量子力学 力学量用算符表达 郭华忠
量子力学力学量用算符表达
,
y
i
x,
lˆx
,
z
i
y,
lˆy , z i x,
lˆz , z 0.
推出
lˆ , x ε i x
Levi-Civita符号
ε 是一个三阶反对称张量，定义如下：
ε ε ε
, , 1, 2,3或x, y, z
ε123 1
整理课件
9
还可以证明:
lˆ , pˆ ε i pˆ ,
第3章
力学量用算符表达
整理课件
1
3.1 算符的运算规则
量子力学中的算符, 表示对波函数(量子态)的一 种运算.例如
讨论
d ,V (r) , , 2
dx
量子力学中算符的一般性质:
(a)线性算符
凡满足下列规则的算符 Aˆ , 称为线性算符，
Aˆ c11 c2 2 整理c课1A件ˆ1 c2 Aˆ 2
ˆˆ ˆˆ
这是算符与通常数的运算规则的唯一不同之处!
整理课件
5
由下列关系式:
xpˆ x pˆ x x i ,
xpˆ y pˆ y x 0,
ypˆ y pˆ y y i ,
zpˆ z pˆ z z i ,
xpˆ z pˆ z x 0
概括
量子力学中最基本的对易关系:
x pˆ pˆ x i δ
n0 n!
则可定义算符 ˆ 的函数 F ˆ 为
例如 不难看出
F ˆ F n 0ˆ n n0 n!
F x eax , 可定义
F
d dx
ad
e dx
n0
an n!
dn dxn
.
ad
e dx
x
x
量子力学第八章-自旋与全同粒子-郭华忠
（四）回转磁比率
（一）Stern-Gerlach 实验
Z
（1）实验描述(1921)
S 态的H原子束流，经非均匀磁场发 生偏转，在感光板上呈现两条分立线。
N
S
处于 S 态的 H原子
（2）结论
I.氢原子有磁矩 因在非均匀磁场中发生偏转
II.氢原子磁矩只有两种取向 即空间量子化的
最后得 SZ 的 矩阵形式
Sz
1 0 2 0 1
SZ 是对角矩阵，对角矩阵 元是其本征值±/2。
（2）Pauli 算符
1. Pauli 算符的引进
令
ˆ ˆ S 2
分量 形式
Sx x 2 S y y 2 Sz z 2
a b a b c d c d
*
a 0 d 0
0 b 0 c 0 b ˆ ˆ x * c 0 b 0 c 0
1 (r , t ) 1 2 0
1
2
0 ( r , t ) 2
（三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵
（1） SZ的矩阵形式
a Sz 2c
b d
电子自旋算符（如SZ）是作用于电子自旋 波函数上的，既然电子波函数表示成了 2×1 的列矩阵，那末，电子自旋算符的 矩阵表示应该是 2×2 矩阵。
自旋量子数 s 只有一个数值
s 1 2
（二）含自旋的状态波函数
因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用 (x, y, z) 三个坐 标变量外，还需要一个自旋变量 (SZ），于是电子的含自旋的波函数需写为：
量子力学第一章-量子力学的诞生-郭华忠
光量子假设解释了光电效应的全部实验规律！ 但是，1910年以前，并未被物理学界接受！ 光电效应对于光的本质的认识和 量子论的发展曾起过重要的作用。 爱因斯坦于1921年， 为此获诺贝尔物理学奖。
普朗克是《PHYSIK》 杂志的主编， 他对爱因斯坦的工作 给予了高度的评价。
实验规律:
（1）用光强I一定的某种频率的光照射， 得到的饱和光电流强度 im 是一定的， 光强越大，饱和光电流强度也越大。 当电压 U=0 时，光电流 i I2 并不为零；只有当两极间 im2 I1 加了反向电压 U =－Uc < 0时， im1 光电流 i 才为零。 光强I2>I1 这表明：从阴极逸出的 光电子有初动能： 1 m u 2 eU U -Uc c m 2 Uc 截止电压。
谐振子的能量只能是
E nh
n 1,2,
即物体发射或吸收电磁辐射 只能以“量子”方式进行，每 个能量子的能量为 = h 。 其中 h = 6.626×10 - 3 4 J· 称为普朗克常数。 s
2.普朗克公式
1900.12.14.--量子论诞生日。
普朗克在德国物理学会上报告了与全波段实验 结果极为符合的普朗克公式，见《关于正常光谱的能量分布定律的理论》
学习方法
处理好三个关系： 形象和抽象 －注意培养抽象思维能力 演绎和归纳 －注意要接受新的观点 学习归纳法培养创造性思维 物理和技术 －学习应用物理原理在技术上创新
绪论 量子力学的诞生
§1 经典物理学的困难 §2 量子论的诞生 §3 实物粒子的波粒二象性
经典物理学的困难
(一）经典物理学的成功
---- 如何解释黑体辐射实验曲线？
空腔壁产生的热辐射，想象 成空腔壁内有许多以壁为 节点的电磁驻波。 但是， 由经典理论导出的M(T)～ 公式都与实验结果不符合！ 黑体内的驻波
量子力学中的量子力学力学量的表示
量子力学中的量子力学力学量的表示量子力学是描述微观世界的物理学理论，它提供了一种描述粒子性质的数学框架。
在量子力学中，力学量是描述系统状态的物理量。
本文将探讨在量子力学中，如何表示力学量以及不同力学量的物理意义。
一、力学量的表示在经典物理学中，力学量通常可以用数值来表示，例如质量、速度、位移等。
然而，量子力学中的力学量不能简单地用数值表示，而是需要用算符表示。
力学量的算符通常用大写字母表示，比如位置算符X，动量算符P等。
对于某个具体的力学量，它的算符作用在波函数上，得到的结果是该力学量对应的本征值乘以波函数。
这可以用数学表达式表示为：AΨ = aΨ其中A是力学量的算符，Ψ是波函数，a是力学量的本征值。
这个方程称为力学量的本征值方程。
