3.4 角动量定理 角动量守恒定律
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Ch3.4(角动量定理和角动量守恒定律)
分量式
M
M
x
yF z zF y
zF x xF z
y
M z xF y yF x
3) 作用于质点上所有力矩的矢量和，等于合力的力矩。
i
M
i
r F1 r F 2 r F n
r ( F1 F 2 F n ) r F M
1 p1
m
v1
m
2
B p2
r sin
r1
r2
L 2 r2 p 2 sin 2 mr 2 v 2 sin 2 mv 2 OD
O
讨论：
① 作直线运动的质点， r 和 p 可能逐点变化，但 d r sin 保持不变。
② 对不同参考点的角动量一般不同。 ③ 若 p m v 不变，则：L1 L 2 ，即匀速直线运动 的质点对同一参考点的角动量守恒 L C 。
一、角动量 （一）质点的角动量 1. 定义：某一质点，动量 对 O 点的径矢为 r ，则它 对 O 点的角动量(动量矩)为 注意：
x
P
z
L
p sin
O
r sin
r
y
p
m
p cos
（1）大小： L rp sin mrv sin 方向： 用右手螺旋定则确定。 （2）相对性 ① 对不同的参考系，矢径不同，动 量不同，角动量也不同。 ② 参考点不同， 矢径不同，角动量也不同。
L L1 L 2 L n r1 p 1 r2 p 2 rn p n
角动量 角动量守恒定律大学物理
对定轴转动的刚体 Miin 0 ，合外力矩
M
Miex
d dt
(
mi
ri
2
)
d(J
dt
)
d( J )
dL
M
dt dt
第3章 守恒定律
12
大学物
理学
第二版
t2 t1
Mdt
L2
L1
t2 t1
Mdt
L2
L1
当转轴给定时，作用在物体上的冲量 矩等于角动量的增量．——定轴转动的角 动量定理
第3章 守恒定律
然长度处以
垂直于弹簧运动，当
弹簧与初始位置垂直时，弹簧长度
v
求此时滑块的速度.
v0
第3章 守恒定律
图 3.4
大学物 理学
第二版
【解】 由角动量和机械能守恒
结论：对于有心力问题，系统对力心处的 角动量守恒.
第3章 守恒定律
大学物
理学
第二版
三、角动量守恒定律的应用
（1）常平架回转仪（陀螺仪） （2）直升飞机尾翼
质点角动量定理的推导
L r p r mv
dL
d
(r
p)
r
dp
dr
p
dt dt dr v，v p 0
dt dL
dt
r
dp
r
F
dt
dt
dt
第3章 守恒定律
4
大学物
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第二版
dL
M
dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力 矩，等于质点对该点 O 的角动量随时间的 变化率.
13
大学物
理学
第二版
对定轴转动的刚体，受合外力矩M，
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积；方向与角速度的方向相同。
2、刚体定轴转动的角动量定理
（1）微分形式：刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩，等于刚体绕该定轴的角动量随时间的变化率。
（2）积分形式：当物体绕某定轴转动时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。
练习：1角动量守恒的条件是 。
0=M 11222
1ωωJ J Mdt t t -=⎰刚体 ） 21J J ==ωJ 恒量
ωJ L =()ωJ dt d dt dL M ==。
角动量、角动量守恒
T
（3） ）
m, l
联立(1)、(2)、(3)式求解 式求解 联立
mg
1 T = mg 4
例5：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量 ： 可绕中心转动的细杆， 为 M、长为 2l 、可绕中心转动的细杆，有一质 、 量为 m 的小球以速度 v0 与杆的一端发生完全弹 性碰撞， 性碰撞，求小球的反弹速度 v 及杆的转动角速 度ω。 解：在水平面上，碰撞 在水平面上， 过程中系统角动量守恒， 过程中系统角动量守恒，
∆A/ ∆t = 恒 量
两个共轴飞轮转动惯量分别为J 例1：两个共轴飞轮转动惯量分别为 1、J2， 角速度分别为 ω1 、ω2，求两飞轮啮合后共同 啮合过程机械能损失。 的角速度 ω 。啮合过程机械能损失。 J1 J2 解：两飞轮通过摩 擦达到共同速度,合 擦达到共同速度 合 外力矩为0， 外力矩为 ，系统角 动量守恒。 动量守恒。
定义：力对某点 的力矩等于力的作用点 定义：力对某点O的力矩等于力的作用点 的矢量积。 的矢径 r 与力F的矢量积。 v v
v Mo
ϕ
注意： 注意： 1）大小： o = rF sin ϕ ）大小： M v v 的方向 2）方向： × F ）方向： r 3）单位：牛顿米 ）单位： v r 4）当 F ≠ 0 时， ） 有两种情况 Mo = 0 v A） r = 0 ） B）力的方向沿矢径的方向（ sin ϕ = 0） ）力的方向沿矢径的方向（
ω1 L0 = L = C J1ω1 + J2ω2 = (J1 + J2 )ω
ω2
J1ω1 + J2ω2 共同角速度 ω = J1 + J2
啮合过程机械能损失
∆E = E − E0
1 1 1 2 2 2 ∆E = (J1 + J2 )ω − ( J1ω1 + J2ω2 ) 2 2 2 J1ω1 + J2ω2 其中 ω = J1 + J2
3.4 角动量定理 角动量守恒定律
大小：
L r P sin
r， P
S
P
r
O
特例：质点作圆周运动
方向：垂直
组成的平面
L M L2 T
L rp mr v
1
SI
k g m /s
2
量纲：
讨论
惯性参照系
(1) 质点的动量矩（角动量）与质点的动量及位矢(取决 于固定点的选择)有关； (2) 当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点 O 的动量矩也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴的 动量矩 ； L
dr dt
二、力对定点的力矩
dL dt
d r p dt
dr dt
o
p r
dp dt
p v p 0
dL dt r dp dt rF M
M
F
O .
