第四章因式分解.ppt

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【北师大版】数学八年级下册课件：第四章因式分解2

=3.14
最新北师大版八年级数学下
2. 20082+2009能被2008整除吗? 解: ∵20082+2009=2008(2008+1)
=2008 ×2009 ∴ 20082+2009能被2009整除
３．（随堂练习）
最新北师大版八年级数学下
能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
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分解因式
最新北师大版八年级数学下
1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式: a(m+n)=__a_m__+_an_ (3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=_____________ 2.乘法公式有哪a些m+?an+bm+bn (1)平方差公式: (a+b)(a-b)=_______
方法:检验因式分解是否正确, 只要看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否正确.
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2：计算
(1) 872 87 13 (2) 1012 992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200 × 2
=400
3.若 x 101, y 99 则 x2 2xy y2 _4_
F(n) 1 ．其中正确说法的个数是（）Ａ.1 Ｂ. 2 Ｃ. 3 Ｄ. 4
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作业：
1. 2. 3.
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动脑筋 n2 n是奇数还是偶数？
257 512能被120整除吗 ? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.

北师大版八年级数学下册第四章因式分解1 因式分解

求 mn 的值. 解：∵ x4 + mx3 + nx - 16 的最高次数是 4， ∴可设 x4 + mx3 + nx -16 = (x - 1)(x - 2)(x2 + ax + b)，则 x4+mx3+nx-16 = x4 +(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b 比较系数得 2b= -16，b- 3a+2 = 0，a - 3=m，2a-3b=n，
其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8， ∴ a = 6. 同理，乙看错了 a，但 b 是正确的，分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9， ∴b = 9. ∴a + b = 15．
(4)(y-3)2 = y2-_6_y_+_9_
(4) y2-6y+9 = ( y-3 )( y-3 )
或 (y-3)2
2 因式分解与整式乘法的关系
想一想：由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的变形是什么运算? 由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与它有什么不同?
项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的. 问题2：右边一栏表示的正是多项式的“因式分解”，你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？
归纳总结把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种
变形叫做因式分解，也可称为分解因式.
其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.

【北师大版】初二八年级数学下册《4.3.3 分组分解法及分解因式的方法》课件PPT

知1－练
7 把下列各式分解因式：
(1)1＋x＋x2＋x；
(2)xy2－2xy＋2y－4；
(3)a2－b2＋2a＋1.
解： (1)原式＝(1＋x)＋(x2＋x) ＝(1＋x)＋x(x＋1) ＝(1＋x)(1＋x) ＝(1＋x)2.
(2)原式＝(xy2－2xy)＋(2y－4) ＝xy(y－2)＋2(y－2) ＝(y－2)(xy＋2)．
x
骣 ççç桫x－
4 x
÷÷÷
2 【中考·宜宾】把代数式3x3－12x2＋12x分解因式，
结果正确的是( D )
A．3x(x2－4x＋4)
B．3x(x－4)2
C．3x(x＋2)(x－2)
D．3x(x－2)2
知2－练
3 【2016·潍坊】将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是( C ) A．a2－1 B．a2＋a C．a2＋a－2 D．(a＋2)2－2(a＋2)＋1
解：(1) m3－2m2－4m＋8 ＝m2(m－2)－4(m－2) ＝(m－2)(m2－4) ＝(m－2)(m＋2)(m－2) ＝(m＋2)(m－2)2.
(2) x2－2xy＋y2－9 ＝(x－y)2－32 ＝(x－y＋3)(x－y－3)．
知2－练
1 知识小结
分解因式时通常采用一“提”、二“公”、三 “分”、四“变”的步骤，即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解，若上述方法都行不通，则可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法．
知2－练
4 观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解：甲：x2－xy＋4x－4y＝(x2－xy)＋(4x－4y)(分成两组) ＝x(x－y)＋4(x－y)(分别提公因式) ＝(x－y)(x＋4)．乙：a2－b2－c2＋2bc＝a2－(b2＋c2－2bc)(分成两组) ＝a2－(b－c)2(直接运用公式) ＝(a＋b－c)(a－b＋c)．请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式： (1)m3－2m2－4m＋8； (2)x2－2xy＋y2－9.

