人教版必修四同角三角函数的基本关系教案
最新人教A版数学必修4第一章1.2.2 同角三角函数基本关系 教案

同角三角函数的基本关系(教案)一、教学目标:1.知识与能力理解同角三角函数的基本关系式,会用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与证明.2.过程与方法通过在单位圆中构造出以任意角的正弦线、余弦线为直角边的直角三角形得出三角函数基本关系式.3.情感、态度与价值观培养学生用数形结合思想方法解决问题的能力.二、教学重点:同角三角函数的基本关系式的推导及其应用(求值、化简、恒等式证明).三、教学难点:关系式在解题中的灵活运用和对学生思维灵活性的培养.四、教学方法与手段:本节主要涉及到两个公式,均由三角函数定义和勾股定理推出.在教学过程中,要注意引导学生理解每个公式,懂得公式的来龙去脉,并灵活运用.要给堂,把方法带进课堂,充分发挥学生的主体作用.五、教学过程:【探究引入】思考1:如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P,那么,正弦线MP和余弦线OM的长度有什么内在联系?由此你能得到什么结论?分析:22MP OM +=2cos 1α+=.思考2:上述关系反映了角α的正弦和余弦之间的内在联系,根据等式的特点,将它称为平方关系.那么当角α的终边在坐标轴上时,上述关系成立吗? 分析:当角α的终边在坐标轴上时,上述关系也成立.思考3:设角α的终边与单位圆交于点 P (x ,y ),根据三角函数定义,有tan (0)yx x α=≠, 由此可得sin α、cos α、tan α之间满足什么关系? 分析:sin tan cos ααα=.思考4:上述关系称为商数关系,那么商数关系成立的条件是什么? 分析:()2a k k Z ππ≠+∈.【讲授新课】1.同角三角函数基本关系: (1)平方关系:22sin cos 1αα+=; (2)商数关系:sin tan cos ααα=,()2a k k Z ππ≠+∈. Ⅰ、【新知理解训练】判断以下等式是否恒成立: ①()22sin cos 1;αβαβ+=≠②22sin cos 122αα+=; ③sin 2tan 2.cos 2ααα= Ⅱ、说明:①注意这里“同角”有两层含义,一是“角相同”;二是对“任意”一个角(在使得函数有意义的前提下)关系式都成立.②2sin α是()2sin α的简写,读作“sin α的平方”,不能写成“2sin α或sin 2α”.③对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用(正用、逆用、变形用),如:22sin 1cos αα=-, cos α=()212sin cos sin cos αααα±⋅=±sin cos tan ααα=,sin cos tan ααα=⋅. 2、典型例题 题型一、化简 例1. 化简下列各式:(1)2422sin cos sin cos ββββ++; (2 )222cos 112sin αα--.分析:(1)一提取公因式2cos β,便“柳暗花明”;(2)逆用平方关系:式子中的“1”用22"sin cos "αα+一代,结果不打自招. 解:(1)原式=()222222sin cos cos sin sin cos 1.ββββββ++=+=(2)原式=()22222222222cos sin cos cos sin 1.sin cos 2sin cos sin αααααααααα-+-==+-- 【点评】灵活运用平方关系、商数关系及其变式是解决化简问题的灵丹妙药. 变式训练:化简下列各式: (1)()221tan cos αα+⋅(2) 1sin cos 2sin cos 1sin cos αααααα+--⋅+-.答案:(1)1; (2)sin cos αα-.题型二、已知一个三角函数值,求另外两个三角函数值(简称“知一求二”) 例2.(1)已知12sin 13α=,并且α是第二象限角,求cos ,tan αα. (2)已知4cos 5α=-,求sin ,tan αα.分析:由已知条件和sin α的值可依平方关系求得cos α的值,再由商数关系可求得tan α的值,但不知α所在象限时要对α所在象限进行分类讨论. 