高等数学：第三节 定积分的换元法与分部积分法
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大学高等数学：第四章第三讲定积分的换元法和分部积分法
大学高等数学：第四章第三讲定积分的换元法和分部积分法由上节我们知道计算定积分∫f(x)dx(上限b,下限a)的简便方法是把它转化为f(x)的原函数的增量，在第三章讲不定积分时，我们知道用换元法和分部积分法可以求出一些函数的原函数，因此，在一定条件下，可以用换元积分法和分部积分法来计算定积分，下面我们就来讨论积分的这两种计算方法。
在讨论这两种积分方法前，我们补充下上节课定积分的性质中的一个知识点一.周期函数与奇偶函数的积分性质1.对称区间上奇偶函数的定积分对于对称区间上的定积分，首先要观察被积函数的奇偶性，这是因为有如下结论定理假定f(x)在[-a,a](a＞0)为可积函数或连续函数，则有如何证明，证明：证(2)设f(x)在[-a,a]为偶函数，记作F(x)=∫f(t)dt(上限x,下限0),要证F(x)在[-a,a]为奇函数，即证F(-x)=-F(x)或F(x)+F(-x)=0,(x∈[-a,a])即F(x)=∫f(t)dt(上限x,下限0)为奇函数当f(x)在[-a,a]连续且为偶函数时，也可通过求导数证F(x)+F(-x)=0(x∈[-a,a]).因[F(x)+F(-x)]'=f(x)-f(-x)=0(x∈[-a,a]),故F(x)+F(-x)在[-a,a]为常数，又[F(x)+F(-x)]=0(x=0),则有F(x)+F(-x)=0(x∈[-a,a]),即F(x)在[-a,a]为奇函数。
另一类结论类似可证证(3).∫f(x)dx=∫f(t)dt(上限x,下限0)+C，其中C为任意常数当f(x)为奇函数时，∫f(t)dt(上限x,下限0)为偶函数，任意常数C 也是偶函数→f(x)的全体原函数∫f(t)dt(上限x,下限0)+C为偶函数。
当f(x)为偶函数时，∫f(t)dt(上限x,下限0)为奇函数，任意常数C≠0时为偶函数→∫f(t)dt(上限x,下限0)+C既非奇函数也非偶函数，→f(x)只有唯一的一个原函数即∫f(t)dt是奇函数.2.周期函数的积分定理：假定函数f(x)以T为周期，即对于任意的实数x有f(x+T)=f(x),在[0,T]上f(x)可积(或连续)，那么通过列题来巩固下：设f(x)在[0,1]连续，∫f(lcosxl)dx(上限π/2，下限0)=A，则I=∫f(IcosxI)dx(上限2π，下限0)=？分析：由于f(IcosxI)在(-∞,+∞)连续，以π为周期，且为偶函数，则根据周期函数与偶函数的积分性质得下面看下有关定积分奇偶函数的证明列题列：n为自然数，证明在这个题目中注意两点：1.奇x奇=偶偶x偶=偶奇x偶=奇 2.当n为奇数，sin^nx周期为2π；当n为偶数，sin^nx周期为π。
换元积分与分部积分法
3 3 4
dt . 12
思考题解答
计算中第二步是错误的.
x sec t
x 2 1 tan t tan t .
2 3 t , , tan t 0, 3 4
正确解法是
2
2
dx x x2 1
3 4 3
x sec t
3 4
2 3
解 原式 1
2
偶函数
奇函数
40
1
2 2 x 1 x (1 1 x ) dx 4 dx 2 2 0 1 1 x 1 (1 x )
2
40 (1 1 x )dx 4 40
2
1
1
1 x 2 dx
4 .
单位圆的面积
x 3 sin6 x 如: 4 dx 2 5 x 2x 7
1 sec t tan tdt sec t tan t
2
dt . 12
练习题
一、填空题：
1、 sin( x )dx ___________________； 3 3
第三节 定积分的换元法与 分部积分法
• 一、换元积分法
• 二、分部积分法
一、换元公式
定理 假设
（1） f ( x ) 在[a , b] 上连续；
( 2)(t )在[, ]连续且单调
（3 ）当t 在区间[ , ] 上变化时， x ( t ) 的值 在[a , b]上变化，且 ( ) a 、 ( ) b ，
1
( 4)
0
1
xarctanx 1 x
4
2
dx
x 0 1 t 0
4
dt . 12
思考题解答
计算中第二步是错误的.
x sec t
x 2 1 tan t tan t .
