矩阵论 第五章 Hermite矩阵和正定矩阵
矩阵理论-第七讲
由内积的
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第5讲-5
Hermite矩阵的正定性
– 推论
Hermite正定矩阵的行列式大于零
由 det A 12 L n 0 易知
矩阵理论-第七讲
兰州大学信息科学与工程学院 2004年
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第5讲-1
上节内容回顾
• 酉矩阵
– n个列向量是一个标准正交基 AH A I
• 酉相似下的标准形
AH A1
– Schur定理：任一复数方阵均可酉相似于上三角矩阵
U Cnn U 1 U H
U 1AU U H AU T
是Cn
上的向量范数。如果
ACnn x Cn
都有：
Ax A x
v
m
vБайду номын сангаас
则称矩阵范数 g m 与向量范数 gv 是相容的
矩阵范数中的第4条是矩阵范数与向量范数相容的必要条件：
ABx A(Bx) A Bx
v
v
m
v
因为 T sup{ Tx x : x 0}
T Tx x (x 0)
所以 AB sup{ ABx x : x 0} sup{( A Bx ) x : x 0}
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第5讲-3
Hermite矩阵的正定性
使得
U H AU diag(1, 2 , L n )
上式右边同乘以列向量：
1
y
2
M
n
左边同乘以行向量 yH，可得
2011年研究生《矩阵论》复习范围
一、试卷结构及知识点分配
二、考前答疑时间及地点
时间：16周周五（即12月16日）晚上20：30——22：00
地点：八教207室
三、试卷中未涉及的知识点（以课件和指定教材为范围，矩阵阶数基本为2-3阶）
1、线性空间和线性变换的验证问题；子空间的交与和、维数定
理；矩阵的零空间与列空间；线性变换的值域与核；线性变换的不变子空间
2、Cauchy-Schwarz不等式；最小二乘问题；酉空间和酉变换
3、Hermite变换及Hermite矩阵；正定Hermite变换、正定Hermite
矩阵和正定Hermite二次型
4、λ矩阵
5、向量范数和矩阵范数的验证；线性方程组的扰动分析（条件
数除外）
6、矩阵级数；梯度矩阵及矩阵对矩阵的微分；能控性与能观测
性
7、矩阵的满秩分解
8、多项式特征值问题；Rayleigh商和广义Rayleigh商。
南京航空航天大学研究生课程《矩阵论》内容总结与习题选讲
《矩阵论》复习提纲与习题选讲Chapter1 线性空间和内积空间内容总结：z 线性空间的定义、基和维数；z 一个向量在一组基下的坐标；z 线性子空间的定义与判断；z 子空间的交z 内积的定义；z 内积空间的定义；z 向量的长度、距离和正交的概念；z Gram-Schmidt 标准正交化过程；z 标准正交基。
习题选讲：1、设表示实数域3]x [R R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成 的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。
（1） 求的维数；并写出的一组基；求在所取基下的坐标；3]x [R 3]x [R 221x x ++ （2） 在中定义3]x [R ， ∫−=11)()(),(dx x g x f g f n x R x g x f ][)(),(∈ 证明：上述代数运算是内积；求出的一组标准正交基；3][x R （3）求与之间的距离；221x x ++2x 2x 1+−（4）证明：是的子空间；2][x R 3]x [R （5）写出2[][]3R x R x ∩的维数和一组基；二、 设22R ×是实数域R 上全体22×实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加 法和数与矩阵的乘法）。
（1） 求22R ×的维数，并写出其一组基；（2） 在(1)所取基下的坐标； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−3111（3） 设W 是实数域R 上全体22×实对称矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：W 是22R ×的子空间；并写出W 的维数和一组基；（4） 在W 中定义内积， )A B (tr )B ,A (T =W B ,A ∈求出W 的一组标准正交基；（5）求与之间的距离； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0331⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1221 （6）设V 是实数域R 上全体22×实上三角矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：V 也是22R ×的子空间；并写出V 的维数和一组基；（7）写出子空间的一组基和维数。
智慧树答案矩阵论知到课后答案章节测试2022年
第一章1.方阵可逆是无0为其特征值的必要但不充分条件。
（）答案:错2.相似矩阵有相同的（）。
答案:特征值;行列式;迹3.矩阵的初等因子为（）。
答案:4.方阵的每个特征值都是的最小多项式的根。
（）答案:对5.酉矩阵的行列式为1。
( )答案:错第二章1.矩阵范数和谱半径之间有什么关系？( )答案:矩阵范数大于或者等于谱半径2.矩阵的1范数，2范数以及∞范数之间有何关系？( )答案:它们之间没有一定的关系3.如何计算矩阵的条件数？( )答案:矩阵的范数乘以其逆矩阵的范数4.矩阵范数与向量范数一定是相容的？( )答案:错5.矩阵范数所满足的性质比向量范数满足的性质多了哪一条？( )答案:相容性第三章1.对矩阵，若任意一种矩阵范数均满足，则.（）答案:不一定成立；2.试分析:对矩阵，. （）答案:错3.对矩阵，. （）答案:对4.绝对收敛的矩阵级数一定收敛. （）答案:对5.对矩阵，若矩阵的某一种矩阵范数，则幂级数( ).答案:；第四章1.设矩阵是Hermite正定矩阵，则在保证分解矩阵主对角元素全为正的情况下，矩阵存在唯一的Cholesky分解。
（）答案:对2.设矩阵，则矩阵，若矩阵为单位下三角矩阵，为上三角矩阵，则该分解称为Crout分解。
（）答案:错3.设矩阵，则，其中为单位下三角矩阵，为上三角矩阵，为矩阵的Doolittle分解。
（）答案:对4.Householder矩阵是酉矩阵。
（）答案:对5.Givens矩阵是Hermite矩阵。
（）答案:错第五章1. 1 设矩阵，且的个盖尔圆都是孤立的，则矩阵有个互不相同的是特征值.（）答案:对2. 2 设矩阵，矩阵，矩阵，是矩阵的任意特征值，则下列说法正确的是（）.答案:;;3. 3 设矩阵是阶酉矩阵，，则的特征值满足（）.答案:对4.任何阶矩阵的盖尔圆都可以通过相似变换隔离成个孤立的盖尔圆。
（）答案:错5.设矩阵有个孤立的盖尔圆，且原点不在这些盖尔圆中，则非奇异。
关于复正规矩阵的2个不等式