解:(1)∵22sin cos 1αα+=, ∴2222125cos 1sin 1()()1313αα=-=-=,又∵α是第二象限角,∴cos 0α<,即有5cos 13α=-,从而sin 12tan cos 5ααα==-. (2)∵22sin cos 1αα+=, ∴222243sin 1cos 1()()55αα=-=--=,又∵4cos 05α=-<,∴α在第二或三象限.①当α在第二象限时,即有sin 0α>,从而3sin 5α=,sin 3tan cos 4ααα==-;②当α在第四象限时,即有sin 0α<,从而3sin 5α=-,sin 3tan cos 4ααα==.【点评】三角函数的结果都要用分情况叙述的形式表达出来,而不用cos a α=±或sin b α=±或tan c α=±的书写形式,因为三角函数值的符号受限制,不是无条件的,这不同于“由21x =可以推出1x =±”的情形.变式训练:《中》191P -变.(07全国Ⅰ)已知α是第四象限角,5tan 12α=-,则sin α等于( D ) A.15B.15- C.513D.513- 六、板书设计1.同角三角函数基本关系:(1)平方关系.(2)商数关系.2、题型一、化简例1.变式训练:3、题型二、知一求二例2.变式训练:七、小结1. 同角三角函数基本关系及其变式.2. 化简.3. 求值:①知一求二;②弦化切.八、作业课本第20页练习题第2题,22页B组第2、3题.九、教学后记本节真正体现“高、大、优”的课堂教学特色,但内容多、时间紧,要合理安排、讲练结合.。
《同角三角函数的基本关系式》 说课稿

《同角三角函数的基本关系式》说课稿尊敬的各位评委、老师:大家好!今天我说课的内容是《同角三角函数的基本关系式》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析本节课选自人教版高中数学必修 4 第一章第三节,同角三角函数的基本关系式是三角函数中的重要内容,它是三角函数恒等变形的基础,也是解决三角函数问题的重要工具。
通过本节课的学习,学生将进一步理解三角函数的定义,掌握三角函数之间的内在联系,为后续学习三角函数的化简、求值以及证明等内容奠定基础。
二、学情分析在学习本节课之前,学生已经掌握了任意角的三角函数的定义,具备了一定的函数知识和代数运算能力。
但对于三角函数之间的关系,学生还缺乏系统的认识和理解。
此外,由于三角函数的概念较为抽象,学生在学习过程中可能会遇到一些困难,需要教师通过引导和启发,帮助学生逐步掌握。
三、教学目标1、知识与技能目标(1)理解同角三角函数的基本关系式:平方关系和商数关系。
(2)能够运用基本关系式进行三角函数的化简、求值和证明。
2、过程与方法目标(1)通过对关系式的推导和证明,培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力。
(2)通过例题和练习,让学生体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学研究方法。
3、情感态度与价值观目标(1)激发学生学习数学的兴趣,培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
(2)通过合作学习,培养学生的团队合作意识和交流能力。
四、教学重难点1、教学重点同角三角函数的基本关系式及其应用。
2、教学难点(1)关系式的推导和证明。
(2)灵活运用关系式解决三角函数的化简、求值和证明问题。
五、教法与学法1、教法(1)讲授法:讲解同角三角函数的基本关系式及其推导过程,使学生掌握基本概念和方法。
(2)启发式教学法:通过设置问题,引导学生思考和探索,培养学生的思维能力。
(3)练习法:通过例题和练习,让学生巩固所学知识,提高应用能力。
高中数学 1.2.2《同角三角函数的基本关系》教案人教版必修4

1.2.2同角三角函数的基本关系
教学目标:
⒈理解同角三角函数的基本关系式,会用解方程组的通法求三角函数值;
2.培养运用数形结合的思想解决有关求值问题;培养学生思维的灵活性及思维的深化;在恒等式证明的教学过程中,注意培养学生分析问题的能力,从而提高逻辑推理能力.
