_实验2动态规划法
动态规划法,回溯法,分支限界法求解TSP问题实验报告
TSP问题算法实验报告指导教师：****名：***学号：**********提交日期：2015年11月目录总述 (2)动态规划法 (3)算法问题分析 (3)算法设计 (3)实现代码 (3)输入输出截图 (6)OJ提交截图 (6)算法优化分析 (6)回溯法 (6)算法问题分析 (6)算法设计 (7)实现代码 (7)输入输出截图 (9)OJ提交截图 (9)算法优化分析 (10)分支限界法 (10)算法问题分析 (10)算法设计 (10)实现代码 (10)输入输出截图 (15)OJ提交截图 (15)算法优化分析 (15)总结 (16)总述TSP问题又称为旅行商问题，是指一个旅行商要历经所有城市一次最后又回到原来的城市，求最短路程或最小花费，解决TSP可以用好多算法，比如蛮力法，动态规划法…具体的时间复杂的也各有差异，本次实验报告包含动态规划法，回溯法以及分支限界法。
动态规划法算法问题分析假设n个顶点分别用0~n-1的数字编号，顶点之间的代价存放在数组mp[n][n]中，下面考虑从顶点0出发求解TSP问题的填表形式。
首先，按个数为1、2、…、n-1的顺序生成1~n-1个元素的子集存放在数组x[2^n-1]中，例如当n=4时，x[1]={1},x[2]={2},x[3]={3},x[4]={1,2},x[5]={1,3},x[6]={2,3},x[7]={1,2,3}。
设数组dp[n][2^n-1]存放迭代结果，其中dp[i][j]表示从顶点i经过子集x[j]中的顶点一次且一次，最后回到出发点0的最短路径长度，动态规划法求解TSP问题的算法如下。
算法设计输入：图的代价矩阵mp[n][n]输出：从顶点0出发经过所有顶点一次且仅一次再回到顶点0的最短路径长度1.初始化第0列（动态规划的边界问题）for(i=1;i<n;i++)dp[i][0]=mp[i][0]2.依次处理每个子集数组x[2^n-1]for(i=1;i<n;i++)if（子集x[j]中不包含i）对x[j]中的每个元素k，计算d[i][j]=min{mp[i][k]+dp[k][j-1]};3.输出最短路径长度。
算法实验报告
实验一分治与递归算法的应用一、实验目的1．掌握分治算法的基本思想（分-治-合）、技巧和效率分析方法。
2．熟练掌握用递归设计分治算法的基本步骤（基准与递归方程）。
3．学会利用分治算法解决实际问题。
二 . 实验内容金块问题老板有一袋金块（共n块，n是2的幂（n≥2））,最优秀的雇员得到其中最重的一块，最差的雇员得到其中最轻的一块。
假设有一台比较重量的仪器，希望用最少的比较次数找出最重和最轻的金块。
并对自己的程序进行复杂性分析。
三.问题分析:一般思路：假设袋中有n 个金块。
可以用函数M a x（程序1 - 3 1）通过n-1次比较找到最重的金块。
找到最重的金块后，可以从余下的n-1个金块中用类似法通过n-2次比较找出最轻的金块。
这样，比较的总次数为2n-3。
分治法：当n很小时，比如说，n≤2，识别出最重和最轻的金块，一次比较就足够了。
当n 较大时（n＞2），第一步，把这袋金块平分成两个小袋A和B。
第二步，分别找出在A和B中最重和最轻的金块。
设A中最重和最轻的金块分别为HA 与LA，以此类推，B中最重和最轻的金块分别为HB 和LB。
第三步，通过比较HA 和HB，可以找到所有金块中最重的；通过比较LA 和LB，可以找到所有金块中最轻的。
在第二步中，若n＞2，则递归地应用分而治之方法程序设计据上述步骤，可以得出程序1 4 - 1的非递归代码。
该程序用于寻找到数组w [ 0 : n - 1 ]中的最小数和最大数，若n < 1，则程序返回f a l s e，否则返回t r u e。
当n≥1时，程序1 4 - 1给M i n和M a x置初值以使w [ M i n ]是最小的重量，w [ M a x ]为最大的重量。
首先处理n≤1的情况。
若n>1且为奇数，第一个重量w [ 0 ]将成为最小值和最大值的候选值，因此将有偶,数个重量值w [ 1 : n - 1 ]参与f o r循环。
当n 是偶数时，首先将两个重量值放在for 循环外进行比较，较小和较大的重量值分别置为Min和Max，因此也有偶数个重量值w[2:n-1]参与for循环。
算法设计与分析课程教学大纲
算法设计与分析课程教学大纲【适用专业】计算机科学与技术【课时】理论课时：32【学分】 2【课程性质、目标和要求】《算法设计与分析》是计算机科学与技术专业的专业课。
无论是计算科学还是计算实践，算法都在其中扮演着重要角色。
本课程的教学目的是讲授在计算机应用中常常遇到的实际问题的解法，讲授设计和分析各种算法的基本原理、方法和技术，培养学生对算法复杂性进行正确分析的能力。
课程基本要求是⑴掌握算法分析的基本概念和理论。
⑵掌握算法设计技术和分析算法以及算法复杂性。
【教学时间安排】本课程计 2 学分，理论课时32, 学时分配如下：【教学内容要点】第一章算法引论一、学习目的要求1．了解算法的计算复杂性分析方法2．理解算法分析的基本理论3．掌握算法分析的基本概念二、主要教学内容1. 算法的基本概念2. 表达算法的抽象机制3. 采用Java语言与自然语言相结合的方式描述算法的方法4. 算法的计算复杂性分析方法第二章递归与分治策略一、学习目的要求1．理解典型范例中递归与分治策略应用技巧2．掌握递归与分治策略3．掌握数学归纳法证明算法正确性方法二、主要教学内容1. 递归的概念2. 分治法的基本思想3. 二分搜索技术4. 大整数的乘法5. Strassen阵乘法6. 棋盘覆盖7. 合并排序8. 快速排序9. 线性时间选择10. 最接近点对问题11. 循环赛日程表第三章动态规划一、学习目的要求1．理解典型范例中动态规划算法的设计思想2．掌握动态规划算法的基本要求以及算法的设计要点二、主要教学内容1. 矩阵连乘问题2. 动态规划算法的基本要素3. 最长公共子序列4. 最大子段和5. 凸多边形最优三角剖分6. 多边形游戏7. 图像压缩8. 电路布线9. 流水作业调度10. 0—l背包问题11. 最优二叉搜索树12. 动态规划加速原理三、课堂讨论选题1. 最长公共子序列2. 0—l背包问题第四章贪心算法一、学习目的要求1．了解贪心算法的理论基础及基本要素2. 理解典型范例中贪心算法的设计思想3. 掌握贪心算法的设计要点二、主要教学内容1. 活动安排问题2. 贪心算法的基本要素3. 最优装载4. 哈夫曼编码5. 单源最短路径6. 最小生成树7. 多机调度问题8. 贪心算法的理论基础三、课堂讨论选题1. 