关于复正规矩阵的2个不等式沈浮;夏必腊;周堂春【摘要】给出了复正规矩阵的2个不等式,其中一个可看成是对文献[1]中定理3.9的推广,另一个是对文献[2]定理6.2.2的进一步研究,它们具有一定的理论价值和应用价值.【期刊名称】《江西科学》【年(卷),期】2014(032)001【总页数】3页(P5-7)【关键词】Hermite矩阵;正定矩阵;满秩矩阵;酉相似【作者】沈浮;夏必腊;周堂春【作者单位】解放军陆军军官学院数学教研室,安徽合肥230031;解放军陆军军官学院数学教研室,安徽合肥230031;解放军陆军军官学院数学教研室,安徽合肥230031【正文语种】中文【中图分类】O151.210 引言矩阵不等式是矩阵理论中的一个很重要内容。
随着矩阵理论的迅速发展及其在自然科学、工程技术和社会经济等领域的广泛运用，关于矩阵不等式的新结果层出不穷。
文献［1］中的定理3.9指出:当A是Hermite矩阵时，则有λmin(A)E≤A≤λmax(A)E。
文献［2］中定理6.2.2又指出:当A和B为2个非负定的Hermite矩阵时，则有0≤trAB≤λmax(A)trB≤rtA·trB。
这2个结果都是针对Hermite矩阵的，本文对复正规矩阵进行了研究，得出了更进一步的结论。
本文中，用Re(z)表示复数z的实部，用λmin (A)和λmax(A)分别表示Hermite矩阵A的最小特征值和最大特征值，用λRmin(A)和λRmax(A)分别表示复矩阵A 实部最小的特征值和实部最大的特征值，用tr(A)记矩阵A的迹，向量x的共轭转置用xH，E表示n阶单位矩阵。
1 基本概念及相关引理定义1:设A∈Cn×n，若对任意非零列向量x∈Cn×1，都有则称A为复正定矩阵(或复非负定矩阵)，记作A＞0(或A≥0)。
显然，当A为Hermite正定(非负定)矩阵时，它也是复正定(非负定)矩阵。
定义2:设A、B∈Cn×n，如果A－B是复正定矩阵(或复非负定矩阵)，则称复矩阵A大于复矩阵B(或称复矩阵A大于或等于复矩阵B)，记作A＞B(或A≥B)。
Hermite二次型
如何建立判别方法
d1
1.设D
d2
,则D是正定的 di 0;
dn
2.若H阵A, B共轭合同，则 A正定 B正定；
d1
3.若H阵A与D
d2
共轭合同，则A正定 di 0。
dn
23
定理7
设 A是n nHermite阵，则下述条件等价： 1.A是正定的； 2.A的特征值均大于零； 3.A与I共轭合同； 4.存在可逆阵P使得A PH P; 5.A的各顺序主子式均大于零。
标准形中的正项个数称为其正惯性指数， 负项个数称为其负惯性指数。
18
惯性定理 矩阵形式：
若H阵A与
a1
b1
1
a2
,
2
b2
an
bn
共轭合同，则a1, a2 , , an与b1, b2, , bn中正、负项
个数相同。分别称为矩阵A的正、负惯性指数。
19
规范形
如果 n n Hermite 矩阵 A 的正、负惯性指数 分别是 p, q ，则 A 必定与矩阵
Ip O O
O
Iq
O
O O O
共轭合同。称此矩阵为 A 的规范形。
20
共轭合同的充分必要条件
定理6：n nHermite矩阵A, B共轭合同
A, B有相同的正、负惯性指 数。
21
正定性
定义：设A是H阵，f ( X ) X H AX ,
若对X 0 ，f ( X 0 ) 0,
则称f 是正定的，A是正定的H阵。
U ( y1, y2, , ys ), V (x1, y2 , , xn )H
则
A
U
D O
O O
V
浅谈Hermite矩阵的学习_任芳国
及任意 y∈Cn且 y≠0, 令 x= Py, 则 x∈ Cn 且 x ≠0, y3 (P3 A P ) y= x3 A x > 0. 故 P3 A P 是 H erm ite 矩阵. (2) ] (3) 对 H erm ite 矩阵 A. 由定理 2. 4 知存在酉矩阵 U , 使 U 3 AU = d iag (Κ1, Κ2, …, Κn) , 其中 Κi ( i= 1, 2, …, n) 为 A 的特征值, 由 (2) 知 d iag (Κ1, Κ2, …, Κn) 是正定矩阵, 则其中 Κi ( i= 1, 2, …, n ) 均为正数. ( 3) ] (4) 因为 A 特征值 Κ1, Κ2, …, Κn 均 为正数, 令 P 1 = d iag ( ( 1 Κ1 ) [12 ], ( 1 Κ2) [12 ], …, (1 Κ) [12 ]) P = U P1, 则 P 是可逆矩阵, 并且由 4. 3. 1 有, P 3 A P = (U P 1) 3 A (U P 1) = P 1U 3 AU P 1= I. (4) ] (5) 因为存在 n 阶可逆矩阵 P, 使得 P3 A P = I, 则令 Q = P- 1, 有 A = Q3Q; (5) ] (1) 因为存在 n 阶可逆矩阵 Q , 使得 Q = Q 3 Q , 则对任意 x∈Cn且 x≠0 都有 Q x≠0, 从而 x3 A x= (Q x) 3 (Q x) > 0; 故 A 是正定矩阵. 下面证明 (1) ] (6) 设 Κ为 A 的特征 值, x 为相应的特征值向量, 则A x= Κx, 因为 A 是正定矩阵, 所以 Κx3 x = x3 A x > 0 从而 Κ> 0, 因此 A 的特征值均为正 数, 又 A = U d iag (Κ1, Κ2, …, Κn)U 3 , 其中 Κi (i= 1, 2, …, n) 为 A 的特征值, 令 S= U d iag ( (1 Κ1) 1 2, (1 Κ2) 1 2, …, (1 Κ) 1 2) U 3 , 则 S 是 n 阶可逆 H erm ite 矩阵, 并
矩阵论复习
可求出 A(λ ) 的行列式因子 （3）将矩阵 A(λ )的不变因子 d 1 (λ ), d 2 (λ ),L , d r (λ ) 分解成 一次因式的幂： 一次因式的幂：
(λ − λ1 ) n1 , (λ − λ 2 ) n2 ,L , (λ − λ s ) ns
可求出 A(λ ) 的初等因子
4.Jordan标准形的求法 标准形的求法 4. （1）求矩阵 A 的初等因子
& & & C n = V λ1 + V λ 2 + L + V λ r
（3） A 的每一个特征值的几何重数等于代数重数. 的每一个特征值的几何重数等于代数重数. 的一维不变子空间的直和. （4） C n 可以分解成 A 的一维不变子空间的直和 的初等因子都是一次式. （5）A的初等因子都是一次式 的初等因子都是一次式 的最小多项式m(λ)没有重零点 没有重零点. （6）A的最小多项式 的最小多项式 没有重零点
即 A (ε 1 , ε 2 , L , ε n ) = (ε 1 , ε 2 , L , ε n ) A .
4.线性变换的值域与核 4.线性变换的值域与核 维线性空间V上的线性变换 ε 上的线性变换， 设A 是 n 维线性空间 上的线性变换，1 , ε 2 ,L , ε n 是 V 的一组基， 的一组基，A 在这组基下的矩阵是 A，则 ， （1）A 的核为Ker ( A ) = {α ∈ V | A (α ) = 0}; （2）A 的值域为R( A ) = { A (α ) | α ∈ V };
α = x 1ε 1 + x 2 ε 2 + L + x n ε n .