3.通过对同角三角函数的基本关系式的学习,揭示事物间的普遍联系规律,培养辨证唯物主义思想。
教学重点:同角三角函数的基本关系式的推导及应用(求值、化简、恒等式证明)
教学难点:关系式在解题中的灵活运用和对学生思维灵活性的培养.
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教具:多媒体、实物投影仪
教学方法:
本节主要涉及到两个公式,均由三角函数定义和勾股定理推出.在教学过程中,要注意引导学生理解每个公式,懂得公式的来龙去脉,并能灵活运用。
要给学生提供展示自己思路的平台,营造自主探究解决问题的环境,把鼓励带进课堂,把方法带进课堂,充分发挥学生的主体作用.
教学过程:。
《同角三角函数的基本关系》教案-公开课-优质课(人教A版必修四精品)

《同角三角函数的基本关系》教案教学目标:1. 通过三角函数定义,导出同角三角函数的基本关系,并能运用同角三角函数的基本 关系进行三角函数的化简和证明.2. 同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用:(1)求值(知一求二);(化简三角函数式);(2)证明三角恒等式,通过本节的学习,学生应明了如何进行三角函数式的化简于三角 恒等式的证明.3. 通过同角三角函数关系的应用是学生养成探究、分析的习惯,提高三角恒等式等变形 的能 力,树立转化与化归的思想方法.教学重点难点:教学重点:课本的两个公式的推导及应用.教学难点:课本的两个公式的推导及应用.教学过程导入新课思路:先请学生回忆任意角的三角函数定义,然后引导学生先计算后观察以下各题的结果,并鼓励学生大胆进行猜想,教师点拨学生能否用定义给予证明,由此展开新课. 计算下列各式的值:()()()2222sin 301sin 90+cos 90= 2sin 30+cos 30= 3=cos 30︒︒︒︒︒︒一、复习引入:1.任意角的三角函数定义:设角α是一个任意角,α终边上任意一点(,)P x y ,它与原点的距离为(0)r r ==>,那么:sin y r α=,cos x r α=,tan y xα=, 2.当角α分别在不同的象限时,sin α、cosα、tan α的符号分别是怎样的?3.背景:如果53sin =A ,A 为第一象限的角,如何求角A 的其它三角函数值; 4.问题:由于α的三角函数都是由x 、y 、r 表示的,则角α的三个三角函数之间有什么关系?二、讲解新课:(一)同角三角函数的基本关系式:1.由三角函数的定义,我们可以得到以下关系:(1)商数关系:sin tan cos ααα= (2)平方关系:22sin cos 1αα+=说明:①注意“同角”,至于角的形式无关重要,如22sin 4cos 41αα+=等;②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的,如sin tan (,)cos 2k k Z απααα=≠∈; ③对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用(正用、反用、变形用),如:cos α= 22sin 1cos αα=-, sin cos tan ααα=等. 2.例题分析:一、求值问题例1.(1)已知12sin 13α=,并且α是第二象限角,求cos ,tan αα. (2)已知4cos 5α=-,求sin ,tan αα. 解: (1)∵22sin cos 1αα+=, ∴2222125cos 1sin 1()()1313αα=-=-= 又∵α是第二象限角, ∴cos 0α<,即有5cos 13α=-,从而 sin 12tan cos 5ααα==-, 15cot tan 12αα==-(2)∵22sin cos 1αα+=, ∴222243sin 1cos 1()()55αα=-=--=, 又∵4cos 05α=-<, ∴α在第二或三象限角. 当α在第二象限时,即有sin 0α>,从而3sin 5α=,sin 3tan cos 4ααα==-; 当α在第四象限时,即有sin 0α<,从而3sin 5α=-,sin 3tan cos 4ααα==. 总结: 1. 已知一个角的某一个三角函数值,便可运用基本关系式求出其它三角函数值。