北师大版八年级数学下册《因式分解——提公因式法》教学PPT课件(3篇)

= −(4 ∙ 6 2 − 4 ∙ 3 + 4 ∙ 7)
= −4(6 2 − 3 + 7).
易错注意：1.公因式要提尽；
2.公因式是某项时剩余的系数1别忘；
错误
提公因式后括号里少了一项.
正确解：原式=3x·
x-6y·
x+1·x
=x(3x-6y+1)
请你判断小明的解法有误吗？
因式分解： - x2+xy-xz.
解：原式= - x(x+y-z).
错误
提出负号时括号里的项
没变号
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
探索新知
巩固练习将下列各式分解因式
项式的各项变号；
2.公因式的系数是多项式各项__________________;
系数的最大公约数
相同的字母
3.字母取多项式各项中都含有的____________;
4.相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂
_________.
合作探究
因式分解：a(x-3)+2b(x-3)
（1）多项式的公因式是什么？
B．6(p＋q)2－2(p＋q)＝2(p＋q)(3p＋q－1)
C．3(y－x)2＋2(x－y)＝(y－x)(3y－3x＋2)
D．3x(x＋y)－(x＋y)2＝(x＋y)(2x＋y)
4.用提公因式法因式分解：
（1）6p(p+q)-4q(p+q);
解：6p(p+q)-4q(p+q)
=2(p+q)(3p-2q).
A．x4
B．x3＋1
C．x4＋1
D．x3－1

4-1 因式分解(课件)八年级数学下册(北师大版)

B．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2
C．10x2－5x＝5x(2x－1)
D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
随堂练习
3.把x2－3xy2分解因式，结果正确的是( D )
A．(x＋3xy)(x－3xy)
பைடு நூலகம்
B．x(x－3xy)
C．x2(1－3xy2)
D．x(x－3y2)
4. 20162－2016不能被下列哪个数整除？( B )
A．a2＋1＝a(a＋
1
)
a
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
探究新知
分解因式的要求：
1.分解的结果最后是积的形式；
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低
于多项式的次数；
3.必须分解到每个因式不能再分解为止
随堂练习
A．6
B．2017
C．2016
D．2015
随堂练习
5.若x2＋3x＋m＝(x＋1)(x＋2)，则m的值为( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
6. 一个多项式分解因式的结果是(b3＋2)(2－b3)，那么
这个多项式是( B )
A．b6－4
B．4－b6
C．b6＋4
D．－b6－4
随堂练习
7. (3a－y)(3a＋y)是下列哪一个多项式因式分解的结果( C )
(2)2a3b2c+4ab3c-abc
=abc·2a2b+abc·4b2-abc·1
=abc (2a2b+4b2-1)
随堂练习
9.将下列各式分解因式

北师大版八年级数学下册第四章因式分解章末复习课件(共42张)

答案 C
章末复习
母题2 (教材P104复习题第1题) 把下列各式因式分解： (1)7x2-63； (2)a3-a； (3)3a2-3b2； (4)y2-9(x+y)2； (5)a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)； (6)x(m+n)-y(n+m)+(m+n)； (7)(x+y)2-16(x-y)2； (8)a2(a-b)2-b2(a-b)2； (9)(x+y+z)2-(x-y-z)2； (10)(x+y)2-14(x+y)+49.
章末复习
相关题1 把下列各式分解因式： (1)5x2-15xy+10xy2； (2)a(x-2)+(2-x)2； (3)2x2y-8xy+8y； (4)(m2+n2)2-4m2n2.
章末复习
解：(1)原式＝5x(x－3y＋2y2)． (2)原式＝(x－2)(a＋x－2)． (3)原式＝2y(x2－4x＋4)＝2y(x－2)2. (4)原式＝(m2＋n2＋2mn)(m2＋n2－2mn)＝(m＋n)2·(m－n)2.
相关题3 求证：不论x取何实数, 多项式-2x4-12x3-18x2的值都不会是正数.
证明：原式＝－2x2(x2＋6x＋9)＝－2x2(x＋3)2. ∵－2x2≤0，(x＋3)2≥0， ∴－2x2(x＋3)2≤0， ∴不论 x 取何实数，原式的值都不会是正数．
章末复习
专题四因式分解的应用
【要点指点】因式分解不仅在数值计算、代数式的化简求值等方面有广泛的应用, 在解决实际问题时也同样重要.通过学习和应用因式分解, 能使我们的视察能力、运算能力、逻辑思维能力、探究能力得到提高．