2.线性子空间 2.线性子空间 是线性空间， 是 的非空子集， （1）设V是线性空间，W是V 的非空子集，则W是V 的 是线性空间 是 子空间的充分必要条件是
第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)
第五专题矩阵的数值特征（行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数）一、行列式已知A p×q, B q×p, 则|I p+AB|=|I q+BA|证明一：参照课本194页，例.证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质；从而I p+AB，I q+BA中不等于1的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。
二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
定义：n nii ii1i1tr(A)a====λ∑∑，etrA=exp(trA)性质：1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质；2. Ttr(A )tr(A)=；3. tr(AB)tr(BA)=；4.1tr(P AP)tr(A)-=； 5. H Htr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量；6. nnk ki i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥⇒λ≥λ）；9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。
若干基本不等式对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]得定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。
北航博士入学考试矩阵大纲
北航线性代数和矩阵论考试大纲较全面、系统地考核考生掌握线性代数的基本理论、方法和某些应用的情况。
具体地，测试以下内容：一、矩阵和行列式：矩阵的概念和运算，矩阵行列式的定义、性质与计算，行列式的展开与Cramer 法则，矩阵逆的定义、性质与计算，初等变换与初等矩阵，矩阵在初等变换下的标准型，矩阵的分块及其运算，矩阵的广义逆。
二、线性方程组：初等变换与消元法，维向量空间的定义与性质，向量组的线性相关与线性无关，向量组的秩，齐次线性方程组的结构，非齐次线性方程组有解的判别准则及解的结构。
三、二次型与正定矩阵：对称矩阵的性质及其标准型，二次型的定义及其矩阵的表示，二次型的化简与分类，正定二次型，对称正定（半正定）矩阵的定义，性质和判定。
四、线性空间与欧几里得空间：线性空间的定义及其基本性质，线性空间的维数、基与坐标，线性子空间的定义、判定、性质及线性子空间的运算，特别是线性子空间的直和，线性空间的同构，欧几里得空间的定义、基本性质、标志正交基求法、正交变换与正交矩阵、子空间及其正交补、西空间的定义及其基本性质。
五、线性变换：线性变换的定义、性质、运算及其矩阵表示，线性变换的值域与核，线性变换的特征值与特征向量，矩阵的相似对角形，线性变换的不变子空间。
六、矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子，矩阵相似的条件，矩阵的行列式因子、不变因子的初等因子，矩阵的Jordan标准型七、双线性函数：线性函数的定义与性质，对偶空间的定义及其性质，双线性函数的定义与性质，对称双线性函数与反对称函数的定义与性质。
矩阵论考试大纲：较全面、系统地考核考生掌握矩阵的基本理论、方法和某些应用的情况。
具体地，测试一下内容：一、线性空间与内积空间：线性空间的定义及其基本性质，线性空间的维数、基与坐标，线性子空间的定义、判定、性质及线性子空间的运算，特别是线性子空间的直和、线性空间的同构，内积的定义、基本性质、标准正交基及其求法、正交投影及其性质。
正定矩阵的性质和判定方法及应用
内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用作者郝芸芸系别统计与数学学院专业信息与计算科学年级10级学号102093113指导教师高菲菲导师职称讲师答辩日期成绩内容提要矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用．关键词：二次型正定矩阵判定方法应用AbstractMatrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive definite matrix with special properties of general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a series of properties of positive definite matrix, mainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fourth parts: the definition, the master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of positive definite matrices.Key words:Quadratic form Positive definite matrix Determination method Application目录引言...................................................... 错误!未定义书签。
正定矩阵性质
正定矩阵性质正定矩阵的性质：正定矩阵的行列式恒为正；实对称矩阵a正定当且仅当a与单位矩阵合同；若a是正定矩阵，则a的逆矩阵也是正定矩阵等等。
在线性代数里，正定矩阵有时会简称为正定阵。
在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。
在线性代数里，正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。
在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。
与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。
（1）正定矩阵的行列式恒为也已；（2）实对称矩阵a正定当且仅当a与单位矩阵合同；（3）若a就是正定矩阵，则a的逆矩阵也就是正定矩阵；（4）两个正定矩阵的和是正定矩阵；（5）正实数与正定矩阵的乘积就是正定矩阵。
判定的方法：根据正定矩阵的定义及性质，辨别等距矩阵a的也已定性存有两种方法：1、求出a的所有特征值。
若a的特征值均为正数，则a是正定的；若a的特征值均为负数，则a为负定的。
2、排序a的各阶主子式。
若a的各阶主子式均大于零，则a就是正定的；若a的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则a为奇函数的。
对于n阶实对称矩阵a，下列条件是等价的：（1）a就是正定矩阵；（2）a的一切顺序主子式均为正；（3）a的一切主子式均为也已；（4）a的特征值均为正；（5）存有实对称矩阵c，并使a=c′c；（6）存在秩为n的m×n实矩阵b，使a=b′b；（7）存有主对角线元素全为正的实三角矩阵r，并使a=r′r矩阵是数学中一个重要的基本概念是代数学的一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具，而正定矩阵因其特有的性质及广泛的应用领域使得很多学者对其进行了大量的研究,本文主要是通过特征值单位矩阵。
Hermite区间矩阵的全正定性
Total Positive Definiteness of Hermite Interval MatricesJunwei Shao,Xiaorong HouFaculty of Science,Ningbo University,Zhejiang,PRCE-mail:junweishao@,houxiaorong@AbstractThe definition of total positive definiteness of Hermite interval matrices is given and asufficient and necessary criterion is derived to verify this property.Key words:Interval matrices;Hermite interval matrices;Total positive definitenessAMS subject classification(2000):15A18,65Y991IntroductionDetermining the total positive definiteness(and related properties)of symmetric interval matrices plays important roles in global optimization problems[1][2].For cases in real number field,papers[3][4]gave a sufficient and necessary criterion.In this paper,we mainly discussed the problem in complex numberfield,and gave the definition of total positive definiteness of Hermite interval matrices and its sufficient and necessary criterion which only needed to check positive definiteness of4n−1(n−1)!Hermite vertex matrices for a n×n Hermite interval matrix.2Some notationsWefirst introduce following definitions and notations according to paper[4].For a square real matrix A,we denote its