3.4 角动量定理 角动量守恒定律

第3章动量与角动量
10
行星在速度和有心力所组成的平面内运动 例如 由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒 第二定律. 第二定律. 行星受到的合外力矩
r r r M = r ×F = 0
L
r r r L = r × mυ = C
υ
r r F
α
m
r
r rsinα L = mvrsinα = m t 1 r r rsinα S 2 = 2m = 2m t t
尾部添矩) (趣称 头上长角 尾部添矩)
16 第3章动量与角动量
�
θ A
F τ
F⊥
Fn
x
y
z
M= x
M = r × F = Mx x + My y + Mz z
6 第3章动量与角动量
y z FxFyFz
(3)力对任意点的力矩,在通过该点的任一轴上的投影, (3)力对任意点的力矩,在通过该点的任一轴上的投影, 力对任意点的力矩 等于该力对该轴的力矩. 等于该力对该轴的力矩. 例2:圆锥摆球在水平面内匀速转 : A r 分别讨论对固定点A和 点 动,分别讨论对固定点 和O点, r Lo T θ 小球受的张力矩,重力矩和角动量. 小球受的张力矩,重力矩和角动量. LA 对于A点 解: 对于 点
O
(3) 质点对某点的动量 矩,在通过该点的 任意轴上的投影就 等于质点对该轴的 动量矩; 动量矩;
LO′
LO
O′
S
P
α
r
O
3
第3章动量与角动量
(4) 对轴的动量矩 在具体的坐标系中,动量矩在各坐标轴的分量, 在具体的坐标系中,动量矩在各坐标轴的分量, 就叫对轴的动量矩. 就叫对轴的动量矩.
L = r × P = Lx x + Ly y + Lz z
12
1/ 2
第3章动量与角动量
四,质点系的动量矩
1. 对定点的动量矩
P2
P1
L = ∑ Li = ∑ ri × Pi
i i
o
r2
r1
质点系对参考点O 质点系对参考点 的动量矩就是质点系所有质点对同一参 考点的动量矩的矢量和 2. 质点系的动量矩定理
d Li ∑ M i =∑ d t i i M = ∑ M i = ∑ ri × Fi + ∑ ri × f i
L
m1 υ
o
r
m υ
m2 υ
r2
o
r 1
抛出物体对O点的动量矩. 直线运动的物体对 点的动量矩. 点的动量矩. 抛出物体对 点的动量矩. 直线运动的物体对O点的动量矩 点的动量矩
y
m1 υ
m2 υ
r
o
8
m υ
r 1
x
r2
x
o
第3章动量与角动量
三,质点的角动量定理 角动量守恒定律
1. 动量矩定理
dP F = dt
得 微分形式 冲量矩 积分形式 说明
d(m ) dr v dL d + ×m v = ( r ×m ) = r × v dt dt dt dt
r ×F = M
v ×m = 0 v
dL M = dt
t2
或写成
M dt = dL
∫ M dt = ΔL
t1
质点所受合力矩的 冲量矩 冲量矩等于质点的 动量矩 动量矩的增量
§3.4 角动量定理 角动量守恒定律
一,质点对定点的角动量 二,力对定点的力矩 三,质点的角动量定理 角动量守恒定律 四,质点系的角动量问题
1
第3章动量与角动量
质点对定点 的动量矩(角动量 定点O的动量矩 角动量) 一. 质点对定点 的动量矩 角动量
定义
L = r ×P
S
L
L = r × P = r ×m v
L = rpsinα = mrvsinα
大小: 大小:
α
r
P
O
L = r P sin α
特例: 特例:质点作圆周运动
方向: 方向:垂直 r, P 组成的平面
L = rp = mrv
1
SI
2
kgm 2 /s
量纲: 量纲: L = M L 2 T
第3章动量与角动量
讨论
惯性参照系
(1) 质点的动量矩(角动量)与质点的动量及位矢(取决 质点的动量矩(角动量)与质点的动量及位矢( 位矢 于固定点的选择)有关; 于固定点的选择)有关; (2) 当质点作平面运动时,质点对运动平面内某参考点 当质点作平面运动时, O 的动量矩也称为质点对过 垂直于运动平面的轴的 的动量矩也称为质点对过O 动量矩 动量矩 L ;
11
掠面 速度
行星对太阳的位矢在相等 的时间内扫过相等的面积
第3章动量与角动量
例2 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M ,半径为 R 的行 星, 以速度v 当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时,以速度 0发射一 的仪器.要使该仪器恰好掠过行星表面. 质量为 m 的仪器.要使该仪器恰好掠过行星表面. 角及着陆滑行的初速度. 求 θ角及着陆滑行的初速度. 角及着陆滑行的初速度 引力场(有心力) 解 引力场(有心力) 系统的机械能守恒
动量定理
动量矩定理
dP F= dt
t2
dL M = dt
t2
∫ F dt = Δ P
t1
∫ M dt = Δ L
t1
F = 0 P = 0
M = 0 L = 0
形式上完全相同,所以记忆上就可简化. 形式上完全相同,所以记忆上就可简化.从动量定理变换到 上完全相同 简化 角动量定理,只需将相应的量变换一下,名称上改变一下. 角动量定理,只需将相应的量变换一下,名称上改变一下.
