《高等数学二》期末复习题与答案_28171462418361700
高等数学2期末复习题与答案
《高等数学》2期末复习题一、填空题:1、函数得定义域就是 1≦X^2+Y^2<3 、2、设则、3、函数在点得全微分4.设则、设则、5、设而则6.函数在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,)得方向导数就是7、改换积分次序 ; 、8.若L就是抛物线上从点A到点B得一段弧,则=9、微分方程得通解为、二、选择题:1. 等于 ( )(上下求导)A.2, B、 C、0 D、不存在2.函数得定义域就是( D )A. B、C、 D.3、 ( B )A、 B、C、 D、5、设,且F具有导数,则(D )A、;B、;C、 ;D、、6.曲线 ,,,在处得切向量就是 ( D )A. B、 C、 D、7.对于函数 ,原点 ( A )A.就是驻点但不就是极值点 B、不就是驻点 C、就是极大值点 D、就是极小值点8.设I=, 其中D就是圆环所确定得闭区域,则必有( )A.I大于零 B、I小于零 C、I等于零 D、I不等于零,但符号不能确定。
9、已知L就是平面上不包含原点得任意闭曲线,若曲线积分,则a等于( )、A -1B 1C 2D -210.若L为连接及两点得直线段,则曲线积分=( )A.0 B、1 C、 D、211、设D为则( )A、;B、 ;C、 ;D、、12、微分方程得通解为( )A、;B、;C、;D、13、( )就是微分方程在初始条件下得特解、A、;B、;C、;D、、三、计算题:1、设,求及,其中f 具有一阶连续偏导数、2．设, 求 ,3．求旋转抛物面在点处得切平面及法线方程。
4．求函数得极值5．计算,其中D就是由圆周及轴所围成得右半闭区域、6．计算,其中D就是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点得三角形闭区域、7、计算 ,其中就是三个坐标面与平面所围成得区域、8、计算 ,其中L为圆得正向边界。
9、计算曲线积分其中L就是从O(0, 0)沿上半圆到A(2, 0)、10、验证:在整个面内,就是某个函数得全微分,并求出这样得一个函数、11、求微分方程得通解、12、求解微分方程得特解:13、解微分方程、四、应用题:1、用钢板制造一个容积为V得无盖长方形水池,应如何选择水池得长、宽、高才最省钢板、2、已知矩形得周长为24cm,将它绕其一边旋转而构成一圆柱体,试求所得圆柱体体积最大时得矩形面积、3、求抛物线所围成得闭区域得面积、4、求抛物面与锥面所围成得立体得体积、高等数学2期末复习题答案一、填空题:1、2、3、4、5、6、(注:方向导数)7、;8、(注:) 9、二、选择题:1、A;2、 D;3、 B;4、缺5、 D;6、 D;7、 A;8、 A;9、 A; 10、C;11、 C; 12、C; 13、D三、计算题:1、解:令,则2212sin 3sin 3x x z z u z v z z e y x e y f x f x u x v x u v∂∂∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂ 2212cos 3cos 3x x z z u z v z z e y y e y f y f y u y v y u v∂∂∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂ 2、 解:两方程分别两边对求偏导数,注意就是关于得二元函数,得即这就是以为未知量得二元线性方程组。
高等数学2(下册)试题答案以及复习要点汇总(完整版)
高等数学(2)试题答案以及复习要点汇总一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ](A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。
解：选A 。
23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。
2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ](A) –2和2； (B) –3和3；(C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。
x y axy yP xy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(r rdr r r d A πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-202202rdr r d C πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d D πθ 。
解：选D 。
()⎰⎰+-=202220412rdr r r d I πθ 。
4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ](A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交 。
高等数学2期末复习题与答案(可编辑修改word版)
x 2 + y 2 - 1 3 1- y 2《高等数学》2 期末复习题一、填空题：1. 函 数 z = + ln(3 - x 2 - y 2 ) 的 定 义 域 是 1≦X^2+Y^2<3 . 2.设 z = (1 + x ) y, 则∂z =∂y(1+ x ) yln(1+ x ) .3.函数 z = ln(1+ x 2 + y 2 ) 在点(1, 2) 的全微分dz = 1dx + 2 dy(1,2)3 34．设 f (x + y , xy ) = x 2 + y 2 , 则 f (x , y ) =.设 f (x + y , y) = x 2 - y 2 , 则 f (x , y ) = .x5. 设 z = e u sin v 而 u = xy v = x + y 则 ∂z =∂ye xy [x sin(x + y ) + cos(x + y )]6. 函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，2 + ）的方向导数是1+ 222 y 17. 改换积分次序⎰0dy ⎰y 2f (x , y )dx =； ⎰0 dy ⎰y -1f (x , y )dx = .8. 若 L 是抛物线 y 2 = x 上从点 A (1,-1) 到点 B (1,1) 的一段弧，则⎰xydx =L9. 微分方程(1+ e 2x )dy + ye 2x dx = 0 的通解为.二、选择题： 1.lim ( x , y )→(2,0) tan(xy )y 等于 （）（上下求导）A ．2，B. 12C.0D.不存在2. 函 数 z = 的定义域是（ D ）A． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0} C. {(x , y ) y ≥ 0, x 2 ≥ y }B. {(x , y ) x 2 ≥ y } D． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 ≥ y }3 x - y23.∂f (x , y ) | ∂x( x0 ,y 0 ) = （ B ）A. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 , y 0 )∆xB. lim∆x →0f (x 0 + ∆x , y 0 ) - f (x 0 , y 0 )∆xC. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 + ∆x , y 0 )∆xD. lim∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 ) ∆x5. 设 z = F (x 2 + y 2 ) ，且 F 具有导数，则∂z + ∂z= （D ）∂x ∂yA. 2x + 2 y ；B. (2x + 2 y )F (x 2 + y 2 ) ；C. (2x - 2 y )F '(x 2 + y 2 ) ；D. (2x + 2 y )F '(x 2 + y 2 ) .6. 曲线 x = a cos t ， y = a sin t ， z = amt ，在 t = 处的切向量是 （ D ）4A ． (1,1, 2)B. (-1,1, 2)C. (1,1, 2m )D. (-1,1, 2m )7. 对于函数 f (x , y ) = x 2 + xy ，原点(0,0)（ A ）A ．是驻点但不是极值点B.不是驻点C.是极大值点D.是极小值点8．设 I= ⎰⎰5Dx 2 + y 2 -1dxdy ， 其中 D 是圆环1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 所确定的闭区域， 则必有（ ） A ．I 大于零 B.I 小于零C.I 等于零D.I 不等于零，但符号不能确定。
高数下期末考试试卷及答案
⋯⋯⋯⋯⋯2017 学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A）注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间110 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方7．设级数a a 0 (n )为交错级数，，则（）. nnn 1(A) 该级数收敛(B)该级数发散(C)该级数可能收敛也可能发散(D)该级数绝对收敛8. 下列四个命题中，正确的命题是（）.（A）若级数 a 发散，则级数n2a 也发散n名姓⋯⋯⋯⋯⋯题号一二三四总分得分（B）若级数（C）若级数nn112a发散，则级数n2a收敛，则级数nnn11a也发散na 也收敛nn 1 n 1⋯⋯．阅卷人得分一、单项选择题（8 个小题，每小题 2 分，共16 分）将每题的正确答案的（D）若级数|a n |收敛，则级数n 1n 12a 也收敛n号学⋯⋯⋯代号A B C D、、或填入下表中．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 阅卷人得分⋯线答案二、填空题(7 个小题，每小题 2分，共14 分) ．号序封密1．已知a与b都是非零向量，且满足a b a b，则必有（）.(A) a b0(B) a b0(C) a b0 (D) a b03x 4y 2z 61. 直线x 3y z a 0与z 轴相交，则常数 a为.号班学教12 2lim( xy )sinx 0y 0过2.极限( ).y2．设( , ) ln( ),f x y x x则f2 2D : x y 2x ，二重积分(x y)d= .(1,0)___________.y2 2x y超(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在3．函数 f (x, y) x y 在(3, 4) 处沿增加最快的方向的方向导数为.要3．下列函数中，df f 的是( ).（A）f ( x, y) xy （B）f (x, y) x y c0,c0为实数不4．设纸卷试题答2 2 x y（C）f (x, y) x y （D）f ( x, y) e4．函数 f (x, y) xy (3 x y) ，原点(0,0) 是f (x, y) 的( ).（A）驻点与极值点（B）驻点，非极值点5．设f x 是连续函数，D2 2{( x, y ,z) | 0 z 9 xy } ，2 2f (x y )dv在柱面坐标系下学大峡三⋯⋯．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（C）极值点，非驻点（D）非驻点，非极值点5 ．设平面区域x y2 2D : (x 1) (y1) 2 ，若I1d ，4Dx yI d ，24Dx yI3 d ，则有（）.34D（A）I I I （B）I1 I 2 I3 （C）I 2 I1 I3 （D）I 3I1 I 21 2 32 y2x2 26．