混沌与分数阶混沌系统同步控制研究及其电路仿真
分数阶超混沌Lorenz系统及同步研究
超 混 沌 Ｌ ｒ ｚ系统 ， ｏｅ ｎ 并进 行 了数 值仿 真 。 结果 表 明 ： 系统 存 在 超 混 沌 的 最低 阶 数 为 ３ ８ 该 ． ８阶 。利 用 一 步耦 合 法 给 出 了分 数 阶 超 混 沌 系统 的 同步 ， 利 用 数 值模 拟验 证 其 准确 性 。 并
关键词： 分数阶； 超混沌； ｒｎ ｏ Ｌ ｅｚ系统 ； 同步
矗 ｉ
７ ３
ｉ 一（ —Ｏ （ ｉ ｔ ｉ＋１ ， ） ） 其 中
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一
∑ ， 一乃 ｉ ［ 弓一 ＝ｌ ０
模 拟
首先 考虑 如下 初值 问题 ：
系统设 计过程 和参数 自适应 律 。近 年 来 ， 分数 阶混 沌系统 引起人 们广 泛的兴趣 和深人 的研 究 Ｊ 。本
文将 分 数 阶微 积分 理 论 引入 到 超 混 沌 Ｌ ｒｎ ｏ ｅｚ系统
中， 立 了在 Ｃ ｐ ｔ 建 ａ ｕｏ意义 下 的 Ｒ ｅ ａ ｎＬｏｖｌ ｉ ｎ —ｉ ｉｅ分 ｍ ｕ ｌ
，
：
Ｊ ］
（） ５
，
分数阶混沌稳定性理论及同步方法研究的开题报告
分数阶混沌稳定性理论及同步方法研究的开题报告一、选题背景和研究意义分数阶混沌系统是指系统中的动力学方程中带有分数阶导数，分数阶混沌现象在信息处理、通信、控制等领域有诸多应用。
目前，对于线性系统，已有较为全面的理论研究；然而，对于分数阶非线性系统，研究较少，且目前关于分数阶混沌的稳定性、同步控制等方面的研究仍存在许多问题待解决。
因此，本文将围绕分数阶混沌系统的稳定性和同步控制等问题进行深入研究。
二、研究内容和研究方法本文旨在研究分数阶混沌系统的稳定性和同步控制方法，具体内容如下：1.研究分数阶混沌系统稳定性的理论框架，建立一种基于拉普拉斯变换和Lyapunov理论的稳定性分析方法。
2.研究分数阶混沌系统的同步控制问题，提出一种基于反馈控制和自适应控制的控制方法，实现两个分数阶混沌系统的同步控制。
3.针对分数阶混沌系统的同步控制问题，提出一种基于神经网络控制的新型同步方法，改善分数阶混沌同步的效果。
本文将采用数学建模和仿真实验相结合的方式，搭建分数阶混沌系统的模型，并通过MATLAB仿真进行验证，在此基础上，提出上述控制方法，并进行仿真实验。
三、预期研究结果和创新点本研究的预期结果和创新点如下：1.提出一种新的基于拉普拉斯变换和Lyapunov理论的分数阶混沌系统的稳定性分析方法，该方法可有效评估分数阶混沌系统的稳定性。
2.提出一种基于反馈控制和自适应控制的同步控制方法，实现分数阶混沌系统的同步控制。
3.提出一种新型的基于神经网络控制的同步方法，改善分数阶混沌同步的效果。
本研究的创新点主要在于：（1）提出了一种新的分数阶混沌系统的稳定性分析方法，可有效评估分数阶混沌系统的稳定性；（2）提出了一种基于反馈控制和自适应控制的分数阶混沌同步方法，实现了两个分数阶混沌系统的同步控制；（3）提出了一种基于神经网络控制的新型同步方法，改善了分数阶混沌同步的效果。
四、拟定论文的主要结构本文拟分为五个部分：引言、分数阶混沌系统理论、分数阶混沌系统同步控制、控制方法的仿真实验和结论。
分数阶超混沌系统同步控制及电路实现
ïd
w１
ïï
＝－k
y１ ＋u４ ．
î d
tq
(
４)
定义同步误差为e１ ＝x１ －x,
e２ ＝y２ －y１ ,
e３ ＝z２ －z１ ,
e４ ＝z１ －z,则式(
４)减去式(
１),误差系统为
q
ïìde１
ï
tq
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ïde２
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q
ïd
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ïï
îd
tq
e２ －a
e１ ＋y１e３ ＋e２z＋k１e１ ,
２０１９GGX１０４０９２);山 东
省重大科技创新工程项目(
２０１９JZZY０１０１１１)
作者简介:雷腾飞(
１９８８－ ),男,副教授,博士,硕士生导师,主要从事忆阻计算与忆阻映射研究 ．
５３
徐州工程学院学报(自然科学版) ２０２０ 年第 １ 期
９]采用经典的预估矫正法(
ABM)对分数阶混沌系
统进行了数值仿真;文献[
１０]采用 Adomi
an 分解法对简化分数阶 Lo
r
enz混沌系统进行数值仿真;文献[
１１]
采用改进的 Adomi
an 对简化分数 阶 Lo
r
enz 进 行 了 混 沌 特 性 分 析 ．在 同 步 控 制 研 究 方 面,如 自 适 应 同 步 控
[]
统 [５]、分数阶 Lo
r
enz系统 ６ 等 ．
目前,在分数阶混沌系统的分析及控制,特别在同步控制理论方面取得 了 一 定 的 成 果 ．在 分 数 阶 混 沌 系
分数阶混沌系统的追踪同步与电路实现
基础． 另外 ， 基于 Ｍｕ ｉｍｌ ｈｓ ０电路软件 ， ｉ 设计分数阶超混沌 系统 的电路 图以及反馈控 制器 的电路模块 ， 进行 电路模 拟， 从而证 实
了理论分析和数值仿真的有效性．
［ 关键 词］ 分数阶系统， 混沌系统， 电路实验图， 追踪控制
［ 图分 类 号 ］０ １ ［ 献 标 志 码 ］Ａ ［ 中 ４５ 文 文章 编 号 ］６ ２１９ （０ １ ０ － １－６ １７ —２ ２ ２ １ ）２０ ３０ ０
号 的 追 踪 同 步 ， 以 追 踪 三 角 波 信 号 、 意 不 动 点 以 及 整 数 阶超 混 沌 Ｑｊ 统 等 为 例 ， 分 数 阶 混 沌 信 号 控 制 到 期 望 的 周 期 轨 道 并 任 系 将 或 平 衡 点 ， 及 实 现 分 数 阶 混 沌 系 统 与 整 数 阶混 沌 系 统 的异 结 构 追 踪 同 步 ， 为混 沌 系统 在保 密 通信 等 方 面 的 应用 提 供 了 技 术 以 这
ｎｎｃａｔ ｉ ａｓ ｅｅｓ ｕｏｄｌ ａｅ ， ｒｉａ ｌ ｆ ｅ ｏｎ ａｄＱ ｈｏｉ ｓｓ ｍ ａ ｈｓｎ ａ ｅａ ｐｅ．Ｔ ｅ ｏ—ｈｏｉ ｓ ｎｌ．Ｈ ｒ ｉ ｓｉａ ｗ ｖｓ ａｂｔ ｒｙｉ ｄｐｉｔ ｎ ｉ ａｔ ｙｔ ｒ ｃｏｅ ｓ ｘｍ ｌ ｃ ｇ ｎ ｒｉ ｘ ｃ ｃ ｅ ｅ ｓ ｈ