二、不同力学量的表示1. 位置算符在量子力学中，粒子的位置可以用位置算符X来表示。
位置算符的本征态是位置本征态，它表示粒子在某个确定的位置。
对于一维情况，位置本征态的波函数可以写为：Ψ(x) = δ(x - x0)其中x0是位置本征态对应的位置。
2. 动量算符动量算符P描述粒子的运动状态。
动量算符的本征态是动量本征态，它表示粒子具有某个确定的动量。
对于一维情况，动量本征态的波函数可以写为：Ψ(p) = e^(ipx/ħ)其中p为动量本征态对应的动量，ħ为普朗克常数除以2π。
3. 能量算符能量是量子力学中的另一个重要的力学量。
能量算符H描述粒子的能量状态。
能量算符的本征态是能量本征态，它表示粒子具有某个确定的能量。
能量本征态的波函数可以写为：Ψ(E) = e^(-iEt/ħ)其中E为能量本征态对应的能量，t为时间。
三、力学量的测量和物理意义在量子力学中，力学量的测量是通过对算符的作用得到的本征值来实现的。
当对某个力学量进行测量时，系统将处于该力学量的某个本征态上，从而得到相应的本征值。
力学量的本征值对应着可能的测量结果。
例如，对位置算符进行测量，可以得到粒子的位置值；对动量算符进行测量，可以得到粒子的动量值。
量子力学第五章-表象变换与量子力学的矩阵形式-郭华忠
m
[ a m ( t )um ( x )] * a n ( t )un ( x )dx
m n
就是Ψ(x,t)所描写状态 在Q表象中的表示。
n
a m * ( t )a n ( t ) um * ( x )un ( x )dx
第五章
表象变换与量子力学的矩阵形式
§1 态的表象 §2 算符的矩阵表示 §3 量子力学公式的矩阵表述 §4 Dirac 符号 §5 Hellmann – Feynman 定理及应用 §6 占有数表象
§7 么正变换矩阵
§1
态的表象
到目前为止，体系的状态都用坐标(x,y,z)的函数表示，也就是说描写 状态的波函数是坐标的函数。力学量则用作用于坐标函数的算符表示。但 是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，这正如几何学中选用坐标系 不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们 对空间的描写是完全是等价的。
是 Q 表象 的基本矢量简称基矢。
波函数
a1 ( t ) a2 (t ) an (t )
是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方 向上的“分量”。Q表象的基矢有 无限多个，所以态矢量所在的空 间是一个无限维的抽象的函数空 间，称为Hilbert空间。
写 成 矩
0 Lx 1 2 0 1 0 1 0 1 0
计算中 使用了 公式
1 ˆ ˆ L x u1 ( L L )Y11 2 1 ˆ ˆ L x u 2 ( L L )Y10 2 1 ˆ ˆ L x u 3 ( L L )Y1 1 2
结构化学_郭用猷第二版_课后习题答案第二章到第五章(整理)
习 题 详 解2.1氢原子薛定谔方程中的能量E 包含哪些能量？答：氢原子薛定谔方程中的能量E 包含电子相对于原子核的运动的动能、电子与原子核之间的吸引能。
2.2令)()()(),()(),,(ϕθϕθϕθψΦΘ==r R Y r R r 将单电子原子的薛定谔方程分解为3个方程。
解：将(,,)()(,)r R r Y ψθφθφ=带入定谔方程{)(2r r r ∂∂∂∂+21(sin )sin r θθθθ∂∂∂∂+22221sin r θφ∂∂222[()]}e m r E V r RY --=0 （1） 两边乘以2r ψ，且移项，得21()d d r R R d dr222()e m r E V +-1{(sin )sin Y θθθθ∂∂=-∂∂2221}sin Y Y θφ∂+∂ 令两边等于同一常数β，于是分解为两个方程：2()d dr R dr dr+222()mr E V R R β-= （2） 1(sin )sin Yθθθθ∂∂-∂∂2221sin Y Y βθφ∂-=∂ （3） 再令)()(),(ϕθϕθΦΘ=Y ，带入方程（3）1[sin ]sin θθθθ∂∂ΘΦ∂∂22210sin βθφ∂Φ+Θ+ΘΦ=∂两边除以Y ,移项得1(sin )sin θθθθ∂∂ΘΘ∂∂2221sin βθϕ∂Φ+=-Φ∂sin (sin )θθθθ∂∂ΘΘ∂∂2221sin (4)βθϕ∂Φ+=-Φ∂今两边等于同一常数υ，于是又可将方程(4)方程分解为下列两个方程21(sin )sin sin d dd d θβθυθθθΘ+= （5）22d d ϕΦ=υ-Φ （6） 这样我们将关于(,,)r ψθφ的方程(1)，分解成(),()()R r θϕΘΦ和三个常微分方程(2)，(5)和(6), 于是，解方程(1)归结为解方程(2)，(5)和(6)。
2.3 氢原子薛定谔方程是否具有形为br e ar -+=)1(ψ的解？若有，求a 、b 和能量E 。
81量子力学第六章中心力场郭华忠PPT课件
系数bν的递推公式
(s) b1(s1)(s)l(l1)b
注意到 s = +1
l 1 ( l 2)( l 1)l(l 1)b
(
l 1 l)( 2l
2)
b
6
（三）使用标准条件定解
二
（1）单值； 条
（2）连续。
件 满
足
（3）有限性条件
与谐振子问题类似，为讨论 f (ρ) 的收敛性现考察级 数后项系数与前项系数之比：
0
0
把第一个求和号中ν= 0 项单独写出，则上式改为：
R u f ( )e / 2
r
e / 2
b s 1
0