transpose by A T,its spectral radius byρ(A), and its absolute matrix by|A|=(|A ij|),where A ij represents the element in i-th row and j-th column of Matrix A.For a n×n real symmetric matrix,eigenvalues are all real,we denote them from large to small byλ1(A)≥λ2(A)≥···≥λn(A).And matrix inequalities as A≤B or A<B are to be understood componentwise.Let A c and∆be n×n real matrices,and∆≥0,we define the following setA I=[A,A]=[A c−∆,A c+∆]={A:A c−∆≤A≤A c+∆}(1) as n×n real interval matrix.When some matrix A in A I satisfying A ij=(A)ij or A ij=(A)ij, i,j=1,...,n,then we call A a vertex matrix of A I.From this definition,we know that A I has at most2n2vertex matrices.When A c,∆are symmetric matrices,we call A I a real symmetric interval matrix,it has at most2n(n+1)/2symmetric vertex matrices.With each real symmetric matrix A I=[A c−∆,A c+∆],we shall associate the symmetric interval matrixA I s=[A c−∆ ,A c+∆ ](2)whereA c=12A c+A T c,∆ =12∆+∆here we know,if A∈A I,then12A+A T∈A I s.Now we introduce following setY={z:z∈R n,|z j|=1,j=1,...n},its cardinal number is2n.For each z∈Y,we define T z as the n×n diagonal matrix whose diagonal vector is z,and letA z=A c−T z∆T z(3)Then,for each pair i,j,we have(A z)ij=(A c−∆)ij if z i z j=1;and(A z)ij=(A c+∆)ij if z i z j=−1.So A z∈A I,in fact,A z is a vertex matrix of A I.Since A−z=A z,{A z|z∈Y} have at most2n−1different matrices(exactly2n−1when∆>0).When A I is symmetric,A z is also symmetric.Now we define function f:R n×n→R1f(A)=minx=0x T Axx T x(4)When f(A)≥0,we say that A is positive semidefinite(that is,for each x,x T Ax≥0, this definition conforms to the usual one).Similarly,when f(A)>0,we say that A is positive definite(that is,for each x=0,x T Ax>0).Real interval matrix A I is total positive (simi)definite if every A∈A I is positive(simi)definite.For the total positive(semi)definiteness of real interval matrices,we have the following elegant theorem.Theorem1.[4]Let A I be a interval matrix,then the following assertions are equivalent: (i)A I is total positive(semi)definite;(ii)A I s is total positive(semi)definite;(iii)A z is total positive(semi)definite for each z∈Y.From theorem1,it only needs to check positive(semi)definiteness of2n−1vertex matrices to determine the positive(semi)definiteness of a interval matrix.This result in paper[4]is an improvement on the one in paper[3],in the latter,it needs to check positive(semi)definiteness of2n(n−1)/2vertex matrices.Further,in paper[5],it was proved that the problem of deter-mining the total positive definiteness of a symmetric interval matrix is HP-hard.Now we consider interval matrices in complex numberfield and corresponding results.3Main resultsFirst we introduce corresponding definitions in the complex numberfield.For an n×n complex matrix C=(c rs),we denote its Hermite transpose by C H,when C=C H,we call C a Hermite matrix,it is well known that its eigenvalues are all real numbers, we denote them from large to small byλ1(C)≥λ2(C)≥...≥λn(C).Let A I,B I be n×n real interval matrices,whereA I=[A,A],B I=[B,B].We define an n×n complex interval matrix asC I=A I+iB I={A+Bi:A∈A I,B∈B I}(5)When A,B are vertex matrices of A I,B I respectively,we call A+Bi a vertex matrix of C I.It can be seen that C I has2n2×2n2=22n2vertex matrices.When A I,B I are real symmetric interval matrices,and B=−B,we can define the following n×n Hermite interval matrix:C I H={A+Bi:A∈A I,B∈B I,A is symmetric,B is antisymmetric}(6) It has at most2n(n+1)/2×2n(n−1)/2=2n2Hermite vertex matrices.Now we define the function g:C IH→R1asg(C)=minx=0x H Cxx H x(7)In fact,g(C)=λn(C).When g(C)≥0,we say that C is positive semidefinite(that is,foreach x,x H Cx≥0,this confirms the usual definition),similarly,when g(C)>0,we say that C is positive definite(that is,for each x=0,we have x H Cx>0).A Hermite interval matrix is total positive(semi)definite if each C∈C IHis positive(semi)definite.Theorem2.The minimum eigenvalues of Hermite matrices in an n×n Hermite intervalmatrix C IHobtain the minimal value at some Hermite vertex matrix.Proof.Suppose A+Bi is some Hermite matrix in C IH ,and X+Y i=(x1+y1i,x2+y2i,...,x n+y n i)T is the eigenvector which has modular1correspond to the smallest eigenvalueλn(A+Bi). Let U be the n-dimension all-1column vector,thenλn(A+Bi)=(X+Y i)H(A+Bi)(X+Y i)=U T((A+Bi)◦((X+Y i)(X+Y i)H))U(8)Where A◦B represents the Hardmard production of matrices A and B,that is,the matrix of productions of correspond elements of A and B.Next,we construct a matrix Q=(u rs+iv rs)n×n as follows:u rs=A rs,x r x s+y r y s≥0A rs,x r x s+y r y s<0v rs=B rs,x r y s−x s y r≥0B rs,x r y s−x s y r<0From