ｓｇ ｅ ｏ ｍａ ｅ ｆ ｌ ｓ ｔ ｓｏ ｅｆａ ｔ ｎ ｌ ｒ ｅ ｙ ｔ ｍ ａ ｋ ｃ ｎ ｒ ｌ ｌ ｋ ｎ ｓ ｏ ｉ ｎ ｌ ，ｉ ｃｕ ｉ ｇ ｃ ａ ｔ ｉｎ ｌ ｎ ｉｎ ｄ ｔ ｋ ｌ ｔ ｅ ｆｔ ｒ ｃｉ ａ ｄ ｒ ｓ ｕ ａ ｈ ｏ ｏ ｓ ｅ ｔ ｔ ｃ ｏ ｔｏ ｌ ｉ ｄ ｆｓｇ ａｓ ｎ ｌ ｄｎ ｈ ｏｉ ｓｇ ａｓａ ｄ ｏｒ ａ ｃ
新型分数阶超混沌系统的构建与电路研究
新型分数阶超混沌系统的构建与电路研究混沌现象的研究是非线性科学中的重要课题之一。
混沌作为一种复杂的非线性运动行为，在生物学、物理学、化学、工程学和信息学等领域都得到了广泛的研究。
混沌运动是一种确定性的非线性运动，它的运动轨迹非常复杂但又不完全随机，在许多情况下都可以观察到混沌运动的存在。
混沌信息具有遍历性、非周期、对初值极端敏感以及似噪声的特性，因此特别适合于保密通信和图像加密与隐藏等应用领域。
混沌学是一门新型的非线性科学，它的研究热潮始于二十世纪七十年代，但是其渊源可以追溯到十九世纪三十年代。
最近几十年来，在国内外众多学者的不懈努力下，混沌学与相对论、量子力学一起成为了20世纪物理学的三次重大革命。
它的创立，在确定论和概率论这两大科学体系之间架起了桥梁。
今天，混沌理论与计算机科学理论相结合，使人们对一些久悬未解的基本难题的研究取得了突破性进展，在研究客观世界的复杂性等方面发挥了巨大作用，从而成为世人瞩目的学术研究热点。
本项目是新型分数阶超混沌系统的构建与电路研究，利用典型的非线性环节，构建新型的分数阶混沌系统，分析混沌运动的动力学行为，实现混沌同步控制及其保密通信研究。
通过搭建相关的硬件电路进行不断地调试，观察示波器中的波形，进而验证设计方案的可行性。
下面主要利用Mulisim软件进行多维混沌电路的仿真分析，Multisim 是一个完整的设计工具系统（前期版本ElectronicsWork Bench 简称EWBMultisim）。
Multisim 用软件的方法虚拟电子与电工元器件以及电子与电工仪器和仪表，通过软件将元器件和仪器集合为一体。
它是电子电路计算机仿真设计与分析的基础，且为用户提供了一个庞大的元器件数据库。
利用其库中元器件对设计的电路进行仿真，手段切合实际，仿真结果与理论计算非常接近。
Multisim 具有较为详细的电路分析功能，可以完成电路的瞬态分析、稳态分析、时域分析、频域分析、噪声分析、失真分析、离散傅立叶分析等各种分析方法。
分数阶Lorenz超混沌系统及其电路仿真
０ 引
言
—ｔ 一 一 ａ ｘ — ）＋ 优 ｄ＂ — （ Ｊ十
一 一 一
分 数 阶 倒 数 与 分 数 阶 积 分 的 最 基 本 特 征 是 记 忆 效 应 ， 得 系统 的 历 史 信 息 对 其 现 在 和 未 来 都 产 生 影 响 ， 使 因 而 可 提 高 控 制 精 度 ， 扩 展 了 整 数 阶 微 分 方 程 的 能 它 力 ， 整 数 阶 微 分 方 程 的 推 广 。 分 数 阶 微 分 方 程 不 仅 为 是
阶 混 沌 系 统 更 具 有 实 际 价 值 。 自 从 ２ 世 纪 ６ 年 代 Ｏ Ｏ Ｌ ｒｎ ｏｅ ｚ发 现 了 第 一 个 混 沌 的物 理 模 型 ， 为 了 后 人 研 究 混 成 沌 的 出 发 点 和 基 石 ］ 本 文 通 过 对 分 数 阶 Ｌ ｒｎ 。 ｏ ｅｚ超 混 沌
（ Ｈｕ ａ ｎ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ ｏ ｃ ｅ ｃ ｎｄ Ｔｅ ｈ ｏ ｏ ｉ ｅ ｓｔ ｆＳ ｉｎ ｅ ａ ｃ ｎ ｌ ｇｙ。Ｓ ｈｏ ｌ ｆ Ｉ ｆ ｒ ｔｏ ｎ ｅ ｔ ｉ ａ ｇｉ ｅ ｒｎ ｃ ｏ ｎ ｏ ｍａ ｉ ｎ ａ ｄ Ｅｌ ｃ ｒｃ ｌＥｎ ｎ ｅ ｉ ｇ．Ｘｉｎ ｔ ｎ ４１ ２ １ ｏ ａ ｇａ １ ０ ）
析 了 在 不 同 参 数 条 件 下 的 吸 引 子 相 图 。设 计 了硬 件 电路 并 运 用 Ｅ ＷＢ 软 件 对 该 电路 进 行 仿 真 ， 电路 仿 真 说 明 分 数 阶
电 路 是 可 以实 现 的 。 关 键 词 ：分 数 阶 ； 混 沌 ； ＷＢ 超 Ｅ 中 图 分 类 号 ：Ｔ ２ Ｎ９ 文献 标 识 码 ：Ａ
根 据平衡 点所 对 应 的 稳 定性 分 析 了 系统 （ ） 平 衡 点 ， １的 使 系 统 （） 左边 等于零 ， １的 即
不同维不同阶的分数阶混沌系统同步及仿真
Ｓｖ ｈ ０ ｚ ｔ０ ａ ｄ Ｓ ｍ ｕｌｔｏ ｏ ａ ｔｏ ａ —Ｏｒ ｒ Ｃｈａ ｔｃ ｎｃ ｒ ｎｉａ ｉｎ ｎ ｉ ａ ｉｎ ｆＦｒ ｃｉ ｎ ｌ ｄｅ ｏ ｉ
Ｓ ｓｅ ｗｉｈ Ｄｉ ｅ ｅ ｔＤｉ ｎ ｉｎ ｎ ｆｅ ｅ ｔＯｄ ｒ ｙ ｔ ｍ ｔ ｆ ｒ ｎ ｍｅ ｓｏ ｓａ ｄ Ｄｉ ｒ ｎ ｅ ｓ ｆ
摘要 ： 分数阶混沌系统同步在安全保密通信等领域有着重要的应用价值和研 究意义 。对不 同维不 同阶的分数 阶混 沌系统之 间的广义 同步 ， 根据主动控制和分数 阶系统稳定性理论设计控制器实现同步。先将 两个分数 阶混沌系统分解为线 性和非线 性部分之 和， 用主动控制构造同步误差方 程， 然后利用分数 阶线性时不变系统稳 定性理论设计控制器 ， 实现不 同维不 同阶分 数 阶混沌 系统之 间的广义同步 ， 再用分数 阶微分 的 Ｃ ｐ ｔ ａｕｏ定义和分 数阶微分 方程 的预测校 正数值解法进行数 值仿真 ， 实现 三维 Ｃ ｅ ｈｎ系统和 四维超 Ｌｒｎ ｏｅｚ系统 间的广义 同步 。仿真结果表明了提出方法 的有效性 。 关键 词： 分数 阶混沌系统 ； 广义同步 ； 不同维不 同阶
收稿 日期 ：０ １ ０ — ８ 修 回 日期 ：０ １ ０ ～ １ ２ １—６ １ ２ １ — ７ ２
—
之 间 的 广 义 投 影 同步 尚未 见 报 道 。
１ ９６ 一
本 文 讨 论 分 数 阶 混 沌 系 统 用 不 同 阶 不 同 维 系 统 来 广 义
同步 ， 利用分数 阶 混沌 线性 系 统稳 定 性理 论 和主 动控 制 原 理 ， 过在控制量 中引入分 数 阶微分项 ， 出不 同阶数不 同 通 给 维数 的分数 阶系统广义 同步的方法 ， 值仿真 实例实现 了不 数
分数阶时滞忆阻混沌电路的动力学分析及电路仿真
2］区间变化，见图 4。从分岔图可以很明显地看出
和 C1 = 1.232μFC 2 = 1.835μFC 3 = 1.10μF 。 运 算
时，出现 Hopf 分叉，最后随着 a 的增加变为混沌状
供 ±15 的 电 压 和 R = 11.24kΩ ，整 体 电 路 图 如 图 6
系统（2）的轨道从周期状态开始，然后当经过阈值
数阶忆阻器 ，将其替换图 1 中的电容得到分数阶磁
