matlab插值法

对Ψ (t)求2阶导数得，
Ψ″ (t) = f″ (t) -2!k(x), 因为Ψ″ (ζ)=0，所以，有 k(x) = f″ (ζ) /2!。 证毕。
1.2.2 二次插值 给定3个互异插值点(xi, f (xi)), i = 0,1,2，确定一个二次插 值多项式函数，即抛物线插值（如图）。
待定系数法
间上，应用Rolle定理，然后再反复应用Rolle定理即得证。
例1.1 给定sin11°=0.190809,sin12°=0.207912,求线性插 值，并计算sin11°30'和sin10°30' 。
解 x0= 11°, x1= 12°, y0= 0.190809, y1= 0.207912，
L1 ( x) ( x 12) ( x 11) y0 y1 (12 x) y 0 ( x 11) y1. 11 12 12 11
( x 12)( x 13) ( x 11)( x 13) L2 ( x) 0.190809 0.207912 (11 12)(11 13) (12 11)(12 13) ( x 11)( x 12) 0.224951 (13 12)(13 12)
因此，
x0 y1 x1 y 0 y 0 y1 L1 ( x) x x0 x1 x0 x1 x x0 x x1 y0 y1 (1.1) x0 x1 x1 x0
（1.1）式称为一次Lagrange插值。 由求解过程知，用待定系数法，需要求解线性方程 组，当已知节点较多时，即方程的未知数多，计算量 较大，不便向高阶插值推广。
构造出(x)，对 f(x)在[a,b]上函数值的计算，就转化为(x)在对应点上的算。
1.2
Lagrange插值
选用代数多项式作为插值函数。Lagrange插值就是选用 节点上的函数值作为插值条件。 1.2.1 线性插值 给定两个点(x0，y0)，(x1，y1）， x0≠x1，确定一个一次多项式插值函数， 简称线性插值。
第1章
1.1 插值法
插值法
1.2
1.3
Lagrange插值
Newton插值
1.4
1.5 1.6
Hermite插值
分段线性插值 三次样条插值
1.7
程序示例
习题1
1.1
插值法
插值问题的背景
在生产和实验中，函数 f(x)或者其表达式不便 于计算, 或者无表达式而只有函数在给定点的函数 值(或其导数值) ，此时我们希望建立一个简单的而 便于计算的近似函数(x)，来逼近函数 f(x)。 常用的函数逼近方法有： ► 插值法； ► 最小二乘法（或称均方逼近）； ► 一致逼近等。
sin11°30′≈L2(11.5) = 0.199369,
sin11°30′= 0.199368.
例1.3 要制作三角函数sin x的值表，已知表值有四位小数， 要求用线性插值引起的截断误差不超过表值的舍入误差，试 确定其最大允许的步长。 解 f(x)=sin x, 设xi－１, xi为任意两个插值节点，最大允许步长
二次插值的误差 定理 设L2(x)为二次Lagrange插值函数, 若 f (x) ∈C3[a，b] ， 则任给x∈(a ,b),至少存在一点ζ=ζ(x) ∈(a,b),使
R 2 ( x ) f ( x ) L2 ( x ) f ( ) ( x x 0 )( x x1 )( x x 2 ) (1.5) 3!
提示：因为R2(x0)=R2(x1)=R2(x2)=0,可设
R2 ( x) k ( x)( x x0 )( x x1 )( x x2 ).
作辅助函数
(t ) f (t ) L2 (t ) k ( x)(t x0 )(t x1 )(t x2 ),
易知，x0, x1, x2, x为Ψ(t)的4个零点，在4个点两两组成的区
l1 ( x) ( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 ) , l 2 ( x) . ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
2
二次Lagrange插值多项式为
i 0
容易验证满 足插值条件
L2 ( x) l0 ( x) f ( x0 ) l1 ( x) f ( x1 ) l 2 ( x) f ( x2 ) l i ( x) f ( xi ) (1.4)
设L2(x)=a0+a1x+a2x2, 代入3个 插值条件： L2(xi)= f(xi)), i = 0,1,2，解线形方程组可得a0, a1, a2。
插值基函数法 构造3个节点上2次插值基函数 l0(x), l1(x), l2(x), 使满足 li(xj)=δij ， i, j = 0,1,2。 因为l0(x) 为2次插值基函数, 且l0(x1) = l0(x2) = 0, 所以可设 l0(x) = A (x - x1)(x - x2)。 由条件：l0(x0) = 1，得 ( x x1 )( x x2 ) 1 A , l 0 ( x) . ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) 同理可得，
准确值为： sin11°30'≈L1(11.5)=0.199361, sin11°30’=0.199368 sin10°30'≈L1(10.5)=0.182258. sin10°30’=0.182236 由定理1知，误差为 f ( ) sin( )
R1 ( x)
1 R1 ( x) ( x 11)( x 12) 2 1 (11.5 11)(11.5 12) 0.125. 2
插值基函数法 分别构造两个节点上的一次函数，使其在本节点上的 函数值为1，而在其他节点上的函数值为0。设l0(x), l1(x)分 别为满足上述条件的一次函数，即