the definition,we know that Q is a Hermite matrix and satisfies:u rr=A rr,v rr=B rr,u rs(x r x s+y r y s)≤A rs(x r x s+y r y s),v rs(x r y s−x x y r)≤B rs(x r y s−x x y r).therefore((u rs+iv rs)(x r+iy r)(x s−iy s))=u rs(x r x s+y r y s)+v rs(x r y s−x s y r)≤A rs(x r x s+y r y s)+B rs(x r y s−x s y r)= ((A rs+iB rs)(x r+iy r)(x s−iy s)),where (x)represents the real part of number x.Thus such Q we constructed satisfies (Q◦((X+Y i)(X+Y i)H))≤ ((A+Bi)◦((X+Y i)(X+Y i)H)),where (W n×n)=( (W ij))n×n.Note thatλn(A+Bi)=min{Z H(A+Bi)Z: Z =1,Z∈C n},thus we haveλn(Q)=min{Z H QZ: Z =1,Z∈C n}≤(X+Y i)H Q(X+Y i)=U T(Q◦((X+Y i)(X+Y i)H))U=U T (Q◦((X+Y i)(X+Y i)H))U≤U T ((A+Bi)◦((X+Y i)(X+Y i)H))U=U T((A+Bi)◦((X+Y i)(X+Y i)H))U=(X+Y i)H(A+Bi)(X+Y i)=λn(A+Bi)(9)Since A+Bi is an arbitrary Hermite matrix in C IH ,it follows that the minimum of minimaleigenvalues of Hermite matrices in C IH is obtained at some vertex Hermitematrix.Since g(C)=λn(C),we haveCorollary1.n×n Hermite interval matrix C IHis total positive(semi)definite if and only if its2n2Hermite vertex matrices are positive(semi)definite.In fact,the number of vertex matrices can be reduced to4n−1(n−1)!in Theorem2and its corollary.To prove it,we need the following auxiliary statement.First we define the sign of matrix A=(a ij)as sign(A)=(sign(a ij))and we set sign0=1.Lemma.The cardinal number of the setS n={(sign(XX T+Y Y T),sign(XY T−Y X T)):X,Y∈R n}is at most4n−1(n−1)!.Proof.We use induction on n.For n=1,S1={(sign(x21+y21),sign0)}={(1,1)},its cardinal number is1.Now suppose that the statement required is proved for S n−1.Letαi,j=(XX T+Y Y T)ij=x i x j+y i y jβi,j=(XY T−Y X T)ij=x i y j−x j y ithen we haveαj,k(x2i+y2i)=(αi,jαi,k+βi,jβi,k)βj,k(x2i+y2i)=(αi,jβi,k−αi,kβi,j)αi,j=αj,iβi,j=−βj,iαi,i≥0βi,i=0so it suffices to prove that the number of different combinations of signs of(α1,n,β1,n,α2,n,β2,n,...,αn−1,n,βn−1,n)is4(n−1).We can assume that x2i+y2i=0for each i,otherwise,the elements in i-th row and i-th column are all zeros,which can be reduced to the case corresponds to S n−1.Thereforeαj,n=αi,jαi,n+βi,jβi,nx2i+y2iβj,n=αi,jβi,n−αi,nβi,jx2i+y2i(10)Further,we havesign(αj,n)=sign(αi,jαi,n),ifαi,jβi,jαi,nβi,n≥0sign(βj,n)=sign(αi,jβi,n),ifαi,jβi,jαi,nβi,n<0(11)Fix the signs ofα1,n andβ1,n,then it suffices to prove that the number of different combinations of signs of(α2,n,β2,n,...,αn−1,n,βn−1,n)is n−1.Indeed,the number of different combinations of signs of(α1,n,β1,n)is equal to4,it therefore deduces the statement required.From(11),we know that,when wefixα1,n andβ1,n,signs ofµ2,µ3,...,µn−1are deter-mined,whereµj=αj,n orβj,n,and we denote the other number in{αj,n,βj,n}exceptµj by ˜µj.Now we choose a sign of˜µ2,again,signs ofµ2,˜µ2determine signs of someµj,˜µj,without loss of generality,we assume that they determine signs ofµ3,...,µk+2,˜µk+3,...,˜µn−1.Wefirst proved that,ifα2,n,β2,n determine a sign of the same numberµj asα1,n,β1,n do, then they determine a same sign ofµj,that is,ifsign(α1,jβ1,jα1,nβ1,n)=sign(α2,jβ2,jα2,nβ2,n)(12) thensign(α1,jα1,n)=sign(α2,jα2,n)or sign(α1,jβ1,n)=sign(α2,jβ2,n)(13) Indeed,wefirst assume thatα1,jβ1,jα1,nβ1,n≥0.Ifα1,2β1,2α1,nβ1,n≥0,thenα1,2β1,2α1,jβ1,j≥0,sosign(α2,n)=sign(α1,2α1,n),sign(α2,j)=sign(α1,2α1,j).Thereforesign(α2,jα2,n)=sign(α1,2α1,jα1,2α1,n)=sign(α1,jα1,n).While ifα1,2β1,2α1,nβ1,n<0,thenα1,2β1,2α1,jβ1,j<0,sosign(β2,n)=sign(α1,2β1,n),sign(β2,j)=sign(α1,2β1,j).Thereforesign(β2,jβ2,n)=sign(α1,2β1,jα1,2β1,n)=sign(β1,jβ1,n).with the assumptionsign(α1,jβ1,jα1,nβ1,n)=sign(α2,jβ2,jα2,nβ2,n)=1,we can deduce thatsign(α1,jα1,n)=sign(α2,jα2,n).Similarly,ifα1,jβ1,jα1,nβ1,n<0,we can prove thatsign(α1,jβ1,n)=sign(α2,jβ2,n).We now use induction to prove that whenµ2,˜µ2determine signs of the same k numbers asα1,n,β1,n do,then number of different combinations of signs of(α3,n,β3,n,...,αn−1,n,βn−1,n)after we chooseα1,n,β1,n,α2,n,β2,nis equal to k+1.When k equals1,the statement is obviously true,in the following,we suppose it has been proved for cases correspond numbers less then k.Now we choose˜µ3,thenµ3,˜µ3determine signs of p numbers in{µ4,...,µk+2},and k−1−p numbers in{˜µ4,...,˜µk+2}.From the induction hypothesis,we know this˜µ3corresponds p+1different combinations of signs of(α4,n,β4,n,...,αn−1,n,βn−1,n),while when we choose the opposite sign for˜µ3with the former one we choose,µ3,˜µ3determine signs of k−1−p numbers in{µ4,...,µk+2},and p numbers in{˜µ4,...,˜µk+2},this˜µ3 corresponds k−1−p+1=k−p different combinations of signs of(α4,n,β4,n,...,αn−1,n,βn−1,n).So the total number of different combinations of signs of(α3,n,β3,n,...,αn−1,n,βn−1,n)is equal to(p+1)+(k−p)=k+1,this