定义
为力对定点O的力矩 M rF 力对O 点的力矩 大小： M r F sin
M
A
r Lo T
A
R T 0
R
r
mg
O
m gR sin m gr
LA R mv
r
对于O点：
M
g
M
A
r T
rT cos
LO r m v
r mg
m gr
质点作任何运动都可以用角动量来描述其运动状态。 例 质点对圆心的动量矩。 行星在椭圆轨道上的动量矩。
F 0 P 0
M 0 L 0
形式上完全相同，所以记忆上就可简化。从动量定理变换到 角动量定理，只需将相应的量变换一下，名称上改变一下。
L r P sin
r， P
S
P
r
O
特例：质点作圆周运动
方向：垂直
组成的平面
L M L2 T
L rp mr v
1
SI
k g m /s
2
量纲：
讨论
惯性参照系
(1) 质点的动量矩（角动量）与质点的动量及位矢(取决 于固定点的选择)有关； (2) 当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点 O 的动量矩也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴的 动量矩 ； L
dr dt
二、力对定点的力矩
dL dt
d r p dt
dr dt
o
p r
dp dt
p v p 0
dL dt r dp dt rF M
M
F
O .
定义
为力对定点O的力矩 M rF 力对O 点的力矩 大小： M r F sin
M
A
r Lo T
A
R T 0
R
r
mg
O
m gR sin m gr
LA R mv
r
对于O点：
M
g
M
A
r T
rT cos
LO r m v
r mg
m gr
质点作任何运动都可以用角动量来描述其运动状态。 例 质点对圆心的动量矩。 行星在椭圆轨道上的动量矩。
F 0 P 0
M 0 L 0
形式上完全相同，所以记忆上就可简化。从动量定理变换到 角动量定理，只需将相应的量变换一下，名称上改变一下。
物理-定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
或 Lz = I = 恒量
当刚体相对惯性系中某给定转轴的合外力矩为 零时，该刚体对同一转轴的角动量保持不变。
——对转轴的角动量守恒定律
二、定轴转动中的角动量守恒
说明 1、 关于该守恒定律的条件：
Mz Miz 0
特别地，若每一个力的力矩均为零，即 则
二、定轴转动中的角动量守恒
M iz ri Fi sini 0 的几种情况
10
f
20
O1 R1 A
R2 O2 fB
随堂练习
当两圆柱接触处无相对滑动时，两者转速相反
10
20
O1 R1 A
R2 O2 B
且两者接触点的线速率相等！
二、定轴转动中的角动量守恒
由定轴转动的角动量定理
Mz
dLz dt
若刚体所受对转轴的合外力矩 M z 0，则有
dLz d ( I ) 0
dt
dt
二、定轴转动中的角动量守恒
(3) 对共轴非刚体系（其中各质元到转轴的距离可 变则）系：统的转动惯量可变，此时系统对转轴的角动量守恒，
即：I =恒量
• 特别地，若各质元的 保持一致，
Lz =I =恒量
当 I 增大时， 就减小； 当 I 减小时， 就增大 。
二、定轴转动中的角动量守恒
例如：花样滑冰运动员在冰面上旋转时 运动了角动量守恒定律
（1）
（2）
（3）
二、定轴转动中的角动量守恒
2、对转轴的角动量守恒定律的适用范围： • 不仅适用于刚体， • 也适用于绕同一转轴转动的任意质点系。
二、定轴转动中的角动量守恒
3、对转轴的角动量守恒的几种典型表现 (1) 对定轴刚体：I 不变， 大小和方向均不变；
3_4角动量 角动量守恒定律.
t1
Mdt
J2
J1
4 – 4 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
刚体定轴转动的角动量定理
t2 t1
Mdt
J2
J1
刚体转动的角动量定理：刚体所受的冲量矩等于 刚体转动角动量的增量.
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
若 M 0 ，则 L J 常量
刚体所受的合力矩为零时，刚体转动角动量为一 恒矢量.
