人教版必修四同角三角函数的基本关系教案

1.2.2同角三角函数的基本关系（2）

教学目的：

知识目标：根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明；

能力目标：（1）了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。

（2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力；

德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；

教学重点：同角三角函数的基本关系式

教学难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。

授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学.

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．同角三角函数的基本关系式。

（1）倒数关系：sin csc 1αα⋅=，cos sec 1αα⋅=，tan cot 1αα⋅=．

（2）商数关系：

sin tan cos ααα

=，cos cot sin ααα=． （3）平方关系：22sin cos 1αα+=，221tan sec αα+=，221cot csc αα+=．

（练习）已知tan α43=，求cos α 2．tan αcos α= ，cot αsec α= ，（sec α+tan α）·（ ）=1

二、讲解新课：

例1．化简21sin 440-． 解：原式221sin (36080)1sin 80=-+=-2cos 80cos80==．

例2．化简12sin 40cos40-． 解：原式22sin 40cos 402sin 40cos40=+-

2(sin 40cos40)|cos40sin 40|cos40sin 40=-=-=-．

例3、已知α=αcos 2sin ，求

的值。及αα+αα+αα-αcos sin 2sin cos 2sin 5cos 4sin 2 解：2tan cos 2sin =α∴α=α

6

11222tan 54tan cos 2sin 5cos 4sin -=-=+α-α=α+αα-α∴ 5614241

tan tan 2tan cos sin cos sin 2sin cos sin 2sin 222222=++=+αα+α=α+ααα+α=αα+α 强调（指出）技巧：1︒分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式

2︒“化1法”

例4、已知3

3cos sin =α+α，求的值。及α-αα+αcos sin cot tan 解：将 33cos sin =

α+α 两边平方，得：31cos sin -=αα

3cos sin 1

cot tan -=αα=α+α∴

35

321cos sin 21)cos (sin 2=+=αα-=α-α 315

cos sin ±=α-α∴

例5、已知,1225

cot tan =α+α

α+αα+αα-αα-αcos sin ,cot tan ,cot tan ,cot tan 3322求

解：由题设： ,2144625

cot tan 22-=α+α

∴ 127

4144625

cot tan ±=-±=α-α

144175

)127(1225)cot )(tan cot (tan cot tan 22±=±⨯=α-αα+α=α-α 1728

48251441931225)1144337(1225

)

cot tan cot )(tan cot (tan cot tan 2233=⨯=-⨯=αα-α+αα+α=α+α

57

2512

21cos sin 21cos sin ±=⨯+±=αα+±=α+α (2512

cos sin 1225

cos sin 1

cot tan =αα∴=αα=α+α )

例6、已知)0(51

cos sin π<θ<=α+α，求的值。及θ-θθ33cos sin tan

解：1︒ 由),2(0cos ,0,2512

cos sin ππ

∈θ∴<θπ<θ<-=αα得：

由57

cos sin ,2549)cos (sin 2=θ-θ=α-α得：

联立：34t a n

53c o s

54

s i n

57c o s s i n 51c o s s i n -=θ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=θ=θ⇒=θ-θ=θ+θ

2︒ 12591

)53()54(cos sin 3333=--=θ-θ

例7、已知是第四象限角，α+-=α+-=α,53

cos ,524sin m m m m 求的值。

αtan

解：∵sin 2α + cos 2α = 1 ∴1)53()524(2

2=+-++-m m m m

化简，整理得：8,00)8(21==∴=-m m m m

当m = 0时，是第四象限角不合）与，α-=α=α(53

cos ,54

sin

当m = 8时，512

tan 135cos ,1312sin -=α∴=α-=α，

三、巩固与练习

1：已知12 sin α+5 cos α=0，求sin α、cos α的值.

解：∵12 sin α+5 cos α=0 ∴sin α=125

- cos α，又1cos sin 22=+αα 则（125

- cos α）2+α2cos =1，即α2cos =169144

∴cos α=±1312 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===-=13

12

cos 135sin 1312cos 135sin αααα或 2.已知3tan =α，求（1）ααα

αsin 3cos 5cos 2sin 4+-；原式=75

（2）αααα22cos 3cos sin sin 2-+；原式=59

说明：（1）为了直接利用3tan =α，注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以αcos ,将分子、分母转化为αtan 的代数式；

（2）可利用平方关系1cos sin

22=+αα，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化归为αtan 的分式

求值； 3 .cos 9sin 8)2(;sin 7cos 6sin 5cos 4)1(,41)3(cos sin ,51cos sin )2(sin sin )1(22232222x x x

x x x ctgx x x x x A A tg A A tg -+-=-=-⋅=-求求设 A

A A A tgA ctgA x x x x x x sin sec cos sin )5(cos sin 1cos sin 1)4(10cos 10cos 10sin 210sin )3(9

cos 6cos )2(130sec )1()4(2266442222+------︒

+︒︒-︒+--︒化简 4.已知sec α—tg α=5，求sin α。

解1：∵sec α—tg α=5=5×1=5（sec2α—tg2α）=5（sec α+tg α）（sec α—tg α），故 sec α+tg α=1/5， 则sec α=13/5，tg α=—12/5；sin α=tg α·cos α=1312-

解2：由已知：0cos ,1sin ,5cos sin 1>∴≤=-ααα

α 则13

12sin ,1sin sin 15sin 12-==⇒-=-ααααor 5.已知1sin sin 2=+θθ，求θθ6

2cos cos +值；