最优装载2. 单源最短路径第五章回溯法一、学习目的要求1．理解回溯法的效率分析方法2．掌握回溯法的算法框架和应用技巧二、主要教学内容1. 回溯法的算法框架2. 装载问题3. 批处理作业调度4. 符号三角形问题5. n后问题6. 0—l背包问题7. 最大团问题8. 图的m着色问题9. 旅行售货员问题10. 圆排列问题11. 电路板排列问题12. 连续邮资问题13. 回溯法的效率分三、课堂讨论选题1. 0—l背包问题2. 图的m着色问题第六章分支限界法一、学习目的要求1．理解分支限界法的基本思想2．掌握典型范例中分支限界法的应用技巧二、主要教学内容1. 分支限界法的基本思想2. 单源最短路径问题3. 装载问题4. 布线问题5. 0-1背包问题6. 最大团问题7. 旅行售货员问题8. 电路板排列问题9. 批处理作业调度三、课堂讨论选题1. 0-1背包问题2. 批处理作业调度第七章概率算法一、学习目的要求1．理解概率算法的基本思想2．掌握典型范例中概率算法的应用技巧二、主要教学内容1. 随机数2. 数值概率算法3. 舍伍德算法4. 拉斯维加斯算法5. 蒙特卡罗算法第八章 NP完全性理论一、学习目的要求1．了解P类与NP类问题2．了解典型的NP完全问题二、主要教学内容1. 计算模型2. P类与NP类问题3. NP完全问题4. 一些典型的NP完全问题第九章近似算法一、学习目的要求1．掌握近似算法的基本思想2．掌握常用近似算法的应用二、主要教学内容1. 近似算法的性能2. 顶点覆盖问题的近似算法3. 旅行售货员问题近似算法4. 集合覆盖问题的近似算法5. 子集和问题的近似算法第十章算法优化策略一、学习目的要求1．掌握算法优化策略2．掌握算法优化的基本方法二、主要教学内容1. 算法优化策略的比较与选择2. 动态规划加速原理3. 问题的算法特征4. 优化数据结构5. 优化搜索策略【教学（实验）内容要点】算法设计与分析实验是算法设计与分析课的一个实践性教学环节。
实验二动态重点规划算法
实验二动态规划算法一、实验目旳与规定1、熟悉最长公共子序列问题旳算法；2、初步掌握动态规划算法；二、实验题若给定序列X={x1,x2,…,xm}，则另一序列Z={z1,z2,…,zk}，是X旳子序列是指存在一种严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有j=1,2,…,k有：zj=xij。
例如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D，A，B}旳子序列，相应旳递增下标序列为{2，3，5，7}。
给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X旳子序列又是Y旳子序列时，称Z 是序列X和Y旳公共子序列。
给定2个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出X和Y旳最长公共子序列。
三．(1)实验源代码://最长公共子序问题://问题描述: 若给定序列X={x1,x2,…,xm}，则另一序列Z={z1,z2,…,zk}，//是X旳子序列是指存在一种严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有j=1,2,…,k有：zj=xij。
//例如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D，A，B}旳子序列，相应旳递增下标序列为{2，3，5，7}。
//给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X旳子序列又是Y旳子序列时，称Z 是序列X和Y旳公共子序列。
//给定2个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出X和Y旳最长公共子序列。
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define max 1000//注意：这里使用旳char数组，可以按字符输出，若改为string类型，//执行printf("%c",A[m-1])就会报错;char A[100],B[100]; //输入旳两个串a和b//这里定义全局变量可以不赋值0，由于全局变量自动赋值0;int c[max][max]; //记录最长公共子序旳长度；int b[max][max]; //记录状态号;void LCS(int m,int n){if(m==0||n==0){return;}else if(b[m][n]==1){LCS(m-1,n-1);printf("%c",A[m-1]);}else if(b[m][n]==2){m=m-1;LCS(m,n);}else if(b[m][n]==3){n=n-1;LCS(m,n);}}void LCS_length(int m,int n){for(int i=1;i<=m;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(A[i-1]==B[j-1]){c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;b[i][j]=1;}else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1]){c[i][j]=c[i-1][j];b[i][j]=2;}else{c[i][j]=c[i][j-1];b[i][j]=3;}}}}int main(){printf("请输入两个待测旳字符串:\n");scanf("%s",&A);scanf("%s",&B);int m=strlen(A); //m为A串长度；int n=strlen(B); //n为B串长度;LCS_length(m,n);printf("其最长公共子序旳长度为:%d\n",c[m][n]);printf("其最长公共子序为:");LCS(m,n);return 0;}(2)运营成果为:(3)算法思路:最长公共子序列旳构造有如下表达：设序列X=<x1, x2, …, x m>和Y=<y1, y2, …, y n>旳一种最长公共子序列Z=<z1, z2, …, z k>，则：1.若x m=y n，则z k=x m=y n且Z k-1是X m-1和Y n-1旳最长公共子序列；2.若x m≠y n且z k≠x m ，则Z是X m-1和Y旳最长公共子序列；3.若x m≠y n且z k≠y n，则Z是X和Y n-1旳最长公共子序列。
