【高考调研】2015人教版高中数学必修5检测试题：第一章 解三角形章末测试题(A)
人教版高中数学必修5第一章解三角形测试题及答案
必修五 第一章解三角形测试(总分150)一、选择题(每题5分，共50分)1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（）A ． 30°B ．45°C ．60°D ．120°2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3103、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（）A ．30°B ．60°C ．30°或120°D ． 30°或150°4、在△ABC 中，3=AB ,1=AC ,∠A ＝30°，则△ABC 面积为 （ ）A ．23 B ．43 C ．23或3 D ．43 或23 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（ ）A ．3πB ．6πC ．32πD ． 3π或32π6、在△ABC 中,面积22()Sa b c =--,则sin A 等于（）A ．1517B ．817C ．1315D ．13177、已知△ABC 中三个内角为A 、B 、C 所对的三边分别为a 、b 、c ，设向量(,)p a c b =+ ，(,)q b a c a =-- .若//p q，则角C 的大小为（）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π8、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ）A ．()10,8B ．()10,8C ．()10,8D ．()8,109、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 10、在△ABC 中,3,4ABBC AC ===,则AC 上的高为（ ）A ．BC ．32D ．二、填空题（每小题5分，共20分）11、在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a :: 12、已知三角形两边长为11，则第三边长为13、若三角形两边长为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为 14、在△ABC 中BC=1，3Bπ=，当△ABC tan C =三、解答题（本大题共小题6小题，共80分）15、（本小题14分）在△ABC 中，已知210=AB ，A ＝45°，在BC 边的长分别为20，3320，5的情况下，求相应角C 。
高中数学必修5解三角形测试题及答案(K12教育文档)
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高中数学必修5解三角形测试题及答案一、选择题：（每小题5分，共60分）1．在ABC中，45,75AB A C==︒=︒，则BC= （ A )A．3．．2 D．32．下列关于正弦定理的叙述或变形中错误．．的是（ B ）A．在ABC中,a:b:c=sinA:sinB:sinCB．ABC⇔中,a=b sin2A=sin2BC．ABC a b+c中,=sinA sinB+sinCD．ABC中,正弦值较大的角所对的边也较大3．ABC中,若sin cos,A BBa b=∠则的值为 ( B )A．30︒ B．45︒ C．60︒ D．90︒4．ABC在中，若c=a b=cosA cosB cosC，则ABC是（ B ）A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形5．下列命题正确的是（ D ）A．当a=4,b=5，A=30︒时，三角形有一解。
B．当a=5,b=4,A=60︒时，三角形有两解。
C．当a=，B=120︒时，三角形有一解。
D．当a=A=60︒时,三角形有一解。
6．ΔABC中,a=1，b=3，∠A=30°，则∠B等于 ( B ）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°7．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ D ）A．a=1,b=2 ，c=3 B．a=1,b=2，∠A=30°C．a=1，b=2,∠A=100°D．b=c=1, ∠B=45°8．若（a+b+c ）（b+c －a ）=3abc,且sinA=2sinBcosC ， 那么ΔABC 是 （ B ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形9．在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A=3π,a=3，b=1,则c= （ B ）（A ）1 (B)2 (C) 3－1 (D) 310．（2009重庆理)设ABC ∆的三个内角,,A B C ，向量(3,sin )A B=m ,(cos )B A =n ，若1cos()A B =++m n ，则C =（ C )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 11．已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（D ） Ａ．2Ｃ．8Ｄ．712．如图：D ，C ，B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C ，D两点测得A 点仰角分别是β, α(α〈β）,则A 点离地面的高度AB 等于（ A ）A ．)sin(sin sin αββα-a B ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-a D ．)cos(sin cos βαβα-a二、填空题：(每小题5分,共20分）13．已知2sin a A =,则sin sin sin a b cA B C++=++_______2_______ 14．在ΔABC 中,若S ΔABC =41 （a 2+b 2－c 2)，那么角∠C=_4π_____.AD8π ．16．已知2,4,a b a b ==与的夹角为3π，以,ab 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为____ 三、解答题：（17题10分，其余小题均为12分） 17．在ΔABC 中 ，已知045,332,2===B b c，解三角形ABC 。
人教版必修5高二年数学第一章解三角形检测卷(含答案)
第一章 解三角形检测卷班级__________座号________学生__________一、 选择题1、某次测量中，A 处测得同一方向的B 点仰角为60o ，C 点俯角为70o ，则∠BAC 等于 ( )A. 10oB. 50oC. 120oD. 130o 2、 ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，则c 的值为( ) A ．4 B ．8 C ．4或8D ．无解3、在高150米山顶上，测得山下一铁塔塔顶与塔底的俯角分别为30,60,o o 则铁塔高（ ）A . 100米B . 150米C . 200米D .300米4、三角形的两边长为3 cm 、5 cm ，其夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是( )A ．6 cm 2 B.152cm 2 C ．8 cm 2D ．10 cm 25、△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( ) A ．4 3B ．5C ．5 2D ．6 26、在△ABC 中，b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则此三角形外接圆面积是( ) A.1963B.196π3C.493D.49π37、某人先向正东方向走了x km ，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km ，结果他离出发点恰好为 3 km ，那么x 的值为( )A. 3 B ．2 3 C ．23或 3 D ．3 8、如图所示，在河岸AC 测量河的宽度BC ，图中所标的数据a ，b ，c ，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是( )A ．c 和αB ．c 和bC ．c 和βD ．b 和α9、△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝( ) A.53B.54 C.55D.5610、△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a＝( ) A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 211、△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π312、如图，某炮兵阵地位于A 点，两观察所分别位于C ，D 两点．已知△ACD 为正三角形，且DC ＝ 3 km ，当目标出现在B 点时，测得∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°，则炮兵阵地与目标的距离是( )A ．1.1 kmB ．2.2 kmC ．2.9 kmD ．3.5 km二、 填空题13、ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________. 14、△ABC 为钝角三角形，且∠C 为钝角，则a 2＋b 2与c 2的大小关系为________． 15、在△ABC 中，S △ABC ＝14(a 2＋b 2－c 2)，b ＝1，a ＝ 2.则c ＝________.16、如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为____________．三、解答题17、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边长，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc .求：（1）角A 的大小； （2）b sin Bc的值．18、△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，并且a 2＝b (b ＋c )．（1）求证：A ＝2B ；（2）若a ＝3b ，判断△ABC 的形状．19、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab，（1）求sin Csin A的值；（2）若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .20、如图所示，在地面上有旗杆OP ，为测得它的高度h ，在地面上取一基线AB ，AB=20 m,在A 处测得P 点的仰角∠OAP=30o ,在B 处测得P 点的仰角∠OBP=45o ,又测得∠AOB=300,求旗杆的高度.21、△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ,b ,c ，设向量m =(a ,b ), n =(sin B ,sin A )，p()2,2--=a b ．（1）若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； （2）若m ⊥p , c =2,3π=C，求△ABC 的面积S ．解三角形检测卷1.D2.C3.A4.A5.C6.D7.C8.D9.B 10.D 11.B 12.C; 13.255 210,14.a 2＋b 2<c 2, 15.1,16.1762(海里/小时);17.解：(1)∵b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝60°.(2)在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A a .∵b 2＝ac ，A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin 60°ac＝sin 60°＝32. 18.解：(1)因为a 2＝b (b ＋c )，即a 2＝b 2＋bc ，所以在△ABC 中，由余弦定理可得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝c 2＋bc2ac＝b ＋c 2a ＝a 22ab ＝a 2b ＝sin A 2sin B，所以sin A ＝sin 2B ，故A ＝2B . (2) 因为a ＝3b ，所以a b＝3，由a 2＝b (b ＋c )可得c ＝2b ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3b 2＋4b 2－b 243b2＝32， 所以B ＝30°，A ＝2B ＝60°，C ＝90°.所以△ABC 为直角三角形．19.解：(1)法一：在△ABC 中，由cos A －2cos C cos B ＝2c －a b 及正弦定理可得cos A －2cos Ccos B ＝2sin C －sin Asin B，即cos A sin B －2cos C sin B ＝2sin C cos B －sin A cos B . 则cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos B ＋2cos C sin B ， 即sin(A ＋B )＝2sin(C ＋B )，而A ＋B ＋C ＝π， 则sin C ＝2sin A ，即sin Csin A＝2.法二：在△ABC 中，由cos A －2cos C cos B ＝2c －ab可得b cos A －2b cos C ＝2c cos B －a cos B由余弦定理可得b 2＋c 2－a 22c －a 2＋b 2－c 2a ＝a 2＋c 2－b 2a －a 2＋c 2－b 22c， 整理可得c ＝2a ，由正弦定理可得sin C sin A ＝c a ＝2.法三：利用教材习题结论解题，在△ABC 中有结论a ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝c cos A ＋a cos C ，c ＝a cos B ＋b cos A .由cos A －2cos C cos B ＝2c －ab可得b cos A －2b cos C ＝2c cos B －a cos B ，即b cos A ＋a cos B ＝2c cos B ＋2b cos C ，则c ＝2a ，由正弦定理可得sin C sin A ＝c a ＝2.(2)由c ＝2a 及cos B ＝14，b ＝2可得4＝c 2＋a 2－2ac cos B ＝4a 2＋a 2－a 2＝4a 2，则a ＝1，c ＝2. ∴S ＝12ac sin B ＝12×1×2×1－cos 2B ＝154.20.解：设旗杆的高度为x m 在AOP RT ∆中，x xAO 330tan 0==,BOP RT ∆中，x xBO ==045tan ,在AOB ∆中，022230cos 2⋅⋅-+=BO AO BO AO AB ,22233400x x x -+=解得20=x .答：旗杆的高度为20m.21、解：(1)证明：∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b2R ，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴a (b －2)＋b (a －2)＝0.∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝4，∴(ab )2－3ab－4＝0.∴ab ＝4或ab ＝－1(舍去)．∴S ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.即△ABC 的面积为 3.。
高中数学 第一章 解三角形章末测试题(B)新人教版必修5-新人教版高二必修5数学试题
第一章 章末测试题(B)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝1，A ＝130°，则此三角形解的情况为( ) A ．无解 B ．只有一解 C ．有两解 D ．解的个数不确定答案 B解析 因为a >b ，A ＝130°，所以A >B ，角B 为锐角．因此该三角形只有一解． 2．在△ABC 中，若B ＝120°，则a 2＋ac ＋c 2－b 2的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不确定答案 C解析 根据余弦定理，得cos120°＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，即a 2＋c 2－b 2＝－ac .故a 2＋ac ＋c 2－b 2＝0.3．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角的度数是( ) A ．60° B ．90° C ．120° D ．135°答案 C解析 ∵在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ， ∴a ∶b ∶c ＝1∶1∶ 3.设a ＝b ＝k ，c ＝3k (k >0)， 则cos C ＝k 2＋k 2－3k22×k ×k＝－12.故C ＝120°，应选C.4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且c ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23答案 A解析 由(a ＋b )2－c 2＝4，得(a 2＋b 2－c 2)＋2ab ＝4.① ∵a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，∴方程①可化为2ab (1＋cos C )＝4. 因此，ab ＝21＋cos C .又∵C ＝60°，∴ab ＝43.5．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，且关于x 的方程(a 2＋bc )x 2＋2b 2＋c 2x ＋1＝0有两个相等的实数根，则A 的度数是( )A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°答案 C解析 ∵由题意可知题中方程的判别式Δ＝4(b 2＋c 2)－4(a 2＋bc )＝0，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，cos A ＝12.又∵0°<A <180°，∴A ＝60°.6．若△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案 D解析 ∵2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2. 又∵b 2＝ac ，∴(a －c )2＝0.∴a ＝c . ∴2b ＝a ＋c ＝2a .∴b ＝a ，即a ＝b ＝c . 故此三角形为等边三角形．7．已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°.若此三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．x >2 B ．x <2 C ．2<x <2 2 D ．2<x <2 3答案 C解析 方法一 要使三角形有两解，则a >b ，且sin A <1. ∵由正弦定理可得a sin A ＝bsin B，即sin A ＝a sin B b ＝2x4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >2，24x <1.