排列组合问题的解题方法与技巧的总结完整版
排列组合解题的高效技巧与策略
排列组合解题的高效技巧与策略排列组合是数学中的一个重要概念，它在解决问题时可以帮助我们快速、高效地找出正确的答案。
本文将介绍一些排列组合解题的高效技巧与策略，帮助读者更好地应对相关问题。
1. 理解排列和组合的概念在开始讨论解题技巧之前，我们首先需要理解排列和组合的概念。
排列是指从一组元素中选取一部分元素按照一定的顺序进行排列，而组合是指从一组元素中选取一部分元素，不考虑顺序的情况下进行组合。
2. 利用公式计算排列组合数排列和组合问题的解答往往涉及到计算排列数和组合数。
针对不同的问题，我们可以利用相应的公式来计算。
例如，计算从n个元素中选取r个元素的排列数可以使用下面的公式：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
3. 利用乘法原理和加法原理乘法原理和加法原理是解决排列组合问题的基本原理。
乘法原理指出，如果一个任务可以分为k个相互独立的子任务，每个子任务有n1、n2、...、nk种选择，则总的选择方式数为n1 * n2 * ... * nk。
而加法原理指出，如果一个任务可以通过两个步骤完成，第一步有n种选择，第二步有m种选择，则总的选择方式数为n + m。
4. 利用递推关系简化计算在解决排列组合问题时，有时可以利用递推关系简化计算过程，减少计算量。
例如，C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)就是一个常见的递推关系。
通过利用递推关系，我们可以将原始问题转化为更小规模的子问题，从而简化计算过程。
5. 利用二项式定理求解复杂问题二项式定理是数学中的一个重要定理，它展示了如何将一个二次多项式展开成一个多项式的和。
利用二项式定理，我们可以求解复杂的排列组合问题。
例如，在计算(x + y)^n的展开式中，我们可以得到展开式中各个项的系数，进而能够解决一些特殊问题。
6. 善于应用化简的方法在解决排列组合问题时，有时候问题的描述较为复杂，难以直接进行计算。
高中数学排列组合解题技巧
高中数学排列组合解题技巧在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和考点。
它涉及到对一组对象进行有序或无序地选择和排列的问题，常常出现在数学竞赛和高考中。
掌握排列组合的解题技巧对于提高数学成绩至关重要。
本文将介绍一些常见的排列组合题型，并提供解题技巧和例题分析，帮助高中学生和家长更好地掌握这一知识点。
一、排列问题排列问题是指从给定的一组对象中，按照一定的顺序选择一部分或全部对象的问题。
常见的排列问题有全排列、循环排列和有条件的排列等。
1. 全排列全排列是指从n个不同的元素中，按照一定的顺序选取m个元素进行排列的问题。
全排列的计算公式为P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n!表示n的阶乘。
例题1：从1、2、3、4中任选3个数字，共有多少种排列方式？解析：根据全排列的计算公式，P(4, 3) = 4! / (4-3)! = 4! / 1! = 4 × 3 × 2 = 24。
因此，共有24种排列方式。
2. 循环排列循环排列是指将n个不同的元素排成一个环状，不计顺序的排列问题。
循环排列的计算公式为C(n) = (n-1)!，其中n!表示n的阶乘。
例题2：将1、2、3、4排成一个环状，共有多少种循环排列方式？解析：根据循环排列的计算公式，C(4) = (4-1)! = 3! = 3 × 2 = 6。
因此，共有6种循环排列方式。
二、组合问题组合问题是指从给定的一组对象中，按照一定的顺序选择一部分对象的问题。
与排列不同的是，组合不考虑对象的顺序，只关注对象的选择。
常见的组合问题有选择问题和有条件的组合等。
1. 选择问题选择问题是指从n个不同的元素中，按照一定的顺序选取m个元素的问题。
选择问题的计算公式为C(n, m) = n! / (m! × (n-m)!)。
例题3：从1、2、3、4中任选3个数字，共有多少种选择方式？解析：根据选择问题的计算公式，C(4, 3) = 4! / (3! × (4-3)!) = 4! / (3! × 1!) = 4。
排列组合问题的解答技巧和记忆方法
排列组合问题的解题策略关键词：排列组合,解题策略①分堆问题；②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法). 一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。
评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。
二、不相临问题——选空插入法例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。
三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。
例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。
例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。
排列组合解题方法和策略总结
排列组合解题方法和策略总结排列组合是数学中一个重要的概念，它涉及到从n个不同元素中取出m个元素（n>m）进行排列或组合的问题。
排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，因此掌握排列组合的解题方法和策略非常重要。
以下是排列组合解题方法和策略的总结：1.明确问题要求：在解决排列组合问题时，首先要明确问题的要求，确定是排列问题还是组合问题，以及具体的限制条件。
2.确定元素范围：根据问题要求，确定所选取元素的范围，明确哪些元素可以选取，哪些元素不能选取。
3.列出所有可能的排列或组合：根据排列组合的公式，列出所有可能的排列或组合，确保不遗漏任何一种可能性。
4.分类讨论：对于一些复杂的问题，需要进行分类讨论。
根据问题的特点，将问题分成若干个子问题，分别求解子问题的排列组合情况。
5.排除法：在某些情况下，可以通过排除法求解问题。
根据问题的限制条件，排除一些不可能的情况，从而减少计算量。
6.递推关系：对于一些具有递推关系的问题，可以利用递推关系求解。
通过递推关系，逐步推导出最终的排列组合情况。