同角三角函数的基本关系教案

同角三角函数的基本关系教案教案:同角三角函数的基本关系教学目标:1.理解同角三角函数的概念和性质。
2.掌握同角三角函数之间的基本关系式。
3.能够灵活运用同角三角函数的基本关系进行计算和证明。
教学重点:教学难点:教学准备:教材、白板、彩色笔。
教学过程:Step 1:引入概念(10分钟)1.引导学生回顾正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和性质。
2.提问:是否存在一个三角函数,它的值恰好是一个角的正弦值的倒数?反余弦的倒数?正切的相反数?引出同角三角函数的概念。
Step 2:同角三角函数的定义和性质(20分钟)1.讲解同角三角函数的定义:正割函数、余割函数、余切函数。
2.指导学生进行练习,求特定角的正割值、余割值和余切值。
3.总结同角三角函数的定义和性质,并进行板书记录。
Step 3:同角三角函数的基本关系(30分钟)1.引导学生根据同角三角函数的定义,设获得正弦函数、余弦函数和正切函数的倒数的关系式,并进行推导。
2.引导学生利用同角三角函数的定义,进一步推导同角三角函数之间的基本关系式,并进行证明。
3.提醒学生注意数学符号的运用,确保表述的准确性。
4.分步解释和板书同角三角函数的基本关系。
Step 4:经典例题演练(30分钟)1.带领学生进行同角三角函数的基本关系的例题演练,注重每一步计算过程的意义和结果的解释。
2.引导学生归纳总结同角三角函数的基本关系式,并进行笔记整理。
Step 5:综合案例分析(20分钟)1.给出一个综合案例,要求学生结合所学的同角三角函数的基本关系进行证明和计算。
2.引导学生合理安排解题思路,按照步骤进行推导和计算。
3.引导学生进行思考和讨论,根据解题过程中出现的问题和困难进行解释和总结。
4.学生互相讨论和交流解题思路和方法。
Step 6:课堂小结(10分钟)1.整理同角三角函数的基本关系的要点。
2.概述同角三角函数的应用领域和意义。
拓展延伸:1.探究其他同角三角函数之间的关系,如正割函数和余割函数的关系等。
数学《同角三角函数的基本关系》教案

数学《同角三角函数的基本关系》教案教案:同角三角函数的基本关系一、教学目标:1.理解同角三角函数的概念及意义。
2.掌握正弦、余弦和正切函数之间的基本关系。
3.能够在给定角度范围内计算同角三角函数的值。
二、教学重点与难点:1.理解同角三角函数的概念及意义。
2.掌握正弦、余弦和正切函数之间的基本关系。
三、教学准备:1.教材、课件、黑板、粉笔。
2.学生课前复习笔记。
四、教学过程:1.引入(10分钟)教师可通过提问的方式引导学生复习和回忆上节课所学的三角函数概念及性质,例如:“什么是三角函数?它们有什么特点?”2.概念讲解(10分钟)教师介绍同角三角函数的概念和意义,同角三角函数是以角度的大小和方向为自变量,以比值为因变量的一类函数。
其中,正弦函数、余弦函数和正切函数是最常用和基础的三角函数。
通过图示的方式向学生展示正弦函数、余弦函数和正切函数的形象及它们之间的关系。
3.基本关系的推导(15分钟)3.1正弦函数与余弦函数的基本关系:教师指导学生通过绘制各象限内角度相同的锐角三角形,并利用其定义推导出正弦函数和余弦函数的基本关系:sin^2θ + cos^2θ = 13.2正切函数与正弦函数、余弦函数的基本关系:教师指导学生通过绘制直角三角形,利用其定义推导出正切函数、正弦函数和余弦函数的基本关系:tanθ = sinθ / cosθ。
4.同角三角函数的计算及性质(25分钟)4.1计算角度对应的三角函数值:教师引导学生通过练习,掌握计算给定角度对应的正弦、余弦和正切函数值的方法和技巧。
4.2使用同角三角函数的性质:教师讲解同角三角函数的周期性和奇偶性,并指导学生根据这些性质简化计算,例如,sin(180° + θ) = -sinθ,cos(π + θ) = -cosθ,等等。
