成比例线段 (2)
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ac ∴ ，
bd
∴ 线段a、b、c、d是成比例线段．
1．判断下列线段是否是成比例线段： （1）a＝2cm，b＝4cm，c＝3m，d＝6m； （2）a＝0．8，b＝3，c＝1，d＝2．4．
如判何断快线速段（地是2）aa: =c0将 大 计.80线 到 算,.c8=段 小 第:11,从 ） 一d=4小 的 和2:.5到 顺 第4,大序二b=（排之3 或列比从，， 否成比例？d : b 第2三.4和: 3第四4 :之5 比，看他
知识探索
BC BC
＝由_2_下__面_，的这格样点图可AA知BB，A与ABBBBCC＝ _之_间_有_2_关_系______相，___等____．
图 24.2.1
AB BC
=
AB BC
即
AB: AB BC: BC
概括
像这样，对于四条线段a、b、c、d，
如 两果条其线中段两的条比线，段如的a长度c的（比或等a∶于b另＝外
c∶d），
bd
那么，这四条线段叫做成比例线段，简
称比例线段．此时也称这四条线段成比
例．
比例线段
1、单位统一
2、顺序性：
称a,b,c,d成比例
a c (或a : b c : d ) bd
a c (或a : d c : b) db
称a, d,c,b 成比例
例1判断下列线段a、b、c、d是否是成 比例线段：
1.若
x
y
y
17 9
,则
x y
8
___9___ 7
2.若 a 1 ,则 3a b ____8__
b 4 2b
3.已知a、b、c、d是成比线段,a=4cm,
b=6cm,d=9cm,则c=__
4.已知3x 4 y(x 0),则下列式子成立的是
A. x y B. x y C. x 3 D. x 4 34 43 y4 3y
所以a,c,们d,b的成比比值例是线否段相同
试一试：
已知线段a=4cm，b=0.02m，c=6cm， d=0.3dm，试判断它们是否成比例线段
试一试：
下列能组成比例线段的是（ C ） A、1cm, 2cm,3cm, 4cm B、2cm, 4cm,8cm,10cm C、0.5m, 20cm,10cm, 2.5dm D、2cm,5dm, 0.2m,10cm
则b d f ____
2．已知：线段a、b、c满足关系式
a b
b c
，
且b＝4，那么ac＝______．
3．已知 a 3 ，那么
b2
ab
a
、
各等于多少？
b
ab
3．判断下列各组线段是否是成比例线段：
（1） 2厘米，3厘米，4厘米，1厘米；
（2） 1．5厘米，2．5厘米，4．5厘米，6．5厘米；
a c (或a : b c : d ) d叫做a、b、c 的第四
bd
比例项
1、a,b,c,d叫作组成比例的项
2、a, d叫作比例的外项
3、b,c叫作比例的内项 当比例内项相等时，即 a b (或a : b b : c)
bc
那么b叫作a，c的比例中项
1、若a,b,c,d成比例，且a=2，b=3，c=4， 则d= 6 。
4.已知 2 y , x 4,则下列各式不成立的是 x4
A. x 2 y 4 B. y 2 y C. 2 x y 4 D. 2 y 2
x
4 x4 4 2
4 x x4
5.已知 a
4
,则
a
b
1
___3____
b3 b
6.已知 a c e 1 ,且a c e 3, bd f 2
雅典帕德嫩神庙：包含黄金矩形的建筑 物，它是世界上最美丽的建筑之一
连女神维纳 斯的雕像上 也都烙有
自然界中的黄金分割 “0.618”的印
记
为什么人们会关注黄金分割呢？那是因为人们认为这个分割 点是分割线段时最优美的、最令人赏心悦目的点．
自古希腊以来，黄金分割就被视为最美丽的几何学比率，并 广泛地用于建造神殿和雕刻中．但在比古希腊还早2000多年所 建的金字塔中，它就已被采用了．文明古国埃及的金字塔，形 似方锥，大小各异．但这些金字塔的高与底面的边长的比都接 近于0．618．不仅在建筑和艺术中，就是在日常生活中，黄金 分割也处处可见．如演员在舞台上表演，站在黄金分割点上， 台下的观众看上去感觉最好．有人发现，人的肚脐高度和人体 总高度的比也接近黄金比．就连普通树叶的宽与长之比，蝴蝶 身长与双翅展开后的长度之比也接近0．618．还有黄金矩形、 黄金三角形（顶角为36°的等腰三角形）等，五角星中更是充 满了黄金分割．
证明：（2）如果 a c ，那么 a b c d ；