控忆阻器，数学表达式为
ì dx q 2
ï
= 1 q x1
dt
R 0C 0
ï
（1）
í
æ1
g1 g 2
2ö
ï
1
ï f ( x1 x 2 ) = ç R - R + R [ x 2] ÷ x1
2
è 1
ø
î
其中 x1、x2 和 （
f x1，x2）分别是忆阻器的输入、内部状
态。各状态的相位图和时域图如图 3 所示。当
（a）a = 1.62
放 大 器 和 乘 法 器 采 用 AD711KN 和 AD633JN ，提
（c）所示。
（b）a = 1.68
（d）a = 1.62
（e）a = 1.73
图5
相位图与时域图
（c） a = 1.73
统进入混沌状态，如图 5（b）和（e）所示。当 a = 1.73
时，系统展现出双涡旋的混沌吸引子，如图 5（c）和
（f）所示。
出一个引理来讨论式（3）的根的分布。
引理 1 对于式（3），以下结果成立：
1）如 果 ψ k > 0(k = 1234) 且 A 3 + A 4 ¹ 0 ，则
方程（3）在时滞 τ ³ 0 时没有实部为零的根。
分数阶Lorenz混沌系统的同步控制
关键词 ： 分数 阶； 混沌 系统 ； 控制器 ； 非线性 ； 线性
中 图分 类号 ： Ｔ Ｐ ３ ９ １ ． ９ 文 献标 识 码 ： Ｂ
Ｓｙ ｎ ｃ ｈｒ Ｏ ｎ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ Ｏ ｎ Ｃｏ ｎｔ ｒ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｆｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ—Ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ
Ｎ ａ ｎ ｊ ｉ ｎ ｇ Ｊ ｉ ａ ｎ ｇ ｓ ｕ ２ １ ０ ０ ４ ４， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
ＡＢＳ ＴＲＡＣＴ： Ｔ ｈ ｅ ｓ ｙ ｎ ｃ ｈ ｒ ｏ ｎ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｆ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ—ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ ｃ ｈ ａ ｏ ｔ ｉ ｃ ｈ ｅ ｄ ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ．Ｔｈ ｅ ａ ｄ —
ｄ ｒ ｅ ｓ ｓ ｅ ｄ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｉ ｓ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｍｅ ｒ ｄ ｉ ｎ ｔ ｏ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ａ ｎ ｌｙ ａ ｓ ｉ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ． Ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｙ，ｔ ｈ ｒ ｅ ｅ ｋ ｉ ｎ ｄ ｓ ｏ ｆ ｓ ｙ ｎ ｃ ｈ ｒ ｏ ｎ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｓ ｃ ｈ ｅ ｍｅ ｓ ａ ｒ ｅ ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ｅ ｄ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｆ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ —ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ，ｗｈ ｉ ｃ ｈ ａ ｒ ｅ ｔ ｈ ｒ ｅ ｅ ｎ ｏ ｎ — ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｓ ｙ ｎ ｃ ｈ ｒ ｏ ｎ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｌ ｅ ｒ ， ａ ｓ ｉ ｎ ｇ ｌ ｅ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｓ ｙ ｎ ｃ ｈ ｒ ｏ ｎ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｌ ｅ ｒ ，ａ ｎ ｄ ａ ｓ ｉ ｎ ｇ ｌ ｅ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｓ ｙ ｎ ｃ ｈ ｒ ｏ ｎ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
分数阶Rucklidge混沌系统的同步研究
第 ３期
陈保颖等 ： 分数 阶 Ｒ ｃｌ ｇ 混沌系统 的同步研究 ｕｋｉ ｅ ｄ
＼ ５ｙ
１ １ 线性 反馈 实现 分 数 阶 Ｒ ｃ ｌ ｇ ． ｕ ｋｉ ｅ系统 的混 沌 ｄ
同步
：
一
，
ｅ ： ｌ ） ｅ ＝ ｌ ， 么误 差 系统为 ： ２ Ｙ 一，３ — 那 ，
一
的特 点 ， 有 较 高 的 应 用 价 值 ． 且 ， 据 文 献 具 而 根
［８ 提 出的 ．函数准则 ， 以保 证 同步是 全局渐 近 １］ ， 可
稳定 的．
１ 理 论 分 析
分数 阶导数 的概念 有 多种定 义 ¨ ， 里 我们 ，］这
采用 Ｃ ｐ ｔ 微 分定 义 ： ａｕｏ Ｄ （）＝ ｍ ｏ （） （／ ０ ： ｊ －ｘ ｔ Ｏ＞ ） （） １
电解液极 化 、 电缆 的 ） 道边界 层效应 、 色 噪声 （ 管 有
其 中 ｍ 为第一 个不 小于 的整数 ， ｍ为 的 ｍ 阶 ‘’ 导数 ， （ ＞０ 为 阶 Ｒ ｅ ａ ｎ—Ｌｏ ｖ ｌ ） ｉ ｎ ｍ ｉｕｉｅ积分 算 ｌ
子
和电磁波 等 ． 而且 分 数 阶在 图象 与 信 号处 理 领
采用 自适应 同步方 法． 两种方 案都具 有 易 于实现 这