[s(s1)l(l1)b]0s2 [(s)(s1)l(l1)b]s2
1
令 ν'=ν-1
: 第一个求和改为 [(s)b]s10
0
即
b s
0
1
0
再将标号ν'改用ν 后与第二项合并， 代回上式得：
[( 1 s )( 1 s 1 ) l(l 1 )b ] 1 s 1
0
[ s ( s 1 ) l ( l 1 ) b 0 ] s 2 0 { [ s 1 ) ( ( s ) l ( l 1 ) b 1 ] ( s ) b ] } s 1 5 0
讨论 E < 0 情况， 方程可改写如下：
d2u 2Z2e2 l(l1 )
d2r 2
r 2|E | r2
u0 3
d d2u 2r 2 Z 22 e1 r1 4 8 |2E | l(lr 21) u0令
2
8 | E |
2
2Ze 2 2
Ze 2
2| E |
（2）求解
量子力学第二章-波函数与薛定谔方程-郭华忠
讨论：h极其微小,宏观物体的波长小得实验难以量, ―宏观物体只表现出粒子性”
例题2:计算被电场加速运动的电子的物质波长。
设：加速电压为U 当V<<c 时 电子静止质量 me=9.1× 10-31 kg
V
4
h meV
1 meV 2 e U 2
h 2eme U
2e U me
在电子衍射实验中，照相底片上 r 点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目，
正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 r 点附近的几
率。
假设衍射波波幅用 Ψ (r) 描述，与光学相似， 衍射花纹的强度则用 |Ψ (r)|2 描述，但意义与经典波不同。 |Ψ (r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的大小，确切 的说,|Ψ (r)|2 Δx Δy Δz 表示在 r 点处，体积元Δx ΔyΔz 中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值 的平方）和在这点找到粒子的几率成比例. 据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运 动的一 种统计规律性，波函数Ψ (r)有时也称为几率幅。 这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释，它是量子 力学的基本原理。
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广 延不会超过原子大小≈1 Å 。
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？
“ 电子既不是粒子也 不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波， 但是我们也可以说， “ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。
反例:i)自由粒子平 面波,占据整个空间 ii)色散
群速度:
第四章 力学量用厄米算符表达
ˆ ˆ ˆ Fψ = Aψ + Bψ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 称算符 F 等于 A 与 B 之和。写作 F = A + B
。
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 例3：哈密顿算符 H = T + V 就是动能算符 T 与势能算符 V
之和。算符求和满足交换律与结合律，
ˆ ˆ ˆ ˆ A+ B = B + A
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A + ( B + C ) = ( A + B) + C
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ l = r × p = r × (−i ∇) = −i r × ∇
如果没有经典力学表达式的量子力学力学量，比如电子的自旋， 它的算符由量子力学独立建立。
Atomic physics and quantum mechanics
9
三
算符运算的基本性质
定义1：线性算符
由于态叠加原理，在量子力学中的力学量算符应是线性算符， 所谓线性算符，即是具有如下性质
式中c1、c2为任意常数。
Atomic physics and quantum mechanics
20
定义9：转置算符
ˆ ˆ 算符 A 的转置算符 AT 定义为
ˆ Tφ = dτφ Aψ ∗ ˆ dτψ ∗ A ∫ ∫ ˆ ˆ (ψ , ATφ ) = (φ ∗, Aψ ∗)
式中 ψ 与 例5：证明
∫
+∞ −∞
⎡⎛ ∂ ⎞ T ∂ ⎤ dxψ ∗ ⎢⎜ ⎟ + ⎥ φ = 0 ∂x ⎥ ⎢ ⎝ ∂x ⎠ ⎣ ⎦
ψ ∗, φ 任意
∂ ⎛ ∂ ⎞ + =0 ⎜ ⎟ ∂x ⎝ ∂x ⎠
21
T
Atomic physics and quantum mechanics
量子力学第六章-中心力场-郭华忠
[ E V ( r )]u 0
d 2u dr 2 2 Ze 2 2 l ( l 1) 2 2 |E | u 0 r r2
讨论 E < 0 情况， 方程可改写如下：
d 2u
2Ze 2 1 1 8 | E | l ( l 1) 2 2 r 4 2 r 2 u 0 dr
b 1
级 数 e ρ与f(ρ) 收 敛 性 相同
后项与前项系数之比
1 ( 1 )!