1 (1 ml 2 ma2 ) 2
23
W 1 J 2
2
mga(1 cos30) mg l (1 cos30)
2
v g(2 3)(ml 2ma)(ml2 3ma2 ) 6 ma
4 – 4 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
例3 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O
o
m'
30
L mr2 J
a
mva ( 1 ml 2 m a2 )
3
v m
3mva m'l 2 3ma2
4 – 4 角动量 角动量守恒定律
m'l
3mva 2 3ma2
射入竿后，以子弹、细杆和 地球为系统 ，机械能守恒 .
第四章 刚体的转动
o 30
a v m'
4 – 4 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理.
力矩的时间累积效应
冲量矩、角动量、
角动量定理.
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
质点运动状态的描述
p mv Ek mv2 2
Mdt
J2
J1
4 – 4 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
刚体定轴转动的角动量定理
t2 t1
Mdt
J2
J1
刚体转动的角动量定理：刚体所受的冲量矩等于 刚体转动角动量的增量.
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
若 M 0 ，则 L J 常量
刚体所受的合力矩为零时，刚体转动角动量为一 恒矢量.
1 (1 ml 2 ma2 ) 2
23
W 1 J 2
2
mga(1 cos30) mg l (1 cos30)
2
v g(2 3)(ml 2ma)(ml2 3ma2 ) 6 ma
4 – 4 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
例3 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O
o
m'
30
L mr2 J
a
mva ( 1 ml 2 m a2 )
3
v m
3mva m'l 2 3ma2
4 – 4 角动量 角动量守恒定律
m'l
3mva 2 3ma2
射入竿后，以子弹、细杆和 地球为系统 ，机械能守恒 .
第四章 刚体的转动
o 30
a v m'
4 – 4 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理.
力矩的时间累积效应
冲量矩、角动量、
角动量定理.
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
质点运动状态的描述
p mv Ek mv2 2
角动量 角动量守恒定律
r为力的作用点到 参考点的位置矢量
20
2) 力对定轴的力矩
z
Mz
o
d
F F //
r
F
M r F r ( F// F ) r F// r F
第一项
力F对O点的力矩 （F不在转动平面内）：
M1 r F//
dL 可得 M r F dt
对 N 个质点 m1, m2 ,, mN 组成的质点系，由
dL1 r1 F1外 F1内 M 1外 M 1内 dt 两边求和得 dL2 r2 F2外 F2内 M 2外 M 2内 dL总 d dt Li dt i dt M i 外 M i内 dLN i i 24 rN FN外 FN内 M N外 M N内 dt
z
vi
转轴与其转动平面交点
o
转动 平面
mi 对 o 的角动量： Lio ri mi vi
大小：Lio ri mi vi mi ri 2 Lio 方向：沿 2 即 Lio mi ri
o圆周运动半径为 ri
o ri
mi
6
定义：质点 mi 对其转动平面上圆心 o 点的角动 量的大小，称为质点对转轴的角动量。
11
m 1 L3 L3 1 2 m L 12 L 3 8 8
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
J r dm x dm
2 2 L
L
x
2
若使用平行轴定理：
0
第四节 角动量守恒定律
§ 3.4 角动量守恒定律一、角动量1 定轴转动的角动量如图示，刚体绕定轴z 以角速度ω转动，它的角动量在轴上的投影为()z i ii i ii iz L R p r m v =⨯=∆∑∑ 2i i i i i i i r m r m r ωω⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭∑∑式中：i r 是质元i m ∆到轴的距离，2i i i m rI =∑是刚体对z 轴的转动惯量。
于是z L I ω=按照定义动量的方法，刚体绕定轴转动时，把转动惯量和角速度的乘积称为刚体对定轴的角动量，用符号 L 表示即刚体的角动量等于刚体的转动惯量与角速度之积。
在SI 中，角动量的单位是千克二次方米每秒，符号为 二、角动量定理1 角动量定理根据转动定律式中则刚体绕定轴转动时，在给定的时间内，作用于刚体的合外力矩的冲量矩，等于刚体对该定轴的角动量的增量。
这一规律称为刚体定轴转动的角动量定理。
21kg m s -⋅⋅()d d d M I I I t dt ωαω===d d L M t =L I ω=d d M t L=2 刚体转动角动量定理的积分形式由上式有()z z M dt dL d I ω==，积分得000t lz z o t l M dt dL L L I I ωω==-=-⎰⎰式中0tz t M dt ⎰外力矩对定轴的冲量矩，等于始、末状态的转动惯量与角速度乘积的差值。
三、角动量守恒定律当所有质点均以同一角速度绕定轴转动的质点系，若对轴的合外力矩0tz t M dt ⎰＝0时，有0I I ωω=当作用于物体的合外力矩等于零时，物体的角动量保持不变，即角动量守恒。
这一规律称为角动量守恒定律。
讨论1） 守 恒条件 若 I 不变，ω 不变，则 L 不变；若 I 变化，ω 变化， L 仍不变。
2） 内力矩不改变系统的角动量。
问题：角动量守恒的例子1、直升飞机在未发动之前总角动量为零，发动以后旋翼在水平面内高速转动，角动量守恒，机身必产生反向旋转。