2 3 t , , tan t 0, 3 4
正确解法是
2
2
dx x x2 1
3 4 3
x sec t
3 4
2 3
解 原式 1
2
偶函数
奇函数
40
1
2 2 x 1 x (1 1 x ) dx 4 dx 2 2 0 1 1 x 1 (1 x )
2
40 (1 1 x )dx 4 40
2
1
1
1 x 2 dx
4 .
单位圆的面积
x 3 sin6 x 如: 4 dx 2 5 x 2x 7
1 sec t tan tdt sec t tan t
2
dt . 12
练习题
一、填空题：
1、 sin( x )dx ___________________； 3 3
第三节 定积分的换元法与 分部积分法
• 一、换元积分法
• 二、分部积分法
一、换元公式
定理 假设
（1） f ( x ) 在[a , b] 上连续；
( 2)(t )在[, ]连续且单调
（3 ）当t 在区间[ , ] 上变化时， x ( t ) 的值 在[a , b]上变化，且 ( ) a 、 ( ) b ，
1
( 4)
0
1
xarctanx 1 x
4
2
dx
x 0 1 t 0
4
D5_3 换元法与分部积分法
f (x) f (x)时
f (x) f (x)时
例4. 设 f (x) 是连续的周期函数, 周期为T, 证明：
并由此计算
n
I 0 1 sin 2x dx 解: (1) 记 (a) aT f (x)dx, 则
a
(a) f (a T ) f (a) 0 可见 (a)与a无关，因此 (a) (0), 即
1 2
b
a
f
( x)(2 x
a
b)
dx
再次分部积分
1 (2x
2
a
b)
f
(x)
b
a
b
a
f
(x) dx
=
左端
2
0
sin(
x
4
)
dx
令
t
x
4
5
n2Biblioteka 4 sin t dt
4
n 2 sin t dt 0
n 2 sin t dt 2 2 n 0
二、定积分的分部积分法
定理2. 设u(x), v(x) C1[a , b] , 则 b a
证: [u(x)v(x)] u(x)v(x) u(x)v(x)
n
0 1 sin 2x dx
anT
(2) a f (x)dx
并由此计算 则有
n
0 1 sin 2x dx n0 1 sin 2x dx
周期的周期函数
n
0 1 sin 2x dx n0 1 sin 2x dx
n0
(cos x sin x)2 dx
n0 cos x sin x dx
n
备用题
1. 证明 证：
是以 为周期的函数.
5-3定积分的换元法与分部法
2 sin x cosxdx
0
2 sin xd sin x
0
1 sin 2 2
x |02
1 2
例5
设 f (x)在对称区间[a, a] 上连续，证明：
(1) 当f (x) 为偶函数时， a f (x) d x 2
a
f (x)d x .
a
0
(2) 当f (x) 为奇函数时， a f (x) d x 0 . a
et
1 0
]
2e (e 1)
2.
本节小结
1、定积分的换元法
定理 若 (1) f (x)在[a, b] 上连续 ;
(2) ( ) a，( ) b.且（t）在[, ]上单调
(3) x (t)在[, ] 上有连续的导数(t)
b
则 a f (x) d x f ((t))(t) d t
xe 解
1 xe2xdx 1 2x 1 1 1e2xdx
0
2
0 20
e e 1 2 1 2x 1 2 40
1 4
(e2
1).
例7
解
1
1
x arcsin x 2 2
00
x dx 1 x2
1
1
2(1
x
2
)
1 2
d
(1
x
2
)
12 2 0
(1
a
a
f (t) d t
0
f (x)d x .
0
于是
a
§3.3定积分换元法
π 2
0
sin n xdx = − ∫
π 2
0
sin n −1 xd (cos x )
π 2 0
= − sin n −1 x cos x
[
= (n − 1) ∫
π 2 0 π 2
]
π 2 0
+∫
cos xd (sin n −1 x )
cos 2 x sin n − 2 xdx
= (n − 1) ∫
0
8．已知 g ( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt ，求 g′( x ) 。
0
x
g( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt
0
x 0
x
令x−t=u
=
− ∫ ( x − u ) f ′(u )du
x
0
= ∫ ( x − u ) f ′(u )du = x
x
∫0 f ′(u )du − ∫0 uf ′(u )du
a a ∫ 0 f(− x) dx
0
f(x) dx =
+
a ∫0
f(x) dx = ∫ [ f(x) + f(− x)] dx.