1. ρ→ 0 时， R(r) 有限已由!1源自!( 1)!
1
所以讨论波函数 s = + 1 条件所保证。 的收敛 性可以用 e ρ代替 f (ρ) 2. ρ→∞ 时， f (ρ) 的收敛性 如何？ 需要进一步讨论。
第六章
电子在库仑场中的运动
（一）有心力场下的 SchrÖdinger 方程 （二）求解 SchrÖdinger 方程 （三）使用标准条件定解 （四）归一化系数 （五）总结
（一）有心力场下的 Schrodinger 方程
体系 Hamilton 量
考虑一电子在一带正电的核 所产生的电场中运动，电子 质量为μ，电荷为 -e，核电 荷为 +Ze。取核在坐标原点， 电子受核电的吸引势能为： 对于势能只与 r 有关而与θ, 无关的有心力场，使用球坐标求 解较为方便。于是方程可改写为：
则
注意 此时多项式最高项 的幂次为 nr+ + 1
bnr 0 所以
bnr 0 bnr 1 0
于是递推公式改写为
因为 分子
nr l 1 0
量子数
nr l 1 n
量子力学中的量子力学力学量的本征态问题
量子力学中的量子力学力学量的本征态问题量子力学是描述微观领域中粒子行为的理论，它具有独特的性质和规律。
在量子力学中，存在一些基本的物理量，称为力学量。
这些力学量包括位置、动量、角动量等，它们是描述粒子运动和性质的重要指标。
在量子力学中，研究力学量的本征态问题是解决量子系统的基本方法之一。
本文将从本征值问题、本征态问题和应用三个方面介绍量子力学中力学量的本征态问题。
一、本征值问题在量子力学中，力学量可以用算符表示。
对于一个力学量对应的算符，它的本征值即为测量该力学量时可能得到的结果。
本征值问题是指找到力学量算符的本征值和本征态的问题。
对于一个给定的力学量算符，我们需要找到它的本征值和本征态，以描述量子系统的性质。
量子力学中，力学量算符的本征值问题可以表示为如下方程：\[\hat{A}|\Psi\rangle = a|\Psi\rangle \]其中，\(\hat{A}\)表示力学量算符，\(|\Psi\rangle\)表示该力学量的本征态，\(a\)表示对应的本征值。
通过求解这个方程，我们可以得到力学量算符的本征值和本征态。
二、本征态问题对于力学量的本征值问题，我们还可以进一步研究力学量的本征态问题。
在量子力学中，本征态是相对于某个力学量的算符，它是力学量所对应的本征值的特定状态。
通过求解本征值问题，我们可以得到一系列的本征态，它们构成了力学量算符的本征态空间。
量子力学中，力学量算符的本征态满足正交归一条件，即：\[\langle\Psi_i|\Psi_j\rangle = \delta_{ij}\]其中，\(\langle\Psi_i|\)表示第\(i\)个本征态的共轭转置，\(\Psi_j\rangle\)表示第\(j\)个本征态。
通过求解本征态问题，我们可以得到一组满足正交归一条件的本征态，它们是力学量算符的基态。
三、应用量子力学中力学量的本征态问题在许多应用中起着重要的作用。
例如，动量算符的本征态问题可以用于描述粒子的动量分布和运动状态。
第三章力学量用算符表达
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
ˆ ˆ x p p x i ˆ ˆ ˆ ˆ p p p p 0
, x, y, z
量子力学中最基本的 对易关系。
ˆ ˆ ˆ ˆ xp y p y x 0 yp x p x y 0 ˆ ˆ ˆ z pz x 0 ypz pz y 0 ˆ xp ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p x p y p y p x 0 p y pz pz p y 0
Ô(c1ψ1+c2ψ2)= c1Ôψ1+c2Ôψ2
其中c1, c2是任意复常数， ψ1, ψ1是任意两个波函数。 例如：
动量算符 单位算符
ˆ p i ˆ I
是线性算符。
开方算符、取复共轭就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。
（2）算符相等
例如：体系Hamilton 算符
显然，算符求和满足交换率和结合率。
注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。
（4）算符之积
一般来说算符之积不满足 交换律，即 ÔÛ ≠ ÛÔ 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。
若Ô (Û ψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ 则ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。
ˆ iLz
同理 ˆ ˆ ˆ [ L , L ] iL
y z
x
ˆ ˆ ˆ [ Lz , Lx ] iLy
合记之： ˆ ˆ [ L , L ] i
量子力学中的测量与测量算符
量子力学中的测量与测量算符量子力学是揭示微观世界行为的基本理论，而测量是量子力学中不可或缺的一部分。