２ １－ － ０００ ２ ３ ７收到第 ｌ ， １ － － 稿 ２ ０ ５ ７收到修改稿 ０ ０ ２
｝广 东 工业 大 学 校 青 年 基 金 （ ７０ １ ０２４ ）
面 我 们 将 利 用 该 引理 设 计 控 制 器 以实 现 分 数 阶
研 究 了分数 阶混沌 系 统 的 同步 问题 ． 献 ［６ １ ］ 文 １ ，７ 则分别 讨论 了分数 阶统 一混沌 系统 和分数 阶 Ｌ ｎ系
基于复频法的分数阶Bao混沌系统的分析与电路模拟
２ 分 数阶 Ｂ ａ ｏ混 沌 系 统
包 伯成 等 提 出了一种 新 的混 沌系 统 ， 即符 合 ａ ｎ ＝ ０为一 种 新 的 Ｂ ａ ｏ （ 过渡） 混沌 系 统 ， 本 文在 此 基
础 上提 出了分数 阶 Ｂ ａ ｏ混 沌 系统 的动力 学 方程 为 ：
阶超 Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ系统ｌ ＿ ３ 等．
目前 ， 对于 分数 阶混 沌 系统 的研究 大部 分 为分 数 阶系统 的 同步 控制 领域 ＿ ４ ］ ， 而对 于 分数 阶混沌 系统 动 力 学分 析 大多 只通过 吸 引子进 行 的数值 仿 真研 究 ， 而现 有 文献 中利 用分 岔 图 、 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ指 数 研 究 三 维 分数 阶混 沌系 统 的报道 却 甚少 ｎ 引， 因分 岔 图 与 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ指 数 是 研 究 参 数 对 混 沌 系 统影 响 最 有 利 的工 具， 故 利用 分岔 图与 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ指 数研 究分 数 阶混 沌系 统具 有非 常 重要 的意 义 ． 基于 Ｂ ａ ｏ混沌 系 统 扰 动后 很 容 易转 换 为复 杂 的不 同类 型 其他 混沌 系 统 ， 所 以研 究其 Ｂ ａ ｏ混沌 系统 必 将 能 更 好 的 应 用 与 实 际 工 程 中． 当
１ 引 言
随着 人们 对 分数 阶微 积分理 论 不断研 究 与探 索 ， 发现 其分 数 阶更 能准 确 的描 述实 际 的物理 特性 ， 而整数 阶系统 只是 对 实际 系统 的理想 化 处理 ． 随着 人们 对 分数 阶混沌 系统 的深 入研 究 与探 索 ， 不 少 学者 提 出了 以整 数 阶混 沌 系统 为基础 的若 干种 分 数混沌 系 统如 分数 阶 Ｌ ｉ ｕ系 统 ， 分数 阶 Ｃ ｈ ｅ ｎ系统 ， 分数 Ｌ ｔ １ 系 统 ， 分 数
分数阶混沌系统的控制与同步研究
分数阶混沌系统的控制与同步研究分数阶混沌系统的控制与同步研究摘要：分数阶系统具有很好的非线性特性和长记忆能力，在混沌系统的研究中得到广泛应用。
本文主要探讨了分数阶混沌系统的控制与同步问题。
首先介绍了分数阶系统和混沌现象的基本概念，随后分别探讨了分数阶系统的控制方法和同步方法。
通过模拟实验验证了这些方法的有效性。
最后，总结了研究结果并指出了未来的发展方向。
1.引言随着现代科学技术的发展，混沌系统的研究引起了广泛的关注。
混沌系统是一类非线性动力学系统，具有高度复杂的行为和随机性，表现出的熵较高。
分数阶系统是近年来探讨的热点之一，其具有更广泛的记忆特性和非线性特性，能够更好地描述实际系统的动力学行为。
因此，分数阶混沌系统的控制和同步问题成为了研究的重点。
2.分数阶系统的基本概念分数阶系统是指微分与积分阶数不仅仅为整数，而是介于0和1之间的实数。
分数阶微分方程是描述分数阶系统的基本工具。
混沌系统是一类具有无法预测的行为和极其敏感的初始条件的系统。
分数阶混沌系统介于分数阶系统和混沌系统之间，兼具了两者的特性。
3.分数阶混沌系统的控制方法针对分数阶混沌系统的控制问题，研究者提出了多种方法。
其中一种常用的方法是基于反馈控制理论的方法。
通过在系统中引入适当的反馈控制项，可以有效地控制系统的混沌行为。
另一种方法是基于最优控制理论的方法，通过求解最优控制问题，可以获得使系统行为稳定或特定性能指标最优的控制策略。
4.分数阶混沌系统的同步方法分数阶混沌系统的同步问题是指如何使两个或多个分数阶混沌系统的状态变量在某种意义上达到一致。
同步方法可以分为无控制同步和有控制同步两种。
无控制同步是指系统自身通过耦合作用实现同步，而有控制同步是利用外部控制手段实现同步。
常用的同步方法有时间延迟复杂网络同步、自适应控制同步和非线性控制同步等。
5.模拟实验与结果分析为验证分数阶混沌系统的控制和同步方法的有效性，进行了一系列模拟实验。
通过对分数阶混沌系统进行控制和同步，分析了系统的动力学行为和性能指标。
分数阶Bao混沌系统的同步控制及加密仿真
吉 首 大学 学 报 （自然 科 学 版 ） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｓｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ （Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）
文章 编 号 ：１００７—２９８５（２０１８）０２—００４４—０６
ＶｏＬ ３９ ＮＯ．２ Ｍ ａｒ． ２Ｏ１８
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４５ （１）
１ 分 数 阶 Ｂａｏ混 沌 系统
１．１ Ａｄｏｍｉａｎ分 解 法 及 吸 引 子 包 伯成 等 提 出 了一种 新 的混沌 系 统 ，即满足 条件 ａ 。ａ ＝０的过渡 混沌 系统 ．笔 者 在此 基 础 上提 出
分 数阶 混沌 系统 ，其 动力 学方 程 为
＊ 收 稿 日期 ：２０１７—１１—２８ 基 金 项 目 ：山 东 省 自然 科 学 基 金 资 助 项 目 （ＺＲ２０１７ＰＡ００８） 作 者 简 介 ：雷 腾 飞 （１９８８一 ），男 ，山东 肥城 人 ，齐 鲁 理 工 学 院 电 气 信 息 工 程 学 院讲 师 ，硕 士 ，主 要 从 事 分 数 阶 混 沌 系 统 动 力 －４－
一
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新分数阶混沌系统的电路设计和同步控制
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∪[
0.