0
a
续上
∴∫
a
−a
f(x) dx = ∫ [f(x) + f( − x)] dx ，
0
a
（2）∵ f ( x ) 为偶函数，即 f (− x ) = f ( x ) ，
∴∫
π 2 sin 2 t − 1 dt π sin t 6
6 cos t dt = π cos t sin t 2
∫
6 cos t dt π cos t ⋅ sin t 2
高等数学6.3 第三节 定积分的积分方法
e 1
ln
2
例4 求 49
x dx. x 1
解 令 x t，则x t 2,dx 2tdt，
当x 4时，t 2，当x 9时，t 3，
49
x
x dx 1
23t
t 2tdt 1
223t 2
1 1dt t 1
223
(t
1
t
1
)dt 1
dx
0,
而(arctan x)2 1 x2
在区间
1,1上为偶函数，则有
11
(arctan 1 x
x)
2
2
dx
201
(arctan 1 x
x)
2
2
dx
201(arctan x)2d(arctan x)
2 3
(arctan
x)3
1 0
π3 ,
96
1
1
sin
x
(arctan 1 x2
则当x a时，t a，当x 0时，t 0，有
0a f (x)dx a0 f (t)dt 0a f (t)dt 0a f (x)dx
aa f (x)dx 0a f (x)dx 0a f (x)dx
0a f (x) f (x)dx
(1)如果f (x)是偶函数，即f (x) f (x)，则
a
a
f
( x)dx
20a
f
( x)dx.
(2)如果f (x)是奇函数，即f (x) f (x)，则
aa f (x)dx 0.
5.3 定积分的换元法和分部积分法
( 2 ) න (sin )d
= − න (π − )(sin(π − ))d
则 d = −d
0
0
π
= න (π − )(sin )d
0
π
π
= π න (sin )d − න (sin )d
0
π
0
π
= π න (sin )d − න (sin )d ,
0
+ න () d
0
= න [(−) + ()] d
0
2 න () d , (−) = (),
=
0
0,
− = − .
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 偶倍奇零
第三节 定积分的换元法和分部积分法
定积分
第五章
1
2 2 + cos
例6 计算 න
0
解
1
d.
( > 0)
π
令 = sin , d = cos d, = ⇒ = , = 0 ⇒ = 0.
2
π
2
cos
d
原式 = න
2
2
0 sin + (1 − sin )
=න
π
2
0
cos
1
d = න
sin + cos
1
=
6
6
1
อ
第三节 定积分的换元法和分部积分法
0
cos 5 sin d
= − න cos 5 d(cos )
= 0 ⇒ = 1.
原式 = − න
π
2
1
= .
= − න (π − )(sin(π − ))d
则 d = −d
0
0
π
= න (π − )(sin )d
0
π
π
= π න (sin )d − න (sin )d
0
π
0
π
= π න (sin )d − න (sin )d ,
0
+ න () d
0
= න [(−) + ()] d
0
2 න () d , (−) = (),
=
0
0,
− = − .
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 偶倍奇零
第三节 定积分的换元法和分部积分法
定积分
第五章
1
2 2 + cos
例6 计算 න
0
解
1
d.
( > 0)
π
令 = sin , d = cos d, = ⇒ = , = 0 ⇒ = 0.
2
π
2
cos
d
原式 = න
2
2
0 sin + (1 − sin )
=න
π
2
0
cos
1
d = න
sin + cos
1
=
6
6
1
อ
第三节 定积分的换元法和分部积分法
0
cos 5 sin d
= − න cos 5 d(cos )
= 0 ⇒ = 1.
原式 = − න
π
2
1
= .
定积分的积分法
例3 计算 解
∫
1
0
ln(1 + x ) dx . 2 (2 + x )
∫0
1
1 ln(1 + x ) 1 dx = − ∫0 ln(1 + x )d 2 (2 + x ) 2+ x
1
1 1 ln(1 + x ) = − + ∫0 2 + x d ln(1 + x ) 2 + x 0
第三节 定积分的积分法
一、定积分的换元积分法 二、定积分的分部积分法
一、定积分的换元法
定理 假设
上连续； （1 ） f ( x ) 在[a , b]上连续； （2 ）函数 x = ϕ (t ) 在[α , β ]上是单值的且有连续 导数； 导数；
上变化时， （3 ） 当 t 在区间[α , β ]上变化时 ， x = ϕ (t ) 的值 上变化， 在[a , b]上变化，且ϕ (α ) = a 、ϕ ( β ) = b ，
则 有 ∫a f ( x )dx = ∫α f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )dt .