本文将探讨量子力学中的测量原理以及与之相关的测量算符。
一、测量原理测量是对量子系统性质的观察和获取信息的过程。
量子力学中的测量原理有两个基本假设：1. 态叠加原理：量子系统在没有测量之前，可以同时处于多个可能的态中，这些态之间通过叠加叠加的方式表示。
2. 坍缩原理：当进行测量时，量子系统将选择其中一个可能态，并突然坍缩到该态上。
二、测量算符在量子力学中，测量算符是用来描述和计算测量结果的。
测量算符一般表示为Ω，是一个厄米算符（Hermitian operator）。
测量算符的本征值（eigenvalue）代表了系统在该测量下可能得到的结果，而本征态（eigenstate）则代表着该结果对应的态矢量。
三、测量算符的性质1. 正交性：测量算符的本征态是正交归一的，即不同本征值对应的本征态是相互正交的，而相同本征值对应的本征态则是归一化的。
2. 完备性：对于一个量子系统，所有可能的本征态构成了该系统的一组完备正交基。
四、测量过程当进行测量时，测量算符与量子系统的态矢量相乘，以获得测量结果。
具体过程如下：1. 首先，找到测量算符的本征态和对应的本征值。
2. 量子系统的态矢量可以写成本征态的线性组合。
3. 将测量算符作用于态矢量，并得到测量值。
4. 根据测量值找到对应的本征态，即确定了该次测量的结果。
五、测量的统计解释量子力学中，测量的结果是概率性的。
测量得到的每个结果对应着一个概率，而概率的计算可以利用Born统计规律进行。
根据Born统计规律，量子力学给出了计算概率的方法，即将量子态矢量投影到测量算符的本征态上，并进行归一化处理。
六、测量与不可分性原理不可分性原理是量子力学的核心概念之一，指出在某个测量下，系统的性质是不可同时确定的。
例如，对于位置和动量这两个共轭的物理量，在特定测量下，只能准确测量其中一个，而不能同时测量两个。
量子力学习题解答-第3章
第三章形式理论本章主要内容概要：1. 力学量算符与其本征函数量子力学中力学量（可观测量）用厄米算符表示，厄米算符满足()**ˆˆ()()()()f x Qg x dx Qf x g x dx =⎰⎰或者用狄拉克符号，ˆˆf QgQf g =，其中(),()f x g x 为任意满足平方可积条件的函数（在x →±∞，(),()f x g x 为零）。
厄米算符具有实本征值的本征函数（系），具有不同本征值的本征函数相互正交，若本征值为分离谱，本征函数可归一化，是物理上可实现的态。
若本征值为连续谱，本征函数可归一化为δ函数，这种本征函数不是物理上可实现的态，但是它们的叠加可以是物理上可实现的态。
一组相互对易的厄米算符有共同的本征函数系。
而两个不对易的厄米算符没有共同的本征函数系，它们称为不相容力学量。
对任意态测量不相容力学量ˆˆ,Q F ，不可能同时得到确定值，它们的标准差满足不确定原理2221ˆˆ,2QFQ F i σσ⎛⎫⎡⎤≥ ⎪⎣⎦⎝⎭2. 广义统计诠释设力学量ˆQ 具有分离谱的正交归一本征函数系{}()n f x 本征值为{}nq ，即 ()*ˆ()(), ()(), ,1,2,3,...n n n m n mnQf x q f x f x f x dx m n δ===⎰或ˆ, n n n m n mnQ f q f f f δ== 这个本征函数系是完备的，即1n n nf f =∑（恒等算符，封闭型），任意一个波函数可以用这个本征函数系展开 (,)(),nn nx t cf x ψ=∑ 或nn n n nnf f c f ψ=ψ=∑∑展开系数为*()()(,)n n nc t f fx x t dx =ψ=ψ⎰若(,)x t ψ是归一化的，n c 也是归一化的，21n nc =∑。
广义统计诠释指出，对(,)x t ψ态测量力学量Q ，得到的可能结果必是Q 本征值中的一个，得到n q 几率为2n c 。
第三章-力学量的算符表示
p
'
x
(
x)
px (x)dx
CC
exp(i
px
px
x)dx
因为
1
exp(ikx)dx (k)
2
13
p'x
( x)
px
( x)dx
C
2
2 ( px
p'x
)
假如取 C
1
2
,
px (x) 的归一化为 函数
p'x
( x)
简并：一种本征值相应一种以上本征函数旳情况
简并度：相应于同一本征值旳本征函数旳数目
27
LˆzYlm mYlm
在Ylm态中，体系角动量在z方向上旳投影为m 前面几种球函数
1
Y00 4
Y1,1
3 sinei 8
Y1,0
3 cos 4
Y1,1
3 sinei 8
28
3.5 厄密算符本征函数旳性质
31
f重简并： 对一种本征值ln, 若同步有f个本征函数与之相应
属于同一种本征值ln旳简并波函数ψnk,，有
Lˆ nk ln nk , k 1, ..., f
一般来说，ψnk不正交， 但总能够找到正交函数。
例题 对下面两个氢原子旳未归一化旳1s和2s电子旳波函数
1s (r, , ) 1s (r) er /a ,
假如 Aˆ Bˆ BˆAˆ 0 则Aˆ 和Bˆ对易 记为 [ Aˆ, Bˆ] Aˆ Bˆ BˆAˆ 0
例 [xˆ, pˆ x ] ?