bd
b
d
证明（2）∵ a c bd
在等式两边同减去1，
∴ a 1 c 1 bd
∴ ab cd
b． d
比例的分 比性质
结论3: 等比性质：
பைடு நூலகம்
如果 a c m (b d n 0)
bd
n
，那么 a c m a b d n b
2、已知线段a=3，b=12，线段c是线段a，
b的比例中项，则C=
6。
3、指出下列比例线段中的内项和外项：
PA PC 内项为 PB,PC ，外项为 PA,PD 。
PB PD
AB : CD EF : MN 内项为 CD,EF ，外项为 AB,MN 。
SB EF
EF SC
SB,SC为
比例外项，EF为比例中项。
（3） 1．1厘米，2．2厘米，3．3厘米，4．4厘米；
（4） 1厘米，2厘米，2厘米，4厘米．
8．已知
ac bd
a （b±d≠0），求证：a
c c
b b
d d
．
黄金分割
两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现： 将一条线段（AB）分割成大小两条线段（AP、PB）， 若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比， 即PB:AP=AP:AB，则可得出这一比值等于0．618…． 这种分割称为黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点 .
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
解 （1） ∵ a 4 2 c 5 1 ，
b 6 3 d 10 2
∴ ac ， b d，
∴ 线段a、b、c、d不是成比例线段．
（2）a＝2，b＝ 5 ，c＝ 2 15，d＝5 3． 解：
（2）
∵ a 2 2 5 c 2 15 2 5 b 5 5 d 53 5
对于成比例线段我们有下面的结论：
如果 a c ，那么ad＝bc．如果ad＝bc
bd
（a、b、c、d都不等于0），那么
a b
c d
．
例2
证明（1）如果
ac bd
，那么
ab cd
b
d；
证明（1）∵ a c bd
在等式两边同加上1， ∴ a 1 c 1
bd ∴ ab cd
b． d
比例的合 比性质
bd
∴ 线段a、b、c、d是成比例线段．
1．判断下列线段是否是成比例线段： （1）a＝2cm，b＝4cm，c＝3m，d＝6m； （2）a＝0．8，b＝3，c＝1，d＝2．4．
如判何断快线速段（地是2）aa: =c0将 大 计.80线 到 算,.c8=段 小 第:11,从 ） 一d=4小 的 和2:.5到 顺 第4,大序二b=（排之3 或列比从，， 否成比例？d : b 第2三.4和: 3第四4 :之5 比，看他
知识探索
BC BC
＝由_2_下__面_，的这格样点图可AA知BB，A与ABBBBCC＝ _之_间_有_2_关_系______相，___等____．
图 24.2.1
AB BC
=
AB BC
即
AB: AB BC: BC
概括
像这样，对于四条线段a、b、c、d，
如 两果条其线中段两的条比线，段如的a长度c的（比或等a∶于b另＝外
c∶d），
bd
那么，这四条线段叫做成比例线段，简
称比例线段．此时也称这四条线段成比
例．
比例线段
1、单位统一
2、顺序性：
称a,b,c,d成比例
a c (或a : b c : d ) bd
a c (或a : d c : b) db
称a, d,c,b 成比例
例1判断下列线段a、b、c、d是否是成 比例线段：
1.若
x
y
y
17 9
,则
x y
8
___9___ 7
2.若 a 1 ,则 3a b ____8__
b 4 2b
3.已知a、b、c、d是成比线段,a=4cm,
b=6cm,d=9cm,则c=__
4.已知3x 4 y(x 0),则下列式子成立的是
A. x y B. x y C. x 3 D. x 4 34 43 y4 3y
所以a,c,们d,b的成比比值例是线否段相同
试一试：
已知线段a=4cm，b=0.02m，c=6cm， d=0.3dm，试判断它们是否成比例线段
试一试：
下列能组成比例线段的是（ C ） A、1cm, 2cm,3cm, 4cm B、2cm, 4cm,8cm,10cm C、0.5m, 20cm,10cm, 2.5dm D、2cm,5dm, 0.2m,10cm
则b d f ____