b
β
应用换元公式时应注意: 应用换元公式时应注意
用 （1） x = ϕ (t ) 把变量 x 换成新变量t 时，积分限也 ） 相应的改变. 相应的改变
（2） ） 求出 f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )的一个原函数Φ (t ) 后，不
1 ln 2 1 1 1 1 dx +∫ ⋅ =− − 0 2+ x 1+ x 3 1+ x 2 + x ln 2 5 1 =− + [ln(1 + x ) − ln( 2 + x )]0 = ln 2 − ln 3. 3 3
定积分的换元法和分部积分法教学课件ppt
定积分的换元法和分部积 分法教学课件ppt
xx年xx月xx日
目录
• 定积分的换元法 • 定积分的分部积分法 • 定积分的几何意义 • 定积分的物理应用 • 定积分的经济应用 • 定积分的优化方法
01
定积分的换元法
换元法的定义与性质
换元法的定义
将一个定积分中的被积函数或积分区间变换 成另一个函数或区间，以求得定积分的值。
THANKS
谢谢您的观看
总结词
功率的概念、能量转换的效率、机械能与热能的转换
详细描述
首先介绍功率的概念，然后通过分析能量转换的效率 和机械能与热能的转换关系，说明功率在不同能量转 换中的重要作用。同时，还介绍如何利用功率公式求 解机械能与热能转换等问题。
05
定积分的经济应用
需求价格弹性
需求价格弹性定义
需求价格弹性是衡量商品需求量 对价格变动敏感程度的指标，用 需求量变动百分比与价格变动百 分比的比值来表示。
成本函数表示企业在一定时期内生产一定数量产品所需投入的成本的函数关系。
收益函数与成本函数的关系
收益函数和成本函数之间存在一定的关系，当销售量增加时，收益增加，但成本也会增加，因此需要找到一个最优的生产 量和销售量组合，使得企业获得最大利润。
利润函数与最优生产量
利润函数定义
利润函数表示企业在一定时期内销售产品 所获得的收益减去生产成本的函数关系。
换元法应用
将复杂的积分区间变换成简单的积分 区间，简化计算。
将非标准形式的积分转换成标准形式的积 分，以便使用积分的性质和公式进行计算 。
将难以求导的被积函数变换成容易 求导的函数，以便使用微积分基本 定理进行计算。
02
定积分的分部积分法
xx年xx月xx日
目录
• 定积分的换元法 • 定积分的分部积分法 • 定积分的几何意义 • 定积分的物理应用 • 定积分的经济应用 • 定积分的优化方法
01
定积分的换元法
换元法的定义与性质
换元法的定义
将一个定积分中的被积函数或积分区间变换 成另一个函数或区间，以求得定积分的值。
THANKS
谢谢您的观看
总结词
功率的概念、能量转换的效率、机械能与热能的转换
详细描述
首先介绍功率的概念，然后通过分析能量转换的效率 和机械能与热能的转换关系，说明功率在不同能量转 换中的重要作用。同时，还介绍如何利用功率公式求 解机械能与热能转换等问题。
05
定积分的经济应用
需求价格弹性
需求价格弹性定义
需求价格弹性是衡量商品需求量 对价格变动敏感程度的指标，用 需求量变动百分比与价格变动百 分比的比值来表示。
成本函数表示企业在一定时期内生产一定数量产品所需投入的成本的函数关系。
收益函数与成本函数的关系
收益函数和成本函数之间存在一定的关系，当销售量增加时，收益增加，但成本也会增加，因此需要找到一个最优的生产 量和销售量组合，使得企业获得最大利润。
利润函数与最优生产量
利润函数定义
利润函数表示企业在一定时期内销售产品 所获得的收益减去生产成本的函数关系。
换元法应用
将复杂的积分区间变换成简单的积分 区间，简化计算。
将非标准形式的积分转换成标准形式的积 分，以便使用积分的性质和公式进行计算 。
将难以求导的被积函数变换成容易 求导的函数，以便使用微积分基本 定理进行计算。
02
定积分的分部积分法
第三节定积分的换元法和分部积分法(1)98796
第三节 定积分的换元法和分部积分法
一、换元公式 二、分部积分公式 三、小结 思考题
11
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一、换元公式
【定理】 假设
（1） f ( x)在[a,b]上连续；
（2）函数 x (t)在[ , ]上是单值的且有连续
导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时，x (t) 的值在 [a,b]上变化，且 ( ) a 、 ( ) b，
4
2
于是 f ( x 2)dx f (t)dt
1
1
0
dt
2 tet2dt
11 cos t 0
或先求f(x-2)再求原积分
4
f ( x 2)dx
较麻烦
1
1166
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【总结】 定积分的证明题——一般用到积分区间的分割性
1 2
x
2
f
(
x)
1 0
1 2
1
0
x
2df