is what we require.Now return to the proof of the lemma,sinceµ2,˜µ2determine signs ofµ3,...,µk+2,˜µk+3,...,˜µn−1,this µ2,˜µ2corresponds k +1different combinations of signs of them,while when we choose ˜µ2with opposite sign,then µ2,˜µ2determine signs of˜µ3,...,˜µk +2,µk +3,...,µn −1,this µ2,˜µ2corresponds n −k −3+1=n −k −2different combinations of signs of them,so the total number of different combinations of signs of(α2,n ,β2,n ,...,αn −1,n ,βn −1,n )is equal to (k +1)+(n −k −2)=n −1,as was required.Now we define a set V n for the Hermite interval matrix C I H=A I +iB I :Q =(u rs +iv rs )∈V n ⇔(M,N )∈S n ,and u rs = A rs ,M rs =1A rs ,M rs =−1,v rs = B rs ,N rs =1B rs ,N rs =−1(14)then from the proof of theorem 2,we can reduce the number of Hermite vertex matrices we used in it and its corollary.Theorem 2 .The minimum eigenvalues of Hermite matrices in a n ×n Hermite intervalmatrix C I H obtain the minimal value at a Hermite vertex matrix in V n corresponding to C I H.Corollary 1 .n ×n Hermite interval matrix C I H is total positive (semi)definite if and only if all Hermite vertex matrices in V n corresponding to C I Hare positive (semi)definite.References[1]Adjiman C S,Dallwig S,Floudas C A,et al.A Global Optimization Method,αBB,forGeneral Twice-differentiable Constrained NLPs–i.Theoretical Advances [J].Computers Chem.Engng,1998,Vol.22:1137-1158.[2]Adjiman C S,Androulakis I P,Floudas C A.A Global Optimization Method,αBB,forGeneral Twice-differentiable Constrained NLPs–ii.Implementation and Computational Results [J].Computers Chem.Engng,1998,Vol.22:1159-1179.[3]ShiZhicheng,GaoWeibin.A Necessary and Sufficient Condition for the Positive-definiteness of Interval Symmetric Matrices [J].Internat.J.Control.1986,Vol.43:325-328.[4]Rohn Jiri.Positive Definiteness and Stability of Interval Matrices [J].SIAM J.MatrixAnal.Appl.1994,Vol.15,No.1:175-184.[5]Rohn Jiri.Checking positive definiteness or stability of symmetric interval matrices isNP-hard [J].Comment.Math.Univ.Carolinae.1994,Vol.35,No.4:795-797。
数学论文 Hermite矩阵与反Hermite矩阵
摘要Hermite矩阵是矩阵类中的一种特殊形式，它在矩阵理论中处于重要的地位，尤其是在酉空间、酉变换及复系数二次型的应用中起着主导的作用，它一方面是对实对称矩阵的推广，另一方面它在复矩阵的地位相当于实数在复数C的地位，复矩阵中的Hermite矩阵与实对称矩阵在其性质和证明方法上都十分的相似，本文主要从Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义、性质、基本定理和Hermite矩阵的正定性四个方面讨论Hermite矩阵和反Hermite矩阵.关键词：Hermite矩阵；反Hermite矩阵；正定性；酉矩阵.AbstractThe Hermite matrix forms a special class of matrices in matrix theory.It occupies an important position in the matrix theory and plays a leading role,especially in the unitary space,unitary transformation and the application of the quadratic form of coefficient of polytropy.On the one hand,it is the promotion of the real symmetric matrix ,on the other hand,the staues it occupies in the complex matrix comes up to the position that real number in the plural form C. In the nature and methods of proof ,Hermite matrices and real symmetric matrix are very similar. This article is concerned about the definition,nature,fundamental theorem of the Hemite matrix and anti-Hermite matrix and the positive definiteness of Hermite matrix.Key words：Hermite matrix;Anti-Hermite matrix;Positive definite;Unitary matrix目录一、引言 (01)二、Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义 (01)三、Hermite矩阵的性质定理（一）Hermite矩阵的性质 (02)（二）Hermite矩阵的定理 (02)（三）Hermite矩阵的正定性 (05)四、反Hermite矩阵的性质定理（一）反Hermite矩阵的性质 (14)（二）反Hermite矩阵的定理 (15)五、结论 (20)参考文献 (21)致谢 (22)Hermite 矩阵与反Hermite 矩阵一、引言众所周知，矩阵理论在历史上至少可追溯到Sylvester 与Cayley ，特别是Cayley 1858年的工作.近代数学的一些学科，如代数结构理论与泛函分析可以在矩阵理论中寻到它们的根源，另一方面，随着计算机的广泛应用，矩阵理论在不断地发展，矩阵已成为处理数值问题的有力工具.作为数学的一个重要分支，矩阵理论具有极为丰富的内容，在数学以及其他科学技术领域都有十分重要的应用，如数值分析、最优化理论、运筹学与控制论、概率论与数理统计、力学、电学、信息科学、管理科学与工程技术等都与矩阵理论有着密切的关系.对称矩阵是一类非常重要的矩阵，近年来，在矩阵理论中，Hermite 矩阵的应用越来越广泛，对其研究也取得很大的进展.在复矩阵中，Hermite 矩阵实际上是实对称矩阵的推广，它在复矩阵中的地位相当于实数在复数中的地位，本文主要从Hermite 矩阵和反Hermite 矩阵的定义、性质，基本定理以及Hermite 矩阵正定性几个方面讨论Hermite 矩阵和反Hermite 矩阵并给出了相关的证明，来加深对矩阵理论的理解，从而能更好地使用这些工具.二、Hermite 矩阵和反Hermite 矩阵的定义定义 1 设A 是一个n 阶复矩阵，即n n A C ´Î，H A 为A 的共轭转置，H A =A ， 则将称A 为Hermite 矩阵.若H A A =-，则称之为反Hermite 矩阵. 定义 2 设A 是一个n 阶Hermite 矩阵，若对于任一非零的n 维复向量X ，均有0H X AX >，则称A 为Hermite 正定矩阵.定义 3 设A 是一个n 阶复矩阵，H A 为A 的共轭转置，若H H AA A A =，则称A 为正规矩阵.定义 4 设A 是一个n 阶复矩阵，H A 为A 的共轭转置，H H A A AA E ==，则将称A 为酉矩阵，它的行列式的绝对值等于1.三、Hermite 矩阵的性质定理（一）Hermite 矩阵的性质由Hermite 矩阵的定义可知，Hermite 矩阵具有如下简单的性质[][]12：（1）对所有n n A C ´Î，则H A A +，H AA 和H A A 都是Hermite 矩阵；（2）如果A 是Hermite 矩阵，则对正整数k ，k A 也是Hermite 矩阵；（3）如果A 是可逆Hermite 矩阵，则1A -也是Hermite 矩阵；（4）如果A ，B 是Hermite 矩阵，则对实数k ，p ，kA pB +也是Hermite 矩阵；（5）如果A ，B 是Hermite 矩阵，则AB 是Hermite 矩阵的充分必要条件是AB BA =；（6）A 是Hermite 矩阵的充分必要条件是对于任意n 阶方阵S ，H S AS 是Hermite 矩阵.