所得红包金额至少为1分，则这5人抢得红包的金额（不计先后次序）的所有不同组合为__________种.（用组合数回答）【答案】4999C【分析】此问题相当于将1000个一分硬币分成4份，所以采用隔板法求解.【详解】隔板法：10元=1000分，在1000个一分硬币隔开的去除头尾的999个空位中插入4块挡板，即得符合题意的情况为4999C.15．（2020·全国高三月考）小红同学去超市买糖果，现有四种不同口味的糖果可供选择（可以有糖果不被选择），单价均为一元一颗，小红只有7元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有______种.【答案】120【分析】把7元看作7个相同的小球，四种糖果看作是四个盒子，问题变为把7个小球放到4个盒子中，允许有空盒，因此补充4个小球，共11个小球，分到四个盒子中，把小球排成一排，在中间10个空档中插入3块隔板即可得．【详解】把7元看作7个相同的小球，四种糖果看作是四个盒子，问题变为把7个小球放到4个盒子中，允许有空盒，因此补充4个小球，共11个小球，分到四个盒子中，用插隔板方法，共有方法数为311120C=．16．（2019·黑龙江大庆市·铁人中学高二月考）现有15个省三好学生名额分给1、2、3、4共四个班级，其中1班至少2个名额，2班、4班每班至少3个名额，3班最多2个名额，则共有_________种不同分配方案.【答案】85【分析】由3班最多2个名额，3班有2、或1个，或0个名额三种情况，然后其余的情况先分给1班1个名额，2班、4班每班各2个名额，再将剩下的分给1,2,4班，每班至少一个名额，用隔板法可求解.【详解】由3班最多2个名额，3班有2、或1个，或0个名额三种情况.（1）、当3班有2个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的8个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额.相当于将8个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有2721C=种分法.（2）、当3班有1个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的9个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额.相当于将9个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有2828C=种分法.（3）、当3班没有分得名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的10个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额.相当于将10个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有2936C=种分法.所以一共有21+28+3685=种不同的分配方案.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（2020·全国高三专题练习）将7个相同的小球放入4个不同的盒子中．（1）不出现空盒时的放入方式共有多少种？（2）可出现空盒时的放入方式共有多少种？【答案】（1）20种；（2）120种.【分析】（1）用隔板法分两步进行：①将7个相同的小球排成一排，出现6个空隙插入3个“隔板”即可求解；（2）先将每个盒子放入一个球，可转化为11个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少一个,再利用隔板法即可求解.【详解】（1）将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空隙中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有3665420 321C⨯⨯==⨯⨯种不同的放入方式．（2）先将每个盒子放入一个球，可转化为11个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少一个球，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有3101098120 321C⨯⨯==⨯⨯种放入方式．【点睛】n个相同的名额分配到m个不同的单位，每个单位至少分得一个，则共有11m n C--种不同的分法，对于允许没有名额型的要要创设隔板法的情形，先给每个单位补一个“虚”的名额，即可用隔板法求解. 18．（2019·湖北高二期中）现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学.（1）若5本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？（2）若5本书都不相同，共有多少种分法？（3）若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？【答案】（1）6种；（2）243种；（3）150种.【分析】（1）用挡板法求解；（2）每本书都有三种分配方法，求幂便可得到答案；（3）用分组分配问题的求解方法求解，①将5本书分成3组，②将分好的三组全排列，对应3名学生，由分步计数原理计算可得答案.【详解】（1）根据题意，若5本书完全相同，将5本书排成一排，中间有4个空位可用，在4个空位中任选2个，插入挡板，有246C =种情况，即有6种不同的分法； （2）根据题意，若5本书都不相同，每本书可以分给3人中任意1人，都有3种分法，则5本不同的书有5333333243⨯⨯⨯⨯==种；（3）根据题意，分2步进行分析： ①将5本书分成3组，若分成1、1、3的三组，有31522210C C A =种分组方法，若分成1、2、2的三组，有1225422215C C C A =种分组方法， 则有101525+=种分组方法；②将分好的三组全排列，对应3名学生，有336A =种情况，则有256150⨯=种分法.19．（2020·合肥一六八中学高二开学考试）（1）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有几种？（2）把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有几种？ （3）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，共有多少种放法？ （注：最后结果需用数字作答） 【答案】（1）216；（2）192；（3）144. 【分析】（1）按照最左端排谁分两类①排甲②排乙； （2）先让A 和B 捆绑在一起，再插入C ； （3）相同元素的分配问题采用“隔板法”. 【详解】（1）按照最左端排谁分两类：①排甲：其余5个人作全排列，有33120A =种，②排乙：最右端不排甲有14A 种，其余四人作全排列有44A 种，故共有144496A A =种，由分类计数原理共有12096216+=种；（2）分步完成：①将A ，B 捆在一起当作一个元素与除C 的3个元素一起作全排列，有2424A A 种，②将C 插入到已经排好的排列中，让A ，C 不相邻，有14A 种，由分步计数原理可得共有241244192A A A =种；（3）四个不同的小球编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，有2344144C A =种不同的放法.20．