∴2<x <2 2.方法二 ∵要使三角形有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧b <a ，b >a sin B ，即⎩⎪⎨⎪⎧2<x ，2>x sin45°，∴2<x <2 2.8．某人站在山顶看见一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车和第二辆车之间的距离d 1与第二辆车和第三辆车之间的距离d 2之间的关系为( )A ．d 1>d 2B ．d 1＝d 2C ．d 1<d 2D ．不能确定大小答案 C 解析设山顶为点P ，山高为PD ，第一、二、三辆车分别为A ，B ，C ，俯角差为α，作出图像如右图，由题知∠CPB ＝∠BPA ＝α，由正弦定理，得d 2sin α＝PB sin ∠PCB ，d 1sin α＝PBsin ∠PAB，即PB sin α＝d 2sin ∠PCB ＝d 1sin ∠PAB ，又∵sin ∠PAB >sin ∠PCB ，∴d 1<d 2.9．已知锐角三角形的三边长分别为3,4，a ，则a 的取值范围为( ) A ．1<a <5 B ．1<a <7 C.7<a <5 D.7<a <7答案 C解析 由锐角三角形及余弦定理知： ⎩⎪⎨⎪⎧32＋a 2－42>0，32＋42－a 2>0，a >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2>7，a 2<25，a >0⇔7<a <5.10．(2013·新课标全国Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5答案 D解析 由23cos 2A ＋cos2A ＝0，得cos 2A ＝125.∵A ∈(0，π2)，∴cos A ＝15.∵cos A ＝36＋b 2－492×6b ＝15，∴b ＝5或b ＝－135(舍)．故选D 项．11.如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°方向上，与灯塔S 相距20 n mile ，随后货轮按北偏西30°的方向航行30 min 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(2＋6) n mile/hB ．20(6－2) n mile/hC ．20(3＋6) n mile/hD ．20(6－3) n mile/h 答案 B解析 在△MNS 中，∠SMN ＝45°，∠MNS ＝105°，∠MSN ＝30°，于是MNsin30°＝20sin105°，解得MN ＝10(6－2)(n mile)． 故所求货轮的速度为106－212，即20(6－2)(n mile/h)12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725C ．±725D.2425答案 A解析 在△ABC 中，由正弦定理，得b sin B ＝csin C .∴sin C sin B ＝c b ，∴sin2B sin B ＝85，cos B ＝45. ∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．已知在△ABC 中，7sin A ＝8sin B ＝13sin C ，则C 的度数为________．答案 120°解析 由a sin A ＝b sin B ＝c sin C 及7sin A ＝8sin B ＝13sin C，得a ∶b ∶c ＝7∶8∶13.设a ＝7k ，b ＝8k ，c ＝13k (k >0)， 则有cos C ＝7k2＋8k 2－13k 22×7k ×8k＝－12.又∵0°<C <180°，∴C ＝120°.14．在△ABC 中，已知D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°，若AC ＝2AB ，则BD ＝________.答案 2＋ 5 解析如图，设AB ＝k ，则AC ＝2k . 再设BD ＝x ，则DC ＝2x . 在△ABD 中，由余弦定理，得k 2＝x 2＋2－2·x ·2·(－22)＝x 2＋2＋2x .① 在△ADC 中，由余弦定理，得 2k 2＝4x 2＋2－2·2x ·2·22＝4x 2＋2－4x ， 即k 2＝2x 2＋1－2x .②由①②得x 2－4x －1＝0，解得x ＝2＋5(负值舍去)． 故BD ＝2＋ 5.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则A 的大小为________． 答案π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin(π4＋B )＝2，∴sin(π4＋B )＝1.又∵0<B <π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝2×222＝12. 又∵a <b ，∴A <B .∴A ＝π6.16．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，给出下列结论： ①由已知条件，这个三角形被唯一确定； ②△ABC 一定是钝角三角形； ③sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3； ④若b ＋c ＝8，则△ABC 的面积是1532.其中正确结论的序号是________． 答案 ②③解析 由(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，可设a ＝7k ，b ＝5k ，c ＝3k (k >0)，a ，b ，c 随着k 的变化而变化，可知结论①错误．∵cos A ＝5k2＋3k 2－7k 22×5k ×3k<0，∴结论②正确．∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3， ∴结论③正确．∵cos A ＝－12，sin A ＝32，若b ＋c ＝8，不妨设b ＝5，c ＝3，a ＝7，则S △ABC ＝1534，∴结论④不正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)解答下列各题：(1)在△ABC 中，已知C ＝45°，A ＝60°，b ＝2，求此三角形最小边的长及a 与B 的值； (2)在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝120°，b ＝5，求C 及a 与c 的值． 解析 (1)∵A ＝60°，C ＝45°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝75°. ∴C <A <B .∴c <a <b ，即c 边最小． 由正弦定理可得a ＝b sin A sin B ＝2sin60°sin75°＝32－6， c ＝b sin C sin B ＝2sin45°sin75°＝23－2.综上可知，最小边c 的长为23－2，a ＝32－6，B ＝75°.(2)∵A ＝30°，B ＝120°，∴C ＝180°－(A ＋B )＝30°. ∴A ＝C .∴a ＝c . 由正弦定理可得a ＝b sin A sin B ＝5sin30°sin120°＝533. 综上可知，C ＝30°，a ＝c ＝533. 18．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长． 解析 (1)∵cos2C ＝1－2sin 2C ＝－14，0<C <π，∴sin C ＝104. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时， 由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝4.由cos2C ＝2cos 2C －1＝－14及0<C <π，得cos C ＝±64. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0(b >0)，解得b ＝6或b ＝2 6. 故⎩⎨⎧b ＝6，c ＝4或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.19．(12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .解析 (1)由题意结合正弦定理，得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝22. 又B 为三角形的内角，因此B ＝45°. (2)由于sin A ＝sin(30°＋45°) ＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64.故a ＝b sin A sin B ＝2＋62＝1＋3， c ＝b sin C sin B ＝2×sin60°sin45°＝ 6.20．(12分)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3a ＝2c sin A . (1)求角C 的值；(2)若c ＝7，且S △ABC ＝332，求a ＋b 的值．解析 (1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理，得a c ＝2sin A 3＝sin Asin C .∵sin A ≠0，∴sin C ＝32. 又∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝π3.(2)方法一 c ＝7，C ＝π3，由面积公式，得12ab sin π3＝332，即ab ＝6.①由余弦定理，得a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②由②变形得(a ＋b )2＝3ab ＋7.③ 将①代入③得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5. 方法二 前同方法一，联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝7，ab ＝6⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝13，ab ＝6，消去b 并整理得a 4－13a 2＋36＝0， 解得a 2＝4或a 2＝9， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2.故a ＋b ＝5.21．(12分)已知△ABC 的面积是30，其内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，且cos A ＝1213. (1)求AB →·AC →；(2)若c －b ＝1，求a 的值．解析 由cos A ＝1213，得sin A ＝1－12132＝513. 又∵12bc sin A ＝30，∴bc ＝156.(1)AB →·AC →＝bc cos A ＝156×1213＝144.(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A )＝1＋2×156×(1－1213)＝25.又∵a >0，∴a ＝5.22．(12分)(2013·山东)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．解析 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )． 所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429.由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝223. 因为a ＝c ，所以A 为锐角． 所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.。
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第一章解三角形测试一正弦定理和余弦定理Ⅰ学习目标1．掌握正弦定理和余弦定理及其有关变形.2．会正确运用正弦定理、余弦定理及有关三角形知识解三角形.Ⅱ基础训练题一、选择题1．在△ABC 中，若BC＝ 2 ，AC＝2，B＝45°，则角 A 等于( )(A)60 °(B)30°(C)60°或120°(D)30 °或150°2．在△ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝3，cosC＝－(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 14，则 c 等于( )3．在△ABC 中，已知3 2cosB ,sin C ，AC＝2，那么边AB 等于( )5 3(A) 54(B)53(C)209(D)1254．在△ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知B＝30°，c＝150，b＝50 3 ，那么这个三角形是( )(A) 等边三角形(B) 等腰三角形(C)直角三角形(D) 等腰三角形或直角三角形5．在△ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，如果A∶B∶C＝1∶2∶3，那么a∶b∶ c 等于( )(A)1 ∶2∶ 3 (B)1 ∶ 3 ∶ 2 (C)1 ∶4∶9 (D)1 ∶ 2 ∶ 3二、填空题6．在△ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若a＝2，B＝45°，C＝75°，则b＝________.7．在△ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝2 3 ，c＝4，则A＝________.8．在△ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若2cosBcosC＝1－cosA，则△ABC 形状是________三角形.9．在△ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝4，B＝60°，则c＝________.10．在△ABC 中，若tanA＝2，B＝45°，BC＝ 5 ，则AC＝________.三、解答题11．在△ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝4，C＝60°，试解△ABC.12．在△ABC 中，已知AB＝3，BC＝4，AC＝13 .(1)求角 B 的大小；(2)若D 是BC 的中点，求中线A D 的长.13．如图，△OAB 的顶点为O(0，0)，A(5，2) 和B(－9，8)，求角 A 的大小.12－2 3 x＋2＝0 的两根，2cos(A＋B)＝1. 14．在△ABC 中，已知BC＝a，AC＝b，且a，b 是方程x(1)求角 C 的度数；(2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积.测试二解三角形全章综合练习Ⅰ基础训练题一、选择题2＋c2－a2＝bc，则角 A 等于( ) 1．在△ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若b(A) π6(B)π3(C)2π3(D)5π62．在△ABC 中，给出下列关系式：①sin( A＋B)＝sinC ②cos(A＋B)＝cosC ③其中正确的个数是( )A Bsin cos2C2(A)0 (B)1 (C)2 (D)33．在△ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c. 若a＝3，sinA＝23，sin( A＋C)＝34，则 b 等于( )(A)4 (B) 83(C)6 (D)2784．在△ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝4，sinC＝(A)8 (B)6 (C)4 (D)3 23，则此三角形的面积是( )5．在△ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sinBcosC，则此三角形的形状是( )(A) 直角三角形(B) 正三角形(C)腰和底边不等的等腰三角形(D) 等腰直角三角形二、填空题6．在△ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若a＝ 2 ，b＝2，B＝45°，则角A＝________. 7．在△ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝3，c＝19 ，则角C＝________.8．在△ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若b＝3，c＝4，cosA＝9．已知△ABC 的顶点A(1，0)，B(0，2)，C(4，4)，则cosA＝________. 35，则此三角形的面积为________.10．已知△ABC 的三个内角A，B，C 满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，那么边BC 上的中线AD 的长为________.三、解答题11．在△ABC 中，a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，且a＝3，b＝4，C＝60°.(1)求c；(2)求sin B.12．设向量a，b满足a·b＝3，|a|＝3，|b|＝2.(1)求〈a，b〉；(2)求|a－b|.13．设△OAB 的顶点为O (0，0)，A(5，2)和B(－9，8)，若BD⊥OA 于D.(1)求高线BD 的长；(2)求△OAB 的面积.14．在△ABC 中，若sin2A＋sin2B＞sin2C，求证：C 为锐角.2a b c(提示：利用正弦定理2Rsin A sin B sin C，其中R 为△ABC 外接圆半径)Ⅱ拓展训练题15．如图，两条直路OX 与OY 相交于O 点，且两条路所在直线夹角为60°，甲、乙两人分别在OX、OY 上的A、B 两点，| OA |＝3km，|OB |＝1km，两人同时都以4km/h 的速度行走，甲沿XO 方向，乙沿OY 方向.问：(1)经过t 小时后，两人距离是多少(表示为t 的函数)？(2)何时两人距离最近？16．在△ABC 中，a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，且(1)求角 B 的值；c osBcosCb2a c.(2)若b＝13 ，a＋c＝4，求△ABC 的面积.3第二章数列测试三数列Ⅰ学习目标1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数. 2．理解数列的通项公式的含义，由通项公式写出数列各项.3．了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据递推公式写出数列的前几项.Ⅱ基础训练题一、选择题1．数列{ a n} 的前四项依次是：4，44，444，4444，⋯则数列{ a n} 的通项公式可以是( )n(A) a n＝4n (B) a n＝4(C) a n＝49n－1) (D) an＝4×11n (102．在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x，48，63，⋯⋯中，x 的值是( )(A)30 (B)35 (C)36 (D)423．数列{ a n} 满足：a1＝1，a n＝a n－1＋3n，则a4 等于( )(A)4 (B)13 (C)28 (D)434．