（二）Hermite 矩阵的定理定理3-1 若A 是n 阶复矩阵，则A 是Hermite 矩阵的充分必要条件是对于任意n X C Î，H X AX 是实数；证明 必要性 因为H X AX 是数，所以()H X AX =()H H X AX =H H X A X =H X AX因此H X AX 是实数.充分性 因为对于任意X ，Y n C Î，H X AX ,H Y AY ，()()H X Y A X Y ++都是实数，而()()()()H H H H H H H X Y A X Y X Y A X Y X AX X AY Y AX Y AY ++=++=+++ 于是对任意X ，Y n C Î，H H X AY Y AX +是实数，令(,,,,,,)T j X =00100，(,,,,,,)T k Y =00100则H H X AY Y AX +=jk kj a a +是实数，这表明jk a 与kj a 的虚部值相等，但符号相反，即()()jk kj Im a Im a =-再令(,,,,,,)T j X i =0000，(,,,,,,)T k Y =00100其中i =H H X AY Y AX +=jk kj ia ia -+是实数，则jk a 与kj a 的实部相等，即()()jk kj Re a Re a =因此kj jk a a =，,,,,,j k n =123即A 是Hermite 矩阵. 定理3-2[]4（Hermite 矩阵的谱定理） 设n n A C ´Î是给定的，则A 是Hermite 矩阵当且仅当存在一个酉矩阵n n U C ´Î和一个实对角矩阵n n C ´L ?，使得H U AU =L 12(,,,)n diag l l l =，其中12,,,n l l l 均为实数，此外，A 是实Hermite 矩阵（即实对称的），当且仅当存在一个实正交矩阵n n P C ´Î和一个实对角矩阵n n C ´L ?，使得12(,,,)H n P AP diag l l l =L =，其中12,,,n l l l 均为实数.虽然Hermite 矩阵的实线性组合总是Hermite 矩阵，但它们的复线性组合就不一定是Hermite 矩阵，例如，如果A 是Hermite 矩阵，那么，只有当0A =时iA 才是Hermite 矩阵.另外，如果A 和B 是Hermite 矩阵，那()H H H AB B A BA ==，因此，AB 是Hermite 矩阵，当且仅当A 与B 可交换.定理3-3 设A 为n 阶Hermite 矩阵，则（ⅰ）A 是正规矩阵且所有特征值全是实数；（ⅱ）A 的不同特征值所对应的特征向量是互相正交的.证明 （ⅰ）A 为n 阶Hermite 矩阵，由定理3-2可知A 必酉相似于实对角矩阵L ，即存在n 阶酉矩阵U ，使得H U AU =L其中L =12(,,,)n diag l l l ，(,,,)i i n l =12是A 的是特征值，且2H H A A A AA ==即A 是正规矩阵.设H A A =，l 为A 的特征值，非零向量a 为l 的特征向量，即A a l a =，H H A a a l a a =又()()H H H H A A A a a a a a a l a a ===所以H H l a a l a a =即 l l =所以l 为实数.（ⅱ）设l ，m 是A 的两个不同特征值，相应的特征向量分别为x ，y ，则Ax x l =，Ay y m =从而H H y Ax y x l =，H H x Ay x y m =因为A 是Hermite 矩阵，l ，m 均为实数，则H H y Ax y x m =于是()0H y x l m -=由于l m ¹，故x 与y 正交.定理3-4[]5（Hermite 矩阵的惯性定理） 设H 是n 阶Hermite 矩阵，则H （复）合同与0p q I A I 骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷桫=-， 而且p ,q 由H 唯一确定.其中A 称为H 的规范型，n I 表示n 阶单位矩阵，p ,q ，p q -分别称为H 的正惯性指数、负惯性指数和符号差.注：由惯性定理导出的Hermite 矩阵的正惯性指数、负惯性指数及符号差等，不仅是代数学中的重要内容，而且在几何学、物理学中都有许多重要的应用，构成几何对象及物理对象的“指标”或“守恒量” .下面讨论一下Hermite 矩阵的正定性.（三）Hermite 矩阵的正定性在讨论Hermite 矩阵的正定性之前，我们先来引入矩阵的UR 分解定理及其引理.矩阵UR 分解定理 设n n n A C ´Î，则A 可以唯一地分解为A UR =或11A RU =其中U ，1U n n U ´Î，R 是正线上三角阵，1R 是正线下三角阵。
Hermite阵的一些性质
Hermite 阵的一些性质记号:0A ≥指A 为半正定(Hermite)阵;0A >指A 为正定(Hermite)阵;TP 指P 的转置;11(/)A A 指11A 在A 中的Schur 补;1()B λ指B 的模最大的特征值.定理1. A 为n 阶Hermite 阵.则0A ≥(0A >) ⇔A 的所有特征值非负(为正);⇔∃(可逆)Hermite 阵B 使2A B =; ⇔A 的所有主子式非负(为正);⇔对任意(可逆)复阵P 使*0P AP ≥(0>);(⇔∃可逆阵复B ,使*A B B =).定理2. ,A B 为两个n 阶Hermite 阵,则∃酉阵U 使得**,U BU U AU 为对角阵,当且仅当BA AB =.(从公共特征向量考虑)定理3. ,A B 为两个n 阶Hermite 阵,且0B >.则∃可逆阵U 使得**,A U U B U U =Λ=,其中Λ为由1AB -特征值组成的对角阵.定理4. ,A B 为两个n 阶半正定Hermite 阵,则∃可逆阵U 使得**,U BU U AU 为对角阵.(考虑0()00tT I P A B P ⎛⎫+=⎪⎝⎭,11122122T M M P BP M M ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()T TP A B P P BP +≥ 及111111(,...,)t Q M Q diag λλ-=)定理5. ,A B 为两个n 阶半正定Hermite 阵,则det()det det A B A B +≥+. 等号成立⇔0,0A B ==或者det()0A B +=(考虑定理3)定理6.已知11122122A A A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中11A 可逆. (1) A 为Hermite 阵,则0A > ⇔11110,(/)0A A A >>;(2) A 为Hermite 阵, 110A >,则110(/)0A A A ≥⇔≥.定理7.已知2222()0,()0ij ij A A B B ⨯⨯=≥=≥,分块相同.若11110,0A B >>.则11111111(()/())(/)(/)A B A B A A B B ++≥+.(考虑: ()1111211111111112121111121111111111()()()()A A A B A B A B B A B B A B ------⎛⎫-+-+⎛⎫⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭ ()()()1121121211111111111111111112I A A B A A B A I A B B A B ----⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭及()111111111111111111()A A B A A A B ----+=-+)由上可得:定理8.已知2222()0,()0ij ij A A B B ⨯⨯=≥=≥,分块相同.若11110,0A B >>.则11111111det()/det()det /det det /det A B A B A A B B ++≥+定理9(Fischer 不等式;Hadamard 不等式推广): ()0,ij k k ii A A A ⨯=≥皆为方阵.则det det iikA A≤∏.(由定理5及6)定理10(樊畿不等式): 已知0,0,[0,1]A B α>>∈,则lndet((1))lndet (1)lndet A B A B αααα+-≥+-.(由定理3)定理11:两个m n ⨯阶复阵,A B .*trA B 为酉空间上内积.由CS 不等式有: 2***trA B trA A trB B ≤. 定理12: 0,0A B ≥≥,则10()()()()()tr AB B tr A tr A tr B λ≤≤≤. (考虑1/21/21()A A B AB λ≥)(注意0,0A B ≥≥得不到0AB ≥)定理13: 0,0A B ≥≥,则1(())(1())()n tr I AB A AB tr A λ+≤+.(考虑1/21/2()()tr ABA tr A BA A =)定理14: 0A ≥,则21121122()()()tr A A tr A tr A ≤.(扰动法及定理12)定理15(Minkowski 不等式): ,A B 为两个n 阶正定Hermite 阵,则1/1/1/[det()](det )(det )nn n A B A B +≥+.两个表格：实、复方阵的类比：。
chapter5矩阵
第五章 特征值的估计及对称矩阵的极性本章主要讨论数值代数中的三个特殊理论，即特征值的估计广义特征值问题实对称矩阵（一般是Hermite 矩阵）特征值的极小极大原理，其次也涉及到一些特征值和奇异值的扰动问题,最后简要地介绍矩阵直积的一些性质及其在线性矩阵方程求解方面的应用。
这几方面的内容，在矩阵的理论研究与实际应用当中都有着相当重要的作用。
5.1特征值的估计一、特征值的界首先给出直接估计矩阵特征值模的上界的一些方法 定理5.1 设A=(a rs )∈Rn×n,令M=||21max,1sr rs ns r a a -≤≤λ若表示A 任一特征值，则λ的虚部Im(λ)满足不等式 2)1(|)Im(|-≤n n Mλ |Im(λ)|≤||A -A T ||2 / 2 |Im(λ)|≤||A -A T ||1⋅证明：设x+i ⋅y 为对应于λ的A 的特征向量，则 A(x+i ⋅y)=(α+β⋅i)(x+i ⋅y)其中λ=α+β⋅i.显然x,y 为实向量，且x,y 为线性无关的 向量。
经整理A(x,y)=(x,y)B,其中B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-αββα。
