高中数学第1章立体几何初步1.3_1.3.2空间几何体的体积苏教版必修

S 侧＝4×12×(10＋20)×E1E，即 780＝60E1E， 解得 E1E＝13 cm.
在直角梯形 EOO1E1 中，O1E1＝12A1B1＝5 cm， OE＝12AB＝10 cm， 所以 O1O＝ E1E2－（OE－O1E1）2＝ 132－52＝
规律总结 求台体的体积关键是求高，为此常将有关计算转化到 平面图形(三角形或特殊四边形)中来计算．对于棱台往往 要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转 轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．
[变式训练] 2．正四棱台两底面边长为 20 cm 和 10 cm，侧面积 为 780 cm2，求其体积． 解：如图所示，正四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中，A1B1 ＝10 cm，AB＝20 cm.取 A1B1 的中点 E1，AB 的中点 E， 连接 E1E，则 E1E 是侧面 ABB1A1 的高．设 O1，O 分别是 上，下底面的中心，则四边形 EOO1E1 是直角梯形．
对于球体的体积公式可以类比锥体的体积公式形象 地记忆为13(4πR2)·R，其中 4πR2 为球的表面积．
题型 1 柱体、锥体的体积
[典例 1] (1)底面为正三角形的直棱柱的侧面的一条 对角线长为 2，且与该侧面内的底边所成的角为 45°，求 此三棱柱的体积．
(2)如图所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 是边长为 1 的正方形，PA⊥CD，PA＝1， PD＝ 2，求此四棱锥的体积．
规律总结 求柱体、锥体的体积，关键是求其高，对柱体而言， 高常与侧棱、斜高及其在底面的射影组成直角三角形．对 棱锥而言，求高时，往往要用到线面垂直的判定方法，因 为棱锥的高实际上是顶点向底面作垂线得到的垂线段的 长度．
[变式训练] 1．(1)一圆锥母线长为 1，侧面展开图圆心角为 240°， 则该圆锥的体积为________． (2)一个正方体和一个圆柱等高并且侧面积相等，则正 方体与圆柱的体积之比为________．
[学习目标] 1.了解柱、锥、台的体积公式，能运用 公式求解有关体积计算问题(重点).2.了解柱体、锥体、台 体空间结构的内在联系，感受它们的体积之间的关系(难 点).3.了解并会用球的表面积和体积计算问题(重点)．
1．①棱柱的体积公式：V 棱柱＝Sh(S 为底面面积，h 为柱体的高)；
1 ②棱锥的体积公式：V 棱锥＝__3_S_h__ (S 为底面面积，h 为棱锥的高)； ③棱台的体积公式：V 棱台＝_13_(_S_′＋____S_S_′__＋__S_)_h_ (S′， S 为两底面面积，h 为棱台的高)．
2．①圆柱的体积公式：V 圆柱＝Sh＝πR2h(R 为底面圆 的半径，h 为圆柱的高)；
②圆锥的体积公式：V 圆锥＝__13_S_h___＝__13_π_R_2_h___ (R 为底面圆的半径，h 为圆锥的高)；
③圆台的体积公式：V 圆台＝_13_(_S_′_＋___S_S_′__＋__S_)_h_＝ __13_π_(_r_2＋__r_R_＋__R__2)_h_____ (r，R 为两底面圆半径，h 为 圆台的高)． 3．球的体积公式：V 球＝___43_π_R_3_____ (R 为球半径)．
分析：(1)由条件求出高和底面边长，再利用公式求 体积；(2)解本题的关键是求四棱锥的高，可证明 PA⊥底 面 ABCD，再利用公式求体积．
解： (1)如图所示，由条件知此三棱柱为正三棱柱． 因为正三棱柱的面对角线 AB1＝2， ∠B1AB＝45°，
所以 AB＝2×sin 45°＝ 2＝BB1. 所以 V 三棱柱＝S△ABC·BB1＝ 43×( 2)2× 2＝ 26. (2)在△PAD 中，PA＝AD＝1，PD＝ 2， 所以 PA2＋AD2＝PD2. 所以 PD⊥AD，又 PA⊥CD，且 AD∩CD＝D， 所以 PA⊥平面 ABCD，从而 PA 是底面 ABCD 上的高． 所以 V 四棱锥＝13S 正方形 ABCD·PA＝13×12×1＝13.
解析：(1)设圆锥侧面展开图的弧长为 l，
则 l＝2401°8×0°π·1＝43π.
设圆锥的底面半径为 r，则43π＝2πr，r＝23. V＝π3·232× 12－49＝43π2 · 59＝4815π. (2)设正方体棱长为 1，则 S 正方体侧＝S 圆柱侧＝4，设圆 柱的底面半径为 r，则 2πr·1＝4，r＝π2，V 正方体＝1，V 圆 柱＝ππ22·1＝π4.
多面体与旋转体的体积性质及各几何体体积间的转 化关系
1．多面体和旋转体的体积性质：①完全相同的几何 体的体积相等；②体积相等的几何体叫等积体；③两个 等积体的形状不一定相同；④底面积相等、高相等的两 个柱体(或锥体)体积相等．等积转化是今后求相关几何体 的体积的重要策略．
2．对于柱、锥、台的体积公式可以从它们间的转化 关系上加强记忆：
解：如图所示，由题意可知，圆台的上底圆半径为 4 cm，于是 S 圆台侧＝π(r＋r′)l＝100π(cm2)．
圆台的高为 h＝BC＝ BD2－（OD－AB）2＝ 102－（6－4）2＝4 6(cm)，
V
圆
台
＝
1 3
h(S
＋
SS′
＋
S′)
＝
1 3
×
4
6 × (16π ＋
16π·36π＋36π)＝3043 6π(cm3)．
所以 V 正方体∶V 圆柱＝π∶4. 答案：(1)4815π (2)π∶4
题型 2 台体的体积 [典例 2] 圆台上底的面积为 16π cm2，下底半径为 6 cm，母线长为 10 cm，那么，圆台的侧面积和体积各是 多少？ 分析：作轴截面可以得到等腰梯形，为了得到高，可
将梯形分割为直角三角形和矩形．
第1章 立体几何初步
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1.3 空间几何体的表面积和体积 1．3.2 空间几何体的体积
[情景导入] 空间几何体的度量是几何研究的重要 内容之一，在生活中有着重要应用的不仅是度量几何体的 表面积还有度量体积．如图所示，在一个圆锥形的空杯子 上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢 出杯子吗？在实际操作中如何解答呢？