《动态规划法》课件
动态规划法的发展趋势
混合整数动态规划
将整数变量引入动态规划中，解决更复杂的问题 ，如组合优化问题。
动态规划与机器学习结合
利用机器学习算法辅助动态规划求解，提高算法 的效率和准确性。
ABCD
多目标动态规划
考虑多个相互冲突的目标，寻求最优解的权衡。
分布式动态规划
将问题分解为多个子问题，在分布式系统中并行 求解，提高大规模问题的处理能力。
排班问题
总结词
动态规划法可以用于解决排班问题，使得员工的工作计 划安排最优。
详细描述
排班问题是一个多约束优化问题，涉及到员工的工作时 间、班次、休息时间等多个因素。通过构建状态转移方 程和优先级规则，动态规划法能够求解出满足所有约束 条件的最佳排班方案。
生产调度问题
总结词
动态规划法可以应用于生产调度问题，优化生产流程 和资源分配。
策略
一系列决策的集合，表示从初始状态到终止状态的整个求解过程。
转移方程与最优解
转移方程
描述状态转移的数学方程，表示从一个状态转移到另一个状 态的关系。
最优解
在所有可能的策略中，能够使目标函数达到最优值的策略。
03
动态规划法的求解步骤
问题的分解
总结词
将复杂问题分解为若干个子问题
详细描述
动态规划法首先将原问题分解为若干个子问题，每个子问题都是原问题的简化版本。通过解决这些子 问题，可以逐步推导出原问题的解决方案。
02
动态规划法的基本概念
阶段与状态
01
阶段
将问题的求解过程划分为若干个 相互联系的阶段，以便按一定的 次序进行求解。
02
03
状态
状态转移
在某一时刻，问题所处的情况或 状态。
动态规划实验报告心得
一、实验背景动态规划是一种重要的算法设计方法，广泛应用于解决优化问题。
本次实验旨在通过实际操作，加深对动态规划算法的理解，掌握其基本思想，并学会运用动态规划解决实际问题。
二、实验内容本次实验主要包括以下几个内容：1. 动态规划算法概述首先，我们对动态规划算法进行了概述，学习了动态规划的基本概念、特点、应用领域等。
动态规划是一种将复杂问题分解为若干个相互重叠的子问题，并存储已解决子问题的解，以避免重复计算的方法。
2. 矩阵连乘问题矩阵连乘问题是动态规划算法的经典问题之一。
通过实验，我们学会了如何将矩阵连乘问题分解为若干个相互重叠的子问题，并利用动态规划方法求解。
实验过程中，我们分析了问题的最优子结构、子问题的重叠性，以及状态转移方程，从而得到了求解矩阵连乘问题的动态规划算法。
3. 0-1背包问题0-1背包问题是另一个典型的动态规划问题。
在实验中，我们学习了如何将0-1背包问题分解为若干个相互重叠的子问题，并利用动态规划方法求解。
实验过程中，我们分析了问题的最优子结构、子问题的重叠性，以及状态转移方程，从而得到了求解0-1背包问题的动态规划算法。
4. 股票买卖问题股票买卖问题是动态规划在实际应用中的一个例子。
在实验中，我们学习了如何将股票买卖问题分解为若干个相互重叠的子问题，并利用动态规划方法求解。
实验过程中，我们分析了问题的最优子结构、子问题的重叠性，以及状态转移方程，从而得到了求解股票买卖问题的动态规划算法。
三、实验心得1. 动态规划算法的思维方式通过本次实验，我深刻体会到了动态规划算法的思维方式。
动态规划算法的核心是将复杂问题分解为若干个相互重叠的子问题，并存储已解决子问题的解。
这种思维方式有助于我们更好地理解和解决实际问题。
2. 状态转移方程的重要性在动态规划算法中，状态转移方程起着至关重要的作用。
它描述了子问题之间的关系，是求解问题的关键。
通过本次实验，我学会了如何分析问题的最优子结构，以及如何建立合适的状态转移方程。
算法分析_综合性设计性实验_动态规划法_实验报告
for( i = 0 ; i < n ; i ++ )
{
scanf("%d %d",&T[i].value , &T[i].num );
}
scanf("%d",&m ) ;
sort(T,T+n ,comp );
sum = 0 ;
int k = -1 ;
for( i = n-1 ; i >=0 ; i-- )
写出此问题的解空间，画出正确的解空间树是做好本次实验的关键环节。
若重做本实验，为实现预期效果，仪器操作和实验步骤应如何改善：
因为n越大，所要执行的次数就会迅猛增加，所以机器配置应该更高一点，这样才能保证实验有效进行，因为此实验采用的是两种不同的方法，所以排列树这种实验方法的时间效率会更高。
3）、对实验的自我评价：
小组合作：是○否●
小组成员：
1、实验目的：
1）理解回溯法的深度优先搜索策略
2）掌握用回溯法解题的算法框架
3）针对具体问题，能应用回溯法设计有效算法
4）用C++实现算法，并且分析算法的效率
2、实验设备及材料：
硬件设备：PC机
操作系统：win7
开发工具：vc++6.0
3、实验内容
最少硬币问题
问题描述
设有n种不同面值的硬币，各个硬币的面值存于数组T[1:n]中，现在要用这些面值的硬币来找钱，可以使用的各种面值的硬币个数存于数组Coin[1:n]中。
姓名姓名姓名学号学号学号200908001157?200908001157?200908001157?专业专业专业计算机科学与技术计算机科学与技术计算机科学与技术班级班级班级09?09?09?01?01?01?班班实验课程名称实验课程名称实验课程名称算法设计与分析算法设计与分析算法设计与分析??指导教师及职称指导教师及职称指导教师及职称吕兰兰吕兰兰吕兰兰讲师讲师讲师开课学期开课学期开课学期2011?2011?2011?至至2012?2012?2012?学年学年学年学期学期学期上课时间上课时间上课时间201120112011年年12?12?12?月月湖南科技学院教务处编印湖南科技学院教务处编印湖南科技学院教务处编印实验名称
动态规划法2
因此，动态规划法所针对的问题有一个显著的特征，即它所对应的子问题树中的子问题呈现大量的重复。动态规划法的关键就在于，对于重复出现的子问题，只在第一次遇到时加以求解，并把答案保存起来，让以后再遇到时直接引用，不必重新求解。
一般来说，适合于用动态规划法求解的问题具有以下特点：
1、可以划分成若干个阶段，问题的求解过程就是对若干个阶段的一系列决策过程。
动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。
虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。
三、动态规划与其他算法的比较