（2019·南通市天星湖中学高二开学考试）将4个编号为1、2、3、4的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中.求：（1）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？ （2）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？（3）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？（4）把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？【答案】（1）24（种）；（2）144（种）；（3）8（种）；（4）12（种）. 【分析】（1）根据题意知，每个盒子里有且只有1个小球，利用排列数可得出结果；（2）先将4个小球分为3组，各组的球数分别为2、1、1，然后分配给4个盒子中的3个盒子，利用组合与排列计数原理可得出结果；（3）考查编号为1的盒子中放入编号为1的小球，列举出此种情况下其它3个球均未放入相应编号的盒子里，在此种放法种数上乘以4可得结果；（4）空盒编号有4种情况，然后将4个完全相同的小球放入其它3个盒子，没有空盒，利用隔板法求出结果，乘以4即得所求放法种数. 【详解】（1）根据题意知，每个盒子里有且只有一个小球，所求放法种数为4424A =（种）；（2）先将4个小球分为3组，各组的球数分别为2、1、1，然后分配给4个盒子中的3个盒子，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为2344144C A =（种）；（3）考查编号为1的盒子中放入编号为1的小球，则其它3个球均未放入相应编号的盒子，那么编号为2、3、4的盒子中放入的小球编号可以依次为3、4、2或4、2、3，因此，所求放法种数为248⨯=（种）； （4）按两步进行，空盒编号有4种情况，然后将4个完全相同的小球放入其它3个盒子，没有空盒， 则只需在4个完全相同的小球所形成的3个空（不包括两端）中插入2块板，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为23412C =（种）.21．（2020·湖北武汉市·江夏一中高二月考）江夏一中高二年级计划假期开展历史类班级研学活动，共有6个名额，分配到历史类5个班级(每个班至少0个名额，所有名额全部分完).（1）共有多少种分配方案？（2）6名学生确定后，分成A 、B 、C 、D 四个小组，每小组至少一人，共有多少种方法？（3）6名学生来到武汉火车站.火车站共设有3个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客，求6人进站的不同方案种数.【答案】（1）210；（2）1560；（3）729.【分析】（1）将问题转化为不定方程12345=6x x x x x ++++的非负整数解问题，再利用隔板原理进行求解； （2）先把6名学生按人数分成没有区别的4组，有2类：1人，1人，1人，3人和1人，1人，2人，2人.再把每一类中的人数分到A 、B 、C 、D 四个小组即可；（3）每名学生有3种进站方法，分步乘法计数原理即得6人进站的不同方案种数.【详解】（1）由题意得：问题转化为不定方程12345=6x x x x x ++++的非负整数解的个数，∴方程又等价于不定方程12345=11x x x x x ++++的正整数解的个数，利用隔板原理得：方程正整数解的个数为410210C =，∴共有210种分配方案.（2））先把6名学生按人数分成没有区别的4组，有2类：1人，1人，1人，3人和1人，1人，2人，2人，再把每一类中的人数分到A 、B 、C 、D 四个小组.第一种分法：1人，1人，1人，3人，有3464480C A =种方法；第二种分法：1人，1人，2人，2人，有221146421422221080C C C C A A A ⨯⨯=种方法. 共有48010801560+=种方法.（3）每名学生有3种进站方法，分步乘法计数原理得6人进站有63729=种不同的方案.22．（2019·重庆万州区·万州龙驹中学高二期中（理））（1）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？（2）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？（3）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？（4）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？【答案】（1）1560种（2）65种（3）10种（4）2种【分析】（1）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，先把6个小球分组，有两种分法，再放入4个不同的箱子，即可得到结论；（2）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，先把6个小球分组，有两种分法，再放入4个相同的箱子，即可得到结论；（3）6个相同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，利用插板法；（4）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子至少一个小球，故可以首先每个箱子放入1个小球，还剩下2个小球，则只有两种结果.【详解】（1）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，先把6个小球分组，有两种分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再放入4个不同的箱子，故不同的方法共有22113464216422221560C C C CC AA A⎛⎫+=⎪⎝⎭（种）（2）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，先把6个小球分组，有两种分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再放入4个相同的箱子，故不同的方法共有2211364216222265C C C CCA A+=（种）（3）6个相同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，则采用插板法，在5个空中插入3块板，则不同的方法共有3510C=（种）（4）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子至少一个小球，故可以首先每个箱子放入1个小球，还剩下2个小球，则这2个小球，只有两种结果，即两个在一个箱子中，或两个小球分别在一个箱子中，故只有2种放法.。