《大学物理》3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动， 例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆 的一个焦点。 的一个焦点。已知地球半径 R ，卫星的近地点到地面距离 l ，卫星的远 地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ，求它在远地点速率 v2 。
1 2
卫星在运动过程中，所受力主要是万有引力， 解：卫星在运动过程中，所受力主要是万有引力，其它力忽 略不计，故卫星在运动过程中对地心角动量守恒。 略不计，故卫星在运动过程中对地心角动量守恒。 m
0
r
A
θ = 90
0
mv
质点作圆周运动的角动量
θ
L = rmv = mr ω
2
2.2刚体的角动量 刚体的角动量 刚体对 oz轴的角动量为
z
ω
v
2
i
L = ∑ m r ω = (∑ m r )ω
2 i i i i
o
r
i
m
i
∑ m r 刚体绕 oz 轴的转动惯量
2 i i
L = Jω
L = Jω
刚体对转轴的角动量等于其转动惯量与角速度乘积。 刚体对转轴的角动量等于其转动惯量与角速度乘积。
1 m v 0 a = ( ML2 + ma 2 )ω 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机 械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML + ma )ω = mga (1 cos60°) + Mg (1 cos60°) 2 3 2
ω=
3(2ma + ML)g 2(3ma 2 + ML2 )
二、角动量定理和角动量守恒定理
1× mv 对时间求导 = r × (mv ) + × mv dt dt dt dr d dL ∵ = v , F = (mv ) M = dt dt dt dL 质点所受合外力矩等于质 ∴ = r × F + v × mv dt 点角动量对时间的变化率
角动量定理和角动量守恒定律
O
M
l
l /2
1 1 2 2 l 0 = Ml ω + (Mg ) 2 3 2
3g ω= l
m
第二阶段：碰撞瞬间角动量守恒（不是动量守恒） 第二阶段：碰撞瞬间角动量守恒（不是动量守恒） 1 1 2 1 2 ′ + mVl = ( M + m)lV ， V = ω′l Ml ω = Ml ω 3 3 3
t2
∫
例：水平面内，均质杆 (M, l) 水平面内， 子弹 (m,V ) 击穿杆的 自由端后速度降为 V / 2 求：杆转动的角速度 ω 解：角动量守恒 3mV V 1 2 mVl = m l + Ml ω ， ω = 2Ml 2 3
O
M
l
ω
m
V /2
V
例：rA = 0.2m ，mA = 2kg
ω0A = 50rads rB = 0.1m ，mB = 4kg ω0B = 200rads 1
dL d dω = (Iω) = I = Iβ = M dt dt dt dL = M ：角动量定理 dt dL = Mdt
L = ∫ Mdt
t1 t2
y
x
如果 M = 0 ，则 L = C ：角动量守恒定律 非刚体， 一般随时间变化， 非刚体， I 一般随时间变化， M = Iβ 不成立 角动量定理及角动量守恒定律仍成立！ 角动量定理及角动量守恒定律仍成立！ 定轴转动， dL = M ， dL = Mdt ， L = Mdt 定轴转动， dt t1 L = C ， L = Iω ， M = Iβ
如果合外力矩 M = 0
例：圆锥摆球在水平面内匀速转动 分别对固定点 A和 O ，讨论 小球受到的张力矩，重力矩， 小球受到的张力矩，重力矩， LA 合力矩和角动量 对 A: M = R ×T = 0
定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
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r 对于定轴转动， 对于定轴转动， L 对沿定轴的分量 Lz 为
Lz = ∑ ∆Li cosθ = ∑ ∆mi Ri vi cosθ = ∑ ∆mi ri vi = (∑ ∆mi ri )ω
2
称刚体绕定轴转动的角动量。 称刚体绕定轴转动的角动量。 刚体转动惯量： 刚体转动惯量
I = ∑ ∆mi ri
ml 2 ω ′2 23 l h = + 3 µ s − 6 µ sl 2 mgh =
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3、物体系的角动量守恒 、 若系统由几个物体组成， 若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对 轴的力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒： 轴的力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒：
如：直升机机尾加侧向旋叶，是为防止机身的反转。 直升机机尾加侧向旋叶，是为防止机身的反转。
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飞轮1： 摩擦轮 ： 例4-7 摩擦离合器 飞轮 ：I1、 ω1 摩擦轮2： I2、 静止，两轮沿轴向结合， 静止，两轮沿轴向结合，求结合后两轮达到的共同角 速度。 速度。 解：两轮对共同转轴的角动量守恒
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角动量定理比转动定律的适用范围更广，适用于 角动量定理比转动定律的适用范围更广， 刚体，非刚体和物体系。 刚体，非刚体和物体系。 对几个物体组成的系统， 对几个物体组成的系统，如果它们对同一给 定轴的角动量分别为 I ω ， I 2 ω 2 ，L
1 1
系统对该轴的角动量为 且系统满足角动量定理
Lz = ∑ I i ω i
i
dLz d = ∑ I iω i Mz = dt dt i
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三、定轴转动刚体的角动量守恒定律
《大学物理》34刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律.