(xˆpˆ x
pˆ x xˆ)
ix
量子力学中的量子力学力学量与对易关系
量子力学中的量子力学力学量与对易关系量子力学是描述微观粒子行为的理论框架，涉及到许多基本概念和量子力学力学量。
量子力学力学量是描述粒子状态的物理量，如位置、动量、能量等。
而对易关系则是指在量子力学中，力学量的相互关系满足的一组重要规律。
本文将探讨量子力学力学量的基本概念以及它们之间的对易关系。
一、量子力学力学量的基本概念量子力学力学量是描述粒子状态的物理量，它们是由算符表示的。
算符是量子力学中用来进行物理量测量的工具，它们对应于物理量的数学表达。
在量子力学中，位置、动量和能量是最基本的力学量。
1. 位置算符位置算符表示粒子在空间中的位置。
在一维情况下，位置算符通常用符号x表示，其算符表示为^x。
位置算符的本征态对应于一维空间中的位置本征态，即波函数的极值点。
2. 动量算符动量算符表示粒子的动量。
在一维情况下，动量算符通常用符号p表示，其算符表示为^p。
动量算符的本征态对应于一维空间中的动量本征态，即平面波。
3. 能量算符能量算符表示粒子的能量。
在量子力学中，能量算符通常用符号H表示，其算符表示为^H。
能量算符的本征态对应于粒子的能量本征态，即定态薛定谔方程的解。
二、量子力学力学量的对易关系在量子力学中，不同力学量之间的相互关系通过对易关系描述。
对易关系是量子力学中最基本的关系之一，它体现了量子力学的离散性、不确定性以及测量过程的干涉效应。
1. 位置与动量的对易关系量子力学中，位置算符与动量算符之间的对易关系是非常重要的。
根据海森堡不确定性原理，位置与动量不能同时被完全确定。
这一不确定性体现在它们的对易关系上，其对易关系可以表示为：^[x, p] = iħ其中^表示算符，[x, p]表示位置算符和动量算符的对易子，i为虚数单位，ħ为约化普朗克常数。
这个对易关系的存在意味着位置和动量的测量结果受到不确定性的限制。
2. 能量与时间的对易关系能量算符与时间算符之间的对易关系也是量子力学中的重要关系之一。
第3章 力学量用算符表达
证明如下:
设
Aˆn Ann,
Aˆ m Amm,
并设 m,n 存在, 对 Aˆm Amm, 取复共轭, 得到
* 定义一个量子体系的任意两个波函数(态) 与
的标积
, d *
d 是指对体系的全部空间坐标进行积分,
d 是坐标空间体积元.
则可以证明:
, 0
,* ,
,c11 c22 c1 ,1 c2 ,2
c11 c22, c1* 1, c2* 2,
式中 c1 与 c2 为任意常数.
第3章
力学量用算符表达
3.1 算符的运算规则
量子力学中的算符, 表示对波函数(量子态)的一 种运算.例如
d ,V (r) , ,2
dx
讨论 量子力学中算符的一般性质:
(a)线性算符
凡满足下列规则的算符 Aˆ , 称为线性算符，
Aˆ c11 c22 c1Aˆ1 c2 Aˆ2
其中 1 和 2是任意两个波函数，c1 与 c2 是
F x eax, 可定义
F
d dx
a
e
d dx
n0
an n!
dn dxn
.
ad
e dx
x
x
a
算符
a
e
d dx
的物理意义,
是与体系沿 x方向平移a
有关的算符.
两个(或多个)算符的函数也可类似定义.
令
F n,m
x,
y
n xn
m y m
F
x,
y,
则
F ˆ, Bˆ Fn,m 0, 0 ˆ nBˆ m. n,m0 n!m!
r
将（3）式两 边分别对 x y z 求偏导数得：
为什么量子力学中力学量要用厄米算符表示
为什么量子力学中力学量要用厄米算符表示
黄亦斌
【期刊名称】《大学物理》
【年(卷),期】2008(027)004
【摘要】立足于量子力学的数学表述,详细讨论了厄米算符的4个性质:线性,本征态的完备性,本征态的正交性和本征值的实数性.对于每个性质都给出了正面和反面的讨论,从而揭示了它们各自所代表的意义.