7.容斥原理：容斥原理是解决排列组合问题的一种重要方法。
通过容斥原理，可以将多个排列或组合的情况合并为一个，从而简化计算过程。
8.实际应用：排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，并掌握解题方法和策略。
解决排列组合问题需要掌握一定的方法和策略。
通过明确问题要求、确定元素范围、分类讨论、排除法、递推关系、容斥原理等方法和策略，可以有效地解决各种排列组合问题。
同时，通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，提高解题能力。
排列组合在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，以下是其中一些典型的应用场景：1.生日庆祝：在生日庆祝中，排列组合可以用来确定不同的庆祝活动安排。
例如，如果有5个朋友参加生日派对，可以使用排列组合确定他们坐在一张圆桌上的不同方式。
2.彩票购买：在购买彩票时，可以使用排列组合来计算不同号码的组合。
((完整版))排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结),推荐文档
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的n 1m 2m 方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：n n m 12nN m m m =+++ 种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，n 1m 2m …，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：n n m 12nN m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
(完整版)排列组合常见21种解题方法(可编辑修改word版)
排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2. 掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1. 分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第 1 类办法中有m 1 种不同的方法，在第 2 类办法中有m 2 种不同的方法，…，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2. 分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第 1 步有m 1 种不同的方法，做第 2 步有m 2 种不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3. 分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完 成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3. 确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这N = m 1 ⨯ m 2 ⨯ ⨯ m nN = m 1 + m 2 + + m n344 4 3 4AC 5 2 2 5 6 5 6要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两两个位置.先排末位共有C 1 然后排首位共有C 1 最后排其它位置共有 A 3由分步计数原理得C 1C 1A 3 = 28844 3练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合常用方法总结(全)
解决排列组合问题常见策略学习指导1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。
组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是无序的。
较复杂的排列组合问题一般是先分组,再排列。
必须完成所有的分组再排列，不能边分组边排列.排列组合问题的常见错误是重复和遗漏.弄清问题的实质，适当的分类，合理的分步是解决这个错误的关键，采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧.集合是常用的工具之一.为了将抽象问题具体化,可以从特殊情形着手，通过画格子，画树图等帮助理解。
“正难则反”是处理问题常用的策略。
常用方法:一. 合理选择主元例1. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？例2. 公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位,有几种不同的坐法？分析：例1中将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有种不同坐法。
例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂，将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则例2变成了例1,所以在解决排列组合问题时，合理选择主元,就是选择合适解题方法的突破口。
二. “至少"型组合问题用隔板法对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个"型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中,将元素分成n＋1份。
例5. 4名学生分6本相同的书,每人至少1本，有多少种不同分法?解：将6本书分成4份，先把书排成一排,插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有：（种）三。
注意合理分类元素（或位置)的“地位”不相同时,不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）的特殊性进行合理分类,求出各类排列组合数。
再用分类计数原理求出总数。