(
x
)
1 2
f
(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
2233
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f ( x)
x2 sin t dt,
定积分的分部积分公式
【推导】 uv uv uv,
b
a (uv
)dx
uv
b
a
,
uv
b a
b
a
uvdx
b
a
uvdx
,
一、换元公式 二、分部积分公式 三、小结 思考题
11
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一、换元公式
【定理】 假设
（1） f ( x)在[a,b]上连续；
（2）函数 x (t)在[ , ]上是单值的且有连续
导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时，x (t) 的值在 [a,b]上变化，且 ( ) a 、 ( ) b，
4
2
于是 f ( x 2)dx f (t)dt
1
1
0
dt
2 tet2dt
11 cos t 0
或先求f(x-2)再求原积分
4
f ( x 2)dx
较麻烦
1
1166
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【总结】 定积分的证明题——一般用到积分区间的分割性
1 2
x
2
f
(
x)
1 0
1 2
1
0
x
2df
(
x
)
1 2
f
(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
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f ( x)
x2 sin t dt,
定积分的分部积分公式
【推导】 uv uv uv,
b
a (uv
)dx
uv
b
a
,
uv
b a
b
a
uvdx
b
a
uvdx
,
高等数学：第三节 定积分的换元法、分部积分法
2
0
sin 3 x cos x d x
sin 3 x cos x d x
2
2
0
sin 3 x d (sin x)
sin 3 x d (sin x)
2
[2 5
sin
5 2
x]
2 0
[2 5
sin
5 2
x]
( 20) (0 2 )
5
5
4 5
2
例4：证明
（1）若 f (x) 在 [ - a , a ] 上连续且为偶函数，
2
2
对称性 02
2
sin 2 x cos 2 x d x 1
2 sin 2 2 x d x
0
20
1 2
2
0
1 cos 4 x d x 2
1 4
[
x
sin4 4
x
]
2 0
8
3
e4
例7 计算
1
dx
e x ln x(1 ln x)
3
解：原式 e4
1
d ln x
e ln x(1 ln x)
x
0
t
2
,
x t 0, 2
2
0
f (sin x)dx
0
2
f
sin
2
t
dt
2 f (cos t)dt 2 f (cos x)dx;
0
0
（2）设 x t 可以证明
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
0
1
x
sin cos
x
2
x
dx
高等数学-定积分的换元积分法与分部积分法
当 = 0时， = 0；当 = 4时， = 2.
4
2
2
2
න
= න
⋅ 2 = 2 න
0 1+
0 1+
0 1+
2
1
2
− + ( 1 + )
= 2 න ( − 1 +
) = 2
0
2
1+
0
4
= 2 − 2 + ( 1 + 2) − 1 = 2 3.
(3)()在区间[, ]（或[, ]）上有连续的导数，
且 ′ () ≠ 0，
则有
)(
=
])([ ′ ().
(5.3)
3
01 定积分的换元积分法
注 (1) (5.3)式从左往右相当于不定积分中的第二类换
元积分法，从右往左相当于不定积分中的第一类换
2
2
5
01 定积分的换元积分法
1
例2 求定积分 න
4 − 2 .
0
解 令 = 2 ，则 = 2 ，
当 = 0时， = 0；当 = 1时， =
1
න
0
6
4 − 2 = න
0
.
6
4 − 4 2 ⋅ 2
6
6
= 4 න 2 = 2 න (1 + 2 )
定积分及其应用
第3讲
定积分的换元
积分法与分部积分法
本节内容
01 定积分的换元积分法
02 定积分的分部积分法
2
定积分的换元法与分部法
由此公得式:
In
n 1 n
In2
注意:
I0
2 dx
,
0
2
I1
2 sin xdx 1,
0
In
2 sin n xdx
0
2 cosn xdx
0
n n
1 n 1 n
n n n n
3 2 3 2
a
0
注: (1) 当f(x)为奇函数时,
a
f (x)dx 0.
a
(2) 当f(x)为偶函数时,
a
a
f (x)dx 2 f (x)dx.