【总页数】6页(P1-6)
【作者】黄亦斌
【作者单位】江西师范大学,物理与通信电子学院,江西,南昌,330022
【正文语种】中文
【中图分类】O413.1
【相关文献】
1.《量子力学》自学辅导之五—量子力学中的力学量 [J], 曾心愉;宋宇辰
2.量子力学中力学量的表示和测量问题 [J], 雷洁;冯宏剑
3.量子力学中力学量的复函数表示 [J], 耿天明
4.量子力学中厄米算符本征矢完备性的限制和界定 [J], 王振兴
5.量子力学中力学量的表示和测量问题 [J], 雷洁;冯宏剑
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量子力学第七章-近似方法-郭华忠华忠
( x) ( y) (z)
i
p
(r )
p
p
(r )
i
i (x) i ( y)
d d
(x) dx ( y) dy
px py pz
p
( x) ( y) (z)
c1e c2e c3e
px x px py y py pz z pz
( x) ( y)
i
i
d (z) i dz (z)
(z)
II.
* p
(r )
( x) ( y) (z)
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y[ pz , zpx ] [ y, zpx ] pz z[ py , xpz ] [z, xpz ] py
Levi Civita
ˆ ˆ ˆ ˆ y[ pz , zpx ] [z, xpz ] py ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ yz[ pz , px ] y[ pz , z]px x[z, pz ]py [z, x]pz py ˆ ˆ y( i ) px x(i ) py ˆ i [ xpy
cos sin 0
1 sin r sin 1 cos r sin
r
ˆ Lx ˆ Ly ˆ Lz
i [sin i [cos i
cot cot
cos sin
] ]
ˆ L
2
2
1 [ sin
(sin
)
1 sin 2
2 2
]
ˆ Lz
( )
i
d d ( )
( ) ce
i
lz
( )
lz
(I) Lz
c
z
II
( )
x, y, z
r r r x y z
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L/2
L/2
所以 c = L-3/2， 归一化的本征函数为：
( ) e nxnynz13/2 Nhomakorabeai
p•
r
L
e 1
i
p•r
V
讨论：
y
(a)
(b)
(c)
x
p A’ p A p
（1）箱归一化实际上相当于如图所示情况：
（2）由 px = 2nx / L, py = 2ny / L, pz = 2nz / L, 可以看出，相邻两本征值的间隔 p = 2 / L 与 L 成反比。当 L 选的足够大时，本征值间隔可任意小，
很易证明线性算符之和仍为线性算符。
（4）算符之积
若Ô (Û ψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ 则:ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足 交换律，即
ÔÛ ≠ ÛÔ 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。
（5）对易关系
若ÔÛ ≠ ÛÔ，则称Ô 与 Û 不对易。
例如：算符 证：
x
pˆ x
i
x
不对易。
显然二者结果不相等，所以:
(1)
xpˆ x
x(i
x
)
ix
x
(2)
pˆ x
x
(i
x
)x
i
ix
x
xpˆ x pˆ x x
而
（xpˆ x pˆ x x） i
因为 是任意波函数，
所 以 xpˆ x pˆ x x i
对易
关系
同理可证其它坐标算符
与共轭动量满足
ypˆ y pˆ y y i
n0
1 n!
[
i
Hˆ t ]n
（9）复共轭算符
例如: 坐标表象中
算符Û的复共轭算符 Û*就是把Û表达式中
的所有量换成复共轭.
pˆ* (i)* i pˆ
（10）转置算 符
算符Uˆ的转置算符U~ˆ定义为：
d *U~ˆ dUˆ *
式中 和 是两个任意函数。
例1：
~ x
x
证：
dx
*
~
2 [(
y
z
z
y
)2
(z
x
x
z
)2
(x
y
y
x
)
2
Lx Ly
ypˆ z zpˆ x
zpˆ y xpˆ z
i(
y
z
i( z
x
z
y
)
x
z
)
Lz
xpˆ y
ypˆ x
i( x
y
y
x
)
由于角动量平方算符中含有关于 x，y，z 偏导数的交叉项,所以直角坐标下角动量 平方算符的本征方程不能分离变量,难于 求解,为此我们采用球坐标较为方便.
由此可得：:
d *O ˆ d (O ˆ)*
d *Oˆ d (Oˆ )*
转置算符 的定义
厄密共轭 算符亦可 写成：
[ d *(Oˆ )]*
dOˆ * * d *O~ˆ *
可以证明: (Ô Â )+ = Â + Ô +
(Ô Â Û...)+ = ... Û+ Â + Ô +
~ Oˆ Oˆ *
（7）逆算符
并不是所有算符都存 在逆算符,例如投影 算符就不存在逆.