156 是下列哪个数列中的一项( )2＋1} (B){ n2－1} (C){ n2＋n} (D){ n2＋n－1}(A){ n5．若数列{a n} 的通项公式为a n＝5－3n，则数列{ a n} 是( )(A) 递增数列(B) 递减数列(C)先减后增数列(D)以上都不对二、填空题6．数列的前 5 项如下，请写出各数列的一个通项公式：2 1 2 1(1) 1,, , , , ,a n ＝________；3 2 5 3(2)0，1，0，1，0，⋯，a n＝________.7．一个数列的通项公式是a n＝2nn21.(1)它的前五项依次是________；(2)0 . 98 是其中的第________项.8．在数列{a n} 中，a1＝2，a n＋1＝3a n＋1，则a4＝________.19．数列{ a n} 的通项公式为a n (n∈N1 2 3 (2n 1)*)，则a3＝________.2－15n＋3，则它的最小项是第________项. 10．数列{ a n} 的通项公式为a n＝2n三、解答题11．已知数列{ a n} 的通项公式为a n＝14－3n.(1)写出数列{a n} 的前6 项；(2)当n≥ 5 时，证明a n＜0.12．在数列{ a n} 中，已知a n＝2 nn31(n∈N* ).(1)写出a10，a n＋1， a ；2n(2)79 23是否是此数列中的项？若是，是第几项？13．已知函数 f1( ，设a n＝f (n)(n∈N＋). x) x( ，设a n＝f (n)(n∈N ＋).x4(1)写出数列{a n} 的前4 项；(2)数列{ a n}是递增数列还是递减数列？为什么？测试四等差数列Ⅰ学习目标1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能解决一些简单问题.2．掌握等差数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能体会等差数列与一次函数的关系.Ⅱ基础训练题一、选择题1．数列{ a n} 满足：a1＝3，a n＋1＝a n－2，则a100 等于( )(A)98 (B) －195 (C)－201 (D)－1982．数列{ a n} 是首项a1＝1，公差d＝3 的等差数列，如果a n＝2008，那么n 等于( )(A)667 (B)668 (C)669 (D)6703．在等差数列{ a n} 中，若a7＋a9＝16，a4＝1，则a12 的值是( )(A)15 (B)30 (C)31 (D)644．在 a 和b( a≠b)之间插入n个数，使它们与a，b 组成等差数列，则该数列的公差为()b a(A) (B)n bna1(C)bna1(D)bna25．设数列{a n} 是等差数列，且a2＝－6，a8＝6，S n 是数列{ a n} 的前n 项和，则( )(A) S4＜S5 (B) S4＝S5 (C) S6＜S5 (D) S6＝S5二、填空题6．在等差数列{ a n} 中，a2与a6 的等差中项是________.7．在等差数列{ a n} 中，已知a1＋a2＝5，a3＋a4＝9，那么a5＋a6＝________.8．设等差数列{ a n} 的前n 项和是S n，若S17＝102，则a9＝________.2＋2n，那么它的第n 项a n＝________.9．如果一个数列的前n 项和S n＝3n10．在数列{ a n} 中，若a1＝1，a2＝2，a n＋2－a n＝1＋(－1)n(n∈N*)，设{ a n} 的前n 项和是S n，则S10＝________.三、解答题11．已知数列{ a n} 是等差数列，其前n 项和为S n，a3＝7，S4＝24．求数列{ a n}的通项公式.12．等差数列{ a n}的前n 项和为S n，已知a10＝30，a20＝50.(1)求通项a n；(2)若S n＝242，求n.13．数列{ a n} 是等差数列，且a1＝50，d＝－0. 6．(1)从第几项开始a n＜0；(2)写出数列的前n 项和公式S n，并求S n 的最大值.Ⅲ拓展训练题14．记数列{ a n} 的前n 项和为S n，若3a n＋1＝3a n＋2(n∈N*)，a1＋a3＋a5＋⋯＋a99＝90，求S100．测试五等比数列Ⅰ学习目标1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能解决一些简单问题.2．掌握等比数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能体会等比数列与指数函数的关系.Ⅱ基础训练题一、选择题51．数列{ a n} 满足：a1＝3，a n＋1＝2a n，则a4等于( )(A) 38(B)24 (C)48 (D)542．在各项都为正数的等比数列{ a n} 中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5 等于( )(A)33 (B)72 (C)84 (D)1893．在等比数列{ a n} 中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3等于( )(A)4 (B) 32(C)169(D)34．在等比数列{ a n} 中，若a2＝9，a5＝243，则{ a n} 的前四项和为( )(A)81 (B)120 (C)168 (D)192n－15．若数列{a n} 满足a n＝a1q(q＞1)，给出以下四个结论：①{ a n}是等比数列；②{ a n} 可能是等差数列也可能是等比数列；③{ a n}是递增数列；④{ a n} 可能是递减数列.其中正确的结论是( )(A) ①③(B) ①④(C)②③(D)②④二、填空题2＋7x－9＝0 的两根，则a4a7＝________.6．在等比数列{ a n} 中,a1，a10 是方程3x7．在等比数列{ a n} 中，已知a1＋a2＝3，a3＋a4＝6，那么a5＋a6＝________.8．在等比数列{ a n} 中，若a5＝9，q＝12，则{ a n} 的前5 项和为________.9．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________.10．设等比数列{ a n}的公比为q，前n 项和为S n，若S n＋1，S n，S n＋2 成等差数列，则q＝________.三、解答题11．已知数列{ a n} 是等比数列，a2＝6，a5＝162. 设数列{ a n} 的前n 项和为S n.(1)求数列{ a n} 的通项公式；(2)若S n＝242，求n.12．在等比数列{ a n}中，若a2a6＝36，a3＋a5＝15，求公比q.13．已知实数a，b，c 成等差数列，a＋1，b＋1，c＋4 成等比数列，且a＋b＋c＝15，求a，b，c.Ⅲ拓展训练题14．在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q，每列上的数从上到下都成等差数列. a ij 表示位于第i 行第j 列的数，其中a24＝18，a42＝1，a54＝516.a11 a12 a13 a14 a15 ⋯a1j ⋯a21 a22 a23 a24 a25 ⋯a2j ⋯a31 a32 a33 a34 a35 ⋯a3j ⋯a41 a42 a43 a44 a45 ⋯a4j ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯a i1 a i2 a i3 a i 4 a i5 a ij⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)求q 的值；(2)求a ij 的计算公式.6测试六数列求和Ⅰ学习目标1．会求等差、等比数列的和，以及求等差、等比数列中的部分项的和. 2．会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和.Ⅱ基础训练题一、选择题1．已知等比数列的公比为2，且前 4 项的和为1，那么前8 项的和等于( )(A)15 (B)17 (C)19 (D)211 2．若数列{a n} 是公差为2 的等差数列，它的前100 项和为145，则a1＋a3＋a5＋⋯＋a99 的值为( )(A)60 (B)72 . 5 (C)85 (D)120n－1·2n(n∈N*)，设其前n 项和为S n，则S100 等于( ) 3．数列{ a n} 的通项公式a n＝(－1)(A)100 (B) －100 (C)200 (D)－2004．数列(2n11)( 2n 1)的前n 项和为()(A)n2n 1(B)2n2n 1(C)n4n 2(D)2nn 15．设数列{a n} 的前n 项和为S n，a1＝1，a2＝2，且a n＋2＝a n＋3(n＝1，2，3，⋯)，则S100 等于( )(A)7000 (B)7250 (C)7500 (D)14950二、填空题1 1 1 16．＝________.2 13 24 3 n 1 n17．数列{ n＋n2} 的前n 项和为________.2 8．数列{ a n} 满足：a1＝1，a n＋1＝2a n，则a1 ＋a 22 ＋⋯＋a2n ＝________.9．设n∈N*，a∈R，则1＋a＋a2＋⋯＋a n＝________.1 1 1 12 310．1n n ＝________.2 4 8 2 三、解答题11．在数列{ a n}中，a1＝－11，a n＋1＝a n＋2(n∈N*)，求数列{| a n|}的前n 项和S n.2＋a3x3＋⋯＋a n x n(n∈N*，x∈R)，且对一切正整数n 都有f(1)＝n2 成立. 12．已知函数f(x)＝a1x＋a2x(1)求数列{ a n} 的通项a n；(2)求1a a1 21a a2 31a n an1.13．在数列{ a n} 中，a1＝1，当n≥ 2 时，a n＝112141n ，求数列的前n 项和S n.12Ⅲ拓展训练题14．已知数列{ a n}是等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12.(1)求数列{ a n} 的通项公式；(2)令b n＝a n xn(x∈R)，求数列{ b n}的前n 项和公式.7测试七数列综合问题Ⅰ基础训练题一、选择题1．等差数列{ a n} 中，a1＝1，公差d≠0，如果a1，a2，a5 成等比数列，那么 d 等于( )(A)3 (B)2 (C)－2 (D)2 或－22．等比数列{ a n} 中，a n＞0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5 等于( )(A)5 (B)10 (C)15 (D)203．如果a1，a2，a3，⋯，a8为各项都是正数的等差数列，公差d≠0，则( )(A) a1a8＞a4a5 (B) a1a8＜a4a5(C) a1＋a8＞a4＋a5 (D) a1a8＝a4a54．一给定函数y＝f(x )的图象在下列图中，并且对任意a1∈(0，1)，由关系式a n＋1＝f( a n)得到的数列{a n} 满足a n＋1＞a n(n∈N*)，则该函数的图象是( )5．已知数列{ a n} 满足a1＝0，a 3na (n∈Nn 1 a3 1n*)，则a20 等于( )(A)0 (B) － 3 (C) 3 (D)3 2二、填空题6．设数列{a n} 的首项a1＝14，且12a , n为偶数,na n 则a2＝________，a3＝________.11a , n为奇数.n47．已知等差数列{ a n} 的公差为2，前20 项和等于150，那么a2＋a4＋a6＋⋯＋a20＝________.8．某种细菌的培养过程中，每20 分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过 3 个小时，这种细菌可以由 1 个繁殖成________个.9．在数列{a n} 中，a1＝2，a n＋1＝a n＋3n(n∈N*)，则a n＝________. 10．在数列{ a n}和{ b n}中，a1＝2，且对任意正整数n 等式3a n＋1－a n＝0 成立，若b n是a n 与a n＋1 的等差中项，则{b n} 的前n 项和为________.三、解答题11．数列{ a n} 的前n 项和记为S n，已知a n＝5S n－3( n∈N(1)求a1，a2，a3；* ).(2)求数列{ a n} 的通项公式；(3)求a1＋a3＋⋯＋a2n－1 的和.12．已知函数f(x)＝2x 24(x＞0)，设a1＝1，a 2 * )，求数列{a n} 的通项公式.n ·f(a n)＝2(n∈N113．设等差数列{ a n}的前n 项和为S n，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.(1)求公差 d 的范围；(2)指出S1，S2，⋯，S12 中哪个值最大，并说明理由.8Ⅲ拓展训练题14．甲、乙两物体分别从相距70m 的两地同时相向运动. 甲第1 分钟走2m，以后每分钟比前 1 分钟多走1m，乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前 1 分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？15．在数列{ a n} 中，若a1，a2 是正整数，且a n＝|a n－1－a n－2|，n＝3，4，5，⋯则称{ a n}为“绝对差数列”.(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)；(2)若“绝对差数列”{ a n} 中，a1＝3，a2＝0，试求出通项a n；(3)* 证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.测试八数列全章综合练习Ⅰ基础训练题一、选择题1．在等差数列{ a n} 中，已知a1＋a2＝4，a3＋a4＝12，那么a5＋a6 等于( )(A)16 (B)20 (C)24 (D)362．在50 和350 间所有末位数是 1 的整数和( )(A)5880 (B)5539 (C)5208 (D)48772＋bx＋c 的图象与x轴的交点个数为( )3．若a，b，c 成等比数列，则函数y＝ax(A)0 (B)1 (C)2 (D)不能确定4．在等差数列{ a n} 中，如果前 5 项的和为S5＝20，那么a3 等于( )(A) －2 (B)2 (C)－4 (D)45．若{ a n} 是等差数列，首项a1＞0，a2007＋a2008＞0，a2007·a2008＜0，则使前n 项和S n＞0 成立的最大自然数n 是( )(A)4012 (B)4013 (C)4014 (D)4015二、填空题6．已知等比数列{ a n} 中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项a n＝________.7．等差数列{ a n} 中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20 项和S20＝________.2－3n＋1，则 a8．数列{ a n} 的前n 项和记为S n，若S n＝n n＝________.9．等差数列{ a n} 中，公差d≠0，且a1，a3，a9 成等比数列，则a3a4aa67a9a10＝________.10．设数列{ a n} 是首项为 1 的正数数列，且(n＋1)a 2n －na1 2*)，则它的通项公式a n＝________. n ＋a n＋1a n＝0(n∈N三、解答题11．设等差数列{ a n} 的前n 项和为S n，且a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝4，求S13.12．已知数列{ a n}中，a1＝1，点(a n，a n＋1＋1)( n∈N*)在函数f(x)＝2x＋1 的图象上.(1)求数列{ a n} 的通项公式；(2)求数列{ a n} 的前n 项和S n；(3)设c n＝S n，求数列{ c n} 的前n 项和T n.13．已知数列{ a n}的前n 项和S n 满足条件S n＝3a n＋2.(1)求证：数列{ a n} 成等比数列；(2)求通项公式a n.14．某渔业公司今年初用98 万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12 万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50 万元.(1)写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用)；9(2)该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)？(3)若当盈利总额达到最大值时，渔船以8万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元？Ⅱ拓展训练题15．已知函数f(x)＝12x 4(x＜－2)，数列{ a n} 满足a1＝1，a n＝f(－1an1)( n∈N*).(1)求a n；(2)设b n＝a 2n ＋a1 2 2n ＋⋯＋a2n，是否存在最小正整数m，使对任意n∈N2 1*有bn＜n＜m25成立？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由.16．已知 f 是直角坐标系平面x Oy 到自身的一个映射，点P 在映射 f 下的象为点Q，记作Q＝f(P).*) 设P1(x1，y1)，P2＝f( P1)，P3＝f( P2)，⋯，P n＝f( P n－1)，⋯. 如果存在一个圆，使所有的点P n(x n，y n)(n∈N 都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P n(x n，y n)的一个收敛圆. 特别地，当P1＝f( P1)时，则称点P1 为映射 f 下的不动点.若点P( x，y)在映射 f 下的象为点Q(－x＋1，12 y).(1)求映射 f 下不动点的坐标；(2)若P1 的坐标为(2，2)，求证：点P n(x n，y n)( n∈N*)存在一个半径为 2 的收敛圆.10第三章不等式测试九不等式的概念与性质Ⅰ学习目标1．了解日常生活中的不等关系和不等式(组)的实际背景，掌握用作差的方法比较两个代数式的大小. 2．理解不等式的基本性质及其证明.Ⅱ基础训练题一、选择题1．设a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是( )(A) a＞b a－c＞b－c (B) a＞b ac＞bc2＞b2 (D) a＞b ac2＞bc2(C) a＞b a2．若－1＜＜＜1，则－的取值范围是( )(A)( －2，2) (B)( －2，－1) (C)( －1，0) (D)( －2，0)3．设a＞2，b＞2，则ab 与a＋b 的大小关系是( )(A) ab＞a＋b (B) ab＜a＋b (C) ab＝a＋b (D)不能确定4．使不等式a＞b 和1a1b同时成立的条件是( )(A) a＞b＞0 (B) a＞0＞b (C) b＞a＞0 (D) b＞0＞a 5．设1＜x＜10，则下列不等关系正确的是( )(A)lg 2x＞lg x2＞lg(lg x) (B)lg 2x＞lg(lg x)＞lg x22＞lg2x＞1g(lg x) (D)lg x2＞lg(lg x)＞lg2x (C)lg x二、填空题6．已知a＜b＜0，c＜0，在下列空白处填上适当不等号或等号：c c；(3) b－a________|a|－|b |. (1)( a－2) c________( b－2) c；(2) ________a b2 按从小到大排列为________. 7．已知a＜0，－1＜b＜0，那么a、ab、ab8．已知60＜a＜84，28＜b＜33，则a－b 的取值范围是________；ab的取值范围是________.2＞bc2；③9．已知a，b，c∈R，给出四个论断：①a＞b；②ac acbc；④a－c＞b－c. 以其中一个论断作条件，另一个论断作结论，写出你认为正确的两个命题是________ ________；________ ________. (在“”的两侧填上论断序号).10．