例1 一质点m,速度为v,如图所示,A, 一质点 ,速度为 ,如图所示, B,C 分别为三个参考点 此时 相对 A 分别为三个参考点,此时 此时m 三个点的距离分别为d1 ,d2 , d3 三个点的距离分别为 求 解
4
d1
m v
d3 C
此时刻质点对三个参考点的动量矩
d2 B
LA = d1mv LB = d1mv LC = 0
M外 = 0
L = 0
L = const.vector
如果作用在质点系合外力矩沿某轴的投影为零, 如果作用在质点系合外力矩沿某轴的投影为零,则沿此轴动 沿某轴的投影为零 量矩守恒, 量矩守恒,如 L =常 常 量 M =0
z
Z
14 第3章动量与角动量
盘状星系
15
角动量守恒的结果
第3章动量与角动量
比较
第3章动量与角动量
二,力对定点的力矩
定义 为力对定点O的力矩 M = r × F 为力对定点 的力矩
M
大小: 大小:
M = r F sin
方向: 方向:垂直 r , F 组成的平面
o
r
d
SI
M = ML2T 2 Nm 量纲: 量纲:
m
F
讨论 力对O (1) 力对 点的力矩
Mo
F
O .
MO = r × F
(1) 动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一,它不仅 动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一, 适用于宏观体系,也适用于微观体系, 适用于宏观体系,也适用于微观体系,且在高速低 速范围均适用; 速范围均适用; (2) 动量守恒与角动量守恒 是相互独立的定律; 是相互独立的定律; 通常对有心力: (3) 通常对有心力: 过 点 F O点, M=0, 动量矩守恒
(1) 冲量Байду номын сангаас是质点动量矩变化的原因; 冲量矩是质点动量矩变化的原因; (2) 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果. 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果.
9 第3章动量与角动量
dL =0 若 M =0 dt
讨论
2. 质点动量矩守恒定律 r
r r r r L = r × P = C 常矢量
——质点动量矩守恒定律 质点动量矩守恒定律
m
r0
v
R
OM
v0
θ
质点的动量矩守恒 1 GMm 1 2 GMm 2 mv0 = mv 2 r0 2 R
mv0r0sinθ = mvR
v0r0sinθ v= = 4v0sinθ R
3GM v =v0 1+ 2 v 2R 0
1/ 2
1 3GM sinθ = 1+ 2 4 2R 0 v
力矩的方向由右螺旋法则确定
5 第3章动量与角动量
r
(2) 力对定轴力矩的矢量形式
z
F//
F
MZ = r × F⊥
Mz (F) = F⊥h = Fr τ
力矩的方向由右螺旋法则确定 对轴的力矩 在具体的坐标系中, 在具体的坐标系中,力矩在各坐标轴 的分量,就叫对轴的力矩. 的分量,就叫对轴的力矩.
h
r
i i i
∑r×
i i
fi = 0
内力对定点的力矩之和为零
(自证 自证) 自证
质点系内的重要结论之三 dL L = ∑ Li M外 = i dt
13 第3章动量与角动量
冲量矩
∫t M外dt = ∫L dL = L2 L1 = L
1 1
t2
L2
(1)质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量; (1)质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量; 质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量 (2) 内力对定点的力矩之和为零,只有外力矩才能改变系 内力对定点的力矩之和为零, 统的总角动量. 统的总角动量. 3. 质点系动量矩守恒定律 对质点系
MA = R ×T
Mg = R×mg
= mgR sin θ = mgr
LA = R×mv M A = r ×T
r mg υ
R r
O
对于O点 对于 点:
= rT cos θ
LO = r × mv
第3章动量与角动量
Mg = r×mg
7
= mgr
质点作任何运动都可以用角动量来描述其运动状态. 质点作任何运动都可以用角动量来描述其运动状态. 例 质点对圆心的动量矩. 行星在椭圆轨道上的动量矩. 质点对圆心的动量矩. 行星在椭圆轨道上的动量矩.