湖北省宜昌市2020-2021学年夷陵中学高二年级第一学期12月4日周五检测数学试卷

2020年夷陵中学高二年级周五检测

数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共40分）

1.已知θ为直线y=3x−5的倾斜角，若A(cosθ,sinθ)，B(2cosθ+sinθ,5cosθ−

sinθ)，则直线AB的斜率为()

A. 3

B. −4

C. 1

3D. −1

4

2.“k=1”是“直线x−y+k=0与圆x2+y2=1相交”的()

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

3.设椭圆C:x2

4

+y2=1的左焦点为F，直线l:y=kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，则|AF|+|BF|的值是()

A. 2

B. 2√3

C. 4

D. 4√3

4．已知直线l1:(3+m)x+4y=5−3m,l2:2x+(5+m)y=8平行，则实数m的值为()

A. −7

B. −1

C. −7或−1

D. 13

3

5．唐代诗人李欣的是《古从军行》开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤1，若将军从A(2,0)出发，河岸线所在直线方程x+y−4=0，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为()

A. √10

B. 2√5−1

C. 2√5

D. √10−1

6. 如图，已知椭圆C：x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)，斜率为−1的直线与椭圆

C相交于A，B两点，平行四边形OAMB(O为坐标原点)的对角线OM的

斜率为1

3

，则椭圆的离心率为()

A. √3

3B. √6

3

C. √3

2

D. 2

3

7．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与

两定点Q、P的距离之比|MQ|

|MP|

=λ(λ>0,λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2=1，定点Q为x轴上

一点，P(−1

2

,0)且λ=2，若点B(1,1)，则2|MP|+|MB|的最小值为()

A. √6

B. √7

C. √10

D. √11

8．已知F1为椭圆C:x2

a +y2

b

=1(a>b>0)的左焦点，直线l过椭圆的中心且与椭圆交

于A，B两点．若以AB为直径的圆过F1，且π

12≤∠F1AB≤π

4

，则椭圆C的离心率

的取值范围是()

A. [√2

2,√6

3

] B. [√2

2

,1) C. (0,2

3

] D. [1

2

,2

3

]

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9．已知双曲线C：x2

3−y2

m

=1过点（3，√2），则下列结论正确的是（）

A、C的焦距为4

B、C的离心率为√3

C、C的渐近线方程为y=±√3

3

x D、直线2x−√3y−1=0与C有两个交点

10. 已知圆O：x2+y2=4,直线l:x+y=m，若圆O上恰有n个的点到直线l的距离为1，则下列结论正确的有（）

A、n=1时，m=3√2 ；

B、n=2时，√2

C、n=3时，m=√2或m=−√2；

D、n=4时,−√2

11．已知椭圆C:x 2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)，四点P1(1,1),P2(0,1),P3(−1,√3

2

),P4(1,√3

2

)中恰

有三点在椭圆C上，F1 、F2为左右焦点．则（）

A、点P1在椭圆C上，

B、椭圆C的离心率e=√3

2

，

C、以F1P4为直径的圆与以椭圆C长轴为直径的圆内切，

D、M、N为椭圆上关于原点对称的两点，则直线P2M、P2N斜率之积为定值1

4

；

12、瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线。已知ΔABC的顶点A(-4,0),B(0,4),其欧拉线方程为x-y+2=0，则顶点C的坐标可以是（）

A、（2，0）

B、（0，2）

C、（0，-2）

D、（-2，0）

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.已知直线l ：ax +y +2−a =0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值为________．

14.如果圆(x −a)2+(y −1)2=1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是______．

15.已知方程mx 2+(m −4)y 2=2m +2表示焦点在x 轴上的双曲线，该双曲线与椭圆

x 28

+

y 22

=1有共同的焦点，求该双曲线的渐近线方程为________________;

16. F 1，F 2是椭圆C 1和双曲线C 2的公共焦点，e 1，e 2分别为曲线C 1，C 2的离心率，P 为曲线C 1，C 2的一个公共点，若∠F 1PF 2=π

3，且e 2∈[√3,2]，则e 1的取值范围______．

三、 解答题（本大题共6小题，共70分）

17．已知圆E 经过点A(0,0)，B(1,1)，从下列3个条件选取一个_______

① 过点C(2,0)．②圆E 恒被直线mx −y −m =0(mϵR )平分，③与y 轴相切， （1）求圆E 的方程；

（2）过点P(3,0)的直线L 与圆E 相交于A 、B 两点，求AB 中点M 的轨迹方程。

18.已知双曲线的渐近线方程为y =±4

3x ，并且焦点都在圆x 2+y 2=100上，求双曲线方程．

19．设中心在坐标原点的椭圆E 与双曲线2x 2−2y 2=1有公共焦点，且它们的离心率互为倒数．

(1)求椭圆E 的方程；

(2)过点A(2,0)的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线l 的方程．

20．已知椭圆C:

x 2

a 2+y 2

b

2=1(a >0,b >0)的离心率为√32

，且经过点E (√3,1

2)，直线l 过点M (1,0)，交椭圆C 于A ，B 两点，设S △AOB =λS △AOD (λ∈R)． (1)求椭圆C 的方程； (2)求λ的取值范围．