设椭圆L ：1的周长为l ，则(3x 4y )ds （）.4 3L(A) l (B) 3l (C) 4l (D) 12l的三次积分为.6. 幂级数n 1n( 1)1nxn!的收敛域是.1 , xf ( x)7. 将函数 21 x , 0 x以2 为周期延拓后，其傅里叶级数在点x 处收敛于.2017 年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷 A 共3 页第1页⋯阅卷人得分4．设是由曲面z xy, y x, x 1及z 0 所围成的空间闭区域，求2 3d d dI xy z x y z .名姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x1．设u xf (x, )y解：三、综合解答题一（ 5 个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤），其中 f 有连续的一阶偏导数，求ux，uy．解：．⋯号学⋯⋯⋯线封z z xy 在点(2,1,0) 处的切平面方程及法线方程．2．求曲面 e 3解：号序密过5．求幂级数nx n 1 的和函数S(x) ，并求级数n 1 nn 的和．n1 2解：超号班学要教不纸卷试题答3. 交换积分次序，并计算二次积分解：sin ydxdyxy．学大峡三⋯⋯．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2017 年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷 A 共3 页第2页阅卷人得分四、综合解答题二（ 5 个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字⋯⋯⋯⋯⋯⋯说明、证明过程或演算步骤）1. 从斜边长为 1 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．解4．计算xdS，为平面x y z 1在第一卦限部分.解：名姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯．⋯号学⋯⋯⋯线2．计算积分L2 2( )dx y s，其中L 为圆周2 2x y ax ( a0)．号序封密解：蝌，5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分dxdy + dydz + dzdxS2 2 2其中为圆锥面z x y z 0 z 1介于平面及之间的部分的下侧.解：过超号班学要教不纸卷试题答3．利用格林公式，计算曲线积分I (x y )dx (x 2xy)dy ，其中L 是由抛物线y x2 和2 2Lx y2 所围成的区域D的正向边界曲线．学大峡三⋯⋯．⋯y2y x2 x y⋯D⋯⋯O x⋯⋯⋯⋯2017 年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷 A 共3 页第 3 页2017 学年春季学期（B ）若级数2a 发散，则级数na 也发散；n《高等数学Ⅰ（二） 》期末考试试卷(A)答案及评分标准（C ）若级数n n 1 12 a 收敛，则级数 nn n 11a 也收敛；n（D ）若级数|a n |收敛，则级数2a 也收敛．nn 1n 1一、单项选择题（ 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）题号1 2 3 4 5 6 7 8答案D A B B A D C D二、填空题 (7 个小题，每小题 2 分，共 14 分) ．3x 4y 2z 6 0 x 3y z a 01. 直线与 z 轴相交，则常数 a 为 3 。
《高等数学二》期末复习题及答案_28171462418361700
D
2 ,2t
x+y= 1
在第一象限内所围成的区域。
x= 0
14、（本题满分12分）一质点沿曲线＞，= /从点（0,0,0）移动到点
z = r
（0, 1, 1）,求在此过程中，力户=Jl + x*7-£ + 9所作的功W。
15、（本题满分10分）判别级数ynsin-的敛散性。
23、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则j(x+y)4s=
24、lim/x"=
(21。。)次+/ +1 _1
25、2=3,b=4,［与B的夹角是工，«')axb =2
26、已知三角形的顶点A(U,T),8(2J,0),C(0,0,2),则AABC的面积等于
27、点(2,3』)至1|点加2(274)的距离附|“［=
3、积分/=JJje4/b的值为x2+y2<4
4、若a,b为互相垂直的单位向量，则a b=
5、交换积分次序jjiZrJo /(x,yMy=
6、级数£(：+/)的和是
“1LJ
7、二一即=
Dxy,T)
8、二元函数z = sin(2x + 3y),则」=
9、设/(x, y)连续，交换积分次序J：八［J(x,y}dy=
11、B解：若级数£%收敛，由收敛的性质4G。三个选项依然是“■1
收敛的，而£(%+2)未必收敛，或者排除法选择B。/1.1
12、C解：二重积分|].f(#,y)d#dy的值与函数有关，与积分区域有关， 而与积分变量的字母表达没关系。
13、B解：利用平行向量对应的坐标成比例，Z=(84,-2),则
高等数学二试题及答案
高等数学二试题及答案一、选择题1. 函数y=2x^3-3x^2+4x-1的导数为：A. 6x^2 - 6x + 4B. 6x^2 - 4x + 4C. 6x^3 - 6x^2 + 4D. 6x^3 - 6x + 4答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x) - x) / x^3的值为：A. 1B. 0C. 不存在D. 无穷大答案：A3. 曲线y=x^2在点x=1处的切线方程为：A. y=2x-1B. y=x+1C. y=2xD. y=x-1答案：A4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值为：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 0答案：A5. 级数Σ(n=1 to ∞) (n^2 / 2^n)收敛于：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题1. 函数z=e^(x+y)在点(0,0)的偏导数∂z/∂x为_________。
答案：12. 极限lim(x→∞) (1+1/x)^x的值为_________。
答案：e3. 曲线y=2x^3在点x=-1处的法线方程为_________。
答案：y=-6x+24. 定积分∫(1,2) (2t^2 + 3t + 1) dt的值为_________。
答案：10/35. 幂级数Σ(n=0 to ∞) (x^n / 2^n)在|x|≤2时收敛于_________。
答案：1 + x三、计算题1. 求函数f(x)=ln(x^2-4)的反函数，并证明其在定义域内是单调的。
解：首先找到反函数的定义域，由于ln(x^2-4)的定义域为x^2-4>0，解得x^2>4，因此x<-2或x>2。
设y=ln(x^2-4)，则x^2-4=e^y，解得x=±√(e^y+4)。
由于x<-2或x>2，我们选择x=√(e^y+4)作为反函数，定义域为y>ln(4)。
显然，当y>ln(4)时，函数√(e^y+4)是单调递增的，因此反函数也是单调的。
高等数学2B期末模拟题及参考答案2021-2版
高等数学2B 期末模拟题2一、选择题 1. 11sin ),(22-+=y x y x f 的定义域为（ ） (A) 22{(,)|1}D x y x y =+= (B) 22{(,)|1}D x y x y =+≠(C) {(,)|0, 0}D x y x y =≠≠ (D) 22{(,)|0}D x y x y =+≠2. 2d L s =⎰（ ），其中L 为圆周：221x y +=.(A) 4π (B) 2π(C) 0(D) 4π- 3. 已知级数1n n u ∞=∑收敛，则lim n n u →∞=（ ） (A) 1 (B) 0 (C) ∞ (D) 不存在4. 2d d Dxy x y =⎰⎰（ ），其中22{(,)|1,0}D x y x y y =+≤≥. (A) 4π (B) 2π (C) 0(D) 4π-二、判断题1. 设向量(1,2,2),(1,0,1)a b ==-，则a 与b 平行（ ）.2. (,)lim 4x y →=（ ）.3. 级数11(1)n n n ∞=+∑收敛（ ）.三、计算题1. 设y x f )1(+=，求d (1,1)f .2. 设)arctan(uv z =，而y v e u x 3,2==，求z x ∂∂. 四、应用题1. 求过点(2,0,3)-且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 平行的直线方程. 2. 求椭球面222236x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面方程.五、当0,0,0x y z >>>时，已知函数(,,)ln 2ln 3ln f x y z x y z =++在附加条件22260x y z ++-=下存在最大值，求该最大值.六、计算重积分1. 计算二重积分2d d D y x y ⎰⎰，其中22{(,)|1,0}D x y x y y =+≤≥. 2. 计算三重积分d d d z x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由锥面22y x z +=与平面2=z 所围成的闭区域. 七、计算曲线积分与曲面积分1. 计算第二类曲线积分423(23)d (4)d L xy y x x xy y -++-⎰，其中L 为上半圆周22(2)1x y -+=上从(1,0) 到(2,1)的一段弧.2. 计算第二类曲面积分2d d d d d d x y z y z x z x y ∑+-⎰⎰，其中∑为介于0=z 与1=z 之间 的圆柱体229x y +≤的整个表面的外侧（包含上下底面）. （提示：可利用高斯公式）八、证明级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑条件收敛. 九、将函数1()f x x=展开成(2)x -的幂级数. 十、设()f x 是周期为π2的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为1, 0 (),1, 0x f x x ππ≤<⎧=⎨≤<⎩－－将()f x 展开成傅里叶级数.高等数学2B 期末模拟题参考答案2一、选择题1. B2. A3. B4. C二、判断题1. 错误2. 正确3. 正确三、计算题1. 解：1(1)y f y x x -∂=+∂，1)1,1(=∂∂x f ，(1)ln(1)y f x x y ∂=++∂，(1,1)2ln 2,f y ∂=∂ 故d (1,1)(1,1)d (1,1)d x y f f x f y =+d (2ln 2)d x y =+2. 解：d d z z u x u x ∂∂=⋅∂∂22121()x v e uv =⋅⋅+ 242619xx ye x y =+ 四、应用题1. 解：平面2470x y z -+-=的法向量为1(1,2,4)n →=-,平面35210x y z +-+=的法向量为2(3,5,2)n →=-,取所求直线的方向向量为12124352i j k s n n →→→=⨯=--)11,14,16(-=,又由所求直线过点(2,0,3)-，故所求直线的方程为23161411x y z -+==-. 2. 解：令222(,,)236F x y z x y z =++-，(,,)(2,4,6)x y z n F F F x y z →==，(1,1,1)|(2,4,6)n →=, 在点(1,1,1)处的切平面方程为2(1)4(1)6(1)0x y z -+-+-=,即2360x y z ++-=.