设a＞0，0＜b＜1，则P＝32ab 与( a 1)( a 2)Q b 的大小关系是________.三、解答题11．若a＞b＞0，m＞0，判断ba与bamm的大小关系并加以证明.2 2a b12．设a＞0，b＞0，且a≠b， a q a bp ,b注：解题时可参考公式x3＋y3＝(x＋y)( x2－xy＋y2).3＋y3＝(x＋y)( x2－xy＋y2).. 证明：p＞q.Ⅲ拓展训练题3－a＋1)，N＝log a(a2－a＋1). 求证：M＞N. 13．已知a＞0，且a≠1，设M＝log a(a14．在等比数列{ a n}和等差数列{ b n}中,a1＝b1＞0，a3＝b3＞0，a1≠a3，试比较a5 和b5 的大小.11测试十均值不等式Ⅰ学习目标1．了解基本不等式的证明过程.2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.Ⅱ基础训练题一、选择题1．已知正数a，b 满足a＋b＝1，则ab( )(A) 有最小值14(B) 有最小值12(C)有最大值14(D)有最大值122．若a＞0，b＞0，且a≠b，则( )2 b2a b aab(A) 2 2 (B) aba b a22 b22(C)2 b2 a baab (D)22a2 a b2bab2 23．若矩形的面积为a2(a＞0)，则其周长的最小值为()(A) a (B)2 a (C)3 a (D)4 a a＋2b 的最小值是() 4．设a，b∈R，且2a＋b－2＝0，则4(A) 2 2 (B)4 (C) 4 2 (D)85．如果正数a，b，c，d 满足a＋b＝cd＝4，那么( )(A) ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d 的取值唯一(B) ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d 的取值唯一(C) ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d 的取值不唯一(D) ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d 的取值不唯一二、填空题6．若x＞0，则变量x 9x的最小值是________；取到最小值时，x＝________.7．函数y＝4x2x 1(x＞0)的最大值是________；取到最大值时，x＝________.8．已知a＜0，则16a 的最大值是________.a 39．函数f(x)＝2log2(x＋2)－log 2x 的最小值是________.10．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝3，且a，b，c 成等比数列，则 b 的取值范围是________.三、解答题a d和bc 的大小关系并加以证明. 11．四个互不相等的正数a，b，c，d 成等比数列，判断21 12．已知a＞0，a≠1，t＞0，试比较2 log a t 与logt 1a 的大小.2Ⅲ拓展训练题13．若正数x，y 满足x＋y＝1，且不等式x y a 恒成立，求 a 的取值范围.14．(1)用函数单调性的定义讨论函数 f (x)＝x＋ax(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性；(2)设函数f(x)＝x＋ax(a＞0)在(0，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的解析式.12测试十一一元二次不等式及其解法Ⅰ学习目标1．通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.2．会解简单的一元二次不等式.Ⅱ基础训练题一、选择题2 的解集是( ) 1．不等式5x＋4＞－x(A){ x|x＞－1，或x＜－4} (B){ x|－4＜x＜－1}(C){ x |x＞4，或x＜1} (D){ x|1＜x＜4}2＋x－2＞0 的解集是( )2．不等式－x(A){ x|x＞1，或x＜－2} (B){ x|－2＜x＜1}(C)R(D)2＞a2(a＜0)的解集为( )3．不等式x(A){ x|x＞±a} (B){ x|－a＜x＜a}(C){ x |x＞－a，或x＜a} (D){ x|x＞a，或x＜－a}12＋bx＋c＞0 的解集为2} 2＋bx＋a＜0 的解集是( ) 4．已知不等式ax { x|x ，则不等式cx31 1(A){ x|－3＜x＜} (B){ x|x＜－3，或x＞}2 21 1(C){ x－2＜x＜} (D){ x|x＜－2，或x＞}3 32－px－1(p∈R)的图象永远在x 轴的下方，则p 的取值范围是( )5．若函数y＝px(A)( －∞，0) (B)( －4，0] (C)( －∞，－4) (D)[ －4，0)二、填空题2＋x－12＜0 的解集是________.6．不等式x3x 1 7．不等式02x 5 的解集是________.2－1|＜1 的解集是________. 8．不等式|x2－3x＜4 的解集是________. 9．不等式0＜x2－(a＋10．已知关于x 的不等式x三、解答题1a)x＋1＜0 的解集为非空集合｛x|a＜x＜1a} ，则实数 a 的取值范围是________.2－2ax－3a2＜0(a∈R)的解集. 11．求不等式x12．k 在什么范围内取值时，方程组2x3x2y4y2xk有两组不同的实数解？Ⅲ拓展训练题2－x－6＜0} ，B＝{ x|x2＋2x－8＞0} ，C＝{ x|x2－4ax＋3a2＜0} .13．已知全集U＝R，集合A＝{ x|x(1)求实数 a 的取值范围，使C(A∩B)；(2)求实数 a 的取值范围，使C( U A)∩( U B).a∈R，解关于x 的不等式ax2－2x＋1＜0. 14．设13测试十二不等式的实际应用 Ⅰ 学习目标 会使用不等式的相关知识解决简单的实际应用问题. Ⅱ 基础训练题一、选择题 1．函数1y的定义域是 ()24 x(A){ x|－2＜x ＜ 2} (B){ x|－2≤ x ≤ 2} (C){ x |x ＞2，或 x ＜－ 2}(D){ x|x ≥ 2，或 x ≤ － 2}2．某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价 p(元 /件)的关系为 p ＝300－2x ，生产 x 件的成本 r ＝500＋30x(元)，为使月获利不少于 8600 元，则月产量x 满足( )(A)55 ≤ x ≤ 60 (B)60 ≤ x ≤ 65 (C)65≤ x ≤ 70(D)70 ≤ x ≤ 753．国家为了加强对烟酒生产管理，实行征收附加税政策. 现知某种酒每瓶70 元，不征收附加税时，每年大约产销100 万瓶；若政府征收附加税，每销售 100 元征税 r 元，则每年产销量减少 10r 万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税不少于 112 万元，那么 r 的取值范围为 ()(A)2 ≤ r ≤ 10 (B)8 ≤ r ≤ 10 (C)2≤ r ≤ 8(D)0 ≤ r ≤ 84．若关于 x 的不等式 (1＋k2)x ≤k 4＋4 的解集是 M ，则对任意实常数k ，总有 ()(A)2 ∈M ， 0∈M (B)2 M ，0 M (C)2∈M ，0 M(D)2M ，0∈ M二、填空题 5．已知矩形的周长为36cm ，则其面积的最大值为________.2＋ax ＋2＞0 的解集是R ，则实数 a 的取值范围是 ________.6．不等式 2x7．已知函数 f(x)＝x|x －2|，则不等式 f(x)＜3 的解集为 ________. 8．若不等式 |x ＋ 1|≥ kx 对任意 x ∈R 均成立，则 k 的取值范围是 ________. 三、解答题9．若直角三角形的周长为2，求它的面积的最大值，并判断此时三角形形状.10．汽车在行驶过程中， 由于惯性作用， 刹车后还要继续滑行一段距离才能停住， 我们称这段距离为 “刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个主要因素，在一个限速为 40km/h 的弯道上，甲乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了，事后现场测得甲车刹车的距离略超过 12m ，乙车的刹车距离略超过 10m. 已知甲乙两种车型的刹车距离s(km)与车速x (km/h) 之间分别有如下关系：s甲 ＝0. 1x ＋ 0. 01x 2，s 2，s乙＝0. 05x ＋0. 005x 2．问交2．问交 通事故的主要责任方是谁？Ⅲ 拓展训练题2＋2x ＋a ＞0 恒成立，求实数a 的取值范围.11．当 x ∈[－1，3]时，不等式－ x12．某大学印一份招生广告，所用纸张(矩形 )的左右两边留有宽为 4cm 的空白，上下留有都为 6cm 的空白，中间排版面积为 2400cm2. 如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最小？14测试十三二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题Ⅰ学习目标1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.Ⅱ基础训练题一、选择题1．已知点 A (2，0)，B(－1，3)及直线l：x－2y＝0，那么( )(A) A，B 都在l 上方(B) A，B 都在l 下方(C) A 在l 上方，B 在l 下方(D) A 在l 下方，B 在l 上方x 0,y 0, 所表示的平面区域的面积为( )2．在平面直角坐标系中，不等式组x y 2(A)1 (B)2 (C)3 (D)43．三条直线y＝x，y＝－x，y＝2 围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是( ) y x, y x,y x, y x,(A) (B) y x, (C) y x,y x,(D) y x,y 2. y 2. y 2.y 2.x y 5 0,x y 0, 则z＝2x＋4y 的最小值是()4．若x，y 满足约束条件x 3,(A) －6 (B) －10 (C)5 (D)105．某电脑用户计划使用不超过500 元的资金购买单价分别为60 元，70 元的单片软件和盒装磁盘. 根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )(A)5 种(B)6 种(C)7 种(D)8 种二、填空题6．在平面直角坐标系中，不等式组xy所表示的平面区域内的点位于第________象限.7．若不等式|2x＋y＋m|＜3 表示的平面区域包含原点和点(－1，1)，则m 的取值范围是________.x 1,y 3, 那么z＝x－y 的取值范围是________.8．已知点P (x，y)的坐标满足条件3x y 3 0,9．已知点P (x，y)的坐标满足条件xy2x1,2,y那么y 的取值范围是________.x2,10．方程|x |＋|y |≤ 1 所确定的曲线围成封闭图形的面积是________.三、解答题11．画出下列不等式(组)表示的平面区域：x 1,(1)3 x＋2y＋6＞0 (2) y 2,x y 1 0.1512．某实验室需购某种化工原料106kg，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35kg，价格为140 元；另一种是每袋24kg，价格为120 元. 在满足需要的前提下，最少需要花费多少元？Ⅲ拓展训练题13．商店现有75 公斤奶糖和120 公斤硬糖，准备混合在一起装成每袋 1 公斤出售，有两种混合办法：第一种每袋装250 克奶糖和750 克硬糖，每袋可盈利0. 5 元；第二种每袋装500 克奶糖和500 克硬糖，每袋可盈利0. 9 元.问每一种应装多少袋，使所获利润最大？最大利润是多少？14．甲、乙两个粮库要向A，B 两镇运送大米，已知甲库可调出100 吨，乙库可调出80 吨，而 A 镇需大米70 吨，B 镇需大米110 吨，两个粮库到两镇的路程和运费如下表：路程(千米) 运费(元/吨·千米)甲库乙库甲库乙库A 镇20 15 12 12B 镇25 20 10 8问：(1)这两个粮库各运往A、B 两镇多少吨大米，才能使总运费最省？此时总运费是多少？(2)最不合理的调运方案是什么？它给国家造成不该有的损失是多少？测试十四不等式全章综合练习Ⅰ基础训练题一、选择题1．设a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式中一定正确的是( )2＞bc2 (B) (A) ac 1a1b(C) a－c＞b－c (D)| a|＞|b|x y 4 0,2．在平面直角坐标系中，不等式组2x y 4 0,表示的平面区域的面积是( )y 2(A) 32(B)3 (C)4 (D)63．某房地产公司要在一块圆形的土地上，设计一个矩形的停车场. 若圆的半径为10m，则这个矩形的面积最大值是( )(A)50m 2 (B)100m2 (C)200m 2 (D)250m 22 2x x4．设函数f( x)＝ 2x，若对x＞0 恒有xf(x)＋a＞0 成立，则实数a的取值范围是( )(A) a＜1－2 2 (B) a＜2 2 －1 (C) a＞2 2 －1 (D) a＞1－2 25．设a，b∈R，且b(a＋b＋1)＜0，b( a＋b－1)＜0，则( )(A) a＞1 (B) a＜－1 (C)－1＜a＜1 (D)| a|＞1二、填空题16a的取值范围是________. 6．已知1＜a＜3，2＜b＜4，那么2a－b 的取值范围是________，b2－ax－b＜0 的解集为{ x |2＜x＜3} ，则a＋b＝________.7．若不等式x8．已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则x y 的最大值为________.2 ax ax 2 的定义域为R，则a的取值范围为________.9．若函数f( x)＝ 2 12＋25＋|x3－5x2|≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数 a 的取值范围”提出各自10．三个同学对问题“关于x 的不等式x的解题思路.甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值. ”乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值. ”丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图象.”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是________.三、解答题11．已知全集U＝R，集合A＝{x| |x－1|＜6} ，B＝{ x|(1)求A∩B；x2x81＞0} .(2)求( U A)∪B.12．某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000 元，运费500 元，可得产品90 千克；若采用乙种原料，每吨成本1500 元，运费400 元，可得产品100 千克. 今预算每日原料总成本不得超过6000 元，运费不得超过2000 元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大？Ⅱ拓展训练题13．已知数集A＝{ a1，a2，⋯，a n}(1 ≤a1＜a2＜⋯＜a n，n≥2)具有性质P：对任意的i，j (1≤i≤j≤n)，a i a j 与ajai两数中至少有一个属于 A.(1)分别判断数集{1 ，3，4} 与{1 ，2，3，6} 是否具有性质P，并说明理由；(2)证明：a1＝1，且a a a1 2 n a .a a 1 1 n1a1 2 n17测试十五必修 5 模块自我检测题一、选择题 21．函数 y x 4 的定义域是 ( )(A)( －2，2) (B)( －∞，－ 2)∪(2，＋∞ ) (C)[ －2，2](D)( －∞，－ 2]∪[2，＋∞ ) 2．设 a ＞b ＞0，则下列不等式中一定成立的是 ()(A) a －b ＜0(B)0 ＜ a b＜1a b(C) ab ＜(D) ab ＞a ＋b2x 1, y 0,所表示的平面区域是W ，则下列各点中，在区域W 内的点是 () 3．设不等式组x y 01 1 1 1(A) ( , )(B) ( , )2 3 2 3 1 1 1 1 (C) ( , )(D) ( , )2 3 2 34．设等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，则下列不等式中一定成立的是() (A) a 1＋a 3＞0(B) a 1a 3＞0(C) S 1＋S 3＜0(D) S 1S 3＜05．在△ ABC 中，三个内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ， b ，c ，若 A ∶ B ∶ C ＝1∶ 2∶ 3，则 a ∶ b ∶ c 等于 ()(A)1 ∶3 ∶ 2(B)1 ∶ 2∶ 3 (C)2 ∶3 ∶ 1(D)3 ∶ 2∶ 16．已知等差数列 { a n } 的前 20 项和S 20＝340，则 a 6＋a 9＋a 11＋a 16 等于 () (A)31 (B)34 (C)68 (D)707．已知正数 x 、 y 满足x ＋y ＝4，则 log 2x ＋log 2y 的最大值是 ()(A) －4 (B)4(C)－2(D)28．如图，在限速为90km/h 的公路 AB 旁有一测速站P ，已知点 P 距测速区起点 A 的距离为 0. 08 km ，距测速区终点 B 的距离为 0. 05 km ，且∠ APB ＝60°. 现测得某辆汽车从A 点行驶到B 点所用的时间为 3s ，则此车的速度介于()(A)60 ～70km/h (B)70 ～80km/h (C)80～90km/h (D)90 ～100km/h二、填空题9．不等式 x( x －1)＜2 的解集为 ________.10．在△ ABC 中，三个内角 A ，B ，C 成等差数列，则 cos( A ＋C)的值为 ________. 11．已知 { a n } 是公差为－ 2 的等差数列，其前 5 项的和S 5＝0，那么 a 1 等于 ________.12．在△ ABC 中， BC ＝1，角 C ＝120°， cosA ＝2 3，则 AB ＝________. 18x 0, y 02x y 4 0 ，所表示的平面区域的面积是________；变量z＝x＋3y 的最大13．在平面直角坐标系中，不等式组x y 3 0值是________.14．如图，n2(n≥4)个正数排成n 行n 列方阵，符号a ij(1≤i≤n，1≤j≤n，i，j∈N)表示位于第i 行第j 列的正数.已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q. 若a11＝则q＝________；a ij ＝________. 12，a24＝1，a32＝14，三、解答题2＋ax＋6. 15．已知函数f(x)＝x(1)当a＝5 时，解不等式f(x)＜0；(2)若不等式f( x)＞0 的解集为R，求实数 a 的取值范围.16．已知{ a n} 是等差数列，a2＝5，a5＝14.(1)求{ a n}的通项公式；(2)设{ a n}的前n 项和S n＝155，求n 的值.17．在△ABC 中，a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，A，B 是锐角，c＝10，且c oscosA b 4 .B a 3(1)证明角C＝90°；(2)求△ABC 的面积.18．某厂生产甲、乙两种产品，生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如下表所示. 若每天配给该厂的煤至多56 吨，供电至多45 千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值最大？用煤(吨) 用电(千瓦) 产值(万元) 甲种产品7 2 8乙种产品 3 5 1119．