二项式定理教学设计

二项式定理

一、教学目标

1．知识目标：掌握二项式定理及其简单应用

2．过程与方法：培养学生观察、归纳、猜想能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理

能力以及科学的思维方式。

3．情感态度和价值观：培养学生勇于探索，勇于创新的个性品质，感受和体验数学的简

洁美、和谐美和对称美。

二、教学重点、难点

重点：二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式

难点：展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别

三、教学过程

创设问题情境：

今天是星期三，15 天后星期几，30 天后星期几，8100天后星期几呢？

前面几个问题全班所有学生都大声地回答出来了，最后一个问题大家都很迷惑，有些学生试图用计算器算，还是觉得很复杂，学习完这节课我们就知道答案了，并且我们不用查日历就能知道未来任何一天是星期几

新课讲解：

问题 1a b c d

的展开式有多少项？有无同类项可以合并？

由于这一节是在学生学习了两个计数原理和排列组合知识之后学习的，所以学生能够快速的说出答案。

问题 2

a b a

的

a b

2

原始展开式有多少项？有几项是同类项？项是怎样构成b

的？有规律吗？

学生根据乘法展开式也很快得出结论

问题 3a b a b a b的

a b

3

原始展开式有多少项？经合并后又只能有几项？

是哪几项？

学生仍然根据乘法公式算出了答案

问题 4

a b a b a b a 的4

b a b 的原始展开式有多少项？

问题 5你能准确快速地写出a b 4

的原始展开式的 16 项吗？经合并后，又只能有哪几

项？

此时，学生能说出其中的一两项，并不能全部回答出来所有的项，思维觉察到麻烦，困难，

易出错——借此“愤悱”之境，有效的实现思维的烘热）

启发类比：4 个袋中有红球 a ，白球b 各一个，每次从 4 个袋子中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？

在 4 个括号（袋子）中

问题 6其个数，为何恰好应为该项的系数？

问题 7

n

在合并后的展开式中，a n r b r的系数应该是多少？有理由吗？

a b

问题 8那么，该如何将 a

n

b 轻松、清晰地展开？请同学们归纳猜想

学生们快速地说出

a b n

C n1a n 1b n C n2 a n 2b2C n k a n k b k C n n b n n N *

C n0a n

我们数学讲究逻辑地严密性和知识的严谨性，大家猜想地很正确，那么我们怎么来证明呢？思路：证明中主要运用了计数原理！

①展开式中为什么会有那几种类型的项？

a b n

b 相乘，展开式中的每一项都是从这n 个a b 中各任取一个字母相是 n 个a

乘得到的，每一项都是n 次的。故每一项都是a n k b k的形式， k0,1,2, , n

② 展开式中各项的系数是怎么来的？

a n k

b k是从 n 个a b 中取 k 个 b ，和余下 n k 个a相乘得到的，有C n k种情况可以得到a n k b k，因此，该项的系数为C n k

定义：一般地，对于任意正整数n ，上面的关系式也成立，即有

a b n

C n1a n 1b n C n2 a n 2b2C n k a n k b k C n n b n n N *

C n0a n

n

注：（ 1）公式左边叫做二项式，右边叫做 a b的二项展开式

（2）定理中的a, b仅仅是一种符号，它可以是任意的数或式子什么的，只要是两项相加的 n 次幂，就能用二项式定理展开

例：把 b 换成 b ，则

a b n

C n1a n 1b n C n2 a n 2 b2

k n

C n0a n 1 C n k a n k b k 1 C n n b n n N*

练习：令 a 1,b x ，则

1 x n

C n2 x2C n k x k C n n x n n N *

C n0 C n1 x1

问题 9二项式定理展开式中项数、指数、系数特点是什么？哪一项最有代表性

公式特征：

（1）项数：共有n 1项

（2）指数规律：

①各项的次数都等于二项式的系数n （关于 a 与b的齐次多项式）

②字母a按降幂排列，次数由n 递减到0；字母b按升幂排列，次数由0 递增到n （3）二项式展开式的通项：T k 1C nk a n k b k，k0,1,2,, n

（4）二项式系数：依次为C n0, C1n , C n2 ,C nk, C nn。这里C nk（ k0,1,2,, n）称为二

项式系数

现在同学们能告诉老师 8100天后星期几吗？

思考了一会儿，马上有同学大声喊：把8 写成 7+1 ，再进行展开，余数是多少，就是星期几

老师故意问：为什么要写成7+1，这时，所有学生都明白了，因为一个星期7 天，所以8100100 1 ，故

7 1 展开式中除了最后一项外，其余的项都是7的倍数，因此余数为C n n

应为星期四。

例 1求 2 x 1

x

6

的展开式

方法一：直接展开

11

6

技巧：将根式先化成幂的形式，再进行计算，要简单很多。即原式变成2x2x

方法二：先合并化简，再展开

建议用第二种方法简单些。

变式一：展开式中的常数项是多少？

变式二：展开式中的第3项是多少？

变式三：展开式中的第3项的系数是多少？

变式四：展开式中的第3项二项式系数是多少？

注意：二项式系数和系数是两个不同的概念，二项式系数就是一个组合数，与a, b 数与 a, b 有关。

例 2（1）求(12x) 7的展开式的第 4 项的系数和第 4 项的二项式系数2

无关；系

（2）x

1

x 9

的展开式中x3的系数和中间项

例 3求( x a)12的展开式中的倒数第 4 项

小结：（1）注意二项式定理中二项展开式的特征

（2）区别二项式系数、项的系数

（3）掌握用通项公式求二项式系数、项的系数及项。

作业：P37 4，5

教学反思：本节课先用今天星期几的问题创设问题情境，一下子把全班学生的学习积极性都

调动起来了，当大家不知道老师葫芦里卖的什么药时，老师由浅入深的提问，最后问到8100

天后星期几，从而引出今天的课题：二项式定理。给大家设置这个悬念后，紧接着又进行一系列

的问题教学，让学生自己去探究去回答，最后学生之间合作交流归纳猜想出二项式定理的展开式，整个过程顺理成章地完成。

1.知识与技能：

(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广 .

(2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.

2.过程与方法：