a
0
练习
7
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铃
例5 若f(x)在[0, 1]上连续, 证明
(1) 02 f (sin x)dx02 f (cosx)dx ;
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铃
例8
计算
1 0
ln(1 x) (2 x)2
dx
解
原式=
1
0
ln(1
x)
d
2
1
x
ln(1 x) 1 1
1
1 dx
2 x 0 0 2 x 1 x
ln
2
1 3
1 1 01 x
2
1
x
dx
ln
2
1 3
ln(1
定积分的换元法和分部积分法
1
4
R2
R
x x
例2 计算
0
cos3 x cos5 xdx
2
解
0
cos3 x cos5 xdx
2
0
cos3 x cos5 xdx
0
3
cos 2 x
1 cos2 xdx
0
3
cos 2 x sin x dx
2
2
2
0
3
cos2 x sin xdx
2
0
2
3
cos 2
解:
I1 tax
a 0
f (a t) dt f (a t) f (t)
2I1
a 0f f(a (ax) x)f f
(x) (x)
dt
a,
I1
a 2
I2 tx
0
( 1
t) sin cos2 t
t
dt
sin t 0 1 cos2 t dt
t sin t
0
1
cos2
dt t
第三节 定积分的换元法和分部积分法
一 定积分的换元法
定理1 设函数f(x)在[a,b]上连续,且x=φ(t)满足条件:(1) φ(t)在[α,β]上连续 可微;(2)当t在[α,β]上变化时, x= φ (t)的值在[a,b]上单调变化,且 φ(α)=a,φ(β)=b则
b
a f (x)dx f [ (t)](t)dt(1)
xd
cos
x
2 5
5
cos 2
x |0 2
2 5
利用换元法计算定积分时,要注意: (1).在换元时,积分的上下限必须同时变化. (2).在换元时,要注意换元后的函数在积分区域内是否有 意义.
定积分的换元积分法与分部积分法
03
2. 选择适当的原函数：根据被积函数的形式，选择 一个易于计算的原函数。
分部积分法的步骤与注意事项
3. 应用分部积分公式
将被积函数和选择的原函数代入分部积分公式，进行计算。
化简结果
对计算结果进行化简，得到最终答案。
分部积分法的步骤与注意事项
01
注意事项
02
1. 正确选择原函数：选择合适的原函数是分部积分法的关键，通常需 要根据被积函数的形式和特点进行判断。
详细描述
设$u=x^n$，$v=e^x$，则 $frac{du}{dx}=nu^{n-1}$， $frac{dv}{dx}=e^x$。根据分部积分公式 ，$int x^ne^xdx=[x^ne^x-nint x^{n1}e^xdx]$。通过递推关系，可以逐步求得 定积分的值。
幂函数与三角函数之间的分部积分
指数函数换元法
要点一
总结词
通过指数函数进行换元，将复杂的定积分转化为简单的定 积分。
要点二
详细描述
对于一些包含指数函数的定积分，我们可以利用指数函数 的性质进行换元，将原定积分转化为更容易计算的形式。 例如，对于 $int e^x dx$，我们可以令 $u = e^x$，则 $du = e^x dx$，从而将原定积分转化为 $int u du$。
倒代换法
总结词
通过倒数关系进行换元，将复杂的定积 分转化为简单的定积分。
VS
详细描述
对于一些包含复杂函数的定积分，我们可 以利用倒数关系进行换元，将原定积分转 化为更容易计算的形式。例如，对于 $int frac{1}{x} dx$，我们可以令 $u = x^{-1}$，则 $du = -x^{-2} dx$，从而 将原定积分转化为 $int u du$。
2. 选择适当的原函数：根据被积函数的形式，选择 一个易于计算的原函数。
分部积分法的步骤与注意事项
3. 应用分部积分公式
将被积函数和选择的原函数代入分部积分公式，进行计算。
化简结果
对计算结果进行化简，得到最终答案。
分部积分法的步骤与注意事项
01
注意事项
02
1. 正确选择原函数：选择合适的原函数是分部积分法的关键，通常需 要根据被积函数的形式和特点进行判断。
详细描述
设$u=x^n$，$v=e^x$，则 $frac{du}{dx}=nu^{n-1}$， $frac{dv}{dx}=e^x$。根据分部积分公式 ，$int x^ne^xdx=[x^ne^x-nint x^{n1}e^xdx]$。通过递推关系，可以逐步求得 定积分的值。
幂函数与三角函数之间的分部积分
指数函数换元法
要点一
总结词
通过指数函数进行换元，将复杂的定积分转化为简单的定 积分。
要点二
详细描述
对于一些包含指数函数的定积分，我们可以利用指数函数 的性质进行换元，将原定积分转化为更容易计算的形式。 例如，对于 $int e^x dx$，我们可以令 $u = e^x$，则 $du = e^x dx$，从而将原定积分转化为 $int u du$。
倒代换法
总结词
通过倒数关系进行换元，将复杂的定积 分转化为简单的定积分。
VS
详细描述
对于一些包含复杂函数的定积分，我们可 以利用倒数关系进行换元，将原定积分转 化为更容易计算的形式。例如，对于 $int frac{1}{x} dx$，我们可以令 $u = x^{-1}$，则 $du = -x^{-2} dx$，从而 将原定积分转化为 $int u du$。
3定积分的换元法和分部法
本节
目的
与要 求
x 0 t 1; x 3 t 2
本节 重点 与难 点
原式
2 t 2 1 2tdt
2
2
(t
2
1)dt
1t
1
本节 复习 指导
t3 2[
3
t ]12
8 3
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第三节 定积分的换元法和分部积分法
第三节 定积分的换元法和分部积分法
练习题
本节 知识 引入
本节
求下列定积分
目的
与要
求
本节 重点 与难
4
(1)
1
dx
01 x
(2) 1 x2 1 x2dx 0
点
本节 复习 指导
3
(3)0 arctan xdx
(4) 4 ln x dx 1x
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本节
复习 指导
程。但必须在换元的同时积分上下限也要
作相应的变换。
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第三节 定积分的换元法和分部积分法
a
1
例3
计算
0 x
dx. a2 x2
(a 0)
本节
解 知识
引入
令 x a sin t, dx a cos tdt,
本节 目的 与要 求
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第三节 定积分的换元法和分部积分法
本节
2.求下列定积分
知识
引入
本节
定积分的换元积分法与分部积分法
1 0
f (2x)dx
1
f (2)
1
1
f (2x)d(2x)
2
40
1 2
f
(2)
1f
4
(
2
x
)
1 0
5 1 f (2) f (0) 2.