第4章因式分解-开放与探究：因式分解的六种常见方法习题课件

【点拨】先分组，再利用提公因式法分解因式．原式＝ab(a＋b) －(a＋b)＝(ab－1)(a＋b)．【点拨】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．
分类训练 9．分解因式：x4＋14. 【点拨】本题直接分解因式很困难，考虑到添加辅助项使其符合公式特征，因此将原式添上 x2 与－x2 两项后，便可通过分组使其符合平方差公式的结构特征，从而将原多项式进行因式分解．
浙教版七年级下
第四章因式分解
开放与探究(四) 因式分解的六种常见方法
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1B 2C 3 见习题 4 见习题
5 见习题
6 见习题 7 见习题 8 见习题 9 见习题 10 见习题
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11 见习题 12 见习题 13 见习题 14 见习题
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分类训练 6．分解因式：(x＋3)(x＋4)＋(x2－9)．
解：原式＝(x＋3)(x＋4)＋(x＋3)(x－3) ＝(x＋3)[(x＋4)＋(x－3)] ＝(x＋3)(2x＋1)．
【点拨】解此题时，表面上看不能分解因式，但通过局部分解后，发现有公因式可以提取，从而将原多项式分解因式．
分类训练 7．把下列各式分解因式： (1)x(x＋4)＋4；
分类训练 13．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.
【点拨】这里巧妙地把－5 拆成 4－9.“凑”成(x2－4x＋4)和 (y2－6y＋9)两个整体，从而运用公式法分解因式．
解：原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9) ＝(x－2)2－(y－3)2 ＝(x＋y－5)(x－y＋1)．
分类训练
解：原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2.

八年级数学下册数学第四章因式分解同步串讲课件

【例1】下列各题中，从左式到右式的变形，哪
些是分解因式?哪些不是分解因式?为什么? (1)ａ2＋2ａｂ＋ｂ2＝(ａ＋ｂ)2； (2)ｘ2－3ｘ＋2＝(ｘ－1)(ｘ－2)； (3)(ｘ＋2)(ｘ－1)＝ｘ2＋ｘ－2； (4)ｘ(ｘ＋2)＝ｘ2＋2ｘ； (5)ｘ2－ｙ2＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－ｙ)； (6)ｍ2＋ｍ－4＝(ｍ＋3)(ｍ－2)＋2.
二．因式分解与整式乘法的关系
1. 示例：
两个互逆的过程——
分解因式
（a+b）（a-b）整式乘法
结合：a2-b2
2.
3. 4.ຫໍສະໝຸດ 乘法：积化和差（体现在“乘”上）；因式分解：和差化积（体现在“分解”上）。二者是一个互逆的过程，可以互相验算印证乘法是一种运算；因式分解是为了达到目的进行的一种变形，是解决问题的工具。
；
. ；； .
形如a2+2ab+b2与a2–2ab+b2 的式子称为完全平方式．
注意：完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式
一．利用平方差公式因式分解
1. 2. 3. 公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 特征：左边是两项式，两项符号相反，能写成平方差的形式。文字语言：两数平方的差，等于这两数和与差的乘积。
8a 2c+ 2b c - 4a 3b3 + 6 a2 b - 2ab
- 2x2 –12xy2 +8xy3
第三单元：公式法
填空：
（1）(a+b)(a–b） = ；
（2）(a+b)2=
（3）(a–b)2 = 根据上面式子填空：（1）a2–b2= （2）a2–2ab+b2 = （3）a2+2ab+b2 =

