机械振动试题 (4)

北京工业大学2009—2010学年第1学期 研究生《机械振动学》 考试试卷
一、求图示单自由度系统的固有频率。

（15分）
说明：1、图中K θ为扭转弹簧的刚度；2、杆的质量不计；3、静平衡时质量M 处于垂直向下 解：如图，设小球转动方程sin n t θθω=，
则系统的动能和势能分别为：
222222max 111
222
n T Mv M L M L θωθ=
== 222max 11(1cos )2sin 222
V K MgL K MgL θθθθθθ=
+-=+ 由于θ很小，sin
2
2
θ
θ
≈
由max max T V =
可得：n ω=
二、一位移传感器的固有频率为4Hz ，无阻尼，用以测量频率为12Hz 的简谐振动、测得振幅为0.275cm ，
问实际振幅为多少？若加入一阻尼器，阻尼比为0.7，问测得的振幅为多少，误差为多少？（15分） 解：
仪器振动属于强迫振动，则相对位移的幅值为：2
z y
=
频率比12
34
=
n ωγω==，无阻尼0ξ=，0.275z cm =代入数据得：0.244y cm = 加阻尼后0.7ξ=，代入数据得：10.243z cm = 误差：10.2440.243
100%100%0.41%0.244
y z y --⨯=⨯=
三、求图示三自由度系统振动的固有频率与振型，画出振型图。

解：取质量块123,,m m m 的水平位移123,,x x x 为广义坐标，则由影响系数法列出质量和刚度矩阵为
111M m ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210121012K k -⎛⎫
⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
求出特征值：()0K M u λ-=，即{}{}202002k m
k k
k m k u k k m λλλ--⎛⎫ ⎪
---= ⎪ ⎪--⎝⎭
变换令：m p k λ=，有{}{}2101
210012p
k p u p --⎛⎫ ⎪
---= ⎪ ⎪--⎝⎭
则：2(2)(42)0p p p --+=
有12322,2p p p ===
123ωωω=
==
当12p =
110101()1
10100001
r K M λ⎫--⎛⎫⎪ -=--−−→ ⎪ ⎪ -⎝⎭⎝
1(11)T u ∴=
当22p =时，有2010101()101010010000r K M λ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
-=--−−
→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
2(101)T u ∴=-
当32p =
310101()1
101
00001
r K M λ⎛⎫--⎛⎫
⎪ -=--−−→ ⎪ ⎪ -⎝⎭
⎝
3(11)T u ∴= 振型图如下:
四、分别用瑞利法和邓柯莱法计算图示振动系统的基频，简述两种结果存在一定差别的原因。

解：1、瑞利法：取质量块123,,m m m 的水平位移123,,x x x 为广义坐标，则可列出质量和刚度矩阵为
1234M m ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3200253003740044K k -⎛⎫
⎪
-- ⎪= ⎪-- ⎪
-⎝⎭
先根据系统的情况选择一个接近系统第一阶模态向量的试算向量，可由各质块对应的重力产生的静位移曲线作为一阶振型的近似，而各质块在重力作用下的静位移为：
123410109878771011014107,,,26636646st st st st m m m m m m m m m m k k k k k k k k k k
δδδδ=
=+==+==+= 因此可选取(6087101107)(1 1.45 1.683 1.783)T
T
u ==
有：112 1.45(1 1.45 1.683 1.783)26.423 1.6834 1.783T u Mu m m ⎛⎫⎛⎫
⎪⎪
⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
320
012530 1.45(1
1.45
1.683 1.783) 1.6082
0374 1.6830044 1.783
T u K u m k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪⎪== ⎪⎪-- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭
则2
1111.608210.0608726.42k k
m m
λωω==
==，2、邓柯莱法：依题意得12341234234234m m m m m m m m k k k k k k k k ========，，，，，，，
根据柔度影响系数法求得：
1122334411212312341111311111111125
2612a a a a k k k k k k k k k k k k k k =
==+==++==+++=
，，， 而又：
111222333444222211
2233441
13111125,,,23m m m m
a m a m a m a m k k k k ωωωω========
则：
2
2222
11122
33
44
1
11
1
1
1076m
k
ωωωωω=
+++
=
得1ω=
差别：瑞利法是根据系统的情况选择一个接近系统第一阶模态向量的试算向量，一般由各质量块对应的重力产生的静位移近似，这样计算的基频会存在一定的误差，一般选取的向量u 与(1)
u 之间误差越小，
求出的基频越精确，并且计算出的是基频的上限。

邓柯莱法是采用柔度矩阵列出系统的特征方程，从而求出系统各阶频率与柔度矩阵和质量块的关系，然后仅保留基频的特征值，得出估算基频的计算公式，这样计算出的1ω比实际值要小，而且当
12n n ωω 估算的值才比较精确。

瑞利法计算出的是基频的上限，一般比1ω的精确值要大，而邓柯莱法计算出的1ω比精确值要小，所以存在一定的差别。

五、对图示的扭转振动系统：（15分）
1、求系统的总传递矩阵；
2、由边界条件确定频率方程，求出固有频率。

六、如图所示，两端固定的等直杆，在其中点作用一轴向力F ，当F 突然取消后，求系统的响应。

解：设x 坐标如图。

两端固定的等直杆纵向自由振动时的解为
1
(,)sin
sin()n
n n n n p u x t C x p t a
ϕ∞
==+∑ (1)
式中：,=
n n p a a L π=
ρ为杆单位体积的质量） 依题意，由材料力学可知，初始条件0t =
,022
(,0)(),22
Fx L
x EA
u x F L x L
x L EA ⎧≤≤
⎪⎪=⎨
-⎪≤≤⎪⎩
(,0)0u
x = 将(1)式等式左右两边乘sin
m
p x a
，沿杆全长积分，根据主振型的正交性，并且使0t =得 02sin (,0)sin L
n n n p C u x xdx L a
ϕ=
⎰ (2) 同理，将(1)式对时间t 求一阶导数，然后等式左右两边乘cos
m
p x a
，沿杆全长积分，并使0t =得 02cos (,0)cos L
n n n n p C p u x xdx L a
ϕ=
⎰ (3) 将初始条件代入(3)式，得：,sin 12
n n π
ϕϕ=
=。

代入(2)式，得
20222()
sin sin 22L L n n L n p p Fx F L x C xdx xdx L EA a L EA a
-=+⎰⎰
20
222
1111cos sin cos sin 22()22()L
L
L FL n FL n FL n FL n x
x
EA n EA n L
EA n EA n L
ππππ
ππππ=-++
-
1
2
2
2(1)()n FL EA n π--=
故：1
2221,3,52(1)(,)sin cos n n n FL n u x t x p t EA n L
π
π-∞=-=∑。