24
23
定积分的换元法和分部积分法
思考题 试检查下面运算是否正确?
如 令x 11 dx11Fra bibliotek x2t
1 1
1
1
1 t2
d
1 t
1 dt 11 t 2
0t
x2
0
sinu
u
du x
x2 sin u du
0u
原式 lim x0
x
x2 sin u du 0u
x2
0
lim
sin x2 x2
2x
1
0 x0
2x
17
定积分的换元法和分部积分法
二、定积分的分部积分法
definite integral by parts
定理2 设 u( x),v( x)在区间[a,b]上有连续的导数,
x3 sin2 x4 2x2
x
dx 1
0
1 4 x2dx 2 1 4 x2dx
1
0
2 x5 x4 x3 x2 2dx
2
1x2
奇
偶
2 2
x15xx23dx
2 x4 x2 2 2 1 x2 dx
02
2 0
x4 x2 1 x2
2dx
8 3
12
定积分的换元法和分部积分法
2
0 20
2
定积分的换元法和分部积分法
2、不引入新的变量记号，积分限不变；引入新的变 量记号，积分限跟着变。
3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分部积分 公式的用法类似。
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
)dx
f ( x)为偶函数；
0
0,
f ( x)为奇函数。
证毕。
例10
计算
3 3
x5 sin2 x dx.
1 x2 x4
解
3 3
x5 sin2 x dx 1 x2 x4
0
奇函数
例11
计算
π
2
π 2
sin2
x cos xdx
解
π
2
π 2
sin2 x cos xdx
π
2
2
0
sin2
x cos xdx
π
2
2
e
1
x
ln
|
1
x
|
e1 0
1
例17
3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分部积分 公式的用法类似。
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
)dx
f ( x)为偶函数；
0
0,
f ( x)为奇函数。
证毕。
例10
计算
3 3
x5 sin2 x dx.
1 x2 x4
解
3 3
x5 sin2 x dx 1 x2 x4
0
奇函数
例11
计算
π
2
π 2
sin2
x cos xdx
解
π
2
π 2
sin2 x cos xdx
π
2
2
0
sin2
x cos xdx
π
2
2
e
1
x
ln
|
1
x
|
e1 0
1
例17
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8
a
1
dx (a 0)
0 x a2 x2
解 令 x a sint, dx a costdt
x0t0
x a t
2
原式
2
0
a
sin
t
a cost a 2 (1
sin2
t
)
dt
1
2
20
sin t cost cos t sin t sin t cos t
dt
1 2
2 0
1
4
4
cos 1 e
x
x
dx
4
0
cos x 1 e x
cos x 1 ex
dx
4 cos xdx
0
2 2
12
由
a
a
f ( x)dx [ f ( x) f ( x)]dx 可得:
a
0
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质
当f ( x)在[a, a]上连续,且有
(1) f (x)为偶函数,则
必象计算不定积分那样再要把(t ) 变换成原 变量x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限 分别代入(t )然后相减就行了.
5
例 2 sin3 xdx 0
t cosx0
2
解
2 sin3 xdx
2 sin2 x sin xdx
0
0
x 0, t 1 x ,t 0
2
2 (1 cos2 x)dcos x
关于奇、偶函数、三角函数、周期函数的定积分的
例子.