小学数学因式分解课件

帮助学生理解因式分解的概念和原理提高学生运用因式分解解决实际问题的能力培养学生的数学思维和逻辑思维能力激发学生对数学的兴趣和热爱
适用对象
适用人群：小学数学教师和学生
适用年级：小学中高年级
适用课程：数学课程中的因式分解部分
适用目标：掌握因式分解的基本方法和技巧，提高数学解题能力
课件特点
课件使用说明
第七章
操作说明
打开课件：双击课件文件，等待加载完成菜单栏：点击菜单栏，选择相应功能工具栏：使用工具栏按钮，快速执行常用操作内容区：根据需要拖动滚动条查看内容
使用技巧
掌握因式分解的基本概念和原理
熟悉因式分解的常用方法
学会运用因式分解解决实际问题
掌握课件的操作方法和使用流程
内容丰富：涵盖了小学数学因式分解的各个方面，包括定义、原理、方法等。
图文并茂：采用大量的图形和图片，帮助学生更好地理解因式分解的概念和方法。
互动性强：设计了多种互动环节，如小游戏、练习题等，激发学生的学习兴趣和参与度。
易于使用：界面简洁明了，操作方便，适合不同年龄段的小学生使用。
教学内容
第三章
感谢您的观看
汇报人：XX
因式分解的定义
因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式因式分解是数学中的一种基本技能因式分解有助于理解和掌握代数的基本概念和性质因式分解在数学和其他学科中有广泛的应用
因式分解的方法
提公因式法公式法分组分解法十字相乘法
因式分解的步骤
提取公因式
公式法：平方差公式，完全平方公式
课件的设计理念：以生动有趣的方式呈现因式分解的知识点，通过丰富的互动和实例帮助学生理
解和掌握。

因式分解ppt课件

因式分解
根据左面的算式填空: (1) 3x2-3x=_______ (2) m2-16=__________ (3) y2-6y+9=______ (4) ma+mb-mc=
归纳小结
想一想因式分解与整式乘法有什么关系？
整式积的形式整式乘法
整式乘法因式分解
互逆运算
多项式因式分解
典例精析
例1 若多项式 ax+B可分解为a(x+y)，则B等于( )
第四章因式分解
第一节因式分解
温故知新
一、用简便方法计算
（1）66×42- 42×6
（2）16.9× 1 +15.1× 1
8
8
探索一：因式分解的概念
993-99能被100整除吗？
乘法对加法分配律Βιβλιοθήκη 逆用解：993-99=99×992-99×1 =99×(992-1) =99×9800 =99×100×98
8
8
5.若多项式2x2+mx+n分解因式的结果为(2x-2)(x+3) 求m，n的值。
能力提升
6:仔细阅读下面的例题,并解答问题
例题:已知二次三项式x2-4x+m有一个因式为x十3，求另
一个因式及m的值
解:设另一个因式为x+n,则x2-4x+m=(x+3)(x+n)
即:x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n.
在这里，解决问题的关键是把一个数式化成几个数的积的形式。
所以，993-99能被100整除. 想一想: 993-99还能被哪些整数整除?
探索一：因式分解的概念
议一议你能尝试把

2020年北师大版八年级数学下册第四章因式分解复习课件

上课要求：眼到手到心到
数学是打开科学大门的钥匙。 ——培根
第四章因式分解复习
北师大版八年级下册
知识回顾
因式分解定义:
把一个多项式化成几个整式积的形式, 这种变形叫做把这个多项式分解因式.
想一想: 分解因式与整式乘法有何关系? 分解因式与整式乘法是互逆过程
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?
=(2m+2n+m-n)(2m+2n-m+n) =(3m+n)(m+3n)
思考：如何运用完全平方公式分
解下列因式？
5、1
1 4
m2
3mn
9n2
原式（ =
1 2
m）2 +3mn+（3n）2
( 1 m 3n)2 2
(2)a b2 6a b 9
原式（ = a b）2 -2 3(a+b)+32
(5答)a案2－：4a（b+3）4b2（=(5a）－2b)2
➢我们学习了哪些因式分解的方法？
1、提取公因式法
2、运用公式法
平方差公式完全平方公式
➢提取公因式的时候我们应该注意什么问题？
提取多项式中各项相同整式的最低次幂
复习提高
1、8a3b2 12ab3c ab
ab 8a2b ab 12b2 ab 1 ab(8a2b 12b2c 1)
（ a b） 32
创新训练：
6、关于x的多项式2x2－11x＋m分解因式后有一个因式是x－3，试求m的值。
解：令原式＝（x－3）A。当x＝3时，右边＝0，把x＝3代入左式应有2×3 －112×3＋m＝0，故m＝15。
7、已知a为正整数，试判断a＋2 a是奇数还是偶数，请说明理由。