在△ABC 中，a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，且cosA＝1 . 32 的值；B C(1)求sin cos 2A2(2)若a＝ 3 ，求bc 的最大值.20．数列{ a n} 的前n 项和是S n，a1＝5，且a n＝S n－1(n＝2，3，4，⋯).(1)求数列{ a n} 的通项公式；1 1 1 1(2)求证：a1 a a a n2 3 351920参考答案第一章解三角形测试一正弦定理和余弦定理一、选择题1．B 2．C 3．B 4．D 5．B提示：4．由正弦定理，得sinC＝3 ，所以C＝60°或C＝120°，2当C＝60°时，∵B＝30°，∴A＝90°，△ABC 是直角三角形；当C＝120°时，∵B＝30°，∴A＝30°，△ABC 是等腰三角形. 5．因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，由正弦定理asin Absin Bcsin C＝k，得a＝k·sin30°＝12 k，b＝k·sin60°＝32k，c＝k·sin90°＝k，所以a∶b∶c＝1∶ 3 ∶ 2.二、填空题2 63 37 5 2 6．7．30°8．等腰三角形9．10．3 2 4提示：8．∵A＋B＋C＝π，∴－cosA＝cos( B＋C). ∴2cosBcosC＝1－cosA＝cos( B＋C)＋1，∴2cosBcosC＝cosBcosC－sinBsinC＋1，∴cos(B－C)＝1，∴B－C＝0，即B＝C.2＝a2＋c2－2accosB.9．利用余弦定理 b10．由tanA＝2，得2sin A ，根据正弦定理，得5ACsin BBCsin A5 2，得AC＝ 4.三、解答题11．c＝2 3 ，A＝30°，B＝90°.12．(1)60°；(2) AD＝7 .13．如右图，由两点间距离公式，2 2得OA＝(5 0) (20) 29 ，同理得OB 145, AB 232 . 由余弦定理，得cosA＝2 2 2OA OB ，AB 22 OA AB 2∴A＝45°.2114．(1)因为2cos(A＋B)＝1，所以A＋B＝60°，故C＝120°.(2)由题意，得a＋b＝2 3 ，ab＝2，又AB2＝c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab－2 a bcosC＝12－4－4×( 12)＝10.所以AB＝10 .(3) S△ABC＝12 absinC＝1·2·232＝ 3 .2测试二解三角形全章综合练习1．B 2．C 3．D 4．C 5．B提示：2＋c2－a2＝bc，5．化简(a＋b＋c)( b＋c－a)＝3bc，得b由余弦定理，得cosA＝2b2c2bc2a 12，所以∠A＝60°.因为sinA＝2sin B cosC，A＋B＋C＝180°，所以sin(B＋C)＝2sinBcosC，即sinB c osC＋cosBsinC＝2sinBcosC.所以sin(B－C)＝0，故B＝C.故△ABC 是正三角形.二、填空题6．30°7．120°8．三、解答题2459．5510． 311．(1)由余弦定理，得c＝13 ；(2)由正弦定理，得sinB＝239 13.12．(1)由a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉，得〈a，b〉＝60°；(2)由向量减法几何意义，知|a|，|b|，|a－b|可以组成三角形，所以|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|·cos〈a，b〉＝7，故|a－b|＝7 .13．(1)如右图，由两点间距离公式，得OA (5 0)2 (2 0)2 29 ，同理得OB 145 , AB 232 .由余弦定理，得22cos A2OA2ABOA2OBAB222,所以A＝45°.故BD＝AB×sinA＝2 29 .(2) S△OAB＝12·OA·BD＝12·29 · 2 29 ＝29.a b c14．由正弦定理2Rsin A sin B sin C，a b c得sin A, sin B, sin C 2R 2R 2R2A＋sin2B＞sin2C，因为sin.a b c所以 2 2 ) 2 ( ) ( ) (2R 2R 2R 即a2＋b2＞c2. ，2 2a b2 c所以cosC＝＞0，2ab由C∈(0，π)，得角 C 为锐角.15．(1)设t小时后甲、乙分别到达P、Q 点，如图，则|AP|＝4t，|BQ|＝4t，因为|OA |＝3，所以t＝h 时，P 与O 重合.4故当t∈[0，]时，42＝(3－4t)2＋(1＋4t )2－2×(3－4t)×(1＋4t)×cos60°； |PQ |当t＞42＝(4t－3)2＋(1＋4t)2－2×(4t－3)×(1＋4t)×cos120°.h 时，|PQ|2 t故得|PQ |＝48t 24 7 (t≥0).24 1(2)当t＝h2 48 4时，两人距离最近，最近距离为2km .a b c16．(1)由正弦定理2Rsin A sin B sin C，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.所以等式c oscos BCb2a c可化为c os BcosC 2 2R2 Rsinsin AB2R sin C，即c os BcosC 2 sinsinABsin C，2sinA c osB＋sinCcosB＝－cosC·sin B，故2sinA c osB＝－cosCsinB－sinCcosB＝－sin(B＋C)，因为A＋B＋C＝π，所以sin A＝sin( B＋C)，故cosB＝－12 ，所以B＝120°.232＝13＝a2＋c2－2ac×cos120°，(2)由余弦定理，得 b即a2＋c2＋ac＝13又a＋c＝4，解得ac13，或ac31.所以S△ABC＝12 acsinB＝12×1×3×32＝3 34.第二章数列测试三数列一、选择题1．C 2．B 3．C 4．C 5．B 二、填空题6．(1)n1 ( 1)2a n (或其他符合要求的答案) (2) 2a (或其他符合要求的答案)nn 17．(1) 12,459,10,1617,2526(2)7 8．67 9．11510．4提示：9．注意a n 的分母是1＋2＋3＋4＋5＝15.2－15n＋3，利用二次函数图象可得答案. 10．将数列{ a n} 的通项a n看成函数f(n)＝2n三、解答题11．(1)数列{ a n} 的前6 项依次是11，8，5，2，－1，－4；(2)证明：∵n≥5，∴－3n＜－15，∴14－3n＜－1，故当n≥ 5 时，a n＝14－3n＜0.12．(1)2 4 2109 n 3n 1 n n 1a ,a n ,a；10 1 2n3 3 3(2)79 23是该数列的第15 项.13．(1)因为a n＝n－1n，所以a1＝0，a2＝32，a3＝83，a4＝154；＋1－a n＝[( n＋1) (2)因为a n1n 1]－(n－1n)＝1＋1n(n1)又因为n∈N＋，所以a n＋1－a n＞0，即a n＋1＞a n.所以数列{ a n} 是递增数列.测试四等差数列一、选择题1．B 2．D 3．A 4．B 5．B二、填空题6．a4 7．13 8．6 9．6n－1 10．35提示：10．方法一：求出前10 项，再求和即可；方法二：当n 为奇数时，由题意，得a n＋2－a n＝0，所以a1＝a3＝a5＝⋯＝a2m－1＝1(m∈N*).当n 为偶数时，由题意，得a n＋2－a n＝2，。
高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题(含答案)教学内容
高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题(含答案)高中数学必修五第一章单元测试题《解三角形》一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，下列等式不成立的是()A．c＝a2＋b2－2ab cos CB.asin A＝bsin BC．a sin C＝c sin AD．cos B＝a2＋c2－b22abc2．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()A．75°B．60°C．45°D．30°3．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于()A．76 B．219C．27 D．274．已知△ABC中，a＝4，b＝43，A＝30°，则B等于()A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°5．已知三角形的三边长分别为a，b，a2＋ab＋b2，则三角形的最大内角是()A．135°B．120°C．60°D．90°6．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()A.π6 B.π3C.π2 D.2π37．在△ABC 中，已知a ＝2b cos C ，那么△ABC 的内角B 、C 之间的关系是( )A ．B >CB ．B ＝C C ．B <CD ．关系不确定8．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( )A ．不等边三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形9．在△ABC 中，cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形10．△ABC 中，已知sin B ＝1，b ＝3，则此三角形( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定11．在△ABC 中，若A <B <C ，b ＝10，且a ＋c ＝2b ，C ＝2A ，则a 与c 的值分别为( )A ．8,10B ．10,10C ．8,12D ．12,812．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →＝－1，则△ABC 的周长是( )A ．3B ．6C ．3 6D ．9 6二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．在△ABC 中，A ＝30°，C ＝105°，b ＝8，则a ＝________.14．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则AC ＝________.15．在△ABC 中，已知CB ＝8，CA ＝5，△ABC 的面积为12，则cos2C ＝________.16．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为______m ，乙楼高为________m.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若cos B cos C－sin B sin C ＝12.(1)求A ；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．18．(12分)在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．19．(12分)如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cos C＝3 4.(1)求AB的值；(2)求sin(2A＋C)的值．20．(12分)已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0)．(1)若c＝5，求sin A的值；(2)若∠A是钝角，求c的取值范围．21．(12分)如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60 °，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外两点间距离哪个相等，然后求B，D 的距离(计算结果精确到0.01 km，2＝1.414，6≈2.449)．22．(12分)设函数f(x)＝cos(2x＋π3)＋sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cos B＝13，f(C2)＝－14，且C为锐角，求sin A.高中数学必修五第一章单元测试题《解三角形》参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，下列等式不成立的是()A．c＝a2＋b2－2ab cos CB.asin A＝bsin BC．a sin C＝c sin AD．cos B＝a2＋c2－b22abc答案 D解析很明显A，B，C成立；由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b22ac，所以D不成立．2．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为() A．75°B．60°C．45°D．30°答案 B解析由S△ABC＝33＝12×3×4sin C，得sin C＝32，又角C为锐角，故C＝60°.3．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于() A．76 B．219C．27 D．27答案 B解析由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝76，所以b＝219. 4．已知△ABC中，a＝4，b＝43，A＝30°，则B等于() A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°答案 D解析由正弦定理，得asin A＝bsin B.所以sin B＝ba sin A＝434sin30°＝32.又a<b，则A<B，所以B＝60°或120°.5．已知三角形的三边长分别为a，b，a2＋ab＋b2，则三角形的最大内角是()A．135°B．120°C．60°D．90°答案 B解析a2＋ab＋b2>a，a2＋ab＋b2>b，则长为a2＋ab＋b2的边所对的角最大．由余弦定理，得cosα＝a2＋b2－(a2＋b2＋ab)2ab＝－12，所以三角形的最大内角是120°.6．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()A.π6 B.π3C.π2 D.2π3答案 B解析由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，则b2＋a2－c2＝ab.由余弦定理，得cos C＝a2＋b2－c22ab＝12，所以C＝π3.7．在△ABC中，已知a＝2b cos C，那么△ABC的内角B、C之间的关系是() A．B>C B．B＝CC．B<C D．关系不确定答案 B8．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则这个三角形是()A．不等边三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．直角三角形答案 B9．在△ABC中，cos A cos B>sin A sin B，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形答案 C 10．△ABC 中，已知sin B ＝1，b ＝3，则此三角形( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定答案 D11．在△ABC 中，若A <B <C ，b ＝10，且a ＋c ＝2b ，C ＝2A ，则a 与c 的值分别为( )A ．8,10B ．10,10C ．8,12D ．12,8 答案 C解析 ∵C ＝2A ，∴sin C ＝sin2A ＝2sin A ·cos A .由正弦定理，余弦定理可得c ＝2a ·100＋c 2－a 22×10c， 将a ＝20－c 代入上式整理，得c 2－22c ＋120＝0，解得∴c ＝10(舍去)或c ＝12.∴a ＝8.12．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →＝－1，则△ABC 的周长是( )A ．3B ．6C ．3 6D ．9 6 答案 C解析 由已知得O 是△ABC 的重心，由OA →·OB →＝OB →·OC →，得OB →·(OA →－OC →)＝0.∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥CA .同理，OA ⊥BC ，OC ⊥AB .∴△ABC 为等边三角形．故∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝2π3，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝ 2.在△AOB 中，由余弦定理，得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB cos 2π3＝6.∴AB＝6，故△ABC的周长是3 6.讲评本题是以向量的数量积给出条件，通过计算得出三角形中的一些量，再利用余弦定理可解．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．在△ABC中，A＝30°，C＝105°，b＝8，则a＝________.答案4 2解析B＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理，得a＝sin Asin B b＝sin30°sin45°×8＝4 2.14．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________. 答案 3解析在△ABC中，由余弦定理，得cos A＝cos120°＝AB2＋AC2－BC22×AB×AC，即25＋AC2－492×5×AC＝－12.解得AC＝－8(舍去)或AC＝3.15．在△ABC中，已知CB＝8，CA＝5，△ABC的面积为12，则cos2C＝________.答案725解析由题意，得S＝12CA×CB sin C，则12＝12×5×8sin C.所以sin C＝35.则cos2C＝1－2sin2C＝725.16．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为______m，乙楼高为________m.答案203403 3解析如下图所示，甲楼高为AB，乙楼高为CD，AC＝20 m.。
人教A版高中数学必修五课标章节素质测试题——第一章 解三角形.doc