动态规划与其说是一种算法，不如说是一种算法设计的策略，他的基本思想体现于许多其它算法之中。下面我们通过比较动态规划和其他的一些算法之间的相互联系，来深入理解动态规划的基本思想。
动态规划与静态规划——某些情况下可以相互转化
动态规划与递推——动态规划是最优化算法
南京邮电大学算法设计实验报告——动态规划法
if(a[i]==b[j]) {
c[i][j]=c[i-1][j-1]+1; s[i][j]=1; } else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1]) { c[i][j]=c[i-1][j]; s[i][j]=2; } else { c[i][j]=c[i][j-1]; s[i][j]=3; } } } return c[m][n]; //返回最优解值 }
算法分析与设计 A
动态规划法
2009
年 11 月 20 日
计算机学院软件工程系
张怡婷
学生姓名 学院(系)
丁力琪 班级学号 计算机学院 专 业
B07030907 软件工程
实验报告
实验名称
动态规划法
指导教师 张怡婷
实验类型
验证
实验学时 2×2 实验时间 2009-11-20
一、 实验目的和任务
目的：加深对动态规划法的算法原理及实现过程的理解，学习用动态
6
8、输入序列 X={x1,x2,……,xm}={a,b,c,b,d,a,b}和 Y={y1,y2,……,yn}={b,d,c,a,b,a}作为测 试数据，测试程序是否能够正确运行？输出结果是什么？ 运行正确，实验结果显示：4
bcba
9、分析该动态规划算法的两个主要成员函数 int LCSLength()和 void CLCS()的时间复杂 性。
#include<iostream> #include<string> using namespace std; #define maxlength 11 class LCS { public:
动态规划算法实验报告
南京信息工程大学滨江学院实验（实习）报告1.实验目的动态规划通常用来求解最优化问题。
通过本次实验掌握动态规划算法。
通过矩阵连乘问题和0-1背包问题实现动态规划算法。
学会刻画问题的最优结构特征，并利用最优化问题具有的重叠子问题性质，对每个子问题求解一次，将解存入表中，当再次需要这个子问题时直接查表，每次查表的代价为常量时间。
2.实验内容及分析设计过程1.矩阵链乘法问题矩阵链乘法问题可描述如下：给定个矩阵的链,矩阵的规模为，求完全括号方案，使得计算乘积所需的标量乘法次数最少。
令m[i,j]表示计算矩阵所需标量乘法次数的最小值，那么，原问题的最优解计是m[1,n］。
最小代价括号化方案的递归求解公式为采用自底向上表格法代替上述递归算法来计算最优代价。
为了实现自底向上方法，我们必须确定计算m[i,j]时需要访问哪些其他表项。
上述公式显示，j-i+l 个矩阵链相乘的最优计算代价m[i,j] 只依赖于那些少于j-i+l 个矩阵链相乘的最优计算代价。
因此，算法应该按长度递增的顺序求解矩阵链括号化问题，并按对应的顺序填写表m。
对如下输入A1 A2 A3 A4 A5 A630⨯35 35⨯15 15⨯5 5⨯10 10⨯20 20⨯25程序运行结果为2.背包问题给定n 个重量为价值为的物品和一个承重为W 的背包。
求这些物品中最有价值的一个子集，并且要能装到背包中。
设V[i,j]是能够放进承重量为j 的背包的前i 个物品中最有价值子集的总价值。
则递推关系为初始条件V[0,j]=0(j>=0),V[i,0]=0(i>=0) 我们的目标是求V[n ，W]。
递归式给出了V[i,j]的计算顺序，V[i,j]只依赖与前一行的那些项。
故可以逐行计算V[i,j].对于物品数量n=5，w[n]={2,2,6,5,4},v[n]={6,3,5,4,6},背包总重量c=10 程序运行结果为3. 实验小结通过本次实验加深了我对动态规划算法的理解。
动态规划算法实现多段图的最短路径问题算法设计与分析实验报告
动态规划算法实现多段图的最短路径问题算法设计与分析实验报告算法设计与分析实验报告实验名称 动态规划算法实现多段图的最短路径问题 评分 实验日期 年 月 日 指导教师 姓名 专业班级 学号一.实验要求1. 理解最优子结构的问题。
有一类问题的活动过程可以分成若干个阶段，而且在任一阶段后的行为依赖于该阶段的状态，与该阶段之前的过程如何达到这种状态的方式无关。
这类问题的解决是多阶段的决策过程。
在50年代，贝尔曼（Richard Bellman ）等人提出了解决这类问题的“最优化原理”，从而创建了最优化问题的一种新的算法设计方法－动态规划。
对于一个多阶段过程问题，是否可以分段实现最优决策，依赖于该问题是否有最优子结构性质，能否采用动态规划的方法，还要看该问题的子问题是否具有重叠性质。
最优子结构性质：原问题的最优解包含了其子问题的最优解。
子问题重叠性质：每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。
问题的最优子结构性质和子问题重叠性质是采用动态规划算法的两个基本要素。
2.理解分段决策Bellman 方程。
每一点最优都是上一点最优加上这段长度。
即当前最优只与上一步有关。
U s 初始值，u j 第j 段的最优值。
⎪⎩⎪⎨⎧+==≠}.{min ,0ijiji js w u u u3.一般方法1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征；2）递归地定义最优值（写出动态规划方程）；3）以自底向上的方式计算出最优值；4）根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。
步骤1-3是动态规划算法的基本步骤。
在只需要求出最优值的情形，步骤4可以省略，步骤3中记录的信息也较少；若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤4，步骤3中记录的信息必须足够多以便构造最优解。
二.实验内容1.编程实现多段图的最短路径问题的动态规划算法。
2.图的数据结构采用邻接表。
3.要求用文件装入5个多段图数据，编写从文件到邻接表的函数。
4.验证算法的时间复杂性。
第七章 动态规划法2(算法分析与设计课件)
m=
0 15750 7875 9735 11875 15125
0 2625 4375 712510500
0 750 2500 5375 0 1000 3500
的最优解导出的子问题的解不是最优的，然后再设法说明在这个假设下可构造出 比原问题最优解更好的解，从而导致矛盾。