五、解：令222(,,)ln 2ln 3ln (6),F x y z x y z x y z λ=+++++-解方程组22212022032060x y x F x x F y y F z z F x y z λλλλ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪=++-=⎩，得唯一驻点, 故该点是函数的最值点.最大值为f =.六、计算重积分1. 解：原式2d d D y x y =⎰⎰1002d sin d r r r πθθ=⋅⎰⎰12002sin d d r r πθθ=⎰⎰43=. 2. 解一：（截面法）积分区域222(,)D :{(,,)|}02z x y x y z x y z z ∈+≤Ω=≤≤, 利用先二后一法得，20d d d d d d zD z x y z z z x y Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 220d z z z π=⋅⎰24014z π=4π=. 解二：（投影法）利用柱面坐标系，积分区域02,02{(,,)|}2r r z r z θπθ≤≤≤≤Ω=≤≤, 22200d d d d d d r z x y z r r z z πθΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰22012(4)d 2r r z π=⋅-⎰22401(2)4r z π=-4π=. 七、计算曲线积分与曲面积分1. 解：由423P xy y =-+，234Q x xy =-得， 324P Q x y y x∂∂=-=∂∂，故该积分与路径无关, 取积分路径L 为折线(1,0)(2,0)(2,1)→→，则21423310(23)d (4)d 3d (48)d L xy y x x xy y x y y -++-=+-⎰⎰⎰5=. 2. 解：由2,,P x Q y R z ===-得2P Q R x y z∂∂∂++=∂∂∂， 由高斯公式得，2d d d 2d d d x y z x y z ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式π18=.八、证明：该级数)1ln(1)1(11+-∑∞=-n n n 为交错级数, 由于11)1ln(1||+≥+=n n u n ，而∑∞=+111n n 发散，故∑∞=1n n u 发散, 又由1+>n n u u ，且1lim lim 0ln(1)n n n u n →∞→∞==+， 由莱布尼兹定理可知，原级数收敛，从而条件收敛.九、解：11()2(2)f x x x ==+-122(1)2x =-+ n n n n x )2(2)1(210--=∑∞=)40(<<x n n n n x )2(2)1(01--=∑∞=+)40(<<x十、解：所给函数满足收敛定理的条件，它在点(0,1,2,)x k k π==±±处不连续，在其他点处均连续，从而()f x 的傅里叶级数收敛，且当x k π=时级数收敛于1102-+=； 当x k π≠时,级数收敛于()f x . 001()cos d 11(1)cos d cos d 0(0,1,2,)n a f x nx x nx x nx x n πππππππ--==-+==⎰⎰⎰[]00001()sin d 11(1)sin d sin d 1cos 1cos 11cos cos 121(1)n n b f x nx x nx x nx x nx nx n n n n n n πππππππππππππππ---==-+⎡⎤⎡⎤=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=--+⎡⎤=--⎣⎦⎰⎰⎰ 4,1,3,5,0,2,4,6,n n n π⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 于是得)(x f 的傅里叶级数展开式为411()[sin sin3sin(21)]321f x x x k x k π=+++-+- k 141sin(21)(,0,,2,)21k x x x k πππ∞==--∞<<∞≠±±-∑。
《高等数学二》考试题及答案
《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b （ A ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( C )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI xy dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ D ）(A)224ad a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 22402ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ A ）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D)235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ B ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim),(σηξσλ中的λ代表的是（ D ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( B )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y (B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-x x y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰101d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( A )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ B ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件 10、设平面曲线L 为下半圆周 21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰( C )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π 11、若级数1nn a∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ B ）(A)12nn a∞=∑收敛 (B)1(2)nn a∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D)13nn a∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ C ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。
高数2 期末复习题
高等数学Ⅱ期末复习题一、单项选择题1、下列函数中是奇函数的是（）A 、()1sin f x x =+B 、)xC 、()arccos f x x =D 、1cos xx +2、设11)(+=x x f ，则))((x f f =（ ） A 、11++x x B 、x x +1 C 、21x x++ D 、x +11 3、当0x →时，下列函数哪个是x 的高阶无穷小量（ ）A 、sin 2x x +B 、tan sin x x -C 、2sin x x + D 、cos()2x π+4、当0x →时，下列函数哪个不是x 的同阶无穷小量（ ）A 、tan sin 2x x +B 、21xe- C 1 D 、1cos3x -5、下列式子不正确的是（ ）A 、0sin lim 1x x x →=B 、01lim sin 1x x x →=C 、10lim(1)x x x e →+=； D 、1lim (1)x x e x→∞+=6、当0x →时，下列函数哪个不是x 的等价无穷小量（ ）A 、sin 2tan x x -B 、1xe - C 、ln(1)x + D 、2(1cos )x - 7、2x =是函数1()arctan2f x x =-的 （ ） A 、连续点； B 、可去间断点； C 、跳跃间断点； D 、第二类间断点；8、sin 0( )xd dx =⎰ A 、cos cos x x B 、cos x C 、2cos x - D 、cos x9、设2x y xe -=的，则下列说法正确的是（ ）。
A 、12x =是极小值点； B 、12x =是极大值点； C 、12x =不是极值点； D 、12x =是拐点.10、 函数()f x =[0,1]上满足拉格朗日中值定理条件的( )ξ=A 、 1/2B 、 1/3C 、 2/3D 、 3/4 11、设()f x 在0x x =处可导，则000()()limx f x f x x x∆→--∆∆等于（ ）A 、0 ()f x 'B 、0()f x '-C 、02()f x 'D 、0 ()f x '-12、设)()(x G x F '='，则（ ）A 、 ()()0F x G x -=B 、 ()()0F x G x +=C 、()()F x G x +为常数D 、 ()()F x G x - 为常数 13、函数2()x f x xe -=的下凸区间为A 、1(,)2-∞B 、1(,)2+∞ C 、(,1)-∞ D 、(1,)+∞. 14、设函数()f x 满足0()0f x '=，且()f x 在1x x =处不可导, 则（ ） A 、01x x x x ==和都是极值点 B 、只有0x x =是极值点C 、只有1x x =是极值点D 、01x x x x ==和都有可能不是极值15、1, 0,() 0 , 0.x f x xx >=⎪≤⎩, 则(0)f ='（ ） A 、0 B 、1 C 、-1D 、不存在16、设函数()f x 在0x 可导，则 02200()()lim x x f x f x x x →-=- （ ）A 、0()f x 'B 、0()f xC 、0D 、002()()f x f x '17、1sin , 0,() 0 , 0.x x f x xx α⎧>⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处可导, 则（ ） A 、1α= B 、1α≥ C 、1α> D 、2α>18、极限()y x y x y x --→→sin lim11 （ ） A 、等于0 B 、等于1 C 、等于2 D 、不存在 19、设33()3f x xy x y =--+，则下列说法中正确的是（ ） A 、（0, 0）是极小值点； B 、（0, 0）是极大值点； C 、（1，-1）是极小值点； D 、（1, -1）是极大值点20、下列级数中发散的是A 、1n ∞= B 、13!n n n ∞=∑ C 、321n n ∞-=∑ D 、1n n ∞=21、设a 为常数，且0a >，则级数()111cos nn a n ∞=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑（ ）A 、发散B 、条件收敛C 、绝对收敛D 、收敛性与α有关22. 级数1(1)ln(2)nn n ∞=-+∑ A 发散； B 绝对收敛； C 条件收敛； D 无法判断.23. 下列结论错误的是A 若1n n u ∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=；B 若11n n u u +<，则正项级数1n n u ∞=∑收敛； C 若1nn u∞=∑收敛，则1nn u∞=∑收敛；D1()nn n uv ∞=+∑收敛，则1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛.24. 