课标高中数学人教A 版必修5章节素质测试题——第一章 解三角形（考试时间：120分钟 满分：150分）姓名__________评价_________一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分. 以下给出的四个备选答案中,只有一个正确） 1.（10湖北理3）在ABC ∆中，，，，︒===601015A b a 则cos B =（ ）A. －3 B. 3 C. －332.（08陕西理3）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若120c b B ===o ，则a 等于（ ）AB ．2CD3.（09福建文7）已知锐角ABC ∆的面积为4,3BC CA ==，则角C 的大小为（ ） A. 75° B. 60° C. 45° D.30°4.（11重庆理6）若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边c b a 、、满足22a b 4c +-=（），且︒=60C ，则ab 的值为（ ）A ．43B ．8-C ． 1D ．235．（10天津理7）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边c b a 、、，若22a b -=，sin C B =，则A=（ ）A.030 B.060 C.0120 D.01506.（11重庆文8）若△ABC 的内角，,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B =（ ）A B ．34C D ．11167．（11辽宁理4）△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a Ab B A a 2cos sin sin 2=+，则=ab（ ）A ．B ．CD8．（11浙江文5）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c ．若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=（ ）A ．21-B ．12C ． 1-D ．19.（08山东文8）已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量)sin ,(cos ),1,3(A A n m =-=→→.若→→⊥n m ，且C c A b B a sin cos cos =+，则角A ，B 的大小分别为（ ） A ．,63ππ B.2,36ππ C.,36ππ D.,33ππ 10.（11四川理6）在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）A.(0,]6πB.[,)6ππC.(0,]3πD.[,)3ππ11．（08福建理10）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 若ac B b c a 3tan )(222=-+，则角B 的值为（ ） A.6πB.3π C.6π或56πD.3π或23π12.（12湖北文8）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A a b C B A cos 203=>>，，则sinA ∶sinB ∶sinC 为（ ）A.4∶3∶2B.5∶6∶7C.5∶4∶3D.6∶5∶4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号后的横线上） 13.（08湖北文12）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知︒===30,3,3C b a ,则A ＝ .14.（11新课标文15）△ABC 中，120,7,5B AC AB =︒==，则△ABC 的面积为_________．15.（10广东文13）已知,,a b c 分别是△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边．若a ＝1，b 2A C B +=，则sin C ＝ .16.（12北京理11）在ABC ∆中，若3a =，b =3A π∠=，则C ∠的大小为_________.三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分，12安徽文16）设△ABC 的内角C B A ,,所对边的长分别为,,,c b a ，且有C A C A A B sin cos cos sin cos sin 2+=.（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ) 若2b =，1c =，D 为BC 的中点，求AD 的长.18.（本题满分12分，11湖南理17）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C = （Ⅰ）求角C 的大小；cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．19．（本题满分12分，11山东理17）在∆ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为c b a 、、，已知bac B C A -=-2cos cos 2cos . （Ⅰ）求sin sin C A 的值； （Ⅱ）若2,41cos ==b B ，求ABC ∆的面积S.20.（本题满分12分，09宁夏理17）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为075，030，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为060，AC=0.1 km. 试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km ，2≈1.414，6≈2.449） 21.（本题满分12分，11全国Ⅰ文18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知sin csin 2sin sin ,a A C a C b B +-=（Ⅰ）求B ； （Ⅱ）若075,2,A b a c ==求与.22.（本题满分12分，10陕西理17）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5（3＋3）海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？新课标高中数学人教A 版必修5章节素质检测题——第一章解三角形（参考答案）一、选择题答题卡：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D DBAADDDCCDD二、填空题 13.6π ； 14. 4315 ； 15. 1 ； 16.2π.三、解答题17. 解：（Ⅰ）,,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈⇒+=>2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+=1cos 23A A π⇔=⇔=. （Ⅱ）由余弦定理得2222222cos 32a b c bc A a b a c B π=+-⇔=⇒=+⇒=.在Rt ABD ∆中，2222371()2AD AB BD =+=+=. 18. 解：（Ⅰ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0,A π<<所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4A C C C C C π>=≠==从而又所以则．（Ⅱ）由（Ⅰ）知3.4B A π=-于是cos()cos()4cos 2sin().63110,,,,46612623A B A A A A A A A A A ππππππππππ-+=--=+=+<<∴<+<+==Q 从而当即时2sin()6A π+取最大值2．cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ==19. 解：（Ⅰ）由正弦定理，设,sin sin sin a b ck A B C===则22sin sin 2sin sin ,sin sin c a k C k A C A b k B B ---==所以cos 2cos 2sin sin .cos sin A C C A B B--=即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-， 化简可得sin()2sin().A B B C +=+ 又A B C π++=，所以sin 2sin C A = 因此sin 2.sin CA = （Ⅱ）由sin 2sin CA=得2.c a =由余弦定理得：22222212cos cos ,2,4144.4b ac ac B B b a a a 及得4==+-==+-⨯解得a=1. 因此c=2 又因为1cos ,0.4B B 且π=<<所以sin 4B =因此11sin 1222S ac B ==⨯⨯=20. 解:在△ABC 中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°， 故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA.在△ABC 中，,ABC sin CBCA sin ∠=∠A AB即,2062315sin ACsin60+==οοAB 因此，BD=。
【成才之路】2015版高中数学(人教版·必修5)综合检测第一章解三角形
第一章综合检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．)1．在△ABC 中，a ＝80，b ＝100，A ＝45°，则此三角形解的情况是( ) A ．一解 B ．两解 C ．一解或两解 D ．无解[答案] B[解析] ∵b sin A ＝100×22＝502<80， ∴b sin A <a <b ， ∴此三角形有两解．2．在△ABC 中，A ＝45°，AC ＝4，AB ＝2，那么cos B ＝( ) A ．31010B ．－31010C ．55D ．－55[答案] D[解析] BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ＝16＋2－82cos45°＝10，∴BC ＝10， cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝－55.3．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 的值为( ) A ． 3 B ．2 3 C ．3或2 3 D ．2[答案] C[解析] ∵sin C ＝sin B b ·c ＝32，∴C ＝60°或C ＝120°， ∴A ＝30°或A ＝90°， 当A ＝30°时，a ＝b ＝3；当A ＝90°时，a ＝b 2＋c 2＝2 3.故选C ．4．已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形[答案] C[解析] 由题意知：cos A ·cos B ＝sin 2C2，∴cos A ·cos B ＝1－cos C 2＝12－12cos [180°－(A ＋B )]＝12＋12cos(A ＋B )，∴12(cos A ·cos B ＋sin A ·sin B )＝12，∴cos(A －B )＝1， ∴A －B ＝0，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形，故选C ．5．△ABC 中，已知下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b ＝33，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°.其中满足上述条件的三角形有两解的是( )A ．①②B ．①④C ．①②③D ．③④[答案] A[解析] ①c sin B <b <c ，故有两解； ②b sin A <a <b ，故有两解； ③b ＝c sin B ，有一解； ④c <b sin C ，无解．所以有两解的有①②，故选A ．6．等腰△ABC 底角B 的正弦与余弦的和为62，则它的顶角是( ) A ．30°或150° B ．15°或75° C ．30° D ．15°[答案] A[解析] 由题意：sin B ＋cos B ＝62.两边平方得sin2B ＝12，设顶角为A ，则A ＝180°－2B . ∴sin A ＝sin(180°－2B )＝sin2B ＝12，∴A ＝30°或150°.7．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A ．725B ．－725C ．±725D ．2425[答案] A[解析] 由b sin B ＝c sin C 及8b ＝5c ，C ＝2B 得，5sin2B ＝8sin B ，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos2B＝2cos 2B －1＝725.8．△ABC 中，|AB →|＝5，|AC →|＝8，AB →·AC →＝20，则|BC →|为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9[答案] B[解析] ∵AB →·AC →＝20，∴|AB →||AC →|cos A ＝20，∴cos A ＝12，由余弦定理，得|BC →|2＝|AB →|2＋|AC →|2－2|AB →||AC →|cos A ＝49， ∴|BC →|＝7.9．已知钝角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是( ) A ．1<x <5 B.5<x <13C ．1<x <5或13<x <5D ．1<x < 5 [答案] C[解析] 当x 为最大边时⎩⎪⎨⎪⎧3<x <5x 2>32＋22，∴13<x <5；当3为最大边时⎩⎪⎨⎪⎧1<x <332>x 2＋22，∴1<x < 5.∴x 的取值范围是：1<x <5或13<x <5.10．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( )A ．154B ．1534C ．2134D ．3534[答案] B[解析] ∵三边不等，∴最大角大于60°，设最大角为α，故α对的边长为a ＋2. ∵sin α＝32，∴α＝120°， 由余弦定理，得(a ＋2)2＝(a －2)2＋a 2＋a (a －2)，即a 2＝5a ，解得a ＝5，∴三边长为3,5,7， S △ABC ＝12×3×5×sin120°＝1534.11．在△ABC 中，B ＝60°，C ＝45°，BC ＝8，D 为BC 上一点，且BD →＝3－12BC →，则AD的长为( )A ．4(3－1)B ．4(3＋1)C ．4(3－3)D ．4(3＋3)[答案] C[解析] 由题意知∠BAC ＝75°，根据正弦定理，得AB ＝BC sin45°sin75°＝8(3－1)，因为BD →＝3－12BC →，所以BD ＝3－12BC ．又BC ＝8，所以BD ＝4(3－1)． 在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos60° ＝4(3－3)．12．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20n mile ，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(2＋6)n mile/hB ．20(6－2)n mile/hC ．20(3＋6)n mile/hD ．20(6－3)n mile/h [答案] B[解析] 由题意可知∠SMN ＝15°＋30°＝45°，MS ＝20，∠MNS ＝45°＋(90°－30°)＝105°，设货轮每小时航行x n mile ，则MN ＝12x ，∴∠MSN ＝180°－105°－45°＝30°， 由正弦定理，得12x sin30°＝20sin105°，∵sin105°＝sin(60°＋45°) ＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝6＋24， ∴x ＝20(6－2)，故选B.二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，已知b ＝1，sin C ＝35，b cos C ＋c cos B ＝2，则AC →·BC →＝________.[答案] 85或－85[解析] 由余弦定理的推论，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac .∵b cos C ＋c cos B ＝2， ∴a 2＋b 2－c 22a ＋a 2＋c 2－b 22a ＝2，∴a ＝2，即|BC →|＝2. ∵sin C ＝35，0°<C <180°，∴cos C ＝45，或cos C ＝－45.又∵b ＝1，即|AC →|＝1， ∴AC →·BC →＝85，或AC →·BC →＝－85.14．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C ．若△ABC 的面积为16sin C ，则C＝________.[答案] 60°[解析] ∵sin A ＋sin B ＝2sin C ． ∴a ＋b ＝2C ．又∵a ＋b ＋c ＝2＋1，∴c ＝1，a ＋b ＝ 2. 又S △ABC ＝12ab sin C ＝16sin C ．∴ab ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －c 22ab ＝12，∴C ＝60°.15．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.[答案]102[解析] ∵tan A ＝13，∴sin A ＝1010，由正弦定理，得AB ＝BC ·sin C sin A ＝102.16．在△ABC 中，cos 2A 2＝b ＋c2c ，则△ABC 的形状为________．[答案] 直角三角形[解析] ∵cos 2A 2＝1＋cos A 2＝b ＋c 2c ＝12＋b2c ，∴cos A ＝bc.由余弦定理的推论，得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝b c ，∴a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为直角三角形．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2014·新课标Ⅱ文，17)四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3, CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积． [解析] (1)由题设及余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝12－12cos C ． ①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ． ②由①，②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积 S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C＝(12×1×2＋12×3×2)sin60° ＝2 3.18．(本题满分12分)在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A ．(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．[解析] (1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理得，3sin A ＝2sin C sin A ． ∵sin A ≠0，∴sin C ＝32. ∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝π3.(2)∵C ＝π3，△ABC 面积为332，∴12ab sin π3＝332，即ab ＝6.① ∵c ＝7，∴由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②由②变形得(a ＋b )2＝3ab ＋7.③ 将①代入③得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5.19．