利用问题的最优子结构性质，以自底向上的方式递归地从子问题的最优解逐 步构造出整个问题的最优解。最优子结构是问题能用动态规划算法求解的前提。
(2)子问题的重叠性质:每次产生的子问题并不都是新的子问题，有些子问题 被反复计算多次,这种性质称为子问题的重叠性质。
7
7.1 一般方法和基本要素
例2:多段图问题:求从s到t的一条长度最短的路径
(3)多段图的向前递推关系式
cost(k,t) 0 cost(i, j) min {c( j, p) cost(i 1, p)} 1 i k 1
jVi, pVi1 j, pE
其中,cost(i,j)是从i阶段状态j到t的最短路径的长度,i是阶段编号,j 是第i阶段的一个状态编号.
在s[i][j]中记录使得下式取得最小值的k.
m[i, j] min {m[i, k] m[k 1, j] pi pk1p j1}
ik j
7.3 矩阵连乘 A0 A1 A2 A3 A4 A5 3035 3515 155 510 1020 2025
7.3.2 动态规划法求解
动态规划算法，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中， 当再次需要解此子问题时，只是简单地用常数时间查看一下结果。
实验二最长公共子序列（动态规划算法）
实验二最长公共子序列（动态规划算法）班级：08计算机科学与技术（1）班学号：E08620113 姓名：戴斌江机器号：实验二最长公共子序列问题一、实验目的：1、理解动态规划算法的概念；2、掌握动态规划算法的基本要素；3、掌握设计动态规划算法的步骤；4、通过应用范例学习动态规划算法的设计技巧与策略；二、实验内容及要求：1、使用动态规划算法解决最长公共子序列问题：给定两个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出X和Y的最长公共子序列。
2、通过上机实验进行算法实现。
3、保存和打印出程序的运行结果，并结合程序进行分析，上交实验报告。
三、实验原理：动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程（decision process)最优化的数学方法。
20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。
1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。
算法总体思想：1)动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
2)与分治法不同的是，适合于用动态规划法求解的问题，经分解得到的子问题往往不是独立的。
子问题中存在大量的公共子问题，在分治求解过程中被多次重复计算，保存计算结果，为后面的计算直接引用，减少重复计算次数这就是动态规划的基本思想。
3)用动态规划算法求解问题，可依据其递归式以自底向上的方式进行计算。
在计算过程中，保存已解决的子问题的答案。
每个子问题只计算一次，而在后面需要时只要简单查一下，从而避免大量重复计算，最终得到多项式时间算法。
动态规划算法—租用游艇问题
动态规划算法——租用游艇问题（一）实验目的：理解动态规划思想，掌握用动态规划设计算法的方法来解决游艇租用问题。
（二）实验内容：长江游艇俱乐部在长江上设置了n个游艇出租站1，2，…，n。
游客可在这些游艇出租站租用游艇，并在下游的任何一个游艇出租站归还游艇。
游艇出租站i到游艇出租站j之间的租金为r（i,j）.设计一个算法，计算出从游艇出租站1到游艇出租站n所需要的最少租金。
（三）实验要求：对于给定的游艇出租站i到游艇出租站j之间的租金为r（i,j），编程计算从游艇出租站1到游艇出租站n所需要的最少租金。
上机调试并测试，记录调试和测试的情况，结合程序进行分析。
（四）实验环境：Vc++编译环境（五）实验主要源代码：（1）用dyna（）函数计算最少租金void dyna(int &n,int f[N][N]){for(int k=2;k<n;k++)for(int i=0;i<n-k;i++){int j=i+k;for(int p=i+1;p<j;p++){int tmp=f[i][p]+f[p][j];if(f[i][j]>tmp)f[i][j]=tmp;}}}（2）在主函数中实现输出结果。
int main(){ifstream fin("050501103in.txt");ofstream fout("050501103out.txt");if (fin.fail()) {cout<<"fin(\"050501103in.txt\")文件出错！请先建立050501103in文本！"<<endl;return 1;}if (fout.fail()) {cout<<"fout(\"050501103out.txt\")文件出错！";return 2;}int f[N][N];int n;int i,j;fin>>n;if(n<=0){ cout<<"请在050501103in文本的第一行中输入游艇出租站的个数："<<endl;cout<<"请在050501103in文本的第二行开始输入n（n-1）/2个站与站之间的租金数："<<endl;}else if(n>N){cout<<"请修改N的值,使N大于n："<<endl;}else {for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)if(j>i)fin>>f[i][j];cout<<"请在050501103out文本中看输出结果（从出租站1到n的最少租金）："<<endl;dyna(n,f);fout<<f[0][n-1]<<endl;}}（六）实验结果：050501103in.txt 050501103out.txt3 125 157（七）实验总结：此程序的设计思想：利用dyna（）函数计算最少租金。
算法课实验报告2.2(动态规划法)
实验报告2.2(递归法)学号：201208070103 姓名：陈明班级：智能1201第16 周课程名称算法设计与分析实验课时 2实验项目整数因子分解问题实验时间2015年1月10日实验目的对于给定的正整数n，计算n共有多少种不同的分解式。
实验环境Eclipse Luna, Java JDK1.7, Windows 8.1实验内容（算法、程序、步骤和方法）一、算法策略动态规划法。
把1~number的约数预先存起来，需要用得时候，直接在前面取得。