例6. 求用0，1，2，3，4,5六个数字组成的比2015大的无重复数字的四位数的个数。
解：比2015大的四位数可分成以下三类：第一类：3×××，4×××,5×××,共有：（个）；第二类：21××，23××,24××，25××，共有：（个)；第三类：203×，204×,205×，共有：(个）∴比2015大的四位数共有237个。
(完整版)☆排列组合解题技巧归纳总结(可编辑修改word版)
344 4 3 4A C 5 2 2 5 排列组合解题技巧归纳总结教学内容1. 分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第 1 类办法中有m 1 种不同的方法，在第 2 类办法中有m 2 种不同的方法，…，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2. 分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m 1 种不同的方法，做第 2 步有 m 2 种不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3. 分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1. 认真审题弄清要做什么事2. 怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3. 确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有C 1 然后排首位共有C 1 最后排其它位置共有 A 3由分步计数原理得C 1C 1A 3 = 288443练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里， 问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
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超全的排列组合解法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
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分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列与组合问题的解题方法
排列与组合问题的解题方法排列与组合是数学中重要的组合数学问题，常用于解决计数和选择问题。
在排列与组合中，排列是指从一组元素中选取若干个按特定顺序排列的方式；而组合则是指从一组元素中选取若干个无序的方式。
解决排列与组合问题的方法有很多，下面将介绍一些常用的解题方法。
一、排列问题的解题方法1. 全排列方法：全排列是指对给定的一组元素进行全面排列，确保每个元素都排在不同的位置上。
全排列问题可以通过递归算法来解决。
具体步骤如下：1）选取第一个元素作为排列的首位；2）将剩余的元素进行全排列；3）将选取的元素与全排列的结果进行组合。
2. 循环方法：循环方法是指通过循环遍历的方式来求解排列问题。
具体步骤如下：1）确定排列的元素个数和位置；2）通过循环遍历的方式确定每个位置上的元素。
3. 递归方法：递归方法是指通过递归函数的调用来求解排列问题。
递归方法可以将一个问题分解为更小的子问题，并通过递归调用来解决子问题。
具体步骤如下：1）选取第一个元素作为排列的首位；2）将剩余的元素进行递归调用，求解子问题的排列；3）将选取的元素与子问题的排列进行组合。
二、组合问题的解题方法1. 递推公式法：递推公式法是一种求解组合问题的常用方法。
通过递推公式，可以将大的组合问题分解为更小的子问题，并通过递归调用来解决子问题。
具体步骤如下：1）确定组合的元素个数和位置；2）通过递推公式计算每个位置上的元素。
2. 数学公式法：数学公式法是指通过数学公式来求解组合问题。
常用的组合公式有排列组合公式、二项式定理等。
通过应用数学公式，可以快速计算组合问题的解。
具体步骤如下：1）确定组合的元素个数和位置；2）通过数学公式计算每个位置上的元素。
3. 动态规划法：动态规划法是一种求解组合问题的高效算法。
通过定义递推关系和初始条件，可以通过动态规划的方式求解组合问题。
具体步骤如下：1）定义递推关系和初始条件；2）通过递推公式计算每个位置上的元素。
总结：排列与组合问题的解题方法有很多种，选择合适的方法取决于具体的问题和求解的要求。
排列组合题型方法总结
排列组合题型方法总结排列组合是高中数学中的一个重要概念，是组合数学的一部分。
在实际问题中，排列组合经常用于解决具体的计数问题。
在本文中，我将总结一些常见的排列组合题型及解题方法。
一、排列题型排列是指将一组元素按照一定的顺序进行排列，其中每个元素只能使用一次。
在排列题中常见的有以下几个题型：1. 线性排列：将不同的元素排成一列，求出排列的总数。
解题方法：根据要求确定对应的元素个数，并使用乘法法则计算排列的总数。
2. 圆排列：将不同的元素排成一个圆，求出排列的总数。
解题方法：将圆转成线性排列问题，然后使用相应的公式计算总数。
3. 重复排列：将一组相同的元素排列，求出排列的总数。
解题方法：根据相同元素的个数和元素总数使用组合计数的方法求解。
4. 位置固定：将一组元素排列，其中有一些元素的位置是固定的，求出排列的总数。
解题方法：先将固定位置的元素排列，再将剩余的元素排列，最后将两部分排列的总数相乘。
二、组合题型组合是指从一组元素中选取一部分元素进行组合，其中元素的顺序不重要。
在组合题中常见的有以下几个题型：1. 选取固定元素数量：从一组元素中选取固定数量的元素，求出组合的总数。
解题方法：根据选取数量使用排列计数的方法求解，然后除以固定元素的排列数。
2. 选取至少/至多元素数量：从一组元素中选取至少或至多数量的元素，求出组合的总数。
解题方法：分别计算满足要求的最少元素数量和最多元素数量的组合数，再将两者相加。
3. 选取按顺序：从一组元素中按照一定的顺序选取元素，求出组合的总数。
解题方法：根据顺序确定每个元素的选取范围，然后使用乘法法则计算总数。
4. 选取排除元素：从一组元素中选取一部分元素，其中不能包含某些特定的元素，求出组合的总数。
解题方法：先计算从总元素中选取的组合数，再计算不包含特定元素的组合数，最后将两者相减。
三、应用题在实际问题中，排列组合常常用于解决具体的计数问题。