(本题满分12分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1km 内不能收到手机信号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约3km 有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12km/h 的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？[解析] 如图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C ，D 两点到考点的距离为1km. 在△ABC 中，AB ＝3≈1.732，AC ＝1，∠ABC ＝30°， 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB sin30°AC ＝32， ∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1. 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1. ∵BC12×60＝5，∴在BC 上需要5min ，CD 上需要5min.∴最长需要5min 检查员开始收不到信号，并至少持续5min 该考点才算合格．20．(本题满分12分)(2014·辽宁理，17)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3，求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．[解析] (1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2. 又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×13＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2. 因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中， sin B ＝1－cos 2B ＝1－(13)2＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b >c ，所以C 为锐角， 因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－(429)2＝79.于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13·79＋223·429＝2327.21．(本题满分12分)如图，已知半圆O 的半径为1，点C 在直径AB 的延长线上，BC ＝1，点P 是半圆O 上的一个动点，以PC 为边作正三角形PCD ，且点D 与圆心分别在PC 两侧．(1)若∠POB ＝θ，试将四边形OPDC 的面积y 表示成θ的函数； (2)求四边形OPDC 面积的最大值．[解析] (1)设∠POB ＝θ，且0°≤θ≤180°.在△OPC 中，OP ＝1，OC ＝2，由余弦定理，得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC ·cos θ＝5－4cos θ，∴S OPDC ＝S △OPC ＋S △PDC ＝12OP ·OC ·sin θ＋34PC 2＝sin θ＋34(5－4cos θ)＝sin θ－3cos θ＋534，即y ＝sin θ－3cos θ＋543.(2)由(1)得y ＝sin θ－3cos θ＋543＝2sin(θ－60°)＋534.∵0°≤θ≤180°，－60°≤θ－60°≤120°，∴当sin(θ－60°)＝1，即θ－60°＝90°，也即θ＝150°时，S OPDC 有最大值，且为2＋534，故当∠POC ＝150°时，四边形OPDC 的面积最大，最大值为2＋534.22．(本题满分14分)如图所示，A 、B 两个小岛相距21n mile ，B 岛在A 岛的正南方，现在甲船从A 岛出发，以9n mile /h 的速度向B 岛行驶，而乙船同时以6n mile/h 的速度离开B 岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多少时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离．[解析] 设行驶t 小时后，甲船行驶了9t n mile 到达C 处，乙船行驶了6t n mile 到达D 处． 当9t <21，即t <73时，C 在线段AB 上，此时BC ＝21－9t ，在△BCD 中，BC ＝21－9t ，BD ＝6t ，∠CBD ＝180°－60°＝120°， 由余弦定理，得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos120° ＝(21－9t )2＋(6t )2－2×(21－9t )·6t ·(－12)＝63t 2－252t ＋441＝63(t －2)2＋189. ∴当t ＝2时，CD 取得最小值189＝321.当t ＝73时，C 与B 重合，此时CD ＝6×73＝14>321.当t >73时，BC ＝9t －21，则CD 2＝(9t －21)2＋(6t )2－2×(9t －21)×6t ×cos60°＝63t 2－252t＋441＝63(t －2)2＋189>189.综上可知，t ＝2时，CD 取最小值321n mile ，故行驶2h 后，甲、乙两船相距最近为321n mile.。
(完整word版)高中数学必修五第一章解三角形章末测试(人教A版必修5)
答案： B4.符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ）高中数学必修五 第一章 解三角形章末测试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 ） 1 .在△ ABC 中，已知 a = 3, b = 4, c^ ^.,13，则角 C 为（ ） A . 90 ° B . 60° C . 45° D . 30° 解析： 根据余弦定理： -a 2+ b 2— c 2 32 + 42_锁2 1 C0S C = —20b — = —2 X 3X 4 = 2， ••C = 60 °答案： B2.在△ ABC 中，a = 5, b = 15, A = 30°，贝U c 等于（A . 2 ,5 B. ,5C . 2 .5或,5D .以上都不对解析： 由于 sin B = bsin A =¥，故 B = 60 或 120 °a 2当 B = 60 时，C = 90 时，c = 30 ° = a 2+ b 2= 2 ,5; 当 B = 120 时，C = 30 °, c = a=^5.答案： C 3.已知三角形的两边长分别为 4,5，它们夹角的余弦是方程 三边长是（ ） A. 20 C. 22 B. .21 D. .61 解析：设长为4,5的两边的夹角为 0, 1 由 2X 2 + 3X — 2= 0 得：X = 或 X = — 2（舍）. ••cos 0= 2, 第三边长为 + 52 — 2 X 4X 5 X 2= 21.2X 2+ 3x — 2 = 0的根，则第A . a = 1, b = 2, c = 3B . a = 1, b =玄2, A = 30 °C . a = 1, b = 2, A = 100 °D . b = c = 1, B = 45 °解析： A : a + b = 3= c ,不能构成三角形；B : bsin A<a<b ，故有两解.C : a<b ,故A 应为锐角，而已知 A = 100 °,故不能构成三角形.D : b = c = 1,故△ABC 为等腰三角形， •°C = B = 45 °, —A = 90；故只有一解.答案： D5.在△ ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,若 a 2 + b 2= c 2+ ab ,贝V C =( )A . 60°B . 120°C . 45°D . 30°解析： 由余弦定理得又v C € （0 ； 180 ）••C = 60 :答案： A6 .在△ ABC 中，若 a 2 + b 2- c 2<0，则△ ABC 是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .都有可能解析：由余弦定理，得cos C = " +"-* <0.2ab所以C 为钝角.于是△ ABC 为钝角三角形.答案： C7.在△ ABC 中，sin A : sin B : sin C = 3 : 2 : 4，贝U cos C 的值为（ ）解析：由正弦定理及 sin A : sin B : sin C = 3 ： 2 ： 4 知，a : b : c = 3 ： 2 ： 4，令 a =3xC .D.4a 2+b 2-c 2cos C =ab 12ab2ab —2则b= 2x, c= 4x（x>0）,3x 2+ 2x 2— 4x 212X 3x X 2x =— 4.答案： C&在△ ABC 中，A = 60 ° AB = 2，且△ ABC 的面积 S ABC =专，则边BC 的长为( )A. . 3 B . 3 C. 7D . 71解析： 由 S = 2AB x AC x Sin A 得 AC = 1由余弦定理得 BC 2 = AB 2 + AC 2 — 2AB x AC X cos A=22 + 12— 2X 2X 1 X cos 60 =°•'BC = ,3,故选 A.答案： A取值范围是( )A . (— 2,2)B . (0,2)C . ( 2,3)D . (.2, 2)b sin B sin 2A•a =而==2cos A ，B = 2A<90 °又•△k BC 是锐角三角形，•,A + 2A>90 °” _ _••30 °A<45 ° 则 b= 2cos A € ^[2, 需). a答案： C10. 某海上缉私小分队驾驶缉私艇以 40km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东 60方向航 行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达 B 处时，发现北偏西45。
高中数学 第一章 解三角形章末过关检测卷 新人教A必修5.doc
章末过关检测卷（一）第一章解三角形（测试时间：120分钟评价分值：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）1.已知三角形的边长分别为3迈、6、3顾,则它的最大内角的度数是（）A. 90°B. 120°C. 135°D. 150解析：由大边对大角得：（3曲—（3価）$ _^2 0 3 “2X3、0X6 — 2 _ 4 '答案：C2.（2014 - T州综合测试）在中，角B, C所对的边分别为a, b, c,若C=2B, 则》为（）A. 2sin CB. 2cos BC. 2sin BD. 2cos C解析：由于 C = 2B,故sin C = sin 淤= 2sin Bcos B,c / n C p 7* Z7 C所以一飞=2cosB,由正弦定理可得匚=—==2cosB,故选sm B b sm B答案：B3.在中，己知a=逼,b=2, B=45°,则角A—（）A. 30°或150°B. 60°或120°C. 60°D. 30°o px O A JO解析：由正弦定理一 = —得，sin A=-5777 B=~sin 45° =3,又因为b>a,故sm A sm B b 2 2A=30° .答案：D兀4.（2014 •昆明一模）已知中，内角B, C所对边分别为b, c,若A=~,Z?=2日cos B, c=l f则的面积等于（）解析：由正弦定理得sin B = 2 sin A cos B,故tan^）= 2sin k=2sin —=y[3,又BG（0,答案：B 日2 +方2 _芒5.在△磁中，a, b, c分别是B, C的对边长，若* 「〈（）,则）LabA. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D.是锐角或钝角三角形解析：由已知及余弦定理得cos C<0, C是钝角，故选C答案：c6.在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别为45°和60°,则塔高为（）200 （3—萌）400^3A. --------- -- ------ mB. —m200 （3+击）400迈C. --------- -- ------ mD. —mA7.已知锐角三角形/DC的面积为3寸5, BC=4,心=3,则角C的大小为（）A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°解析：由S AABC=|B C - CA - sinZKCB=3y[3,得s/nZACB=^,而AABC 为锐角三角形，所以ZACB=—答案：B&某观察站C与两灯塔A, B的距离分别为300 m和500 m,测得灯塔A在观察站C北偏东30°,灯塔B在观察站C南偏东30°处，则两灯塔/、B间的距离为（）A. 400 mB. 500 mC. 700 mD. 800 mC9.在中，日+b+10c=2 （sin 力+sin j^+10sin 6）, M=60°,则a,=（）A.萌B. 2-^3C. 4D.不确定解析：由已知及正弦定理得一=2, a=2sin K=2,sin 60° =£,故选sm A v答案：A10.（2014 •新课标全国卷II）钝角三角形A5C的面积是*, ，贝ij AC=（）A. 5B.&C. 2D. 1.解析：由面积公式得：B=|,解得sin所以B = 45°或B=135° ,当B=45°时，由余弦定理得：AC—1+2 —2迈cos 45°=1,所以AC=1,又因为AB=1, BC=£,所以此时AABC为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以B=135°,由余弦定理得：AC2=l + 2—2迈cos 135° =5,所以AC=聽,故选答案：BJI JI11.在中，角B, C的对边分别为b, c,且A=—, B=—, a=3f则c的b 12值为（）A. 3花B.|C. 3y/3D. 6A12.在锐角中，M=3, AC^4,其面积S&ABC=3晶则）A. 5B.换或曲C.^/37 D，713D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)32^3,所以B=13. _______________________________________________________ 在△宓中，若彳巫,AC=5,且cos 帶，则氏= _____________________________________________ .解析：设 BC=x,则(A /5) 2=x 2+52—2 X 5xcos C=x 2—9x+25,即 x 2—9x+20=0. .'.x =4 或 x = 5. 经检验x=4或x = 5符合题意.・・.BC=4或5. 答案：4或514. __________________ 已知日、b 、c 是中角/、B 、C 所对的边，S 是△力恭的面积，若<3=4, b=5, S=5书,则c 的长度为-荷或丽15. ___ 在中，角/、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,若a=l, b=J, c=© 则 B= . 解析：由余弦定理得：a 2+c 2-b 2 I 2+ (A /3) 2-(曲)2cos B ― z = i —2ac 2X1X A J35 JI答案：—16. (2014 •新课标全国卷I )已知日，b, c 分别为三个内角B, C 的对边，日=2,且(2 + 方)(sin /—sin B) = (c —Z?) sin C,则△MC 面积的最大值为 _______________ ・解析：由 a=2,且(2+b) (sin R —sin B) = (c —b) sin C,故(a+b) (sin k — sin B)= (c —b) sin C,又根据正弦定理，得(a+b) (a —b) = (c —b)c,化简得，b 2 + c 2 —a 2=bc,故 cos N= ~ 所以 A = 60。
人教版高中数学必修五章末检测第一章解三角形测试题
章末检测一、选择题1．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若A ＋C ＝2B ，有a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( ) A. 2 B. 3 C.32 D ．2 答案 C解析 由A ＋C ＝2B ，解得B ＝π3.由余弦定理得(3)2＝1＋c 2－2c cos π3，解得c ＝2或c ＝－1(舍去)．于是，S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×2sin π3＝32. 2．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10) D.⎝⎛⎦⎤0，403 答案 D解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤403. 3．在△ABC 中，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.53 B.54 C.55 D.56答案 B解析 由正弦定理得a b ＝sin A sin B ，∴a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52. 又A ＝2B ，∴sin 2B sin B ＝52，∴cos B ＝54. 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定答案 A解析 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，又C ＝120°，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab ，∴a 2＝b 2＋ab ＞b 2，∴a ＞b ，故选A.5．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－12，0)D ．(12，＋∞)答案 D解析 由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk (m >0)，∵⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b >c a ＋c >b 即⎩⎪⎨⎪⎧m (2k ＋1)>2mk 3mk >m (k ＋1)，∴k >12. 6．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为( ) A.922 B.924 C.928 D ．9 2答案 C解析 设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13，∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，则sin θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924，R ＝928.7．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形答案 B解析 ∵sin A ＝sin C 且A 、C 是三角形内角，∴A ＝C 或A ＋C ＝π(舍去)．∴△ABC 是等腰三角形．8．在锐角△ABC 中，BC ＝1，∠B ＝2∠A ，则AC 的取值范围是() A ．[－2,2] B ．[0,2] C ．(0,2] D ．(2，3)答案 D解析 由题意得⎩⎨⎧ 0＜π－3∠A ＜π2，0＜2∠A ＜π2⇒π6＜∠A ＜π4，由正弦定理ACsin B ＝BCsin A 得AC ＝2cos A .