632,
0.
7]∪ [
0.
85,
0.
88]∪ [
0.
9,
0.
94]时,分
岔图中出现由密集点构成的区域,系统处于混沌状
态.
考虑到分数阶混沌系统(
1)中含有 x2z 这种交
叉高阶项时,系统(
1)可能对 x 变量的初始值非常
敏感.现在改变x 变量的初始值x0 绘制分岔图,来
确认该模型动力学特性是否依赖于 x 变量的初始
Zhou 等 19 提出了具
有复杂共存吸引子的分数阶混沌系统.这些研究成
分数阶混沌系统的同步研究及电路实现
分数阶混沌系统的同步研究及电路实现摆玉龙; 杨阳; 魏强; 段济开; 范满红【期刊名称】《《西北师范大学学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2019(055)006【总页数】7页(P47-52,73)【关键词】分数阶混沌系统; 电路实现; 线性反馈同步; 保密通信【作者】摆玉龙; 杨阳; 魏强; 段济开; 范满红【作者单位】西北师范大学物理与电子工程学院甘肃兰州 730070【正文语种】中文【中图分类】O415.5; TN1.92分数阶微积分的发展已有300多年的历史，但由于缺乏实际应用，一直没有得到足够的重视.近年来，研究者将分数阶算子引入到整数阶混沌系统的研究中，发现当混沌系统的阶数不是整数时，系统也会发生混沌行为，而且分数阶混沌系统可以很准确的显示混沌系统的动力学特性[1-2].分数阶混沌系统研究成为了一个热点问题，相继出现一系列分数阶混沌系统，如分数阶Chua电路[3]、分数阶Lorenz系统[4]、分数阶Chen系统[5]、分数阶Lü系统[6]等.通过计算仿真发现，当这些混沌系统的阶数不是整数时，系统仍然可以表现为混沌状态，而且，可以更准确的呈现系统的动力学特性.在研究分数阶混沌系统的同时发现，混沌的同步控制问题是一个难点问题，得到了广泛研究并已出现了很多同步方法，如广义同步[7]、混合投影同步[8]、脉冲同步[9]、自适应同步[10-12]等.以上控制方法的控制器都是非线性的，而在实际工程应用中，文中尝试的线性控制器较易实现，经济代价小，因此具有较高的应用价值. 由于分数阶混沌系统同步控制在保密通信、信号处理等领域[13-17]比整数阶混沌系统更具有应用前景和发展前途.目前大部分是对分数阶混沌系统同步控制方法的研究，应用分数阶混沌电路实现混沌保密通信，相关研究还比较少，还处于发展的初期阶段，由于混沌信号自身的特性，混沌控制在保密通信这一领域将有很大的发展空间.文中在整数阶混沌系统的基础上，提出一个新的分数阶混沌系统，该混沌系统与已有的混沌系统相比，时序特性更加复杂、无序.利用波特图频域近似法设计了该2.7阶新分数阶混沌系统的电路.运用驱动-响应同步方法，设计了线性控制器，实现了两个分数阶混沌系统的同步.在同步电路的基础上，利用混沌掩盖保密通信的原理，设计了混沌保密通信电路.1 分数阶微积分的基本理论在分数阶微积分的定义中，最为常用的是Riemann-Liouville(RL)定义[4]，其数学表达式为(1)其中G为Γ函数，n-1≤α<n.当函数f(t)的初始值为零时，(1)式的Laplace变换可表示为(2)时域-复频域转换法是最常用的计算分数阶微积分的方法.通过求解复频域的1/sα,得到复频域的展开形式，再将复频域形式转化为时域形式进行数值求解，文献[9]提出了一种波特图的频域近似方法.利用波特图频域近似法[9]，文献[7]推导出了α在0.1～0.9的1/sα展开式，这里仅采用近似误差为2 dB的1/sα的展开式[7]，用作文中的系统电路设计.2 分数阶新混沌系统及其电路实现2.1 分数阶新混沌系统(3)其中，0<α≤1,0<β≤1,0<γ≤1并且a=20,b=14,c=11,e=10/3.文中选取参数α=β=γ=0.9对分数阶新混沌系统进行研究.其数值仿真相图如图1所示.由此可知，2.7阶分数阶新混沌系统存在混沌吸引子.2.2 平衡点及其稳定性令该系统方程右边等于零，即(4)可得系统有3个平衡点S0(0，0，0)，S1(-6.5784，-3.3257，19.5610)，S2(9.9117， 5.0180，19.5610).在平衡点S0(0，0，0)将系统线性化，其线性化矩阵即Jacobian矩阵为令det(J-λE)=0，解得特征根为λ01=-7.00,λ02=18.31,λ03=-27.31，由于特征值λ1和λ3为负实数，而λ2为正实数，显然S0是不稳定的且为二维空间中的一个鞍点.将系统在平衡点S1线性化，其Jacobian矩阵为令det(J-λE)=0,得其特征根为(a)x-y-z吸引子(b)x-y相轨图(c)y-z相轨图(d)x-z相轨图图1 α=β=γ=0.9时2.7阶新混沌系统的数值仿真相轨图Fig 1 Numerical simulation phase diagram of a new chaotic system with 2.7 order,α=β=γ=0.9同理，S2处的特征值为由于S1,S2的λ2和λ3是实部为正的共扼复数，且λ1为负实数，所以平衡点S1,S2都是不稳定的鞍焦点.2.3 分数阶混沌电路设计这里，采用误差为2 dB的1/s0设计电路，由文献[7]可知，1/sa的近似表达式为(近似误差2 dB)(5)当α=0.9时，混合型电路单元如图2所示.图2 分数阶1/sa的混合电路Fig 2 Fractional order 1/sa hybrid circuit根据电路设计理论，设计新分数阶混沌系统的电路图，如图3所示.图3中运算放大器采用LM741，模拟乘法器采用AD633(输出系数0.1)，整个电路供电电压为15 V，其中R1=R2=500 Ω，R3=100 Ω，R9=800 Ω，R10=1 kΩ，R11=100 Ω,R17=R18=30 kΩ,R19=100 Ω,R7=R8=R15=R16=R23=R24=10kΩ,R4=R12=R20=61.5 MΩ,R5=R13=R21=1.65 MΩ,R6=R14=R22=15.7kΩ,C1=C4=C7=0.5 μF,C2=C5=C8=0.3 μF,C3=C6=C9=0.44 μF.在Multisim上仿真电路原理图，并用示波器显示各相仿真相图，结果如图4所示，将电路实现的结果与数值仿真结果相比较可知，电路实现的结果与数值仿真结果完全一致，证明了新分数阶混沌系统的正确性.3 分数阶混沌系统同步的电路实验整数阶混沌系统的同步控制研究已取得了很多的研究成果，这为研究分数阶系统的同步控制奠定了坚实的理论基础.这里采用线性反馈控制方法来图3 2.7阶新混沌系统电路原理图Fig 3 Schematic diagram of the 2.7-order new chaotic system实现2个新分数阶混沌系统的同步.所谓线性反馈法就是对2个演化规律相同的自治混沌系统，把一个系统的变量用适当的方式反馈到另一个系统中去，从而控制被反馈的系统，最终达到两个系统的同步.该方法是设计线性反馈控制器，实现起来比较容易，在工程应用中具有较大的实际意义.新分数阶驱动系统微分方程为(6)新分数阶响应系统微分方程为(7)运用电路理论对驱动和响应系统进行电路设计，2个分数阶混沌系统的同步电路如图5所示，其中R25=R26=R30=R31= R35=R36=1 kΩ，R27=(a)x-y平面相轨图(b)x-z平面相轨图(c)y-z平面相轨图图4 2.7阶新混沌系统仿真相轨图Fig 4 Phase diagram of thenew chaotic system of the 2.7 orderR28=R29=R32=R33=R34=R37=R38=R39=10 kΩ，选取合适的控制参数k1,k2,k3，利用Multisim对图5进行仿真，得到各相的同步仿真相图.