题库-数学中考综合与实践探究

综合与实践探究

1. 阅读材料：如图①，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用）

（1）【理解与应用】

如图②，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF的值为.

（2）【类比与推理】

如图③，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB 交AC于点E，PF∥OA交BD于点F，求PE+PF的值；

（3）【拓展与延伸】

如图④，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD交BD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

第1题图

解：（1）2;

【解法提示】∵四边形ABCD是正方形，

∴OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠AOB=90°．

∵AB=BC=2，

∵OA=OB，∠AOB=90°，PE⊥OA，PF⊥OB，

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OB=OC=OD，∠DAB=90°．

∵AB=4，AD=3，

∴BD=5，

∵PE∥OB，PF∥AO，

∴△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA,

（3）当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是定值．理由：连接OA、OB、OC、OD，如解图，

第1题解图 ∵DG 与⊙O 相切，

∴∠GDA =∠ABD =30°．

∴∠AOD =2∠ABD =60°，

∵OA =OD ，

∴△AOD 是等边三角形，

∴AD =OA =4，

同理可得：BC =4，

∵PE ∥BC ，PF ∥AD ，

∴△AEP ∽△ACB ，△BFP ∽△BDA ， ∴AB AP BC PE =,AB

PB AD PF =， ∴AB

PB AB AP AD PF BC PE +=+=1， ∴4

4PF PE +=1，∴PE +PF =4， ∴当∠ADG =∠BCH =30°时，PE +PF =4．

2.已知，在矩形ABCD 中，AB =10 cm ，AD =4 cm ，作如下折叠操作．如图①和图②所示，在边AB 上取点M ，在边AD 或边DC 上取点P ．连接MP ．将△AMP 或四边形AMPD 沿着直线MP 折叠得到△A ′MP 或四边形A ′MPD ′，点A 的落点为点A ′，点D 的落点为点D ′． 探究：

（1

）如图①，若AM=8 cm，点P在AD上，点A′落在DC上，则∠MA′C的度数为；（2）如图②，若AM=5 cm，点P在DC上，点A′落在DC上，

①求证：△MA′P是等腰三角形；

②直接写出线段DP的长；

（3）若点M固定为AB中点，点P由A开始，沿A-D-C方向在AD，DC边上运动．设点P的运动速度为1 cm/s，运动时间为t s，按操作要求折叠．

①求：当MA′与线段DC有交点时，t的取值范围；

②直接写出当点A′到边AB的距离最大时，t的值；

发现：

若点M在线段AB上移动，点P仍为线段AD或DC上的任意点．随着点M位置的不同，按操作要求折叠后，点A的落点A′的位置会出现以下三种不同的情况：不会落在线段DC上，只有一次落在线段DC上，会有两次落在线段DC上．请直接写出点A′有两次落在线段DC上时，AM的取值范围是 .

第2题图

解：（1）如解图①，过点M作MN⊥DC交DC于点N，

第2题解图①

∵四边形ABCD是矩形，

∴MN=BC=4，

∵将△AMP沿着直线MP折叠得到△A′MP，

∴AM=A′M=8=2MN，

∴在Rt△A′MN中，∠MA′C=30°；

（2）①∵A′P与AM是矩形ABCD的对边CD，AB的一部分，∴A′P∥AM，

∴∠A′PM =∠AMP，

由翻折的性质得：∠AMP =∠A′MP，

∴∠A′PM =∠A′MP，

∴A′P =A′M，

∴△MA′P是等腰三角形；

②DP =3 cm.

【解法提示】∵△MA′P是等腰三角形，

∴PM=AM=A′M=5 cm，

∵DA=4 cm，

∴DP=5-2=3cm，

∴线段DP的长是3 cm；

（3）①当点P在AD上，点A′落在DC上时，如解图①所示，

过点

M作MN⊥DC交DC于点N，

则四边形AMND为矩形，DN =AM =5 cm，MN =4 cm，

设AP为x cm，则由翻折的性质得：

AM =A′M =5 cm，AP =A′P =x cm，

在Rt△A′MN中，A′N =2

24-

5＝3 cm，

∴DA′ =DN-A′N =5-3 =2 cm，

在Rt△A′PD中，

A′P2=A′D2+PD2，

即：x2=22+（4-x）2，

解得：x=2.5，此时t=2.5 s；

当点P在DC上，点A′落在DC上时，如题图②，

可知DP=3 cm，此时，t=7 s，

当MA′与DC有交点时，t的取值范围是：2.5≤t≤7；

②当点A′到边AB的距离最大时，

即A′M⊥AB时，t的值为5 s；

发现：当点A的落点A′，在以M为圆心，MA为半径的圆上，当圆M与线段CD有唯一交点时，如解图②所示，

第2题解图②

此时AM =4 cm；

当圆M交线段CD于点C时，如解图③所示，