二、算法设计（步骤）1）把number的约数全部计算出来，存储在factor数组里面。
2）使用快速排序法QuickSort把factor按升序排序3）使用动态规划法。
把0~number的分解式的个数存在recordNum数组里面。
三、复杂度分析1）时间复杂度：首先时计算约数因子，其次是快速排序，最后是动态规划，这三步伟主要耗时。
故时间复杂T(n)=O(n)+O(n*log n)+O(k) (其中k为number 的约数个数，故为常数级别)。
故T(n)<O(n*log n)+ O(n*log n)=2 O(n*log n)故该算法的时间复杂度为 O(n*log n)2）空间复杂度：O(n)1）从控制台console输入数字，java封装类Scanner获得输入流；2）获得的数字，赋值给number数据记录和计算1）number=12时：2）number=11时：结论（结果）3）number=888888时：小结1）动态规划法相对于递归法来说，当输入规模很大时，应该考虑动态规划法；2）进行两个种方法的对比：Number=888888动态规划法：递归法：T(动态规划)=30毫秒，T(递归策略)=263毫秒显然，从耗时上来看，动态规划法要优于递归策略！指导老师评议成绩评定：指导教师签名：。
背包问题问题实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解背包问题的基本概念和分类。
2. 掌握不同背包问题的解决算法，如0-1背包问题、完全背包问题、多重背包问题等。
3. 分析背包问题的复杂度，比较不同算法的效率。
4. 通过实验验证算法的正确性和实用性。
二、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3.73. 开发工具：PyCharm4. 实验数据：随机生成的背包物品数据三、实验内容1. 0-1背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。
求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大。
（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个二维数组dp[n+1][C+1]，其中dp[i][j]表示前i个物品在容量为j 的背包中的最大价值。
b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值计算dp值。
c. 返回dp[n][C]，即为最大价值。
2. 完全背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。
求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大，且每个物品可以重复取。
（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个一维数组dp[C+1]，其中dp[j]表示容量为j的背包的最大价值。
b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值更新dp值。
c. 返回dp[C]，即为最大价值。
3. 多重背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。
每个物品有无限个，求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大。
（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个一维数组dp[C+1]，其中dp[j]表示容量为j的背包的最大价值。
b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值更新dp值。
c. 返回dp[C]，即为最大价值。
四、实验结果与分析1. 0-1背包问题实验结果显示，在背包容量为100时，最大价值为298。
动态规划法实验心得
竭诚为您提供优质文档/双击可除动态规划法实验心得篇一：动态规划法实验报告数学与计算机学院实验报告一、实验项目信息项目名称：动态规划法实验实验时间：20XX/04/27实验学时：03学时实验地点：工科楼二、实验目的及要求理解动态规划法的设计思想、掌握动态规划法的求解步骤、掌握用动态规划法解题的算法框架。
三、实验环境计算机windows7myeclipseprofessional20XXJAVA8四、实验内容及实验步骤动态规划法求解最大子段和问题：划分：先对规模k的问题求解然后再求k+1问题（既k=1然后k=2......）代码：#Adder.javapackagecom.chanheng;publicclassAdder{int[]b=newint[100];//定义辅助数组intmax;//从辅助数组里面找出最大的值的变量publicintadd(int[]a){b[0]=a[0];max=b[0];for(inti=1;i if(b[i-1]>0)b[i]=b[i-1]+a[i];elseb[i]=a[i];if(b[i]>max)max=b[i];}returnmax;}/***找出组成最大字段和的段*@parama*/publicvoidgetArray(int[]a){inti,j,k,sum=0;int[]c=ne wint[100];for(i=0;i while(j>=0){sum+=a[j];if(sum==max)break;j--;}k=i-j;for(intx=0;x }for(intx=0;x system.out.print(c[x]+"");}}}#Tester.javapackagecom.chanheng;importjava.util.scanner;publicclassTester{publicstaticvoidmain(string[]args ){//ToDoAuto-generatedmethodstubnewscanner(system.in);int[]a=newint[10];system.out.println("pleaseinput10number:");for(inti =0;i }(:动态规划法实验心得) Adderad=newAdder();system.out.println("最大字段和是："+ad.add(a));system.out.println("**最大字段和的组成数组*******");ad.getArray(a);}}五、实验结果分析结果正确并能找出最大字段和的部分。