矩为零故角动量守恒。
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
1 m v 0 a ( ML2 ma 2 ) 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机 械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML ma ) mga (1 cos60 ) Mg (1 cos60 ) 2 3 2
1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
d M J J dt
利用角动量表示
dJ dL M dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚 体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动 量定理的一种形式。
当合外力矩为零时
d J dL M dt dt
如果质点所受合外力矩为零，则质点的角动量保持不变， 这就是质点的角动量守恒定律。
1. 质点角动量定理及守恒定律
例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆 的一个焦点。已知地球半径 R ，卫星的近地点到地面距离 l ，卫星的远 地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ，求它在远地点速率 v2 。
3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
一、冲量矩 角动量 1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达：
M dt
0
t
2.角动量
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动 量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
o
r
v
o
L
m
L
r
m
J 恒量
如果物体所受合外力矩为零，或不受外力矩的作用， 物体的角动量保持不变，这就是角动量守恒定律。
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
1 m v 0 a ( ML2 ma 2 ) 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机 械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML ma ) mga (1 cos60 ) Mg (1 cos60 ) 2 3 2
1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
d M J J dt
利用角动量表示
dJ dL M dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚 体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动 量定理的一种形式。
当合外力矩为零时
d J dL M dt dt
如果质点所受合外力矩为零，则质点的角动量保持不变， 这就是质点的角动量守恒定律。
1. 质点角动量定理及守恒定律
例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆 的一个焦点。已知地球半径 R ，卫星的近地点到地面距离 l ，卫星的远 地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ，求它在远地点速率 v2 。
3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
一、冲量矩 角动量 1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达：
M dt
0
t
2.角动量
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动 量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
o
r
v
o
L
m
L
r
m
J 恒量
如果物体所受合外力矩为零，或不受外力矩的作用， 物体的角动量保持不变，这就是角动量守恒定律。
大学物理 第三章 角动量守恒定律 刚体汇总
求它由此下摆 角时的角加速度和角速度。
解：棒下摆为加速过程，外
力矩为重力对O的力矩。在 O
棒上取质元dm,当棒处在下
摆 角时，棒 的重力矩为：
M l d(mg)
l
设 m
L
L
gl sin(
)dl
1
mgL cos
0
2
2
X dm
dmg
J 1 mL2
3
M
1 mgL cos
2
3g cos
J
1 mL2
整个刚体绕轴的角动量为所有质元角动量之和：
L Li ( miri2 )
i
i
令：J miri2 称为刚体对轴的转动惯量。
i
则刚体对轴的角动量为：L J
力对转轴的力矩
f 在转动平面内 Mz r f
Mz fr sin
Z
Mz
Or
d
P
f
转动平面
方向如图
例题P40：3-3
f 不在转动平面内，有时间可以补讲。
（2）通过棒的中点并与棒垂直的转轴的转动惯量。
解：（1） m
l
dm dx
x dx
x l
J x2dm l x2dx 1l3 1 ml2
0
33
例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动 惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。
解: J R2dm R2 dm mR2
OR dm
例2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆 盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
平行轴定理
若有任一轴与过质心的轴平行，相距
为d，刚体对其转动惯量为J，则有：
l
J＝JC＋md2。
z
刚体的质心： xc
解：棒下摆为加速过程，外
力矩为重力对O的力矩。在 O
棒上取质元dm,当棒处在下
摆 角时，棒 的重力矩为：
M l d(mg)
l
设 m
L
L
gl sin(
)dl
1
mgL cos
0
2
2
X dm
dmg
J 1 mL2
3
M
1 mgL cos
2
3g cos
J
1 mL2
整个刚体绕轴的角动量为所有质元角动量之和：
L Li ( miri2 )
i
i
令：J miri2 称为刚体对轴的转动惯量。
i
则刚体对轴的角动量为：L J
力对转轴的力矩
f 在转动平面内 Mz r f
Mz fr sin
Z
Mz
Or
d
P
f
转动平面
方向如图
例题P40：3-3
f 不在转动平面内，有时间可以补讲。
（2）通过棒的中点并与棒垂直的转轴的转动惯量。
解：（1） m
l
dm dx
x dx
x l
J x2dm l x2dx 1l3 1 ml2
0
33