2．已知：线段a、b、c满足关系式
a b
b c
，
且b＝4，那么ac＝______．
3．已知 a 3 ，那么
b2
ab
a
、
各等于多少？
b
ab
3．判断下列各组线段是否是成比例线段：
（1） 2厘米，3厘米，4厘米，1厘米；
（2） 1．5厘米，2．5厘米，4．5厘米，6．5厘米；
a c (或a : b c : d ) d叫做a、b、c 的第四
bd
比例项
1、a,b,c,d叫作组成比例的项
2、a, d叫作比例的外项
3、b,c叫作比例的内项 当比例内项相等时，即 a b (或a : b b : c)
bc
那么b叫作a，c的比例中项
1、若a,b,c,d成比例，且a=2，b=3，c=4， 则d= 6 。
4.已知 2 y , x 4,则下列各式不成立的是 x4
A. x 2 y 4 B. y 2 y C. 2 x y 4 D. 2 y 2
x
4 x4 4 2
4 x x4
5.已知 a
4
,则
a
b
1
___3____
b3 b
6.已知 a c e 1 ,且a c e 3, bd f 2
雅典帕德嫩神庙：包含黄金矩形的建筑 物，它是世界上最美丽的建筑之一
连女神维纳 斯的雕像上 也都烙有
自然界中的黄金分割 “0.618”的印
记
为什么人们会关注黄金分割呢？那是因为人们认为这个分割 点是分割线段时最优美的、最令人赏心悦目的点．
自古希腊以来，黄金分割就被视为最美丽的几何学比率，并 广泛地用于建造神殿和雕刻中．但在比古希腊还早2000多年所 建的金字塔中，它就已被采用了．文明古国埃及的金字塔，形 似方锥，大小各异．但这些金字塔的高与底面的边长的比都接 近于0．618．不仅在建筑和艺术中，就是在日常生活中，黄金 分割也处处可见．如演员在舞台上表演，站在黄金分割点上， 台下的观众看上去感觉最好．有人发现，人的肚脐高度和人体 总高度的比也接近黄金比．就连普通树叶的宽与长之比，蝴蝶 身长与双翅展开后的长度之比也接近0．618．还有黄金矩形、 黄金三角形（顶角为36°的等腰三角形）等，五角星中更是充 满了黄金分割．
证明：（2）如果 a c ，那么 a b c d ；
bd
b
d
证明（2）∵ a c bd
在等式两边同减去1，
∴ a 1 c 1 bd
∴ ab cd
b． d
比例的分 比性质
结论3: 等比性质：
பைடு நூலகம்
如果 a c m (b d n 0)
bd
n
，那么 a c m a b d n b
2、已知线段a=3，b=12，线段c是线段a，
b的比例中项，则C=
6。
3、指出下列比例线段中的内项和外项：
PA PC 内项为 PB,PC ，外项为 PA,PD 。
PB PD
AB : CD EF : MN 内项为 CD,EF ，外项为 AB,MN 。
SB EF
EF SC
SB,SC为
比例外项，EF为比例中项。
（3） 1．1厘米，2．2厘米，3．3厘米，4．4厘米；
（4） 1厘米，2厘米，2厘米，4厘米．
8．已知
ac bd
a （b±d≠0），求证：a
c c
b b
d d
．
黄金分割
两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现： 将一条线段（AB）分割成大小两条线段（AP、PB）， 若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比， 即PB:AP=AP:AB，则可得出这一比值等于0．618…． 这种分割称为黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点 .
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
解 （1） ∵ a 4 2 c 5 1 ，
b 6 3 d 10 2
∴ ac ， b d，
∴ 线段a、b、c、d不是成比例线段．
（2）a＝2，b＝ 5 ，c＝ 2 15，d＝5 3． 解：
（2）
∵ a 2 2 5 c 2 15 2 5 b 5 5 d 53 5
对于成比例线段我们有下面的结论：
如果 a c ，那么ad＝bc．如果ad＝bc
bd
（a、b、c、d都不等于0），那么
a b
c d
．
例2
证明（1）如果
ac bd
，那么
ab cd
b
d；
证明（1）∵ a c bd
在等式两边同加上1， ∴ a 1 c 1
bd ∴ ab cd
b． d
比例的合 比性质