图6为x1-x2平面的同步相图，是一条穿过原点的直线，图7为x1-x2的时序波形图.由图6和图7可以看出，2个系统实现了完全同步.4 分数阶混沌保密通信电路利用文中提出的新分数阶混沌系统，设计一个分数阶混沌掩盖保密通信电路，混沌掩盖保密通信电路如图8所示，图中R64=R67=R68=R70=R71=R72=R74=100 kΩ，R65=R69=R73=50 kΩ，R66=33 kΩ，混沌掩盖通信的基本原理为：将混沌信号与信源信号叠加在一起，在接收端通过同步差分解调电路，得到信源信号.在电路图8中，信号源信号从Vin输入，调制解调电路的另一输入端口输入混沌信号，2种信号通过运算放大器反向加法电路进行叠加，得到反向的混合信号，再经过一级反向电路，得到正的混合信号，在接收端，利用差分解调电路将混合信号与信源信号进行分离，输出端Vout得到的即是信号源信号.由于发送端与接收端实现了同步，所以该电路可以实现保密通信.文中选用正弦信号作为信号源，通过电路仿真得正弦波信号与叠加后的混沌信号以及叠加后的混沌信号与解调出的输出信号，如图9和图10所示，从电路仿真结果看，输入信号与混沌信号叠加后，信号波形十分复杂，在信号传输过程中，窃听者只能得到混合后的混沌信号，由于解调过程要求驱动电路与响应电路参数完全一致，否则无法解调出传输信号，所以，此电路具有很好的保密特性.图9和图10中输入信号与解调出的信号完全一致，即证明此保密通信电路的正确性. 图5 2.7阶新混沌系统同步电路图Fig 5 2.7-order new chaotic system synchronization circuit图6 系统(6)与系统(7)x1-x2平面的同步仿真图Fig 6 Simultaneous simulationof system(6) and system(7) x1-x2plane图7 系统(6)与(7)的同步仿真波形图Fig 7 Synchronous simulation waveforms of system (6) and system (7)图8 混沌掩盖保密通信电路调制解调电路Fig 8 Modulation and demodulation circuit of secure communication circuit with chaotic masking图9 正弦波信号与叠加后的混沌信号Fig 9 Sine wave signal and superimposed chaotic signal图10 叠加后的混沌信号与解调出的输出信号Fig 10 Chaotic signal after superposition and demodulated output signal5 结束语对新提出的分数阶混沌系统通过数值仿真、平衡点理论分析进行验证，并设计了电子电路，电路仿真结果与数值仿真完全一致，证明了系统模型的正确性，由于分数阶混沌系统更精确、动力学特性更加复杂无序，构建了新分数阶混沌系统驱动-响应同步电路图，以及新分数阶混沌保密通信电路，并在Multisim上进行仿真，采用混沌掩盖原理对输入信号进行加密，用混沌信号对信号源信号加以掩盖，在接收端，利用差分解调电路对混沌信号进行解调，由电路仿真结果可以看出，解调出的输出信号与输入信号完全一致，即说明此电路具有很好的保密性，可以实现保密通信.参考文献:【相关文献】[1] CARROLL T L,PECORA L M.Synchronizing chaotic circuits[J].IEEE Transactions on Circuits & Systems,1991,38(4):453.[2] TOUR J M,HE T.Electronics:the fourth element[J].Nature,2008,453:42.[3] HARTLEY T T,LORENZO C F,KILLORY QAMMER H.Chaos in a fractional order Chua’s system[J].IEEE Transactions on Circuits & Systems,1995,42(8):485.[4] GRIGORENKO I,GRIGORENKO E.Chaotic dynamics of the fractional Lorenzsystem[J].Physical Review Letters,2003,91(3):034.[5] LU J G.Nonlinear observer design to synchronize fractional-order chaotic systems via a scalar transmitted signal[J].Physica:A Statistical Mechanics & ItsApplications,2006,359(1):107.[6] WU X,LI J,CHEN G.Chaos in the fractional order unified system and its synchronization[J].Journal of the Franklin Institute,2008,345(4):392.[7] MAHMOUD G M,MAHMOUD E g synchronization of hyperchaotic complex nonlinear systems[J].Nonlinear Dynamic,2011,67(2):1613.[8] VELMURUGAN G,RAKKIYAPPAN R,CAO J.Finite-times synchronization of fractional-order memristor-based neural networks with time delays[J].NonlinearDynamics,2015,73(1/2):36.[9] ZHENG S.Further results on the impulsive synchronization of uncertain complex-variable chaotic delayed systems[J].Complexity,2016,21(5):131.[10] SONG X,SONG S,LI B.Adaptive synchronization of two time-delayed fractional-order chaotic systemswith different structure and different order[J].Optik:International Journal for Light and Electron Optics,2016,127(24):11860.[11] 陈晔,李生刚,刘恒.基于自适应模糊控制的分数阶混沌系统同步[J].物理学报,2016,65(17):251.[12] 贾雅琼,蒋国平.基于状态观测器的分数阶时滞混沌系统同步研究[J].物理学报,2017,66(16):26.[13] JIA H,GUO Z,QI G,et al.Analysis of a four-wing fractional-order chaotic system via frequency-domainand time-domain approaches and circuit implementation for secure communication[J].Optik-International Journal for Light and Electron Optics,2018,155:233.[14] 潘光,魏静.一种分数阶混沌系统同步的自适应滑模控制器设计[J].物理学报,2015,64(4):41.[15] 薛薇,徐进康,贾红艳.一个分数阶超混沌系统同步及其保密通信研究[J].系统仿真学报,2016,28(8):1915.[16] 李琳,孔留勇.一种基于混沌的新型图像加密算法[J].系统仿真学报,2018(3).[17] 黄宇,王佳荣,梁伟平.求解分数阶混沌系统参数估计问题的和声引力搜索算法[J].系统仿真学报,2016,28(5):1045.。