下列说法正确的是： A 级数1nn x∞=∑收敛，则级数21nn x∞=∑也收敛. B 绝对收敛的级数一定收敛.C 级数1nn k u∞=∑和1nn u∞=∑同敛散. D 收敛级数去括弧后所成的级数一定收敛.25、微分方程yy x x'-=的通解为( ) A 、 2Cx x + B 、 2x x C ++ C 、 2x Cx + D 、2Cx x -26、曲线21xxe y =的渐近线的条数有A 、 0B 、 1C 、2D 、 3 27、方程ln 0x x +=实数根的个数是（ ） A 、0 个 B 、1个 C 、2个D 、3个28、已知2y z x =，则下列结论正确的是（ ）A 、220z z x y y x ∂∂->∂∂∂∂B 、220z z x y y x ∂∂-<∂∂∂∂C 、220z z x y y x ∂∂-≠∂∂∂∂D 、220z z x y y x∂∂-=∂∂∂∂29.改换1d (,)d y f x y x ⎰的次序，则下列结果正确的是 ( )(A) 11d (,)d x f x y y -⎰；(B)11d (,)d x f x y y -⎰⎰；(C)11d (,)d x f x y y -⎰；(D)1d (,)d x f x y y ⎰．30. 设22sin()z x y =-，则2z x y∂=∂∂ ( ) (A) 22sin()x y --； (B) 22sin()x y -； (C) 22(22)sin()x y x y +-； (D) 224sin()xy x y -．二、填空题1、由曲线21y y x ==-所围成的平面图形的面积为 2、函数()arcsin f x x =在[0, 1]上满足拉格朗日中值定理的ξ=_______. 3、设函数()y y x =由方程1sin y x y =+确定，则dydx=_________. 4、函数33()3,[2,]2f x x x x =-∈-的最大值为5、微分方程440y y y '''++=满足初始条件()02, (0)0y y '==的特解为6、2arccos y x = 则(0)y '=_________.7、 曲线2yx =上点(1，1)处的切线方程为_______.8、级数112(1)1n n nn x n ∞-=-+∑的收敛半径R = ______. 9、设D 是由曲线1,1x y x y +=-=及0x =所围的区域，则⎰⎰Ddxdy =_______.10、设()(1)(2)(100)f x x x x x =--- ，则(1)f '=___11.极限10lim(12sin)xx x →+=12.设函数2sin xy ze y x =+，则它的全微分(,1)d zπ=13.222sin ln(x x x ππ-+=⎰14. 某商品需求函数为200.25Q P =-，则当10P =时的需求价格弹性为 15. 微分方程2d 3d y x y x =的通解为三 、 计算题 1、求3113lim 11x x x →-⎛⎫-⎪++⎝⎭2、求 3232342lim 753x x x x x →∞-++-3、求20cos 1lim x x x →-，30tan sin lim (arctan )x x xx →-，()20ln 1lim sec cos x x x x →+-． 4、讨论函数 1,01,()1,1,3,1 2.x x f x x x x -+≤≤⎧⎪==⎨⎪-+<≤⎩在点1x =处的连续性．5．下列各题中均假定0()f x '存在，按照导数定义求下列极限，指出A 表示什么？(1)000()()lim x f x x f x A x∆→-∆-=∆；(2) 0()lim x f x A x→=，其中(0)0f =，且(0)f '存在；(3) 000()()lim h f x h f x h A h→+--=．6、3221x y -=, 求dxdy7、212sin x x y +=, 求dxdy8．求下列函数的导数：(1)2sin x y e x =； (2)2(43)y x =+； (3)tan(12)y x =-； (4)arctan()x y e =；(5)ln(sin )y x =；(6)2cos3x y ex -=；(7)1ln 1ln xy x-=+；(8)sin cos n y x nx =；(9)ln ln ln y x =；(10) 21sin xy e -=； (11)cos 3x y xarc =9．用微分求由方程1sin()xyx y e -++=确定的函数()y y x =的微分与导数．10．求下列函数的二阶偏导数22z x ∂∂，2z x y ∂∂∂，22zy ∂∂：(1)2y z x =； (2)22xz x y =+．11．求下列函数的全微分:(1)arctan x yz x y+=-； (2)22cos()z y x y xy =-+；(3)z = (4)u xy yz zx =++． 12．求下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数：(1)22sin()xy x y x y =++，求dy dx ； (2)2224x y z z ++=，求zx∂∂，z y ∂∂．13、求函数45x y e =的弹性函数EyEx及在3x =处的弹性3x Ey Ex =。
《高等数学二》期末复习题及答案-28171462418361700
《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b （ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ） (A)224a d a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 22402ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D)23 5、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y (B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-x x y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰101d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面 9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ ）.（A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件 10、设平面曲线L 为下半圆周 21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰( )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π 11、若级数1nn a∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ ）(A)12nn a∞=∑收敛 (B)1(2)nn a∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D)13nn a∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。
2024级经管类高数(二)期末试题与解答A
2024级本科高等数学（二）期末试题与解答A（本科、经管类）一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．到两点(1,1,0)A -和(2,0,2)B -距离相等的点的轨迹为（ C ）.A ．230x y z ---=；B ．230x y z +-+=；C ．230x y z +--=；D ．230x y z ++-=．2．微分方程2x y y y e x '''-+=+的非齐次特解形式可令为（ A ）.A ．2x Ax e Bx C ++；B ．x Ae BxC ++；C ．2()x Ae x Bx C ++；D ．x Axe Bx C ++．3．函数22(,)(4)(6)f x y y y x x =--的驻点个数为（ B ）.A.9；B. 5；C. 3；D. 1.4．设D 是xoy 面上以)1,1(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形区域，1D 是D 中在第一象限的部分，则积分⎰⎰+Dd y x y x σ)sin cos (33＝（ D ）.A.σd y x D ⎰⎰1sin cos 23；B.⎰⎰132D yd x σ；C.⎰⎰+1)sin cos (433D d y x y x σ； D.0.5．下列级数中，绝对收敛的级数为( C ). A. 111(1)n n n ∞-=-∑；B. 1(1)n n ∞-=-∑； C.111(1)3n n n ∞-=-∑；D. 11(1)n n ∞-=-∑ . 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．函数22(,)arcsin()ln f x y x y =+-的连续域为221(,)12x y x y ⎧⎫<+≤⎨⎬⎩⎭． 7．2211(),lim(2)n n n n x y a a d πσ∞→∞=+≤-+=∑⎰⎰设级数收敛则3π ．8．设ln(ln )z x y =+，则1z z y x y ∂∂-=∂∂ 0 ． 9．交换420(,)dy f x y dx ⎰积分次序得2200(,)x dx f x y dy ⎰⎰ ．10．投资某产品的固定成本为36（万元），且成本对产量x 的改变率（即边际成本）为()240C x x '=+（万元/百台），则产量由4（百台）增至6（百台）时总成本的增值为100万元． 三、试解下列各题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）11．求解微分方程2xy y y '-=满意初始条件11x y==的特解. 解：分别变量得d d (1)y x y y x=+ （2分） 两端积分得lnln ln 1y x C y =++，即1y Cx y =+ （5分） 由11x y ==，得12C =故所求通解为 21y x y =+或2x y x=- （8分） 12．设()y x z z ,=由方程3=-+z xy e z所确定，求221x y z zx ===∂∂及221x y z z y ===∂∂.解：令3),,(--+=z xy e z y x F z ，则y F x =，x F y =，1-=z z e F （4分） 所以ze y x z -=∂∂1，z e x y z -=∂∂1221x y z zx ===∂=∂，221x y z z y ===∂=∂. （8分） 13．(,),,.x y y z z z f e f x x y-∂∂=∂∂且可微求， 解：122x y z y e f f x x -∂''=-∂ （4分） 121x y z e f f y x-∂''=-+∂ （8分） 14．设(,)sin()f x y x x y =+，求(,)22xx f ππ，(,)22yy f ππ. 解：sin()cos()x f x y x x y =+++，cos()y f x x y =+ （2分） 2cos()sin()xx f x y x x y =+-+ （4分）sin()yy f x x y =-+ （6分） (,)222xx f ππ=-，(,)022yy f ππ= （8分） 15．求幂级数1n n nx ∞=∑的收敛区间与和函数.