下面列举几个常见的排列组合应用题：1. 手环问题：将不同颜色的手环依次戴在手上，求出不同戴法的总数。
(完整版)☆排列组合解题技巧归纳总结
排列组合解题技巧归纳总结教学内容1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？443解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
排列组合问题的解题方法与技巧的总结(完整版)
学员数学科目第次个性化教案授课时间教师姓名备课时间学员年级高二课题名称排列组合问题的解题策略课时总数共课时教育顾问学管邱老师教学目标1、两个计数原理的掌握与应用；2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）教学重点1、两个计数原理的掌握与应用；2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；教学难点运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）教学过程教师活动一、作业检查与评价（第一次课程）二、复习导入排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
三、内容讲解1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略排列组合问题的解题策略一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。
排列组合解题技巧归纳总结
排列组合解题技巧归纳总结一、排列组合解题概述排列组合解题是一种常见的数学解题方法，它是从实际问题中抽象出的数学思路，即利用数学的思想研究问题的中可能的不同情况。
它是指将从某概念领域中抽出的元素，按一定规则进行排列组合，以求出符合要求的所有可能情况，并且再对这些可能情况进行比较选择。
二、关于排列组合解题的技巧1、熟悉必要的知识排列组合解题一般有四种情形，分别是无重复排列，有重复排列，无重复组合，有重复组合。
读者在学习排列组合解题技巧时要先熟练掌握这四种情形的基本概念。
2、理解问题为正确解决排列组合解题，必须结合问题本身，仔细阅读题干，弄清所求的具体内容，讨论其间的联系和规律，并把握到全局。
3、合理分类将题目中的个体或要素，按某种形式或方法进行分类，这样就可以有效地缩小解题范围，把问题转化成容易求解的形式。
4、计算概率排列组合解题究竟有多少种可能，有时可以利用数学概率公式，计算概率，从而辅助解题，快速缩小解题步骤，提高解题效率。
5、模拟实验在排列组合解题过程中，可以采用模拟实验的方法，通过模拟试验来找出具体的结果情况，以有效节约解题时间。
6、求解问题求解排列组合解题有三种方法：因式分解法、基本计算法和穷举法。
因式分解法是把问题分解为几个不同的小问题进行全面求解；基本计算法就是用一定的数学计算技巧，用必要的算式和穷举函数，来对复杂的问题进行求解；穷举法就是把所有可能的情况都列出来，逐一筛查出正确的结果。
三、总结排列组合的解题方法，是从实际问题中抽象出的数学思路，它可以帮助我们把复杂的问题转化为容易解答的数学计算。
其具体解题技巧也有很多，这就要求读者先有足够的数学知识，精确把握问题，合理地分类，根据题意来确定使用穷举法、因式分解法、基本计算法等，以最短时间最高效地解决问题。
(完整版)排列组合问题常用方法(二十种)
解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。
末位和首位有特殊要求。
先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。
由分步计数原理得113344288C C A =。
变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有55A 种排列。
由分步计数原理得25451440A A =。
二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。
先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理得522522480A A A =。
变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。
分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有25A 种排列。
三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。
分两步。
第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =。
变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。
☆排列组合解题技巧归纳总结
共有
A
4 7
种方法,其余的
三个位置甲乙丙共有
1
种坐法，则共有
A
4 7
种方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
(插入法）先排甲乙丙三个人,共有 1 种排法，再把其余 4 四人依次插入共有
方法
定序问题可以用倍缩
练习法题:，10 还人身可高转各不化相为等占,排位成前插后排,每排 5 人，要求从左至右身高逐渐增加，
排法.如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形
练习排题：列６共颗颜有色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 １20
七.多排问题直排策略
例７．8 人排成前后两排，每排 4 人，其中甲乙在前排，丙在后排,共有多少排法
解：8 人排前后两排，相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊
元素有
A
2 4
置.
先排末位共有 C31 然后排首位共有 C41 最后排其它位置共有 A43 由分步计数原理得 C41C31A43 288
C
1 4
A34
C 13
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最
常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先