分数阶非线性系统的混沌特性分析与同步控制算法研究的开题报告
分数阶非线性系统的混沌特性分析与同步控制算法研究的开题报告【摘要】本文研究分数阶非线性系统的混沌特性分析与同步控制算法，首先介绍了分数阶微积分和分数阶微分方程的基本概念和性质，然后基于Lozi混沌系统和Chen混沌系统，分别建立了分数阶Lozi混沌系统和分数阶Chen混沌系统，并分析了它们的混沌特性。
接着，提出了一种基于自适应反馈控制的分数阶Lozi混沌系统同步算法，并给出了理论证明和仿真结果。
最后，总结了本文的研究内容和主要贡献，并展望了未来的研究方向。
【关键词】分数阶微积分；分数阶微分方程；混沌系统；同步控制算法【Abstract】This paper studies the chaotic characteristics analysis and synchronization control algorithm of fractional-order nonlinear systems. Firstly, the basic concepts and properties of fractional calculus and fractional differential equations are introduced. Then, based on the Lozi chaotic system and Chen chaotic system, fractional-order Lozi chaotic system and fractional-order Chen chaotic system are established respectively, and their chaotic characteristics are analyzed. Then, an adaptive feedback control based synchronization algorithm for fractional-order Lozi chaotic system is proposed, and theoretical proof and simulation results are given. Finally, the research content and main contributions of this paper are summarized, and the future research direction is prospected.【Keywords】fractional calculus; fractional differential equation; chaotic system; synchronization control algorithm。
分数阶混沌系统数值解析与电路仿真研究
第 12 期
近似法
［9 ， 12 ， 13 ］
徐
强， 等： 分数阶混沌系统数值解析与电路仿真研究
α i， j， n +1 = nqi + 1 － （ n － qi ） （ n + 1）
q +1 i q i
· 4613·
， 设计了 分 数 阶 单 元 电 路， 利用一个模拟电路实
现了所提出的分 数 阶 混 沌 系 统， 借 助 PSpice 电 路 仿 真 平 台 给 出了相应的仿真结果 。
［9 ～ 13］
混沌吸引子的拓扑结构较为复杂的三阶连续自治混沌系统， 本 文提出了一个新的三 维 分 数 阶 混 沌 系 统 。 针 对 此 分 数 阶 混 沌 系 统，基 于 改 进 的 Adams-Bashforth-Moulton 算 法 （ ABM 算 法）
［9 ］
。在双涡卷混沌系统
［11］
1 sq
（ 3）
真所得的结果 。 从图 1 中不难观察到， 两种数值解析结果基 本 一致， 由此说明了基于改 进 的 ABM 算 法 求 解 整 数 阶 混 沌 系 统 是可行的 。
目前， 与常微分方程的数值求解不同， 分数阶微分方程的数 值仿真仍成问题 。 在分 数 阶 混 沌 领 域 的 相 关 文 献 中， 提出了两 种解析分数阶微分方程 近 似 方 法： a ） 改 进 的 ABM 算 法 描述分数阶混沌系统的特性 。 4］中提 出 的 三 维 连 续 自 治 混 沌 系 统 所 对 应 的 分 数 文献［ 阶混沌系统可以用下面分数阶微分方程组表示：
作者简介： 徐强（ 1975-） ， 男， 江苏常州人， 讲师， 主要研究方向为混沌与保密通信 、 嵌入式系统设计（ xuqiang@ czu． cn ） ； 包 伯 成 （ 1965-） ， 男， 江 苏常州人， 研究员， 博士， 主要研究方向为非线性电路与系统； 胡文（ 1979 -） ， 男， 江西南昌人， 讲师， 博士， 主要研究方向为混 沌 雷 达 、 信 号 处 理； 杨 晓 云（ 1970-） ， 女， 江苏常州人， 实验师， 主要研究方向为嵌入式系统设计 ．
分数阶共轭Chen混沌系统中的混沌及其电路实验仿真
中, AD633 是乘 法器, LM741 为运 算放大器 , R 1 = 63 10 M ∃ , R 2 = 1 598 M ∃ , R 3 = 0 01581 M ∃ , C 1 = 0 4410 # F, C 2 = 0 4870 # F, C 3 = 0 2937 # F, R 4 = R 5 = 10 k ∃ , R 6 = 28 k∃ , R 7 = R 15 = R 17 = 100 k ∃ , R 8 = R 15 = 1 k∃ , R 9 = 14 3 k∃ , R 10 = 10 k ∃ , R 11 = 2 86 k∃ , R 13 = R 14 = R 19 = R 20 = 10 k ∃ , R 18 = 33 3 k ∃ . 利 用 Multisim 2001 对 2 7 阶分数阶共轭 Chen 混沌系统 进行电路仿真, 得相图如图 8 所示. 由于 Multisim 2001 电子工作平台采用的是实际电路元件模型 , 所以其 仿真实验与实际实验应该是基本符合的. 由图 8 和 图 2 可以看出 , 电路实验仿真结果与数值模拟结果是 基本相符的. 所以电路实验仿真结果是有效的.
21, # 2
2, 3
21, 28) :
= - 22 2922,
= 6 1461 # 13 1622i .
!
根据文献 [ 15] , 我们得到, S 0 是指数为 1 的鞍点 , S 1, 2 是指数为 2 的鞍点. 若系统 x = f ( x ) 出现混沌 , 则分数阶系统 d x d t = f ( x ) 仍保持混沌的必要条 件是平衡点的稳定性保持不变 , 也就是说系统指数 为 2 的不稳定特征值 满足
!