例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动 惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。
解: J R2dm R2 dm mR2
OR dm
例2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆 盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
平行轴定理
若有任一轴与过质心的轴平行，相距
为d，刚体对其转动惯量为J，则有：
l
J＝JC＋md2。
z
刚体的质心： xc
定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
O
C
零点， 表示棒这时的角速度, 零点，用ω表示棒这时的角速度,则
l 1 11 2 2 2 mg = J ω ＝ ml ω 2 2 23
（ 1）
第二阶段是碰撞过程 。 因碰撞时间极短， 第二阶段是 碰撞过程。 因碰撞时间极短 ， 自由的 碰撞过程 冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力， 冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略 这样，棒与物体相撞时， 。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对 的外力矩为零，所以， 转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角 动量守恒。 表示物体碰撞后的速度， 动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则
讨论： 讨论：
a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J保持不变， 对于绕固定转轴转动的刚体， 保持不变 保持不变， 对于绕固定转轴转动的刚体 当合外力矩为零时，其角速度恒定。 当合外力矩为零时，其角速度恒定。
当 M z = 0时， J =恒量
ω
=恒量
b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系 若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时, 若系统由若干个刚体构成 统的角动量依然守恒。 统的角动量依然守恒。J 大→ ω , J 小→ 大。 小 ω
(6)
l h = + 3 µ s − 6 µ sl 2
的匀质细杆， 例13：一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定 13： 水平轴在铅垂面内自由转动， 水平轴在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位 置。一质量与杆相同的昆虫以速度 v0 垂直落到距点 O点 l/4 处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行 处的杆上， ，如图所示。若要使杆以匀角速度转动 如图所示。 求: 昆虫沿杆爬行的速度。 昆虫沿杆爬行的速度。
r r vi ∆m i L r ri
C
零点， 表示棒这时的角速度, 零点，用ω表示棒这时的角速度,则
l 1 11 2 2 2 mg = J ω ＝ ml ω 2 2 23
（ 1）
第二阶段是碰撞过程 。 因碰撞时间极短， 第二阶段是 碰撞过程。 因碰撞时间极短 ， 自由的 碰撞过程 冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力， 冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略 这样，棒与物体相撞时， 。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对 的外力矩为零，所以， 转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角 动量守恒。 表示物体碰撞后的速度， 动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则
讨论： 讨论：
a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J保持不变， 对于绕固定转轴转动的刚体， 保持不变 保持不变， 对于绕固定转轴转动的刚体 当合外力矩为零时，其角速度恒定。 当合外力矩为零时，其角速度恒定。
当 M z = 0时， J =恒量
ω
=恒量
b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系 若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时, 若系统由若干个刚体构成 统的角动量依然守恒。 统的角动量依然守恒。J 大→ ω , J 小→ 大。 小 ω
(6)
l h = + 3 µ s − 6 µ sl 2
的匀质细杆， 例13：一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定 13： 水平轴在铅垂面内自由转动， 水平轴在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位 置。一质量与杆相同的昆虫以速度 v0 垂直落到距点 O点 l/4 处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行 处的杆上， ，如图所示。若要使杆以匀角速度转动 如图所示。 求: 昆虫沿杆爬行的速度。 昆虫沿杆爬行的速度。
r r vi ∆m i L r ri
3-4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
若 M 0 ，则 L r mv 常数
质点所受外力对某固定点的力矩为零，则质点 对该固定点的角动量守恒。这就是质点的角动 量守恒定律。
第3章 刚体力学基础
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
4
例3.7 在光滑的水平桌面上，放有质量为M的木块， 木块与一弹簧相连，弹簧的另一端固定在O点，弹簧 的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以初速 v0 垂 直于OA射向M并嵌在木块内.弹簧原长 l0 ，子弹击中 木块后，木块M运动到B点时刻，弹簧长度变为l，此 时OB垂直于OA，求在B点时，木块的运动速度 v2 . 解 击中瞬间，在水平 面内，子弹与木块组成 的系统沿 v0 方向动量守 恒，即有
M t d L L L J J M d t d L L L J J M dd t d L L M L d t J d L J L 0 0 0 0 0 0 L0 0 J J 0 t L L
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