浙教版初中数学第四章小结 (共13张PPT)

(1)x－y=－(y－x) (3)(x－y)3=－(y－x)3 (2)(x－y)2= (y－x)2 (4)－x－y=－(x+y) Nhomakorabea)
例：因式分解：
4x 2x 2 解:原式= 2 x( x 2 x 1) 2 2 x( x 1)
3 2
1.2x
点评:
1、因式分解前注意观察式子的特点。 2、能提公因式的必须先提公因式，否则题目不能分解。 3、因式分解必须彻底，括号内不能分解为止。 4、运用公式法时，关建是找出“a”和“b”。
D
)
1 1 2 1 D. 2a 2 - 1 （ 2 a - ）（ 2 a ） (a ) 2 4 2 2
2、已知：x2+y2+6x-4y+13=0, 求x,y的值；
3.计算
1、(-2)2014+(-2)2015
1 2009 1 2008 ( ) ( ) 2、 2 2
3、 2005+20052-20062 4、3992+399
±8 4、已知x2-8x+m2是完全平方式，则m=_____ 5、如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那么 ±4 a+b=_____
1、计算(-2)2008+(-2)2009
1 2009 1 2008 ( ) ( ) 2、计算： 2 2
3、计算: 2005+20052-20062 4、计算: 3992+399
拓展延伸
4 、已知a+b=5 ，ab= -2，求（1）a2+b2 （2）a-b
a2+b2=(a+b)2-2ab
(a-b)2=(a+b)2-4ab

北师大版八年级下册数学《提公因式法》因式分解培优说课教学复习课件

(6)mn(m－n)－m(n－m)2
＝mn(m－n)－m(m－n)2
＝m(m－n)[n－(m－n)]
＝m(m－n)(n－m＋n)
＝m(m－n)(2n－m)．
课堂小结
确定公因式的方法：三定，
公因式为
多项式
因式
分解
注
意
即定系数；定字母；定指数
分两步：（整体思想）
第一步找公因式；第二步提
公因式
1.分解因式是一种恒等变形；
C．x＋y
D．x－y
导引：因为y－x＝－(x－y)，所以若将－b(y－x)转
化为＋b(x－y)，则多项式出现公因式x－y，
由此可确定剩余的因式．
归纳总结
1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一
个多项式的形式.
2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
练一练
把下列各式因式分解：
（1） x(a+b)+y(a+b)
(2)3a(x－y)－(x－y)＝(x－y)(3a－1)．
(3)6(p＋q)2－12(q＋p)＝6(p＋q)(p＋q－2)．
(4)a(m－2)＋b(2－m)＝a(m－2)－b(m－2)
＝(m－2)(a－b)．
(5)2(y－x)2＋3(x－y)＝2(x－y)2＋3(x－y)
＝(x－y)[2(x－y)＋3]＝(x－y)(2x－2y＋3)．
(n是奇数）
(2) a+b与b+a 相等.
(a+b)n = (b+a)n
(n是整数）
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”
号，使等式成立：
－
(1) (a-b) =___(b-a);

北师大版八年级数学下册第四章《4.1 因式分解(1)》公开课课件

练习三拓展应用
1. 计算: 7652×17－2352 ×17 解: 7652×17－2352 ×17 =17(7652 －2352)=17(765+235)(765 －235) =17 ×1000 ×530=9010000
2. 20042 +2004 能被2005 整除吗?
解: ∵20042+2004=2004(2004+1)
• 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
• 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/292021/7/29July 29, 2021
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/29
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 • 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 • 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 • 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021