东南大学《工程矩阵理论》06(下)工程矩阵理论统考试卷(A)

工程矩阵理论试卷（A ）

2006年10月

系别 学号 姓名 成绩

一． （20%）记22C ⨯为复数域C 上的22⨯矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域上的线性空间，矩阵1100A -⎛⎫= ⎪⎝⎭

，{}22|V X C AX XA ⨯=∈=。 1．证明V 是22C ⨯的子空间，并求V 的基和维数；

2．假设22C ⨯的子空间0|,a W a b C a b b ⎧⎫⎛⎫=∀∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭

，求W 的基和维数； 3．求,V W V W +⋂的基和维数。

二． （12%）假设矩阵000

0050000310031A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，试求A 的广义逆矩阵A +。 三． （16%）设矩阵101101000A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

。

1. 分别求A 的特征多项式及Jordan 标准型；

2. 写出A 的最小多项式；

3. 将At e 表示成关于A 的次数不超过2的多项式，并求At e 。

四． （20%）记22C ⨯为复数域C 上的22⨯矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域上的

线性空间，对固定的矩阵22,A B C ⨯∈，定义22C ⨯上的变换如下：对任意22X C ⨯∈，

()f X AXB =。

1. 证明：对给定的矩阵22,A B C

⨯∈，f 是22C ⨯上的线性变换； 2. 设1011,1000A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

。分别求11122122,,,E E E E 在f 下的像，并求f 在22C ⨯的基11122122,,,E E E E 下的矩阵M ；

3. 假设1011,1000A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，求f 的值域()R f 及核子空间()K f 的各一组

基及它们的维数；

4. 问：22()()C R f K f ⨯=⊕是否成立？为什么？

五． (12%)设矩阵21000403A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，32020003y B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

。

1. 根据x 的不同的值，讨论矩阵A 的所有可能的Jordan 标准形；

2. 若A 与B 是相似的，问：参数,x y 应满足什么条件？试说明理由。

六． (10%)假设3R 的由12,ξξ 生成的子空间12(,)V L ξξ=，其中

12(0,1,0),(1,0,2)ξξ== 。设(1,0,1)η=。在V 中求向量0η，使得

0min V

ξηηηξ∈-=-。 七． (10%)证明题

1. 证明：Hermite 阵和酉矩阵都是正规阵。试举一例说明存在这样的正规阵，它既不

是Hermite 矩阵，也不是酉矩阵。

2. 若n 维列向量n C α∈的长度小于2，证明：4H I αα-是正定矩阵。