解：收敛半径为1R =，收敛区间为(1,1)- （2分）111n n n n nxx nx ∞∞-===∑∑，令11()n n S x nx ∞-==∑,则 （4分） 10011()()1xx n n n n x S x dx nx dx x x ∞∞-=====-∑∑⎰⎰ （6分） 所以在(1,1)-内201()(())()1(1)x n n x x nx xS x x S x dx x x x ∞=''====--∑⎰ （8分） 16．dxdy e I Dy ⎰⎰=2，其中D 是第一象限中由直线x y =与曲线3x y =所围成的闭区域. 解：22310y y y y D I e dxdy dy e dx ==⎰⎰⎰⎰ （3分）2130()y y y e dy =-⎰ （5分） 112e =- （8分）四、试解下列各题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）17．某种产品的生产原料由,A B 构成，现投入原料,A B 各,x y 单位，可生产出产品的数量为20.01z x y =.,A B 原料的单价分别为10元和20元，欲用3000元购买原料，问两种原料各购买多少单位时，使生产数量最大？解：目标函数：20.01z x y =，约束条件： 1020300x y +=设2(,,)0.01(1020300)F x y x y x y λλ=++- （2分） 20.021000.0120010203000x y F xy F x x y λλ=+=⎧⎪=+=⎨⎪+-=⎩（4分） 消去λ解得：200,50x y ==当A 原料购买200单位，B 原料购买50单位时，生产数量最大.（6分）18．由抛物线21(0)y x x =-≥及x 轴与y 轴所围成的平面图形被另一抛物线2(0)y kx x =≥分成面积相等的两部分，试确定k 的值．解：两抛物线的交点为)1k P k+，则2210)A x kx dx =--=（2分） 而12112022(1)3A A A x dx =+=-=⎰ （4分）所以23= 解得3k =． （6分） 五、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）19．证明级数2211ln 1sin 7n n n n π∞=⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑发散. 证明：记221ln 1sin 7nn u n n π⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是 221lim lim ln 1lim sin 17n nn n n n u n π→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故级数发散. （5分） 20．设(,)z z x y =由方程222()z x y z yf y ++=所确定，其中f 可导. 试证：222()22z z x y z xy xz x y∂∂--+=∂∂ 证明：令222(,,)()z F x y z x y z yf y=++-，则 2x F x =，2()()y z z z F y f f y y y '=-+，2()z z F z f y'=- （2分） 从而22()z x z x z f y∂=-∂'-，2()()2()z z z y f f z y y y z y z f y '-+∂=-∂'- （4分） 所以2222222()2(2()())()22()z z z x x y z xy y f f z z y y y x y z xy z x y z f y'--+-+∂∂--+=-∂∂'- 2xz = （5分）。
高数下期末考试试题及答案解析
专业资料 值得拥有2017学年春季学期1．已知与都是非零向量，且满足,则必有（ ）.（A) (B) (C ） (D ） 2.极限（ ）.(A ） 0 (B) 1 （C ） 2 （D)不存在3．下列函数中,的是（ ）. （A ） （B ） （C) （D ）4．函数，原点是的( ）。
（A)驻点与极值点 （B ）驻点,非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点,非极值点 5．设平面区域,若，,,则有( ）。
(A ） (B) (C ） （D ） 6．设椭圆:的周长为，则( ）。
（A ） （B ） (C ） （D ） 7．设级数为交错级数，，则( ）.(A ）该级数收敛 （B)该级数发散(C ）该级数可能收敛也可能发散 （D ）该级数绝对收敛 8。
下列四个命题中，正确的命题是（ ）。
（A)若级数发散，则级数也发散 （B ）若级数发散,则级数也发散 (C)若级数收敛，则级数也收敛 （D)若级数收敛，则级数也收敛二、填空题(7个小题，每小题2分，共141。
直线与轴相交,则常数为 . 2．设则______ _____.3．函数在处沿增加最快的方向的方向导数为 .4．设，二重积分= . 5．设是连续函数,，在柱面坐标系下的三次积分为 . 6。
幂级数的收敛域是 .7。
将函数以为周期延拓后，其傅里叶级数在点处收敛 于 。
三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．设，其中有连续的一阶偏导数，求，． 解：2．求曲面在点处的切平面方程及法线方程． 解：3.交换积分次序，并计算二次积分． 解：4．设是由曲面及 所围成的空间闭区域，求。
解:5．求幂级数的和函数，并求级数的和． 解：四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1。
从斜边长为1的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形． 解2．计算积分,其中为圆周 ()．解：3．利用格林公式，计算曲线积分，其中是由抛物线和所围成的区域的正向边界曲线．4． 计算，为平面在第一卦限部分。
高等数学二期末复习题及答案
高等数学二期末复习题及答案集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅，则=（ ）（A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--，（C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ）(A) 22400a d a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 224002ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ ）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ ）（A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y(B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-xx y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰1010d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ）椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件10、设平面曲线L 为下半圆周 y =则曲线积分22()L x y ds +=⎰( )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π11、若级数1n n a ∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ ）(A)12n n a ∞=∑收敛 (B) 1(2)n n a ∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D) 13n n a ∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。
高数下期末考试试题及答案解析
2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ）注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间110分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中．1．已知a 与b都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0⋅=a b (D)⨯=0a b 2.极限2222001lim()sinx y x y x y→→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =∆的是( ).（A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),fx y x y c c =++为实数（C ）(,)f x y =（D ）(,)e x yf x y +=4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ).（A ）驻点与极值点 （B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域22:(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=⎰⎰，2DI σ=，3DI σ=，则有（ ）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I <<6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰（ ）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 127．设级数∑∞=1n na为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）.(A)该级数收敛 (B)该级数发散(C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（ ）. （A ）若级数1nn a∞=∑发散，则级数21nn a∞=∑也发散 （B ）若级数21nn a∞=∑发散，则级数1nn a∞=∑也发散 （C ）若级数21nn a∞=∑收敛，则级数1nn a∞=∑也收敛（D ）若级数1||nn a∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1.直线3426030x y z x y z a -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交，则常数a 为 .2．设(,)ln(),y f x y x x=+则(1,0)y f '=______ _____.3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 .4．设22:2D x y x +≤，二重积分()d Dx y σ-⎰⎰= .5．设()f x 是连续函数，22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--，22()d f x y v Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下的三次积分为 . 6.幂级数11(1)!nn n x n ∞-=-∑的收敛域是 . 7.将函数21,0()1,0x f x x x ππ--<≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩以2π为周期延拓后，其傅里叶级数在点x π=处收敛于 .三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1．