例 设f ( x)在区间[a, a]上可积,则
a
a
f ( x)dx [ f ( x) f ( x)]dx
a
0
证
由于
a
f ( x)dx
0
f ( x)dx
a
f ( x)dx
a
a
0
对 0 f ( x)dx作变换, 令x t, dx dt. a
2dx
8 3
15
三角函数的定积分公式
例 若f ( x)在[0,1]上连续,证明
(1) 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx;
a
a
f ( x)dx 2 f ( x)dx
a
0
(2) f (x)为奇函数,则
a
f ( x)dx 0 a
由定积分的几何意义(面积的代数和)也可得.
13
例 x4 sin xdx 0
5 5
x
x3 sin2 4 2x2
x
dx 1
0
1 4 x2dx 2 1 4 x2dx
1
0
14
cos t sin t
sin t cos t
dt
1 2
2
1 ln sin t
2
cos t
2 0
4
.
9
3
e4
dx
例3
计算 e
x
. ln x(1 ln x)
3
3
解
原式 e4 e
d(ln x) ln x(1 ln x)
e4
e
d(ln x) ln x (1 ln x)
3
t ln x
4 1
第三节 定积分的换元法 和分部积分法
一、定积分的换元法 definite integral by substitution 二、定积分的分部积分法 definite integral by parts 三、小结 思考题 练习题 四、作业
1
定积分的换元法和分部积分法
上一节的牛—莱公式将定积分的计算 归结为求不定积分, 而不定积分可用换元法 和分部积分法求积 , 这样定积分的计算问题 已经比较完满地解决了.
2
x]
2
3
03
7
例 a a2 x2dx (a 0) 0
换 解 令x a sin t, dx acostdt.
x 0, t 0
x a,t 2
元 需
原式 a2
2 cos2tdt
a2
2
1
cos
2t
dt
1 a2
0
0
2
4
换
限！ 注： 由定积分的几何意义直接得出结果
（四分之一圆的面积）.
t cos x
0(1 t 2 )dt
0
1
0
t 1 t 3 2 .
3 1 3
换元需换限！
6
新注的变时在量,用t“, 定凑积”分微的分上的、方下法限就不不明要显变地.写出
2 sin3 xdx
2 sin2 x sin xdx
0
0
2 (1 cos2 x)dcos x
0
[cos x 1 cos3
2
dt t(1 t)
3
2
4 1
dt
2 1 ( t )2
3/2
u t 2
du
2/2 1u2
3
e4
2 e
d ln x 1 ( ln x)2
3
2 arcsin(
ln
x)
e4 e
.
6
2 arcsin u 3 / 2 2( ) .
2 /2
34 6
10
换元积分还可以证明一些定积分等式, 通常 由被积函数的变化和积分区间变化来确定变换.
（1） 2 x | x |dx 1
1
2
x | x |dx x | x |dx
1
0
2
1 1
x 2dx
1
2 (4
2 1)
1
5
2 x5 x4 x3 x2 2
(2) 2
1 x2
dx
2 2
x5 x3 1 x2
dx
2 x4 x2 2 2 1 x2 dx
02
2 0
x4 x2 1 x2
11
a
f ( x)dx
0
f ( x)dx
a
f ( x)dx
令x t
a
a
0
则 x a, t a; x 0, t 0.
dx dt.
0
f ( x)dx
0
f (t)dt
a f (xt)dxt
a
a
0
a
a
f ( x)dx [ f ( x) f ( x)]dx
a
0
利用这一结果计算:
如果将换元法和分部积分法写成定积分 的形式, 常可使得计算更简单.
2
一、定积分的换元法
definite integral by substitution
定理1 假设函数 f ( x) C[a,b],函数 x (t)
满足条件:
(1) ( ) a,( ) b;
(2) (t)在 [ , ](或[ , ])上具有连续导数,
且其值域 R [a,b],
则有
b
a
f
(
x)dx
f
(t
)
(t
)dt
定积分换元公式
3
b
a f ( x)dx
f (t)(t)dt
证 因为f ( x) C[a, b], 所以存在原函数 Байду номын сангаас( x),
则
b
a f ( x)dx F(b) F(a)
N--L公式
由于 d dt
F (t) F(t)(t)
f (t)(t)
故 F (t)是 f (t) (t)的原函数, N--L公式
则
f [ (t)](t)dt
F ( )
F ( )
F(b) F(a)
故有
b
f ( x)dx
f (t)(t)dt
a
4
应用换元公式时应注意:
（1）用 x (t)把变量 x换成新变量t 时，积分限也
相应的改变.
（2）求出 f [ (t )] (t )的一个原函数(t ) 后，不