5.练习与巩固(20分钟)教师提供一系列基础练习题,让学生在课堂上进行计算和解答,以巩固所学的同角三角函数的基本关系和计算方法。
新人教版高中数学必修四《同角三角函数的基本关系》教学设计

教学设计一、教学目标1、知识与技能目标(1)能根据三角函数的几何、代数定义导出同角三角函数的基本关系式;(2)掌握同角三角函数的两个基本关系式,并能够根据一个角的三角函数值,求这个角的其他三角函数值。
2、过程与方法目标(1)牢固掌握同角三角函数基本关系式,并能灵活解题,提高学生分析、解决三角函数的思维能力;(2)探究同角三角函数关系式时,体会数形结合的思想:已知一个角的三角函数值,求其他三角函数值时,进一步树立分类思想:解题时,注重化归的思想,将新题目化归到已经掌握的知识点上;(3)通过对知识的探究,掌握自主学习的方法,通过学习中的交流,形成合作学习的习惯。
3、情感、态度、价值观目标通过教学,使学生学习运用观察、类比、数形结合、联想、猜测、检验等合情推理的方法,提高学生的运算能力和逻辑推理能力。
二、教学重点和难点教学重点:公式1cos sin 22=+αα和αααtan cos sin =的推导及其应用 教学重点:同角三角函数的基本关系式的变式应用三、教学流程(一)情境引入“物以类聚,人以群分”研究的“同类”是同一个角的正弦、余弦和正切。
由数形结合,从单位圆中三角函数线长度的内在联系,以及任意角三角函数定义引出同角三角函数的基本关系。
(二)探究新知(1)利用三角函数线,借助勾股定理,得出同角三角函数的两弦之间的关系,即平方关系1cos sin 22=+αα。
(2)探究正弦、余弦、正切之间的关系,即商数关系αααtan cos sin =。
(三)关系式的应用(1)判断题深化对公式的理解(2)例1.已知的值、是第三象限角,求,且ααααtan cos 53-sin =变式1.解答?,其他条件不变,怎么,换成将54-cos 53-sin ==αα 变式2.件怎么下手?是第三象限角”这个条去掉“α(分类讨论数学思想)例2. 的值、,求已知ϕϕϕcos sin 3-tan =(学生板演)例3. 求证:ααααcos sin 1sin -1cos += 学生小组讨论,共同探究尽可能多的证明思路。
人教版数学必修四《1.2.2同角三角函数的基本关系(第一课时)》课程教学设计

《1.2.2同角三角函数的基本关系(第一课时)》教学设计一、指导思想与理论依据以学生为本,学生是学习的主体。
核心素养就是一个人在复杂情境中解决问题的能力和品质,是学习个体在与情境的互动中不断解决问题、产生新问题的过程中逐步养成的,在教学中以知识为载体,以学生发展为目标,精心设计系列探究活动,给学生更多尝试、探究发现机会,从学生数学知识发生发展过程的合理性,从学生思维过程的合理性上思考,从学生已有的知识出发,以新旧知识的连接点为教学起点,感受学习数学的乐趣,落实学科素养。
二、教学背景分析1.本课在教材中的地位本课是《普通高中课程标准实验教材A版▪必修4》第一章第二节的内容。
同角三角函数是学生学习了任意角和弧度值,任意角的三角函数后,继续深入学习的内容,是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具,是整个三角函数的基础,在教材中起着承上启下的作用。
同时,它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中都有着重要的作用。
所以本节课的重点是同角三角函数基本关系式及在求值、证明中的应用上。
2.学生学情学生从认知角度上看,已经比较熟练的掌握了三角函数定义的两种推导方法,从方法上看,学生已经对数形结合,猜想证明有所了解。
从学习情感方面看,大部分学生愿意主动学习。
从能力上看,学生主动学习能力、合作探究的能力较弱。
三、教学目标的确定及依据1.知识与技能目标:通过观察猜想出两个公式,运用数形结合的思想让学生掌握公式的推导过程,理解同角三角函数的基本关系式,掌握基本关系式在两个方面的应用:(1)已知一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值;(2)证明简单的三角恒等式。