24
例3.9 在工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以 相同的转速一起转动．如图所示，A和B两飞轮的 轴杆在同一中心线上．A轮的转动惯量为JA＝10 kg· m2，B轮的转动惯量为JB＝20 kg· m2，开始时A 轮每分钟的转速为600转，B轮静止．C为摩擦啮合 器．求两轮啮合后的转速，在啮合过程中，两轮的 机械能有何变化？
第3章 刚体力学基础
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
解 以飞轮A，B，啮合器C为系统，系统受到轴向 的正压力和啮合器之间的切向摩擦力。前者对轴的力 矩为零，后者对轴有力矩，但为系统的内力矩，即系 统所受合外力矩为零，所以系统的角动量守恒，即
3-4 定轴转动刚体的角动量定理
例题3-7 一匀质细棒长为l ，质量为m，可绕通过 其端点O的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位 置自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物 体相撞。该物体的质量也为m ，它与地面的摩擦系 数为 。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。 求相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说明 棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。 解：这个问题可分为三个阶段 进行分析。第一阶段是棒自由 摆落的过程。这时除重力外， 其余内力与外力都不作功，所 以机械能守恒。我们把棒在竖 直位置时质心所在处取为势能
按角动量守恒定律可得定轴转动刚体的角动量守恒定律或共同转速为min在啮合过程中摩擦力矩作功所以机械能不守恒部分机械能将转化为热量损失的机械能为1032定轴转动刚体的角动量守恒定律例题39恒星晚期在一定条件下会发生超新星爆发这时星体中有大量物质喷入星际空间同时星的内核却向内坍缩成为体积很小的中子星
§3-4 定轴转动刚体的角动量定理 和角动量守恒定律
而这个分量 Lz 实际上就是各质点的角动量沿 Oz 轴的分量 Li z 之和。
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二、 定轴转动刚体的角动量定理
d d J d L M J dt dt dt
微分形式：Mdt d J dL
积分形式： Mdt J J 0
F dA Fdx
F ma
m
M
d A M d M J
J
M dt
F dt
F dt P P
0
M dt L L
0
1 2 1 2 F d x 2 mv 2 mv0
1 2 1 2 M d J J 0 2 2
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A L B
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(1) 动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一,它不仅 动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一, 适用于宏观体系,也适用于微观体系, 适用于宏观体系,也适用于微观体系,且在高速低 速范围均适用; 速范围均适用; (2) 动量守恒与角动量守恒 是相互独立的定律; 是相互独立的定律; 通常对有心力: (3) 通常对有心力: 过 点 F O点, M=0, 动量矩守恒
§3.4 角动量定理 角动量守恒定律
一,质点对定点的角动量 二,力对定点的力矩 三,质点的角动量定理 角动量守恒定律 四,质点系的角动量问题
1
第点O的动量矩 角动量) 一. 质点对定点 的动量矩 角动量
定义
L = r ×P
S
L
L = r × P = r ×m v
m
r0
v
R
OM
v0
θ
质点的动量矩守恒 1 GMm 1 2 GMm 2 mv0 = mv 2 r0 2 R
mv0r0sinθ = mvR
v0r0sinθ v= = 4v0sinθ R
3GM v =v0 1+ 2 v 2R 0
1/ 2
1 3GM sinθ = 1+ 2 4 2R 0 v
尾部添矩) (趣称 头上长角 尾部添矩)
16 第3章动量与角动量
�
动量定理
动量矩定理
dP F= dt
t2
dL M = dt
t2
∫ F dt = Δ P
t1
∫ M dt = Δ L
t1
F = 0 P = 0
M = 0 L = 0
形式上完全相同,所以记忆上就可简化. 形式上完全相同,所以记忆上就可简化.从动量定理变换到 上完全相同 简化 角动量定理,只需将相应的量变换一下,名称上改变一下. 角动量定理,只需将相应的量变换一下,名称上改变一下.
11
掠面 速度
行星对太阳的位矢在相等 的时间内扫过相等的面积
第3章动量与角动量
例2 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M ,半径为 R 的行 星, 以速度v 当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时,以速度 0发射一 的仪器.要使该仪器恰好掠过行星表面. 质量为 m 的仪器.要使该仪器恰好掠过行星表面. 角及着陆滑行的初速度. 求 θ角及着陆滑行的初速度. 角及着陆滑行的初速度 引力场(有心力) 解 引力场(有心力) 系统的机械能守恒
L = rpsinα = mrvsinα
大小: 大小:
α
r
P
O
L = r P sin α
特例: 特例:质点作圆周运动
方向: 方向:垂直 r, P 组成的平面
L = rp = mrv
1
SI
2
kgm 2 /s
量纲: 量纲: L = M L 2 T
第3章动量与角动量
讨论
惯性参照系
(1) 质点的动量矩(角动量)与质点的动量及位矢(取决 质点的动量矩(角动量)与质点的动量及位矢( 位矢 于固定点的选择)有关; 于固定点的选择)有关; (2) 当质点作平面运动时,质点对运动平面内某参考点 当质点作平面运动时, O 的动量矩也称为质点对过 垂直于运动平面的轴的 的动量矩也称为质点对过O 动量矩 动量矩 L ;
M外 = 0
L = 0
L = const.vector
如果作用在质点系合外力矩沿某轴的投影为零, 如果作用在质点系合外力矩沿某轴的投影为零,则沿此轴动 沿某轴的投影为零 量矩守恒, 量矩守恒,如 L =常 常 量 M =0
z
Z
14 第3章动量与角动量
盘状星系
15
角动量守恒的结果
第3章动量与角动量
比较
MA = R ×T
Mg = R×mg
= mgR sin θ = mgr
LA = R×mv M A = r ×T
r mg υ
R r
O
对于O点 对于 点:
= rT cos θ
LO = r × mv
第3章动量与角动量
Mg = r×mg
7
= mgr
质点作任何运动都可以用角动量来描述其运动状态. 质点作任何运动都可以用角动量来描述其运动状态. 例 质点对圆心的动量矩. 行星在椭圆轨道上的动量矩. 质点对圆心的动量矩. 行星在椭圆轨道上的动量矩.