安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为
练习题:７种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两 端的花盆里,问有多少不同的种法？
法 78
六．环排问题线排策略
例 6. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法？
解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人
A
4 4
并
从此位置把圆形展成直线其余 7 人共有(８-1）！种排法即 7 !
C
D
B
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有 种,所以正副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法有 种.
四、特殊元素--优先考虑法
对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考
虑其他位置的安排。
例4． (1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老
师不排在两端，则共有不同的排法
种．
解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，
有3种，而其余学生的排法有 种，所以共有 ＝72种不同的排法.
例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名
主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场
安排共有 种.
解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有 种排法，而其余7名队员选出2名
安排在第二、四位置，有 种 排法，所以不同的出场安排共有 ＝252种.
五、多元问题--分类讨论法
对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。
例6．（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新
节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）
A ．42
B ．30
C ．20
D ．12
解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有 种；2.相临：共有
种。
故不同插法的种数为：26A + 22A 16A =42 ，故选A 。
例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区
不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）
解：由题意，选用3种颜色时，C 43种颜色，必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，涂色
方法有C43A33=24种4色全用时涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有2种情况，涂色方法有
C21A44=48种所以不同的着色方法共有48+24=72种；故答案为72
六、混合问题--先选后排法
对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．
例8．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）种
A. B.3种 C. 种 D.
解：本试题属于均分组问题。
则12名同学均分成3组共有种方法,分配到三个不同的路口的不同的分配方案共有：
种，故选A。
例9．（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）
A．24种B．18种C．12种 D．6种
解：黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是C32种，在不同土质的三块土地上种植的方法是A33，
∴种法共有C32A33=18，故选B．
七．相同元素分配--档板分隔法
例10．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。
请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？本题考查组合问题。
解一：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”
内插入两个相同“I”（一般可视为“隔板”）共有2
C种插法，即有15种分
6
法。
2、解二：由于书相同，故可先按阅览室的编号分出6本，此时已保证各阅览室所分得的书不小于其编号，剩下的4本书有以下四种分配方案：①某一阅览室独得4本，有种分法；②某两个阅览室分别得1本和3本，有种分法；③某两个阅览室各得2本，有种分法；④某一阅览室得2本，其余两阅览室各得1本，有种分法.由加法原理，共有不同的分法3+=15种.
八．转化法:
对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解。
例11 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?
分析此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解.
解：此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有种不同的放法,所以名额分配方案有种.
九．剩余法:
在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法.
例12 袋中有5分硬币23个,1角硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法?
分析此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得。