2.过程与方法:培养学生观察——猜想——证明的科学思维方式;通过公式的推导过程培养学生用旧知识解决新问题的思想;通过求值、证明来培养学生逻辑推理能力;通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。
3.情感、态度与价值观:经历数学研究的过程,体验探索的乐趣,增强学习数学的兴趣。
人教版必修四1.2.2同角三角函数的基本关系教案

1.2.2同角三角函数的基本关系(3)教学目的:知识目标:根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明;能力目标:(1)了解已知一个三角函数关系式求三角函数(式)值的方法。
(2)灵活运用同角三角函数关系式的不同变形,提高三角恒等变形的能力;德育目标:训练三角恒等变形的能力,进一步树立化归思想方法;教学重点:同角三角函数的基本关系式教学难点:如何运用公式对三角式进行化简和证明。
授课类型:新授课教学模式:启发、诱导发现教学.教 具:多媒体、实物投影仪教学过程:一、复习引入:1.同角三角函数的基本关系式。
(1)倒数关系:sin csc 1αα⋅=,cos sec 1αα⋅=,tan cot 1αα⋅=.(2)商数关系:sin tan cos ααα=,cos cot sin ααα=. (3)平方关系:22sin cos 1αα+=,221tan sec αα+=,221cot csc αα+=.(练习)已知tan α43=,求cos α 2.tan αcos α= ,cot αsec α= ,(sec α+tan α)·( )=1二、讲解新课:例82tan α=-,试确定使等式成立的角α的集合。
=|1sin ||1sin |cos ||cos |αααα+-- =1sin 1sin |cos |ααα+-+=2sin |cos |αα.2tan α-=-, ∴2sin |cos |αα2sin 0cos αα+=, 即得sin 0α=或|cos |cos 0αα=-≠. 所以,角α的集合为:{|k ααπ=或322,}22k k k Z πππαπ+<<+∈. 例9.化简(1cot csc )(1tan sec )αααα-+-+.解:原式=cos 1sin 1(1)(1)sin sin cos cos αααααα-+-+ 2sin cos 1cos sin 11(sin cos )sin cos sin cos αααααααααα-+-+--=⋅=⋅112sin cos 2sin cos αααα-+⋅==⋅. 说明:化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点:(1)所含三角函数的种类最少;(2)能求值(指准确值)尽量求值;(3)不含特殊角的三角函数值。
同角三角函数的基本关系 说课稿 教案 教学设计

同角三角函数的基本关系一.学习目标(1)知识与技能:任意同角三角函数的基本关系及其变形的推导过程,利用基本关系及其变形解决相关问题.(2)过程与方法:通过基本关系及其变形的推导、证明,培养学生推理论证能力,建构学生数学思想,提升数学思维能力;通过基本关系及其变形的应用提高学生运算能力和分析解决问题的能力.(3)情感态度与价值观:培养学生积极参与大胆探索的精神;让学生通过自主学习体验学习的成就感,培养学生学习数学的兴趣和信心.二.教材分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学必修4》第1.2.2节,课型为新授课,所用的教材为人民教育出版社A版,课时安排为1课时,所用教具主要为多媒体、实物投影仪.本节课是在完成了任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义、符号表示及定义域、三角函数在各象限的符号等教学之后进行的.是对前面三角知识的延续,同时为后续进行三角函数相关内容打下重要基础.因此本节内容具有承前启后的作用.