是一个新型三维自治混沌系
统, 属于共轭 Lorenz 型系统, 对其分数阶系统的研
分数阶Chen混沌系统同步及Multisim电路仿真
分数阶Chen混沌系统同步及Multisim电路仿真王震;孙卫【期刊名称】《计算机工程与科学》【年(卷),期】2012(34)1【摘要】本文针对参数已知和未知的分数阶Chen混沌系统,研究其同步控制问题.利用分数阶系统稳定性理论,设计并实现了系统的反馈控制器；同时运用Multisim 软件设计实现了分数阶系统同步的混沌电路,验证了所提出同步方法的有效性和可实现性.%A synchronization problem with the same structure for fractional order Chen chaotic systems with known or unknown parameters is studied in this paper. According to the stability theory of fractional order systems, the feedback controller of the system is designed and proved. An electronic circuit is designed to realize the controller using Multisim. The simulation results demonstrate the effectiveness and realizableness of the proposed method.【总页数】6页(P187-192)【作者】王震;孙卫【作者单位】西京学院基础部,陕西西安,710123;西京学院基础部,陕西西安,710123;西安交通大学电子与信息工程学院,陕西西安710049【正文语种】中文【中图分类】TP391.9;TN702;TM132【相关文献】1.基于Multisim分数阶混沌系统的电路仿真 [J], 蒋逢灵;2.基于分数阶控制器的分数阶混沌系统同步 [J], 张志明;张一帆;王瑜3.假分数阶Chen混沌系统同步 [J], 胡建兵;肖建;赵灵冬4.基于分数阶Takagi-Sugeno模糊模型的分数阶Chen混沌系统的控制 [J], 李玉婷5.不确定分数阶超混沌Chen系统和分数阶Rössler系统的自适应异结构同步 [J], 杜永霞;李珊珊;高雅因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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混沌与分数阶混沌系统同步控制研究及其电路仿真文章来源：伟智论文服务中心 [打印]【摘要】混沌作为一种复杂的非线性运动行为,在物理学、化学、信息技术以及工程学等领域得到了广泛的研究。
由于混沌对初值的极端敏感性、内在的随机性、连续宽谱等特点,使其特别适用于保密通信、信号处理、图象加密等领域,因此,混沌同步成为混沌应用的关键技术。
在参阅大量文献的基础上,本文利用理论证明,数值模拟以及电路仿真相结合的方法,对混沌系统同步、分数阶超混沌系统同步、以及非自治超混沌系统进行了研究。
本文的主要研究内容如下:1.基于Lyapunov稳定性理论,利用自适应控制方法,以不确定单模激光Lorenz系统作为驱动系统,将不确定单涡旋混沌系统作为响应系统,设计了非线性反馈控制器及参数识别器,使响应系统的所有状态变量严格地按函数比例跟踪驱动系统的混沌轨迹,并辨识出包括非线性项在内的驱动系统和响应系统的不确定参数,利用四阶龙格库塔仿真模拟,结果表明了该方法的有效性。
2.应用驱动-响应方法、反馈线性化方法以及基于Lyapunov方程的Backstepping 控制方法,研究了分数阶超混沌L(u|¨)系统同步问题。
其次,针对上述分数阶混沌系统同步方法中存在的不足,基于分数阶系统的稳定性理论,提出了分数阶超混沌系...更多统的自适应同步方法,用两个控制器与两个驱动变量实现了不确定分数阶超混沌L(u|¨)系统的自适应同步,给出了自适应同步控制器和参数自适应率,辨识出系统的不确定参数。
最后,结合Active控制技术,实现了异结构分数阶超混沌系统的同步。
理论证明、数值模拟以及电路仿真证实了上述同步方法的有效性和可行性。
3.采用调节连续信号频率的方法,将外界控制信号引入到超混沌系统中,设计了一个新四维非自治超混沌系统。
通过精确地调节模拟输入信号的频率,观察和验证新系统的非线性动力学特性,具体为周期轨、二维环面、混沌和超混沌现象。
通过Lyapunov指数图,分岔图来解释系统的动力学特性,并且给出了设计的实验电路及其观测的结果,进一步从物理实现上验证仿真结果的准确性。
最后利用单变量耦合反馈控制方法,通过电路实验实现了非自治超混沌系统的同步。
还原【Abstract】 Chaotic systems are well known for their complex nonlinear systems, and have been intensively studied in various fields such as physics, chemistry, information technology and engineering. In virtue of its characteristics of chaos such as hyper sensitivity to initial conditions, high randomicity and board spectra for its Fourier transform, chaos can be especially applied to secure communications, signal processing and image encryption and so on. Thus chaos synchronization has become the key process in the application of chaos. The research has studied the relative problems of chaos synchronization, synchronization of fractional-order hyper-chaotic systems and analysis of a new four-dimensional non-autonomous hyper-chaotic system, usingthe methods of theoretical derivation, numerical simulation and circuitry experimental verification. The main contributions of this paper are list as follows:1. Based on Lyapunov stability theory, the nonlinear feedback controller and parameter recognizer...更多 were designed with the adaptive control method. The uncertain single-mode laser Lorenz system is taken as the drive system and the uncertain single scroll attractor chaotic system as the response system in the design, which makes all the status variable of the response system to follow the chaotic path of the drive system strictly in function proportion, and recognizes all the uncertain parameters including unknown coefficients of nonlinear terms of the drive and response systems. The result obtained by the four-order Runge-Kutta simulation indicates the effectiveness and feasibility of the method.2. Three different synchronization schemes based on the Pecora-Carroll principle, the linearization by feedback and back-stepping approach based on Lyapunov equation are proposed to realize chaotic synchronization. Some methods such as linearization feedback control method eliminate nonlinear terms of systems when designing controllers, which make the coefficient matrix of the system to be the constant matrix. Although these schemes can control the fractional-order chaotic system to synchronize, it costs too much. And then, based on fractional stability theory, the adaptive control method proposed in this paper can achieve synchronization of fractional-order hyper-chaotic systems only using two controllers, and adaptive controller and updating law of parameter are obtained. Numerical simulations confirm the effectiveness of the proposed synchronization approaches. Especially, the circuit experiment simulations also demonstrate that the experimental results are in agreement with numerical simulations. Moreover, the active control technique is applied to synchronize the different fractional-order hyper-chaotic systems, numerical simulations have performed the effectiveness and feasibility of the presented synchronization techniques.3. A new four-dimensional non-autonomous hyper-chaotic system is presented by adding input sine signal to a hyper-chaotic system. Through adjusting the frequency of the control signal, the chaotic property of the system can be controlled to show some different dynamic behaviors such as periodic, quasi-periodic, chaotic and hyper-chaotic dynamic behaviours. By numerical simulations, the Lyapunov exponent spectrums, bifurcation diagrams and phase diagrams of the non-autonomous system are analyzed. Also, the synchronizing circuits of the non-autonomous hyper-chaotic system are designed via the synchronization control method of single variable couplingfeedback. The electronic circuits are implemented and the experimental results observed by the oscillograph well agreed with the simulation results. 还原【关键词】混沌; 分数阶超混沌系统; 非自治系统; 同步控制; 自适应; 电路仿真【Key words】 chaos; fractional-order hyper-chaotic system;non-autonomous system; synchronization control; adaptive control; circuit simulation。