第3章动量与角动量
二,力对定点的力矩
定义 为力对定点O的力矩 M = r × F 为力对定点 的力矩
M
大小: 大小:
M = r F sin
方向: 方向:垂直 r , F 组成的平面
o
r
d
SI
M = ML2T 2 Nm 量纲: 量纲:
m
F
讨论 力对O (1) 力对 点的力矩
Mo
F
O .
MO = r × F
得 微分形式 冲量矩 积分形式 说明
d(m ) dr v dL d + ×m v = ( r ×m ) = r × v dt dt dt dt
r ×F = M
v ×m = 0 v
dL M = dt
t2
或写成
M dt = dL
∫ M dt = ΔL
t1
质点所受合力矩的 冲量矩 冲量矩等于质点的 动量矩 动量矩的增量
i i i
∑r×
i i
fi = 0
内力对定点的力矩之和为零
(自证 自证) 自证
质点系内的重要结论之三 dL L = ∑ Li M外 = i dt
13 第3章动量与角动量
冲量矩
∫t M外dt = ∫L dL = L2 L1 = L
1 1
t2
L2
(1)质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量; (1)质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量; 质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量 (2) 内力对定点的力矩之和为零,只有外力矩才能改变系 内力对定点的力矩之和为零, 统的总角动量. 统的总角动量. 3. 质点系动量矩守恒定律 对质点系
12
1/ 2
第3章动量与角动量
四,质点系的动量矩
1. 对定点的动量矩
P2
P1
L = ∑ Li = ∑ ri × Pi
i i
o
r2
r1
质点系对参考点O 质点系对参考点 的动量矩就是质点系所有质点对同一参 考点的动量矩的矢量和 2. 质点系的动量矩定理
d Li ∑ M i =∑ d t i i M = ∑ M i = ∑ ri × Fi + ∑ ri × f i
θ A
F τ
F⊥
Fn
x
y
z
M= x
M = r × F = Mx x + My y + Mz z
6 第3章动量与角动量
y z FxFyFz
(3)力对任意点的力矩,在通过该点的任一轴上的投影, (3)力对任意点的力矩,在通过该点的任一轴上的投影, 力对任意点的力矩 等于该力对该轴的力矩. 等于该力对该轴的力矩. 例2:圆锥摆球在水平面内匀速转 : A r 分别讨论对固定点A和 点 动,分别讨论对固定点 和O点, r Lo T θ 小球受的张力矩,重力矩和角动量. 小球受的张力矩,重力矩和角动量. LA 对于A点 解: 对于 点
力矩的方向由右螺旋法则确定
5 第3章动量与角动量
r
(2) 力对定轴力矩的矢量形式
z
F//
F
MZ = r × F⊥
Mz (F) = F⊥h = Fr τ
力矩的方向由右螺旋法则确定 对轴的力矩 在具体的坐标系中, 在具体的坐标系中,力矩在各坐标轴 的分量,就叫对轴的力矩. 的分量,就叫对轴的力矩.
h
r
O
(3) 质点对某点的动量 矩,在通过该点的 任意轴上的投影就 等于质点对该轴的 动量矩; 动量矩;
LO′
LO
O′
S
P
α
r
O
3
第3章动量与角动量
(4) 对轴的动量矩 在具体的坐标系中,动量矩在各坐标轴的分量, 在具体的坐标系中,动量矩在各坐标轴的分量, 就叫对轴的动量矩. 就叫对轴的动量矩.
L = r × P = Lx x + Ly y + Lz z
第3章动量与角动量
10
行星在速度和有心力所组成的平面内运动 例如 由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒 第二定律. 第二定律. 行星受到的合外力矩
r r r M = r ×F = 0
L
r r r L = r × mυ = C
υ
r r F
α
m
r
r rsinα L = mvrsinα = m t 1 r r rsinα S 2 = 2m = 2m t t
(1) 冲量矩是质点动量矩变化的原因; 冲量矩是质点动量矩变化的原因; (2) 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果. 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果.
9 第3章动量与角动量
dL =0 若 M =0 dt
讨论
2. 质点动量矩守恒定律 r
r r r r L = r × P = C 常矢量
——质点动量矩守恒定律 质点动量矩守恒定律
L
m1 υ
o
r
m υ
m2 υ
r2
o
r 1
抛出物体对O点的动量矩. 直线运动的物体对 点的动量矩. 点的动量矩. 抛出物体对 点的动量矩. 直线运动的物体对O点的动量矩 点的动量矩
y
m1 υ
m2 υ
r
o
8
m υ
r 1
x
r2
x
o
第3章动量与角动量
三,质点的角动量定理 角动量守恒定律
1. 动量矩定理
dP F = dt