l0 ( x0 ) 1, l1 ( x0 ) 0 l ( x ) 0, l (x ) 1 1 1 0 1
则Ψ (xi )=0, i =1,2, Ψ (x)=0, 即Ψ (t)有3个零点x0, x1, x。 假定， x0 < x < x1 , 分别在 [x0 ， x] 和 [x ，x1]上应用洛尔 （ Rolle ）定理，可知 ， Ψ′(t) 在每个区间上至少存在一个零 点，ζ1，ζ2，使Ψ′(ζ1)=0，Ψ′(ζ2)=0(此即Ψ′(t)有2个零点)。 再利用洛尔定理知， Ψ′(t)在[ζ1,ζ2]上至少有一个零点 ζ， 使Ψ″ (ζ)=0。
和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常
用的插值还有Hermite插值，分段插值和样条插值。
插值法的定义
设 f(x)为[a，b]上的函数，在互异点x0 , x1, ... , xn 处的
函数值分别为 f(x0) , f (x1) , … , f (xn) ,构造一个简单函数 (x) 作为函数 f(x) 的近似表达式y= f(x) (x),使
记为 h = hi = xi －xi－１，
f ( ) sin R1 ( x) ( x xi 1 )( x xi ) ( x xi 1 )( x xi ) 2! 2 xi 1 xi 1 1 xi 1 xi ( x xi 1 )( x xi ) ( xi 1 )( xi ) 2 2 2 2 1 h2 ( xi xi 1 )( xi 1 xi ) , 8 8 h2 1 10 4 , h 0.02. 8 2
或简单地记为
i j, 1, li ( x j ) ij i j. 0,
x x0 x x1 l 0 ( x) , l1 ( x) , x0 x1 x1 x0
对于过两个节点x0 , x1的线性插值（1.1）式，令
li ( x j ) ij , i, j 0,1. 显然， l0(x), l1(x) 满足： 线性插值函数可以写成节点上函数值的线性组合，即 L1(x) = l0(x) y0 + l1(x) y1 ． 易知满足插值条件： 称l0(x), l1(x) 分别为x0, x1的插值基函数。 L1(xi) = yi , i=0,1
(xi)＝f(xi) , i＝0, 1, 2, …,n
(1.0)
则称(x) 为关于节点x0 , x1, ... , xn的插值函数；称 x0 , x1, ... , xn 为插值节点；称(xi, f (xi)), i=1,2,… , n 为插值点；f(x)
称为被插值函数。
(1.0)式称为插值条件。这类问题称为插值问题。
1.2.3 n次Lagrange插值多项式 已知 n+1个互异插值节点 (xi, f(xi)), i=0, 1, 2, …, n , 研究n次 插值多项式的存在性及其表示形式。 ★ 存在性 设 n 次多项式为
Pn ( x) a0 a1x a2 x 2 an x n , (1.6)1
线性插值误差
定理 1 设L1(x)为一次Lagrange插值函数, 若 f (x) 一阶连续可 导，f "(x)在(a, b)上存在，则对任意给定的x∈(a ,b), 至少存在一点ζ∈(a,b),使得 f "( ) R1 ( x) f ( x) L1 ( x) ( x x 0 )( x x1 ) (1.3)
插值法
函数可以未知， 只需已知若干点 上的值。
插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应
用。简单地说，插值法就是用给定的(未知)函数 f(x)的 若干点上的函数值(或其导数值) 来构造 f (x)的近似函数
(x)，要求(x)与 f(x)在给定点的函数值相等。
有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值
待定系数法
设 L1(x)=a0+a1x, 代入插值点
当x0≠x1时，方程组的解存在唯一。
a0 a1 x0 y 0 a a x y 1 0 1 1
即插值条件： L1(xi)= f(xi)=yi,i=0,1
解之得，
x0 y1 x1 y 0 y 0 y1 a0 , a1 . x0 x1 x0 x1
2!
( x x0 )( x x1 )
2
( x 11)( x 12).
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x0 x1 11 12 x 11.5 2 2
例1.2 给定sin11°=0.190809,sin12°=0.207912, sin13°=0.224951,构造二次插值，并计算 sin11°30′。 解 x0= 11, x1= 12, x2= 13, y0= 0.190809, y1= 0.207912,y2= 0.224951，
代入插值点，即插值条件：Pn (xi) = f (xi), i = 0, 1,2, …, n , 得
2 n a0 a1 x0 a2 x0 a n x0 f ( x0 ) a0 a1 x1 a2 x12 an x1n f ( x1 ) (1.6) 2 n a a x a x a x 2 n n n f ( xn ) 0 1 n
2!
证明
因为L(xi)= f(xi),i=0,1,所以，R1(x0)=R1(x1)=0, 即 x0,x1为R1(x)的两个根。因此，可设R1(x)为
可设
R1(x) = k(x)(x-x0)(x-x1).
固定任一 x，作辅助函数，令
(t ) f (t ) L1 (t ) k ( x)(t x0 )(t x1 ),