高中数学竞赛试题及答案

浙江省高中数学竞赛试题及答案

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）

1.集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ⋂=∅,则实数a 取值范围为（ ）

A. 3a ≥

B. 1a ≤-.

C. 1a ≤-或 3a ≥

D. 13a -≤≤ 2.若,,R αβ∈ 则90αβ+=是sin sin 1αβ+>的（ ）

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 3.已知等比数列{a n }：,31=a 且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（ ）

A.

D.

4. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且2

8z i =，则z =（ ） A.22z i =+ B. 22z i =--

C. 22,z i =-+或22z i =-

D. 22,z i =+或22z i =--

5. 已知直线AB 与抛物线2

4y x =交于,A B 两点，M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足

00min{}C A C B CA CB ∙=∙，则下列一定成立的是（ ）

。 A. 0C M AB ⊥ B. 0,C M l ⊥其中l 是抛物线过0C 的切线

C. 00C A C B ⊥

D. 01

2

C M AB =

6. 某程序框图如下，当E =0.96时，则输出的K=（ ）

A. 20

B. 22

C. 24

D. 25

,

7. 若三位数abc 被7整除，且,,a b c 成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（ ）个。 A.4 B. 6 C. 7 D 8

8. 已知一个立体图形的三视图如下，则该立体的体积为（ ）。

A.

9. 设函数234()(1)(2)(3)f x x x x x =---

，则函数()y f x =的极大值点为（ ）

A.0x =

B. 1x =

C. 2x =

D. 3x = 10. 已知(),(),()f x g x h x 为一次函数，若对实数x 满足

1,1()()()32,1022,0x f x g x h x x x x x -<-⎧⎪

-+=+-≤<⎨⎪-+≥⎩

，则()h x 的表达式为（ ）。

A.1()2h x x =-

B.1

()2h x x =--

C.1()2h x x =-+

D.1

()2

h x x =+

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后 的横线上，每空7分，共49分）

11. 若1

tan tan 2,sin sin 3

x y x y ==，则x y -=________________。 12. 已知2

()(1)2f x x k x =-++，若当0x >时()f x 恒大于零，则k 的取值范围为_____________ 。

13. 数列1,2,

n =，则数列中最大项的值为______________。

14. 若,x y R ∈，满足2222

222()5x x y y x x x --+-=，则x =_______, y =________。

15. 设直线l 与曲线3

1y x x =++有三个不同的交点,,A B C ,且AB BC ==则直线l 的方程为_________。

16. 若0,0,a b >>则2211min{max(,,)}a b a b

+=______________________。 17. 某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含第一象限,x y 轴上的整点），其运动规律为(,)(1,1)m n m n →++或(,)(1,1)m n m n →+-。若该动点从原点出发，经过6步运动到（6,2）点，则有

__________________种不同的运动轨迹。

三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）

18. 已知抛物线2

4y x =，过x 轴上一点K 的直线与抛物线交于点,,P Q

两点。证明，存在唯一一点K ，使得2

2

11PK

KQ

+

为常数，并确定K 点的坐标。

正视图：正方形

2

俯视图：边长为2的

正三角形

19. 设二次函数2()(21)2(,,0)f x ax b x a a b R a =++--∈≠在[3,4]上至少有一个零点，求22

a b +的最小值。

20. 设x N ∈满足2013

12014

.2013x x +⎛⎫<

⎪

⎝⎭

数列122013,,,a a a 是公差为2013x ，

首项220121(1)1a x x =+-的等差数列； 数列122013,,

,b b b 是公比为1,x

x

+首项20131(1)b x x =+的等比数列，求证：11220122013b a b a b <<<<< 。

四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）

21. 设,,,3,a b c R ab bc ca +

∈++≥证明555322322322()()()9a b c a b c b c a c a b ++++++++≥。

22. 从0,1,2，…，10中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法”，若各条线段相连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同，则称这样的填法为“完美填法”。

试问：对图1和图2是否存在完美填法？若存在，请给出一种完美填法；若不存在，请说明理由。

2013年浙江省高中数学竞赛答案

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）

1. 答案 C {02},{11},P x x Q x a x a =<<=-<<+要使P Q ⋂=∅，则12a -≥或1

0a +≤。

解得1a ≤-或 3a ≥。

2. 答案 D 若0,90sin sin 1αβαβ==⇒+=。当60sin sin 1αβαβ==⇒+=>，但90αβ+≠。

3. 答案 B 计算得27

33,q a == 4. 答案 D 5. 答案 B

2

()()()CA CB CM AM CM BM CM CM AM BM AM BM ∙=-∙-=-++∙ 2

2

min

min{}CM AM CA CB CM

CM l =-⇒∙=⇔⊥。

6. 答案 C 11

1

1

10.9624.

1223

(1)1

S k k k k =

+++

=-≥⇒≤⨯⨯⨯++ 7. 答案 D 设三位数为()()11199(09,99,0),b d b b d b d b d d -+=-≤<-<<≠由

7(11199)7()1,1;2,2;3,3;b d b d b d b d b d -⇒+⇒==-==-==-4,3,4;b d ==-

5,2;6,1;8,1b d b d b d ======-。所以，所有的三位数为210,420,630,147,840,357,567,987

8. 答案 D 从图中可知，立体是由两个三棱柱组成。

（图 1 ）