动态规划算法分析与设计实验报告(矩阵连乘)
算法分析与设计实验报告实验题目：动态规划算法的设计与实现1、实验目的通过本实验，掌握动态规划算法的设计的基本思想，进一步提高学生的编程能力。
2、实验内容：给定n个矩阵｛A1,A2,…,A n｝，其中A i与A i+1是可乘的，i=1，2…，n-1。
如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。
3、源程序if (t<u) //返回t,k中较小的值，并记录断点处k{ u=t; s[i][j]=k;} }return u; }int Look(int i,int j) //备忘录计算最优值{ if (m[i][j]>0){ return m[i][j]; }if (i == j) return 0;int u=Look(i, i)+Look(i+1,j)+p[i-1]*p[i]*p[j]; s[i][j]=i;for (int k=i+1; k<j;k++){ int t=Look(i,k)+Look(k+1,j)+p[i-1]*p[k]*p[j]; //递归if (t<u){ u=t; //从k处断开，分别求得每次的数乘次数s[i][j]=k; //返回t,k中较小的值，并记录断点处k} } m[i][j]=u;return u; }void Traceback(int i,int j) { //输出矩阵结合方式，加括号输出if(i == j) //只有一个矩阵，直接输出{ cout<<"A"<<i; }else if(i+1 == j) //两个矩阵，加括号输出{ cout<<"(A"<<i<<"A"<<j<<")"; }else{ cout<<"("; Traceback(i,s[i][j]); //递归，从最得到最优解的地方s[i][j]处断开Traceback(s[i][j]+1,j);cout<<")"; } }void main(){ cout<<"输入矩阵个数：n=";cin>>n; cout<<"输入第一个矩阵行数和第一个到第n个矩阵的列数："; for(int i=0;i<=n;i++){ cin>>p[i]; } cout<<endl; cout<<"请选择解决矩阵连乘问题的方法："<<endl; cout<<"1.动态规划算法"<<endl; cout<<"2.直接递归算法"<<endl; cout<<"3.备忘录算法"<<endl;cout<<"0.退出..."<<endl;cout<<endl;cout<<"请选择算法：";cin>>q; cout<<endl;while(q!=0){ switch(q){case 1: matrixChain(); cout<<"动态规划算法解决矩阵连乘问题："<<endl; cout<<"最优计算次序为：";Traceback(1,n); cout<<endl; cout<<"矩阵连乘的最优数乘次数为："<<m[1][n]<<endl; //最终解值为m[1][n]break;case 2: Recur(0,n); cout<<"直接递归算法解决矩阵连乘问题："<<endl;5、结论动态规划算法设计通常有四个步骤：1.找出最优解的性质，并刻画其结构特征。
动态规划解找零钱问题实验报告
一、实验目的（1）熟练掌握动态规划思想及教材中相关经典算法。
（2）掌握用动态规划解题的基本步骤，能够用动态规划解决一些问题。
二、实验内容与实验步骤（1）仔细阅读备选实验的题目，选择一个（可选多个）作为此次实验题目，设计的程序要满足正确性，代码中有关键的注释，书写格式清晰，简洁易懂，效率较高，利用C＋＋的模板，设计的程序通用性好，适合各种合理输入，并能对不合理输入做出正确的提示。
（2）可供选择的题目有以下2个：(i）找零钱问题（难度系数为3）★问题描述设有n种不同面值的硬币，各硬币的面值存于数组T[1:n]中。
现要用这些面值的硬币来找钱，可以实用的各种面值的硬币个数不限。
当只用硬币面值T[1],T[2],…,T[i]时，可找出钱数j的最少硬币个数记为C(i,j)。
若只用这些硬币面值，找不出钱数j时，记C(i,j)=∞。
★编程任务设计一个动态规划算法，对1≤j≤L，计算出所有的C( n,j )。
算法中只允许实用一个长度为L的数组。
用L和n作为变量来表示算法的计算时间复杂性★数据输入由文件input.txt提供输入数据。
文件的第1行中有1个正整数n （n<=13），表示有n种硬币可选。
接下来的一行是每种硬币的面值。
由用户输入待找钱数j。
★结果输出程序运行结束时，将计算出的所需最少硬币个数输出到文件output.txt中。
输入文件示例输出文件示例input.txt output.txt331 2 59三、实验环境四、问题分析（1） 分析要解决的问题，给出你的思路，可以借助图表等辅助表达。
答：这个问题用动态规划来解，归结到动态规划上面就变成了无限背包问题（因为收银台的硬币默认是无穷的，但一种改进版本可以考察有限硬币的情况）。
区别在于，现在我们需要求一个最少的硬币数而不是最大值。
但是选择的情况也是相同的，即每次选择都可以选择任何一种硬币。
首先，找零钱问题具有最优子结构性质：兑换零钱问题的最优子结构表述：对于任意需要找的钱数j ，一个利用T[n]中的n 个不同面值钱币进行兑换零钱的最佳方案为P(T(1),j)，P(T(2),j),...,P(T(n),j)，即此时的最少钱币个数∑==n1j)P(T(k),),(k j n C ，则P(T(2),j),...,P(T(n),j)一定是利用T[n]中n 个不同的面值钱币对钱数j=j-P(T(1),j)* T(1)进行兑换零钱的最佳方案。
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1< k ≤ n
这样，求 M1M2…Mn 所需要最少数量乘法次数只需要求解 C[1,n]即可。 其算法伪代码如下： 1. for i←1 to n 2. C[i,j]←0 3. end for 4. for d←1 to n-1 5. for i←1 to n-d 6. j←i+d 7. C[i,j]←∞
n −1
f ( n) =
1 2n − 2 (2n − 2)! 4n 4n ，因此 ( ) = Ω ( ) ，对于每一种方案， = ≈ f n 2 n1.5 n 4 π n1.5 n − 1 n((n − 1)!)