∵∠A ∈⎝⎛⎭⎫π6，π4，∴AC ∈(2，3)．9．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解答案 D解析 A 中，因asin A ＝bsin B ，所以sin B ＝16×sin 30°8＝1，∴B ＝90°，即只有一解；B 中，sinC ＝20sin 60°18＝539，且c >b ，∴C >B ，故有两解；C 中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝25－4＝21，即有解；故A 、B 、C 都不正确．用排除法应选D.10．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于() A.21 B.106 C.69 D.154答案 B解析 设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos ∠AMB ， 即72＝14a 2＋42－2×a2×4·cos ∠AMB ①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC即62＝42＋14a 2＋2×4×a2·cos ∠AMB ②①＋②得：72＋62＝42＋42＋12a 2，∴a ＝106.二、填空题11．已知△ABC 中，3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则cos C 的大小是________．答案 13解析 由3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，得c 2＝a 2＋b 2－23ab .根据余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－a 2－b 2＋23ab 2ab ＝13，所以cos C ＝13.12．在△ABC 中，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.答案 2π3解析 由已知3sin A ＝5sin B ，利用正弦定理可得3a ＝5b .由3a ＝5b ，b ＋c ＝2a ，利用余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.C ∈(0，π)，C ＝23π. 13．在△ABC 中，已知cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________. 答案 145解析 在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，∴sin A ＝45. ∵cos B ＝513>0，∴sin B ＝1213. ∴sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665. 由正弦定理知b sin B ＝c sin C ，∴c ＝b sin C sin B ＝3×56651213＝145. 14．太湖中有一小岛C ，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A 处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 到达B 处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.答案 36解析 如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1 (km)．由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝AB sin ∠ACB， ∴BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223(km)． 设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ·sin 75°＝6－223·6＋24＝36 (km)． 三、解答题15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35. (1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．解 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45. 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，sin A ＝a sin B b ＝2×454＝25. (2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17. 16.如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．解 设我艇追上走私船所需时间为t 小时，则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中，由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°，根据余弦定理知(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°，∴t ＝2(t ＝－34舍去)． 答 我艇追上走私船所需要的时间为2小时．17．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A .(1)求cos A 的值；(2)求c 的值．解 (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A. 所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63. (2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin C sin A＝5. 18．已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．(1)证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b 2R， 其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b .∴△ABC 为等腰三角形．(2)解 由题意知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0.∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0.∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点: 第一,考前做好准备工作。
2015年高中数学第一章解三角形章末测试题(A)新人教版必修5
【高考调研】 2015 年高中数学第一章 解三角形章末测试题（ A ）新人教版必修 5一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ ABC 中，下列等式不成立的是 ( )A ． c ＝ a 2＋ b 2－ 2ab cos Ca bB.sin A ＝sin BC ． sin ＝ c sinA a CD ． cos ＝a 2＋ c 2－ b 2B2abc答案 D解析很明显 A ， B ， C 成立；由余弦定理，得a 2＋ c 2－b 2cos B ＝2ac，所以 D 不成立．2．已知锐角△的面积为 3 3，＝ 4， ＝ 3，则角C 的大小为 ( )ABC BC CAA ．75°B ．60°C ．45°D ．30°答案 B解析由△ ABC＝ 31，得 sin＝3C 为锐角，故 ＝60°. 3＝ ×3×4sin ，又角 S2 C C 2 C3．已知△中， ＝6， ＝4， ＝120°，则 b 等于 ( )ABCcaBA ． 76B ． 2 19C ． 27D ． 2 7答案 B解析由余弦定理，得b 2＝ a 2＋c 2－2ac cos B ＝76，所以 b ＝ 2 19.4．已知△ ABC 中， a ＝ 4， b ＝4 3，A ＝30°，则 B 等于 ( )A ．30°B ．30°或 150°C ．60°D ．60°或 120°答案D解析 由正弦定理，得 a ＝ b . 所以 sin B ＝ b4 3 3 sin A ＝sin30 °＝. 又 a <b ，则 A <B ，sin A sin B a 42所以 B ＝60°或 120°.5．已知三角形的三边长分别为a ，b ， a 2＋ ab ＋b 2，则三角形的最大内角是 ()A ．135°B ．120°1C ．60°D ．90°答案B解析a 2 ＋ab ＋ b 2>a ， a 2＋ ab ＋ b 2>b ，则长为 a 2 ＋ab ＋ b 2的边所对的角最大．由余弦a 2＋b 2－ a 2＋ b 2＋ ab1定理，得 cos α＝ 2ab ＝－ 2，所以三角形的最大内角是120°.6．△ ABC 的三内角 A ， B ， C 所对边的长分别为 a ， b ， c 设向量 p ＝ ( a ＋ c ， b ) ， q ＝ ( b － a ， c －a ) ，若 p ∥ q ，则角 C 的大小为 ()ππ A. 6 B. 3 C. πD. 2π23答案 B解析 由 p ∥ q ，得 ( a ＋ c )( c － a ) ＝ b ( b － a ) ，则 b 2＋ a 2－ c 2＝ ab . 由余弦定理，得 cos C ＝a 2＋b 2－c 2 1π2＝ 2，所以 C ＝ 3 .ab7．在△中，已知a ＝ 2 cos ，那么△ 的内角 、 之间的关系是 ()ABCb CABC B C A ． B >CB ．B ＝CC ． B <CD ．关系不确定答案 B8．在△ ABC 中， B ＝60°， b 2＝ac ，则这个三角形是 ( )A ．不等边三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形答案 B9．在△中， cos cos >sin sin ，则△ 是 ( )ABCA BAB ABCA ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形答案 C10．△ ABC 中，已知 sin B ＝ 1，b ＝ 3，则此三角形 ( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定答案 D11．在△ ABC 中，若 A <B <C ，b ＝ 10，且 a ＋ c ＝ 2b ， C ＝ 2A ，则 a 与 c 的值分别为 ( )A ． 8,10B ． 10,10C ． 8,12D ． 12,8答案 C解析∵ C ＝ 2A ，∴ sin C ＝ sin2 A ＝ 2sin A ·cos A .100＋ c 2－ a 2由正弦定理，余弦定理可得c ＝2a ·，2×10c将 a ＝ 20－c 代入上式整理， 得 c 2－ 22c ＋ 120＝ 0，解得∴ c ＝ 10( 舍去 ) 或 c ＝12. ∴ a ＝8.→ → →→ → → → → →12．已知平面上有四点O ， A ，B ， C ，满足 OA ＋ OB ＋ OC ＝ 0， OA · OB ＝OB · OC ＝OC · OA ＝－ 1，则△的周长是 ( )ABCA ． 3B ． 6C ． 3 6D ． 9 6答案C解析由已知得 O 是△ ABC 的重心，→ → → →→→ →由 OA · OB ＝OB · OC ，得 OB ·(OA －OC ) ＝ 0. → →∴ OB · CA ＝0. ∴ OB ⊥CA . 同理， OA ⊥ BC ，OC ⊥ AB . ∴△ ABC 为等边三角形．→ → →2π故∠ AOB ＝∠ BOC ＝∠ COA ＝， | OA | ＝ | OB | ＝ | OC | ＝ 2.3在△ AOB 中，由余弦定理，得2222πAB ＝ OA ＋ OB － 2OA · OB cos 3 ＝ 6.∴ ＝ 6，故△的周长是 3 6.ABABC讲评 本题是以向量的数量积给出条件，通过计算得出三角形中的一些量，再利用余弦定理可解．二、填空题 ( 本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上 )13．在△ ABC 中， A ＝30°， C ＝105°， b ＝ 8，则 a ＝ ________. 答案 4 2解析＝180°－ 30°－ 105°＝ 45°，由正弦定理，得＝ sin A ＝ sin30 ° ×8＝ 4 2.Ba sin B bsin45 °14．在△ ABC 中，若∠ A ＝120°， AB ＝ 5， BC ＝ 7，则 AC ＝________.答案32222解析在△中，由余弦定理，得AB ＋ AC －BC25＋ AC － 49cos ＝cos120°＝，即＝ABCA2× AB × AC2×5× AC1 － 2.解得 AC ＝－ 8( 舍去 ) 或 AC ＝ 3.15．在△ABC中，已知CB＝ 8，CA＝ 5，△ABC的面积为12，则 cos2C＝ ________.答案7 25解析由题意，得＝1，则 121. 所以 sin3＝ 1－× sin＝×5×8sin＝ . 则 cos2S2CA CB C2C C 5C 272sin C＝.16．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为 ______m，乙楼高为 ________m.403答案2033解析如下图所示，甲楼高为AB，乙楼高为CD，AC＝20 m.则在△ ABC中，∠BAC＝90°， AC＝20(m)，所以 AB＝AC tan60°＝203(m) ，在△BCD中，BC＝40(m)，∠ BCD＝90°－60°＝30°，∠ CBD＝90°－30°－30°＝30°，则∠ BDC＝180°BC＝CD sin ∠CBD403－30°－ 30°＝ 120°. 由正弦定理，得，所以 CD＝BC＝.sin ∠BDC sin ∠CBD sin ∠BDC3三、解答题 ( 本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17． (10 分) 已知A，B，C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a， b， c，若cos B cos C 1－sin B sin C＝2.(1)求 A；(2)若 a＝2 3， b＋ c＝4，求△ ABC的面积．思路分析 (1) 转化为求 cos A； (2) 求出bc的值即可．1解析(1) ∵ cos B cos C－ sin B sin C＝2，1∴cos( B＋C) ＝ .211∵ A＋ B＋ C＝π，∴cos(π －A)＝2.∴cos A＝－2.2π又∵ 0<A<π，∴A＝3 .(2)由余弦定理，得 a2＝ b2＋ c2－2bc·cos A.则 (23) 2＝(＋)2－ 2－ 2 ·cos2π.b c bc bc31∴12＝ 16－2bc－ 2bc·( －2) ．∴bc＝ 4.113∴S△ABC＝2bc·sin A＝2×4×2＝ 3.π118． (12 分) 在△ABC中，C－A＝2， sin B＝3.(1)求 sin A的值；(2)设 AC＝6，求△ ABC的面积．πππ解析(1) 由C－A＝2和A＋B＋C＝π，得 2A＝2－B, 0<A< 4 .21故cos2 A＝sin B，即 1－ 2sin A＝3， sin A＝3 .36(2) 由 (1)得 cos A＝3 .BC AC sin A又由正弦定理，得sin A ＝sin B，BC＝sin BAC＝32.所以 S△11 2.＝2AC· BC·sin C＝2AC· BC·cos A＝ 3ABC19． (12分)3如图，在△ ABC中， AC＝2，BC＝1，cos C＝.4(1)求 AB的值；(2)求 sin(2 A＋C) 的值．解析(1) 由余弦定理，得222AB＝ AC＋ BC－2AC· BC cos C53＝ 4＋ 1－2×2×1×4＝ 2.∴ AB＝ 2.327 (2) 由 cos C＝4且 0<C<π，得 sin C＝1－ cos C＝4 .由正弦定理，得AB BC＝BC sin C14＝，解得 sin＝. sin C sin A A AB852所以 cos A＝8 .57由倍角公式，得 sin2 A＝ 2sin A cos A＝16，29且cos2 A＝1－ 2sin A＝16.37故sin(2 A＋C) ＝ sin2 A cos C＋cos2 A sin C＝8 .20． (12 分) 已知△顶点的直角坐标分别为(3,4)、 (0,0)、 (0) ．ABC A B C c,(1)若 c＝5，求sin A 的值；(2)若∠ A是钝角，求 c 的取值范围．解析(1) 方法一∵ A(3,4)、B(0,0)，∴| AB| ＝ 5， sin B＝4 . 5当 c＝5时，| BC|＝5，| AC|＝－2＋－2＝2 5.根据正弦定理，得||| |||25BC ＝AC＝BC sin B＝.sin A sin B sin A|AC|5方法二∵A(3,4)、B(0,0)，∴|AB|＝5.当c ＝5时，|| ＝5，|| ＝－2＋－2＝2 5.BC AC根据余弦定理，得| |2＋|| 2－|| 25 cos A＝2||||＝5 .AB ACsin A＝2251－ cos A＝.5(2)已知△ ABC顶点坐标为 A(3,4)、 B(0,0)、 C( c, 0)，cos ＝|AB|2| AC|2－ |BC|2根据余弦定理，得＋.A2| AB||AC|若∠ A是钝角，则cosA<0?| AB| 2＋ | AC| 2－ | BC| 2<0，即 52＋ [( c－ 3) 2＋ 42] －c2＝ 50－ 6c<0，25解得 c>3.21． (12 分) 如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面 A 处测得 B点和 D点的仰角分别为75°， 30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为 60 °，AC＝ 0.1 km. 试探究图中B，D间距离与另外两点间距离哪个相等，然后求B， D 的距离 ( 计算结果精确到0.01 km ，2＝1.414 ，6≈2.449) ．解析在△ ABC中，∠ DAC＝30°，∠ ADC＝60°－∠ DAC＝30°，所以 CD＝ AC＝0.1.又∠ BCD＝180°－60°－60°＝60°，故 CB是△ CAD底边 AD的中垂线，所以BD＝ BA.在△ ABC中，AB＝AC，sin∠BCA sin∠ ABC即AB＝ AC sin60°＝32＋6，sin15 °2032＋6因此， BD＝≈0.33 km.故 B、 D的距离约为0.33 kmπ222． (12 分) 设函数f ( x) ＝ cos(2 x＋) ＋ sin x.(1)求函数 f ( x)的最大值和最小正周期；1C1(2) 设A，B，C为△ABC的三个内角，若cos B＝3，f ( 2) ＝－4，且C为锐角，求 sin A.解析(1) f ( x) ＝ cos2x cos π－ sin2x sinπ＋ 1－ cos2 x 332131113＝2cos2 x－2 sin2x＋2－2cos2x＝2－2 sin2 x.7所以当 2x＝－π2＋ 2kπ，即x＝－π4＋kπ ( k∈ Z) 时，f ( x)取得最大值， f ( x)最大值＝1＋3，2f ( x)的最小正周期T＝2π2＝π ，故函数 f ( x)的最大值为1＋ 3π . 2，最小正周期为C11313π(2) 由f ( 2) ＝－4，即2－2 sin C＝－4，解得 sin C＝2，又C为锐角，所以C＝3.122由cos B＝3，求得 sin B＝3 .由此 sin A＝sin[π－ (B＋ C)]＝sin( B＋ C)＝sin B cos C＋cos B sin C2 2 1 13 22＋ 3.＝3×2＋3×2＝68。