油气渗流的数学模型

div[( ogs gs )vo ]dxdydzdt
由于气体分离出来，在单元体内油被气相替代，因此，油相饱 和度也将发生变化，在单元体孔隙内油相质量随时间变化为：
( ogs gs ) So dxdydzdt t
根据质量守恒定律，上面两式应该相等，得到油、气两 相渗流时，油相的连续性方程：
或
( v x ) ( v y ) ( v z ) y z x
散度，M点单位体积 单位时间向包围曲面 ( ) 外流出的流体体积
t
上式可写成： ( ) div ( v ) 0 t 上式即为单相均质可压缩流体在弹性孔隙介质中的质量守 恒方程（连续性方程）
单相渗流的连续性方程 两相渗流的连续性方程
一、单相渗流的连续性方程
在地层中取微小六面体单元，单元体中M点质量速度在各 坐标上分量为ρvx、ρvy、和ρvz。
vx
vy
( vx ) dx x 2 ( vy ) dy
y 2
vz
( vz ) dz z 2
vox voy voz So y z t x
可以写为
So div(vo ) 0 t
对水相来讲，同样可以得出：
S w div(vw ) 0 t
2．油、气两相渗流的连续性方程
在油、气两相渗流时，溶有气体的石油经过单元地层，由于 地下单位体积原油 在压力P下溶有气体 压力降低而分出气体，因此，油的质量发生变化，在 dt时间 中溶解气质量 的地下原油密度 内流入流出的质量差为：
第2章 油气渗流的数学模型
建立数学模型的原则
运动方程 状态方程 质量守恒方程 典型油气渗流数学模型建立 数学模型的初边值条件
第四节 质量守恒方程
渗流过程必须遵循质量守恒定律(又称连续性原理）。即： 在地层中任取一微小单元体,在单元体内若没有源和汇存在, 那么包含在单元体封闭表面之内的液体质量变化应等于同 一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差。用质量守恒 原理建立起来的方程叫连续性方程。在稳定渗流时,单元体 内质量应为常数。
(1)
油相经过六面体之所以会发生质量变化，是因为六面体内 油被水驱替所引起的结果。若在t时刻六面单元体内油的饱 和度为So，t+dt时刻油的饱和度为
So So dt t
dt时间内饱和度变化为
S o dt t
饱和度变化引起的油相质量变化为
So o dxdydzdt t
(2)
根据质量守恒定律，(1)、(2)式应该相等
2.单元体内质量变化
经过六面体流入与流出的质量之所以会不一样，是因为在 六面体内岩石和液体弹性能量的作用下，释放或储存一部 分质量的结果(岩石的弹性表现为孔隙度的变化，液体的 弹性表现为液体密度的变化)
六面体内的孔隙体积：
流体质量：
dxdydz
( ) dxdydz t ( ) dxdydzdt t
二、两相渗流的连续性方程
1．油水两相渗流的连续性方程
假设：两相都是不可压缩的液体，且彼此不互相溶解和发 生化学作用。 取一个单元六面体dxdydz可对油水两相分别写出质量守恒 的连续性方程。 对油相来说，在dt时间内单元六面体流出流入的质量差为
( o vox ) ( o voy ) ( o voz ) dxdydzdt y z x
div ( ogs gs )vo t ( ogs gs ) So 0
对于气相应包括溶解气及已分离出的自由气，在dt时间内 这两部分气体流入流出单元体的质量差为：
自由气： 溶解气：
div( g vg )dxdydzdt
div( gs vo )dxdydzdt
如果是不可压缩流体(即ρ=常数)在刚性孔隙介质中流动 (φ=常数)，则
( ) 0 t
连续性方程为：
div( v ) 0
物理意义是：六面体流出流入质量差为零，即流入六面体的 质量与流出的质量相等。它仍然是一个质量守恒方程式。 这是不考虑弹性力作用的连续性方程，由于和时间无关，所 以又称稳定渗流的连续性方程。
[div( g vg ) div( gs vo )]dxdydzdt [ gs So (1 So ) g ]dxdydzdt t
气相通过单元地层，质量发生了变化必然使单位地层内的气 相饱和度发生变化，因而单元地层六面体内经dt时间的质量 变化为：
[( gs So g S g )] dxdydzdt [ gs So (1 So ) g ]dxdydzdt t t
根据质量守恒定律，得dFra bibliotekdydz单位时间内流体质量变化率：
dt时间流体质量总的变化为：
显然dt时间内六面体总的质量变化应等于六面体在dt时间内 流入与流出的质量差，即：
( v x ) ( v y ) ( v z ) ( ) dxdydzdt dxdydzdt y z t x
1.流入流出质量差
dt时间经a'b'面流入的质量应为：
( vx ) dx vx x 2 dydzdt
dt时间经a"b"面流出的质量为：
( vx ) dx vx x 2 dydzdt
六面体在dt时间x方向流入流出的质量差为：
( vx ) dxdydzdt x
同理，可求得沿y方向、z方向流入流出的质量差分别为：

( v y ) y
dxdydzdt
( v z ) dxdydzdt z
dt时间内六面体内流入与流出的总的质量差为：
( vx ) ( v y ) ( vz ) dxdydzdt y z x