找到数量乘法的次数还需要 Θ(n) 时间，因此总的时间复杂度为
∑∑∑ c = c((n − 1) ×1 + (n − 1) × 2 + + (n − (n − 1)) × (n − 1))
d =1 i =1 k =1
n −1 n − d d
= c(n × (1 + 2 + + (n − 1)) − (1×1 + 2 × 2 + (n − 1) × (n − 1))) n 2 × (n − 1) n × (n − 1) × (2n − 1) = c( − ) 2 6 cn 3 − cn = = Θ( n 3 ) 6 三、实验内容及要求 1. 编写程序使用动态规划算法 MATCHAIN 求解 n 个矩阵连乘所需最找数 量乘法次数，并用实际数据对算法进行测试。 2. 要求对算法 MATCHAIN 加以改进，不仅能够输出数量乘法次数，还要 能输出最佳乘法方案，如(M1M2)((M3M4)M5)。 四、实验步骤
1. 编写函数 MATCHAIN 求解矩阵链相乘问题，函数头为： int MATCHAIN(int r[], int n) r 为数组名， r[i]和 r[j]分别表示矩阵 Mi 的行数和列数， n 表示连乘矩阵的个数。 2. 在 main 函数中使用给定数组{4,5,3,6,4,5}测试 MATCHAIN 函数， 效果如下图所示。
= rn max( pi + rn −i )
1≤ i ≤ n
根据此公式，可按照长度为 0,1,2,…,n 的顺序逐步求解最优切割方案。（注意： 程序中不需要使用递归调用）
实验二 动态规划法
一、实验目的 1．理解动态规划法的方法； 2. 掌握使用动态规划法解决一般问题的步骤； 3. 掌握动态规划算法求解矩阵连续相乘的方法。 二、实验原理 假设有 M1，M2，M3 这三个矩阵，这三个矩阵的维数分别是 2×10，10×2 和 2×10，要求他们的乘积 M1M2M3。如果先将 M1 和 M2 相乘，然后将结果和 M3 相乘，那么要进行 2×10×2+2×2×10=80 次乘法。如果先用 M2 和 M3 相 乘，然后将结果和 M1 相乘，那么要进行 10×2×10+2×10×10=400 次乘法。 显然，矩阵乘法的顺序不同会导致乘法次数的不同。 一般来说，n 个矩阵 M1M2…Mn 链乘法的耗费，取决于 n-1 个乘法执行的 顺序。如果使用满立法计算每一种可能顺序的数量乘法次数。设 f(n)是求 n 个 矩阵乘积可能的顺序数，假定要进行以下乘法(M1M2…Mk)(Mk+1Mk+2…Mn)，那 么，对于前 k 个矩阵有 f(k)种方案，对于每一种方案，对余下的 n-k 个矩阵有 f(n-k)种方案，因此总共有 f(k)f(n-k)种方案。因此，n 个矩阵相乘总的方案数 为 f (n) = ∑k =1 f (k ) f (n − k ) 种，经计算可以证明
C[2,2]
C[2,3]Leabharlann C[2,4]C[2,5]
C[3,3]
C[3,4]
C[3,5]
C[4,4]
C[4,5]
C[5,5]
代码第 1 行~第 3 行填充对角线 d=0， 第 4 行的循环用来填充对角线 d=1 到 d=n-1，第 5 行循环用于填充对角线 d=i 的项目，第 8 行~第 10 行用于计 算 C[i,j]，函数的返回值在第 13 行给出，为 C[1,n]，即矩阵 M1M2…Mn 链相 乘所需最少乘法的次数。 算法的时间复杂度分析如下：
8. for k←i+1 to j 9. C[i,j]←min{C[i,j],C[i,k-1]+C[k,j]+r[i]r[k]r[j+1]} 10. end for 11. end for 12.end for 13.return C[1,n]
C[1,1]
C[1,2]
C[1,3]
C[1,4]
C[1,5]
f (n) = Ω(4 n / n ) ，随着 n 的增大，f(n)的增长速度惊人。
采取动态规划法的思想，对于 n 个矩阵 M1M2…Mn，其中矩阵 Mi 的行数和 列数分别用 ri 和 ri+1 来表示，因此需要一个 n+1 维的矩阵存储 n 个矩阵的行数 和列数。令 Mi,j 为 M1M2…Mn 的成绩，计其乘法所耗费的数量乘法的次数为 C[i,j]，则有以下递推式：
五、思考和作业 1. 对 MATCHAIN 算法加以改进，使算法能够输出乘法方案，效果如下图 所示。
提示： (1) 用一个数组 brackets 记录矩阵链乘法方案括号的数目， 数组 brackets 的大小为 2n，brackets[0]和 brackets[1]分别表示矩阵 1 的左括号和右括号 数目。 (2) 设定辅助矩阵 flag，其大小和矩阵 C 等同，flag[i,j]表示求解 C[i,j] 时所得到的最佳分割 k 值，如计算 C[2,5]时，使 C[2,5]值最小的 k 的值为 4， 则 flag[2,5]=4，利用 flag 数组可以计算 brackets 数组的值。 (3) 根据 brackets 数组输出最终方案。 2. 钢条切割问题 给定一段长度为 n 的钢条和一个价格表 pi(i=1,2,…,n)，求切割钢条方案， 使得销售收益 rn 最大。 提示：要求长度为 n 的钢条的最好切割方案，可以使用以下递归求解方法： 将钢条从左边切割下来长度为 i 的一段，对右边剩下长度为 n-i 的一段继续进行 切割（递归求解），对左边一段不再进行切割。