设(,)x u xf x y =，其中f 有连续的一阶偏导数，求ux∂∂，u y ∂∂．解： 2．求曲面e 3z z xy ++=在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程． 解：3.交换积分次序，并计算二次积分0sin d d xyx y yππ⎰⎰． 解：4．设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间闭区域，求23d d d I xy z x y z Ω=⎰⎰⎰. 解：5．求幂级数11n n nx∞-=∑的和函数()S x ，并求级数12nn n ∞=∑的和． 解：三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.从斜边长为1的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形． 解2．计算积分22()d Lx y s +⎰，其中L 为圆周22x y ax += (0a >)．解：3．利用格林公式，计算曲线积分22()d (2)d LI xy x x xy y =+++⎰，其中L 是由抛物线2y x =和2x y =所围成的区域D 的正向边界曲线．4． 计算d x S ∑⎰⎰，∑为平面1=++z y x 在第一卦限部分.解：5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分d d d d d d x y y z z x S++蝌，其中∑为圆锥面222z x y =+介于平面0z =及1z =之间的部分的下侧. 解：三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………xO2y x =2x y =y D2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷(A)答案及评分标准一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）1．已知a 与b 都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（D ） (A)-=0a b ； (B)+=0a b ； (C)0⋅=a b ； (D)⨯=0a b ．2.极限2222001lim()sin x y x y x y →→+=+ ( A ) (A) 0； (B) 1； (C) 2； (D)不存在. 3．下列函数中，d f f =∆的是( B )；（A ） (,)f x y xy =； （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数；（C ）(,)f x y =（D ）(,)e x y f x y +=.4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( B ).（A ）驻点与极值点； （B ）驻点，非极值点； （C ）极值点，非驻点； （D ）非驻点，非极值点. 5．设平面区域D ：22(1)(1)2x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=⎰⎰，2DI σ=，3DI σ=，则有（ A ） （A ）123I I I <<； （B ）123I I I >>； （C ）213I I I <<； （D ）312I I I <<．6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰（D ） (A) l ； (B) l 3； (C) l 4； (D) l 12．7．设级数∑∞=1n na为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ C ）(A)该级数收敛； (B)该级数发散；(C)该级数可能收敛也可能发散； (D) 该级数绝对收敛． 8.下列四个命题中，正确的命题是（ D ） （A ）若级数1nn a∞=∑发散，则级数21nn a∞=∑也发散； （B ）若级数21nn a∞=∑发散，则级数1nn a ∞=∑也发散； （C ）若级数21nn a∞=∑收敛，则级数1nn a∞=∑也收敛；（D ）若级数1||nn a ∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛．二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1.直线3426030x y z x y z a -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交，则常数a 为 3 。
高数下期末考试试卷及答案
⋯⋯⋯⋯⋯2017 学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A）注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间110 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方7．设级数a a 0 (n )为交错级数，，则（）. nnn 1(A) 该级数收敛(B)该级数发散(C)该级数可能收敛也可能发散(D)该级数绝对收敛8. 下列四个命题中，正确的命题是（）.（A）若级数 a 发散，则级数n2a 也发散n名姓⋯⋯⋯⋯⋯题号一二三四总分得分（B）若级数（C）若级数nn112a发散，则级数n2a收敛，则级数nnn11a也发散na 也收敛nn 1 n 1⋯⋯．阅卷人得分一、单项选择题（8 个小题，每小题 2 分，共16 分）将每题的正确答案的（D）若级数|a n |收敛，则级数n 1n 12a 也收敛n号学⋯⋯⋯代号A B C D、、或填入下表中．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 阅卷人得分⋯线答案二、填空题(7 个小题，每小题 2分，共14 分) ．号序封密1．已知a与b都是非零向量，且满足a b a b，则必有（）.(A) a b0(B) a b0(C) a b0 (D) a b03x 4y 2z 61. 直线x 3y z a 0与z 轴相交，则常数 a为.号班学教12 2lim( xy )sinx 0y 0过2.极限( ).y2．设( , ) ln( ),f x y x x则f2 2D : x y 2x ，二重积分(x y)d= .(1,0)___________.y2 2x y超(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在3．函数 f (x, y) x y 在(3, 4) 处沿增加最快的方向的方向导数为.要3．下列函数中，df f 的是( ).（A）f ( x, y) xy （B）f (x, y) x y c0,c0为实数不4．设纸卷试题答2 2 x y（C）f (x, y) x y （D）f ( x, y) e4．函数 f (x, y) xy (3 x y) ，原点(0,0) 是f (x, y) 的( ).（A）驻点与极值点（B）驻点，非极值点5．设f x 是连续函数，D2 2{( x, y ,z) | 0 z 9 xy } ，2 2f (x y )dv在柱面坐标系下学大峡三⋯⋯．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（C）极值点，非驻点（D）非驻点，非极值点5 ．设平面区域x y2 2D : (x 1) (y1) 2 ，若I1d ，4Dx yI d ，24Dx yI3 d ，则有（）.34D（A）I I I （B）I1 I 2 I3 （C）I 2 I1 I3 （D）I 3I1 I 21 2 32 y2x2 26．设椭圆L ：1的周长为l ，则(3x 4y )ds （）.4 3L(A) l (B) 3l (C) 4l (D) 12l的三次积分为.6. 幂级数n 1n( 1)1nxn!的收敛域是.1 , xf ( x)7. 将函数 21 x , 0 x以2 为周期延拓后，其傅里叶级数在点x 处收敛于.2017 年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷 A 共3 页第1页⋯阅卷人得分4．设是由曲面z xy, y x, x 1及z 0 所围成的空间闭区域，求2 3d d dI xy z x y z .名姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x1．设u xf (x, )y解：三、综合解答题一（ 5 个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤），其中 f 有连续的一阶偏导数，求ux，uy．解：．⋯号学⋯⋯⋯线封z z xy 在点(2,1,0) 处的切平面方程及法线方程．2．求曲面 e 3解：号序密过5．求幂级数nx n 1 的和函数S(x) ，并求级数n 1 nn 的和．n1 2解：超号班学要教不纸卷试题答3. 交换积分次序，并计算二次积分解：sin ydxdyxy．学大峡三⋯⋯．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2017 年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷 A 共3 页第2页阅卷人得分四、综合解答题二（ 5 个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字⋯⋯⋯⋯⋯⋯说明、证明过程或演算步骤）1. 从斜边长为 1 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．解4．计算xdS，为平面x y z 1在第一卦限部分.解：名姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯．⋯号学⋯⋯⋯线2．计算积分L2 2( )dx y s，其中L 为圆周2 2x y ax ( a0)．号序封密解：蝌，5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分dxdy + dydz + dzdxS2 2 2其中为圆锥面z x y z 0 z 1介于平面及之间的部分的下侧.解：过超号班学要教不纸卷试题答3．利用格林公式，计算曲线积分I (x y )dx (x 2xy)dy ，其中L 是由抛物线y x2 和2 2Lx y2 所围成的区域D的正向边界曲线．学大峡三⋯⋯．⋯y2y x2 x y⋯D⋯⋯O x⋯⋯⋯⋯2017 年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷 A 共3 页第 3 页2017 学年春季学期（B ）若级数2a 发散，则级数na 也发散；n《高等数学Ⅰ（二） 》期末考试试卷(A)答案及评分标准（C ）若级数n n 1 12 a 收敛，则级数 nn n 11a 也收敛；n（D ）若级数|a n |收敛，则级数2a 也收敛．nn 1n 1一、单项选择题（ 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）题号1 2 3 4 5 6 7 8答案D A B B A D C D二、填空题 (7 个小题，每小题 2 分，共 14 分) ．3x 4y 2z 6 0 x 3y z a 01. 直线与 z 轴相交，则常数 a 为 3 。
高等数学2(下册)试题答案以及复习要点(完整版)
高等数学(2)试题答案以及复习要点汇总一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ] (A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。
解：选A 。