从而(x,y)T A(x,y)=(x,y)T(x,y)B 展开有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛Ay y Ax y Ay x Axx T T TT =α⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛y y y x y x x x T T TT + β⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛--x y y y x x y x TT TT (求等式两边矩阵的对角元之和，可得α(x T x +y T y )=x T Ax +y T Ay (1)等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元 可得：β(x Tx +y Ty )=x T(A -A T)y1).记B=A -A T ,则 |x T By|≤||x||2 ⋅||B||2⋅||y||2从而 |β|≤||x||2 ⋅||B||2⋅||y||2 /((||x ||2)2+(||y ||2)2) 利用ab /(a 2+b 2)≤1/2 可得 |β|≤||B||2 /2. 2).由于|x T By|≤||Bx||1 ⋅||y||∞≤||B||1⋅||x||1 ⋅||y||∞从而 |β|≤||B||1 ⋅||x||1 ⋅||y||∞ /((||x ||2)2 +(||y ||2)2) 易证明 ||x||1 ⋅||y||∞ /((||x ||2)2 +(||y ||2)2)(显然，不妨假设(||x ||2)2 +(||y ||2)2=1,设||y ||∞=t =cos(α), 则y 必为t ⋅ e j 的形式（为什么？）， 从而极值转化为求解如下最大值问题：max ||x||1, 满足约束(||x ||2)2=1-t 2 这样有均值不等式||x||1≤x ||2= -t 2)1/2,从而我们需要求解t (1-t 2)1/2的最大值，设t =cos(α)可得t (1-t 2)1/2的最大值为1/2. 从而得证。
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5.1.3 •
Hermite n x 1 , · · · , xn ∈ C
n n
f (x1 , · · · , xn ) =
i=1 j =1
aij xi xj
aij = aji
Hermite a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n A= . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann
|yi |2
x H Ax =
i=1
|yi |2
s = 0, r = n
r
x H Ax = −
i=1
y = 0 x H Ax < 0 (4) (5) s=0 0<s<r 0 0 0 x Ax = −
H
|yi |2
s
x ∈ Cn
r i=s+1
i=1
x H Ax =
i=1
|yi |2 −
|yi |2
•
(1) (2) (3) (4) (5) •
A11 A12 AH 12 A22
, A11 ∈ Ck×k
A11 > 0
−1 A22 − AH 12 A11 A12 > 0
1 Ik −A− 11 A12 0 In−k
=
A11 0 −1 0 A22 − AH 12 A11 A12 A>0
A11 0 A11 A12 −1 AH 0 A22 − AH 12 A22 12 A11 A12 −1 A11 > 0 A22 − AH 12 A11 A12 > 0
1 D− 1 H 1 DD− 1 = D0 1 D− 1
)
λs ,
H
|λs+1 |, · · · ,
|λr |, 1, · · · , 1) A D0
−1 H PH 1 U AUP1 D1 = D0
•
•
(5.1.3)
D0
n
Hermite δ (A) )
A A
A ∈ Cn×n π (A), υ (A) (
5.1.1
f (x) = xH Ax Hermite x ∈ Cn x=0 x H Ax > 0 x ∈ Cn xH Ax ≥ 0 x H Ax x ∈ Cn x=0 x H Ax < 0 x ∈ Cn x H Ax ≤ 0 x H Ax x ∈ C n x H Ax Hermite f (x) = xH Ax s=r=n s=r s = 0, r = n s=0 0<s<r
•
5.3.1 A, A1 , B, B1 , C (1) A ≥ B(A > B) (2) A ≥ B(A > B)
n
Hermite −A ≤ −B(−A < −B); n P
PH AP ≥ PH BP(PH AP > PH BP) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) A ≥ B(A > B) k k A ≥ k B(k A > k B) ; A ≥ 0, −A ≥ 0 , A = 0 ; A≥0,B≥0, A+B≥0; A ≥ B, B ≥ C , A ≥ C ; A ≥ B, A1 ≥ B1 , A + A1 ≥ B + B1 ; A ≥ 0, B > 0 , A + B > 0 . A ≥ B, B > C A>C; A > B, P n×m , PH AP > PH BP ; A ≥ B, P n×m , PH AP ≥ PH BP ; A > 0(A ≥ 0), C > 0(C ≥ 0), AC = CA , AC > 0(AC ≥ 0) .
1 2 1 √ 8
z1 z2
• Hermite Hermite (1) (2) (3) s=r=n s=r
f (x) = xH Ax
n
s x Ax =
r i=1 H
r x=0 x ∈ Cn
n
0≤s≤r≤n y = 0 x H Ax > 0 x H Ax ≥ 0 |yi |2 x = 0 x H Ax ≤ 0 x x H Ax
Hermite
5.1
•
Hermite
Hermite
Hermite
2 3 − 2i 3 + 2i −5 −1 7 7 4 Hermite k A + pB S SH AS Hermite AB = BA Hermite
5.1.1
,
• Hermite (1) A (2) (3) (4) (5) A A A A B
x H Ax x H Ax x H Ax
5.1.9 (1) xH Ax (2) xH Ax (3) xH Ax (4) xH Ax (5) xH Ax
5.2
•
5.2.1 A
(
A n
)
Hermite A>0 A≥0 x ∈ Cn x ∈ Cn x=0 x H Ax > 0 xH Ax ≥ 0 A
• (1) (2) (3) (4) I>0 A>0 k>0 A>0 B>0 A≥0 B≥0 kA > 0 A+B>0 A+B≥0
•
(1) A (2) (3) A (4) (5) (6) •
5.2.2 n n n n
A
n
Hermite P P PH AP PH AP = A = QH Q A = S2 λ1 , λ2 , · · · , λn Q AQ ≥ 0
H
Ir 0 0 0
r = rank(A)
r Q Hermite S
•
λ
µ
A Ax = λx Ay = µy
x
y (1) (2)
(??) y H Ax = λy H x (??),µ = µH A = AH y H Ax = y H AH x = µy H x (λ − µ)y H x = 0 λ=µ x y
•
5.1.3
A ∈ Cn×n
A
Hermite
U
UH AU = Λ = diag(λ1 , λ2 , · · · , λn ) λ1 , λ2 , · · · , λn • 5.1.4 A ∈ Rn×n A QT AQ = diag(λ1 , λ2 , · · · , λn ) λ1 , λ2 , · · · , λn Q
Hermite Hermite B Hermite Hermite AB A−1
k k
Ak p
Hermite
Hermite
Hermite
•
5.1.1 A = (ajk ) ∈ Cn×n x ∈ C n x H Ax 5.1.2 (1) A (2) A (2) A n Hermite
A
Hermite
A
Hermite Hermite
A
Hermite f (x) = xH Ax
A
Hermite
x1 . x= . . xn
Hermite
Hermite
•
x = Py
P
n
y1 . y= . . yn
f (x) = xH Ax = y H By B = PH AP • Hermite λ1 y 1 y 1 + λ2 y 2 y 2 + · · · + λn y n y n Hermite •
LDU
L1 = UH 1 .
A = L1 DLH 1 dn )
L = L1 diag( d1 , · · · , L A = LLH .
•
5.2.2
A, B ∈ Cn×n ,
λ Ax = λ Bx
x ∈ Cn (3) x λ
λ . • B n
Ax = λ Bx
B−1 Ax = λx
(5.2.6)
•
A = S2 Hermite S
A = S2 = SH S
•
5.2.1
−1
A
n
λ1 , λ2 , · · · , λn QH AQ > 0
(1) A (2) Q n×m (3) |A| > 0 (4) tr(A) > λi (i = 1, 2, · · · , n) • 5.2.1 n Hermite A A= A>0 A11 Ik 0 H −1 −A12 A11 In−k A11 A12 AH 12 A22
•
5.2.6
Hermite
A A = LLH
L (5.2.3)
(??) . A n
A A
Cholesky .A A = L1 DU1 LDU
L1 , U1 di > 0(i = 1, 2, · · · , n).
D = diag(d1 , d2 , · · · , dn ) AH = A ,
H H H A = L1 DU1 = UH 1 D L1 = A
5.1.2 • 1.6.8 A,B ∈ Cn×n n B = PH AP A • B A n Hermite A P
5.1.5
Is 0 0 D0 = 0 −Ir−s 0 0 0 0n−r r =rank(A) s 5.1.3 A n ( U A = UΛUH Λ A A PH 1 ΛP1 = diag(λ1 , · · · , λs , λs+1 , · · · , λr , 0, · · · , 0) = D P1 λi > 0(i = 1, · · · , s), λj < 0(j = s + 1, · · · , r) D1 = diag( λ1 , · · · ,