1. 定义: 设Ôψ= φ, 能够唯一的解出 ψ, 则可定义
算符 Ô 之逆 Ô-1 为: Ô-1 φ = ψ
2.性质 I: 若算符 Ô 之逆 Ô-1 存在,则
Ô Ô-1 = Ô-1 Ô = I , [Ô , Ô-1] = 0
证: ψ = Ô-1φ = Ô-1 (Ô ψ) = Ô-1 Ô ψ 因为ψ是任意函数,所以Ô-1 Ô = I成立. 同理, Ô Ô-1 = I 亦成立.
zpˆ z
pˆ z z
i
写成通式:
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
x pˆ pˆ x i
pˆ pˆ pˆ pˆ 0
, x, y, z
量子力学中最基本的 对易关系。
xpˆ y pˆ y x 0
xpˆ z
pˆ z
x
0
pˆ x pˆ y pˆ y pˆ x 0
z
r
直角坐标与球坐标之间的变换关系
(II) 球坐标 x r sin cos r 2 x2 y2 z2
(1)
r
(I)p ˆx与 p ˆy对 易 p ˆy与 ， x对 易 ， p ˆx与 但 x不是 对 易 (II )p ˆx与 p ˆy对 易 p ˆy与 ， z对 易p ˆx ， 与 z对 而易 。
（6）对易括号
这样一来， 坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式：
为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了 对易括号： [Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ
（二）算符的一般特性
（1）线性算符 （2）算符相等 （3）算符之和 （4）算符之积 （5）对易关系
（6）对易括号
（7）逆算符 （8）算符函数 （9）复共轭算符 （10）转置算符 （11）厄密共轭算符
（12）厄密算符
（1）线性算符
满足如下运算规律的 算符 Ô 称为线性算符
Ô(c1ψ1+c2ψ2)= c1Ôψ1+c2Ôψ2 其中c1, c2是任意复常数， ψ1, ψ1是任意两个波函数。
| c |2
e d i
(
p
p
)•r
| c
|2
(2
)3
(
p
p)
i
ce
p•r
这正是自由粒子的 de Broglie 波的空 间部分波函数。
（3）箱归一化 据上所述，具有连续谱的本征函数如:动量的本征函数是 不能归一化为一的，而只能归一化为δ-函数。
周期性边界条件
但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一 化方法来归一，这种方法称为箱归一化。
第四章 力学量用算符表达
§1 算符的运算规则 §2 动量算符和角动量算符 §3 厄密算符的本征值与本征函数 §4 算符与力学量的关系 §5 共同本征函数 §6 测不准关系
§1 算符的运算规则
（一）算符定义 （二）算符的一般特性
（一）算符定义
代表对波函数（量子态）进行某种运算或变换的符号
Ôu=v 表示 Ô 把函数
动量算符 pˆ i 例如： 单位算符 Iˆ
是线性算符。
开方算符、取复共轭就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。
（2）算符相等
若两个算符 Ô、Û对体系的任何波函数 ψ的运算结果都相 同，即Ôψ= Ûψ，则算符Ô 和算符Û 相等记为Ô = Û。
（3）算符之和
nx 0,1,2,
同 理 ：p y
2ny
L
pz
2nz
L
ny , nz 0,1,2,
波函数变为
这时归一化系数 c 可 由归一化条件来确定：
p
(r )
ce
i
p•r
p
(r
)
nx n y nz
ce i
[
2nx L
x
2n y L
y
2nz L
z]
L/2
L/2
p
*
p
d
c2
d c2 L3 1
（一）动量算符
（1）动量算符的厄密性 证：
使用波函数在无穷远 处趋于零的边界条件。
* pˆ xdx
* (i
d dx
)dx
(i
d dx
)
*
dx
i * | (i)
d dx
*
dx
( pˆ x )*dx
由证明过程可见，动量算符的厄密性与波函数的边界条件有关。
（2）动量本征方程
3.性质 II: 若 Ô, Û 均存在逆算符, 则 (Ô Û)-1 = Û-1 Ô-1
（8）算符函数
F(x)
x F(n)(0) n n!
n0
设给定一函数 F(x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛
则可定义算符 Û 的函数 F(Û)为:
例 如:
e
i
Hˆt
n0
F(Uˆ )
Uˆ F (n) (0) n n!
[x,p ˆ]i
不难证明对易括号满足如下对易关系： 1) [Ô,Û] = - [Û,Ô] 2) [Ô,Û+Ê] = [Ô,Û ] + [Ô, Ê] 3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê] 4) [Ô,[Û,Ê]] + [Û,[Ê, Ô]] + [Ê,[ Ô,Û]] = 0
上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。
* p
( r )
p
( r )d
于是：
p
(r
)
(
x
)
(
y
)
(
z)
px ( x) py ( y) pz (z)
如果取
|c|2 (2π)3=1
| c |2
e e d
i
p•r
i
p•r
c e c e c e i
px x
i
py
y
i
pz z
1
2
3
则 ψp(r) 就可
归一化为 δ-函数。
x
利用波函数标准条件: 当|x|→∞ 时ψ,→ 0。
dx
x
*
* |
dx
*
x
dx
*
x
dx
*