23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得 242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。
2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ] (A) –2和2； (B) –3和3； (C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。
x y axy yPxy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(rrdr r r d A πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-22202rdr r d C πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d D πθ。
解：选D 。
()⎰⎰+-=22220412rdr r r d I πθ 。
4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ] (A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交 。
高等数学Ⅱ期末复习题解答2010
《高等数学》课程期末复习题一参考答案一、填空题：（请将正确答案填在横线上。
每小题2分，共10分） 1. 二元函数)ln(2arcsin x y yx z -+-=的定义域为.20≤-≤x y 2. 设()1yz xy =+，则=∂∂xz 21(1)y y xy -+. 3. 微分方程25)1(12+++=x z x dx dz 的通解是272)1(32)1()(+++=x x C x z4. 交换二次积分的次序 1 01dy (,) d yf x y x --⎰⎰=01(,)xdx f x y dy --⎰⎰.5. 函数xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是 !)2(l n n n.二、选择题：（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内. 每小题2分，共20分）1. 2R 的任意点集的全部边界点所组成的集合 ( B ). （A ）是开集； （B ）是闭集； （C ）既是开集又是闭集； （D ）两者都不是 .2. (,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数存在是(,)f x y 在00(,)x y 处可微的( A ). （A ）必要条件； （B ）充分条件； （C ）充分必要条件； （D ）以上都不是.3. 非齐次线性微分方程 "2'5sin 2t x x x te t -+= 的特解形式x *= ( D ).(A)()sin 2;t At B e t + (B) ()()cos 2sin 2t e At B t Ct D t +++⎡⎤⎣⎦； (C) ()sin 2;t t At B e t +；(D) ()()cos 2sin 2t te At B t Ct D t +++⎡⎤⎣⎦.4. 设函数),(y x f 在1:22≤+y x D 上连续，则=⎰⎰Ddxdy y x f ),(( C ).（A ）⎰⎰-21010),(4x dy y x f dx； （B ）⎰⎰--1111),(dy y x f dx ；（C ）⎰⎰ρθρθρθπd f d )sin ,cos (20； （D ）⎰⎰----221111),(x x dy y x f dx.5.设方程xyz +(),z f x y =，则(),f x y 在点()1,0,1-处的全微分dz =（ D ）.（A）dx （B）dx - （C）dx - （D）dx 6. 在下列级数中，唯有（ C ）是收敛的.（A ）∑∞=++15101n n n （B ）∑∞=++1211n n n （C ）∑∞=-+-111)1(n n n （D ）∑∞=11n n7. 设D 由x 轴，e x x y ==,ln 围成，则=⎰⎰Ddxdy y x f ),(（ （B ） ）.（A ）⎰⎰xedy y x f dx ln 0),( （B ）⎰⎰xe dy y xf dx ln 01),(（C ）⎰⎰ye dx y xf dy 010),( （D ）⎰⎰ye edx y x f dy ),(18. 设可微函数f (x, y )在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是 ( A ) . (A)),(0y x f 在0y y =处的导数等于零 （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零 (C)),(0y x f 在0y y =处的导数小于零 (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在9. 幂级数1113n n n x n -∞-=∑收敛域是 ( A ).( A ) [-3,3) ( B ) [-3, 3] ( C ) (－3, 3) ( D) (-3, 3]10. 微分方程"2'0-+=y y y 的解是( A ) .（A ）x y xe = （B ） 2x y x e = （C ） 2x y x e =- （D ） 2xy xe =-三、计算题：（每小题7分, 共56分） 1. 设yzz x ln =，求dz . 解：设z zx F y F z F y z z x F z y 1,1,1,ln ln 2''',--===+-=''2''22211= , - ,11()dz=()y x z zF F z z z z y z x x x x z y x z y F F z zz z z z dx dyx z x z y--∂∂====--∂+∂+--+++=-2. 求函数 11(,) (0)z f x y xy xy x y ==++≠的极值. 解 22110, 0,x yz y z x x y =-==-= 解得驻点(1, 1); 32, A=2, xx z x = 2321,1, ,2, 30, A>0xy yy z B z C AC B y====-=>; 故有极小值 (1,1) 3 z = 3.计算二重积分d Dx y ，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.解：积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x 的一次函数， “先x 后y ”积分较容易，所以10d d yDx y y x =⎰⎰()311222002122d d 339y y xy y y y y=--==⎰⎰ 4. 计算3222()(2cos ) d (12sin 3) d c xy y x x y x x y y -+-+⎰，其中()C 为抛物线 22x y π= 从点()0,0到点(, 1 )2π的一段弧。
高数二期末考试题
高数二期末考试题第一篇：高数二期末考试题高数是我们比较难学的一个科目，下面是小编整理的高数二期末考试题，希望对你有帮助。
一、填空。
（28分值）1、1米=（）厘米 45厘米-6厘米=（）厘米37厘米+5厘米=（）厘米23米-8米=（）米2、6个3相加，写成乘法算式是（），这个式子读作（）。
3、在下面的（）里最大能填几？（）×6＜27（）＜3×74×（）＜15 35＞7×（）4、在算式4×7=28中，4是（），7是（），28是（）。
5、先把下面的口诀补充完整，再根据口诀写出两道乘法算式。
八九（）（）二十四6、小芳和小伙伴们计划两天做100颗星，昨天做了58颗，今天他们大约要做（）颗。
7、一把三角板上有（）个角，其中（）个是直角。
8、算得积是18的口诀有（）和（）。
9、在○里填上“+”、“-”、“×”或“＜”、“＞”、“=”。
8○6=48 36○73-37 9×7○652○2=4 43○6×7 18○9=9二、判断。
（5分值）1、9个相加的和是13。
（）2、小强身高大约是137厘米。
（）3、角都有一个顶点，两条边。
（）4、计算48+29，得数大约是70。
（）5、1米和100厘米一样长。
（）三、选择题。
（把正确答案的序号填在括号里，5分值）1、5个3相加是多少？正确的列式是（）Ａ、5+5+5=15 B、5＋3=８ C、5×3=152、用2、6、0三个数字组成的两位数有（）个。
Ａ、２ B、４Ｃ、６3、小明有50元钱，买故事书花了28元，他大约还剩（）元。
A、22B、30C、204、5+5+5+4，不可以改写成算式（）。
A、5×4B、5×3+4C、4×5-15、4个好朋友见面互相拥抱一次，共要拥抱（）次。
A、3次B、4次C、6次四、计算。
（26分值）1、用竖式计算。
（15分值）90-47= 59+26= 63-28=37+46-54= 81-32-27= 42-34+57=2、列式计算。
级高数期末复习题
高等数学2期末复习题一一、 填空题：（共10小题，每小题2分，共20分） 1、0x y →→=___0.5_____。
2、积分1(,)ydy f x y dx ⎰交换积分次序后，为___________。
3、若22(,)f x y xy x xy y +=-+，则(1,1)x f '=______________。
4、在坐标面xoz 上的抛物线25z x =绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程为 ___________。
5、若级数)1sin (1n n u n n -∑∞=收敛，则=∞→n n u lim 。
6、 函数333z x y xy =+-的驻点是_____________。
7、某产品的需求量Q 是价格p 和消费者平均收入y 的函数，即(,)Q Q p y =，且Q 对p 、y 的偏导都存在，则Q 对y 的偏弹性为________。
8、函数x y 2=的麦克劳林公式中n x 项的系数是_____________。
9、若级数1n n u ∞=∑的部分和数列为21n n s n+=，则n u =_____________。
10、微分方程''2'150y y y +-=的通解为y =_____________。
二、 单项选择：（共5小题，每小题2分，共10分）1、设线性无关函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的解，则该方程的通解是 ( )。
(A)11223C y C y y ++；(B)1122123()C y C y C C y +++；(C)1122123(1)C y C y C C y +---；(D)1122123(1)C y C y C C y ++--。
2、设32,1,)(22，==⎰⎰+-i dxdy e I iD y xi , 其中: }|),{(2221r y x y x D ≤+=,}2|),{(2222r y x y x D ≤+=, }||,|||),{(3r y r x y x D ≤≤=则下列结论正确的是(A) 321I I I << (B) 132I I I << (C) 231I I I <<(D)123I I I << 3、下列级数条件收敛的是（）。
高等数学2(下册)试题答案以及复习要点汇总(完整版)
高等数学(2)试题答案以及复习要点汇总一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ](A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。
解：选A 。
23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得 242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。
2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ] (A) –2和2； (B) –3和3； (C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。
x y axy yPxy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(rrdr r r d A πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-22202rdr r d C πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d D πθ。
解：选D 。
()⎰⎰+-=22220412rdr r r d I πθ 。
4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ] (A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交 。
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《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b （ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ） (A) 2240a d a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 22402ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ ）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D)235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim),(σηξσλ中的λ代表的是（ ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y (B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-xx y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰1010d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面 9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件10、设平面曲线L 为下半圆周 y =则曲线积分22()Lx y ds +=⎰( )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π 11、若级数1nn a∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ ）(A)12nn a∞=∑收敛 (B)1(2)nn a∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D)13nn a∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。
13、已知→→b a //且 ),2,4,(),1,2,1(-=-=→→x b a 则x = ( )（A ） -2 （B ） 2 （C ） -3 （D ）314、在空间直角坐标系中，方程组2221z x y y ⎧=+⎨=⎩代表的图形为( )（A ）抛物线 (B) 双曲线 （C ）圆 (D) 直线 15、设)arctan(y x z +=，则yz∂∂= （ ） (A) 22)(1)(sec y x y x +++ (B) 2)(11y x ++ （C ）2)(11y x ++- (D)2)(11y x +-16、二重积分⎰⎰1102),(y dx y x f dy 交换积分次序为 ( )（A ）⎰⎰x dy y x f dx 010),( (B)⎰⎰100),(2dy y x f dx y(C)⎰⎰11),(dy y x f dx (D) ⎰⎰210),(x dy y x f dx17、若已知级数∑∞=1n nu收敛，n S 是它的前n 项之和，则此级数的和是（ ）（A ）n S (B)n u (C) n n S ∞→lim (D) n n u ∞→lim18、设L 为圆周：2216x y +=，则曲线积分2LI xyds =⎰的值为（ ）（A ）1- (B) 2 （C ）1 (D) 0 19、 设直线方程为210zy x ==，则该直线必 ( ) （A ） 过原点且x ⊥轴 （B ）过原点且y ⊥轴 （C ） 过原点且z ⊥轴 （D ）过原点且x //轴 20、平面260x y z ++-=与直线234112x y z ---==的交点坐标为（ ） (A)（1，1，2） (B)（2，3，4） （C ）（1，2，2） (D)（2，1，1） 21、考虑二元函数的下面4条性质：① (,)f x y 在点00(,)x y 处连续； ②(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续； ③(,)f x y 在点00(,)x y 处可微； ④(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在. 若用“P Q ⇒”表示可由性质P 推出性质Q ，则有 （ ）（A ）②⇒③⇒① (B) ③⇒ ②⇒① (C) ③⇒④⇒① (D) ③⇒①⇒④ 22、下列级数中绝对收敛的级数是( )(A)1(1)nn ∞=-∑ (B) 211tan n n ∞=∑ (C)21 1 (1)23 n n n n ∞=+-+∑ (D)11ln(1)n n ∞=+∑ 23、设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz＝（ ）（A ） 22-（B ）22 （C ）2 （D ）2- 24、设a 为常数，则级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--1cos 1)1(n n n a （ ）(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与a 的取值有关25、设常数0>k ，则级数∑∞=+-12)1(n nnnk （ ） (A) 发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)敛散性与k 的取值有关 26、211y xdx e dy =⎰⎰( )(A)12e + (B)12e - (C) 12e - (D)12e + 二、填空题 1、0x y →→=2、二元函数 (23)z sin x y =+，则zx∂=∂ 3、积分σd e I y x y x ⎰⎰≤++=42222的值为4、若→→b a , 为互相垂直的单位向量， 则=⋅→→b a5、交换积分次序210(,)x dx f x y dy =⎰⎰6、级数111()23n nn ∞=+∑的和是 7、00x y →→=8、二元函数 (23)z sin x y =+，则zy∂=∂ 9、设),(y x f 连续，交换积分次序=⎰⎰xxdy y x f dx 2),(110、设曲线L ： 222x y a+=，则(2sin 3cos )Lx y x ds +=⎰11、若级数11()nn u∞=+∑收敛，则lim n n u →∞=12、若22(,)f x y x y x y +-=-则 (,)f x y =13、00x y →→=14、已知→→⊥b a 且 ),1,,0(),3,1,1(-==→→x b a 则x = 15、设),ln(33y x z +=则=)1,1(dz16、设),(y x f 连续，交换积分次序=⎰⎰y y dx y x f dy 2),(1017、级数1nn uS ∞==∑，则级数()11n n n u u ∞+=+∑的和是18、设L 为圆周：222R y x =+，则曲线积分sin LI x yds =⎰的值为19、222222(,)(0,0)1cos()lim()x y x y x y x y e→-+=+20、已知,a i j b k =+=-, 则a b ⨯= 21、0sin()limx y axy x →→=22、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，则a b ⋅=23、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰24、22(,)limx y →=25、3a =，4b =，a 与b 的夹角是2π，则a b ⨯= 26、已知三角形的顶点的面积等于则ABC ),2,0,0(),0,1,2(),1,1,1(∆-C B A 27、点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M 28、若322a i j k ,b i j k ,→→→→→→→→=--=+-则a b →→⋅= 29、00x y →→30、函数2(,)(3)(1),xy f x y x y x e =-+-求(1,3)x f =三、解答题1、（本题满分12分）求曲面23zz e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程。
2、（本题满分12分）计算二重积分⎰⎰Dyx dxdy e，其中D 由y 轴及开口向右的抛物线2y x =和直线1y =围成的平面区域。
3、（本题满分12分）求函数2(234)u ln x y z =++的全微分du 。
4、（本题满分12分）证明：函数242,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x yx y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩在点（0，0）的两个偏导数存在，但函数(,)f x y 在点（0，0）处不连续。
5、（本题满分10分）用比较法判别级数∑∞=+1)12(n nn n 的敛散性。
6、（本题满分12分）求球面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的法线方程。
7、（本题满分12分）计算⎰⎰+=Dyx y x I d d )(22，其中}41),{(22≤+≤=y x y x D 。
8、（本题满分12分）力{},,F x y x =-的作用下，质点从(0,0,0)点沿22x t L y t z t⎧=⎪==⎨⎪=⎩ 移至(1,2,1)点，求力F 所做的功W 。
9、（本题满分12分）计算函数sin()u x yz =的全微分。
10、（本题满分10分）求级数11(1)n n n ∞=+∑的和。
11、（本题满分12分）求球面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面方程。
12、（本题满分12分）设）（22ln y xy x z ++=,求yzy x z x ∂∂⋅+∂∂⋅。
13、（本题满分12分）求22(1)d d Dx y x y --⎰⎰，其中D 是由y x =，0y =，221x y +=在第一象限内所围成的区域。
14、（本题满分12分）一质点沿曲线⎪⎩⎪⎨⎧===20t z t y x 从点(0,0,0)移动到点(0,1,1)，求在此过程中，力k j y i x F +-+=41所作的功W 。
15、（本题满分10分）判别级数11sin n n n ∞=∑ 的敛散性。
16、（本题满分20分）求一条过点(1,0,A -与一平面:3410x y z π-++=平行，且与直线13:112x y zL +-==相交的直线方程. 17、（本题满分20分）求椭球面2222321x y z ++=上的点M ，使直线631:212x y z L ---==-在过M 点的切平面上.18、（本题满分12分）计算二重积分1d d x y I xy x y +≤=⎰⎰。