另外,本节内容是三角函数部分的重要内容,是三角计算的基础.三.学情分析学生已学习了任意角的三角函数定义,这为本节课学习奠定了必要的知识探究基础.学生已具备了一定的数学推理论证能力,并能进一步猜想、探讨和证明,为本节课的学习奠定了良好的思想基础和能力基础.所以同角三角函数关系式在解题中的灵活选取及使用时由函数值正负号的选取而导致的角的范围的分类讨论是本节课的一个难点.四.重点、难点教学重点:同角三角函数的基本关系及其变形、作用、应用;教学难点:同角三角函数的基本关系式变形应用.五.教法特点及预期效果分析教学模式以启发、诱导教学为主.本节教学从抛出问题,引发学生思考,探究知识开始,到公式在使用时应该注意的问题,再到例题的多种不同解法,直至最后的小结归纳的过程,均由学生通过独立思考和讨论共同完成,真正体现以学生为主体的教学理念.在教学过程中,教师的作用是把握教学重难点、教学流程,对学生探究的结果进行归纳总结,对学生不同的解法进行提炼,帮助学生理清思维“脉络”.本节课要求学生多研究、多动脑、多动手、多体会,学生是演员,是参与者,学生应该有一定兴趣.但另一方面,因为让学生说得较多,对口头表达能力有一定欠缺的同学可能形成一定的心理压力.因此,有可能形成课堂气氛不够活跃的情况。
122同角三角函数的基本关系第一课时(教学设计...

1.2.2《同角三角函数的基本关系》——第一课时(教学设计)一、教材分析1、教材的地位和作用:《同角三角函数的基本关系》是高中新教材人教A版必修4第1章1.2.2的内容,本节内容是学习了三角函数定义后,安排的一节继续深入学习的内容,是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具,是整个三角函数的基础,在教材中起承上启下的作用。
同时,它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。
2、教学目标根据大纲要求,考虑到学生的接受能力和课容量,确定了本次课的教学目标:A、知识与技能目标:通过观察猜想出两个公式,运用数形结合的思想让学生掌握公式的推导过程,理解同角三角函数的基本关系式,掌握基本关系式在两个方面的应用:1)已知一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值;2)证明简单的三角恒等式。
B、过程与方法:培养学生观察——猜想——证明的科学思维方式;通过公式的推导过程培养学生数形结合的思想;通过求值、证明来培养学生逻辑推理能力;通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。
C、情感、态度与价值观:经历数学研究的过程,体验探索的乐趣,增强学习数学的兴趣。
3、教学重点和难点根据《课程标准》,我将本节课的教学重点确立为:重点:同角三角函数基本关系式的推导及应用。
教学上结合我校学生真实情况我将本节课的教学难点确立为:难点:1)对于“同角”的理解;2)角α二、教学流程本节的教学流程由以下几个环节构成三:教学设计:四、教法分析在前节课的学习中,学生已经理解了任意角三角函数的定义,并且从图像与公式上应该有所发现,这节内容则是对他们直观感觉上的理解进行系统的研究,在这节课上我主要采用了以下的教法:(1)“引导—探究式”教学方法。
在引入公式方面,我通过几个特殊角三角函数值之间的关系,引导学生逐步猜想出公式,进而形成认识。
再从理论出发,结合图像与定义,证明两个公式的正确性,培养了学生观察——猜想——证明的科学分析方法。
同角三角函数的基本关系教案

同角三角函数的基本关系教案教案标题:同角三角函数的基本关系教学目标:1. 理解同角三角函数的定义及其基本关系。
2. 掌握同角三角函数之间的基本关系公式。
3. 能够运用同角三角函数的基本关系解决相关问题。
教学准备:1. 教师:黑板、白板、彩色粉笔/白板笔、教学投影仪。
2. 学生:教科书、笔记本、计算器。
教学过程:步骤一:导入新知1. 引入同角三角函数的概念,解释其在几何图形中的应用。
2. 提问学生是否了解正弦、余弦和正切函数,以及它们之间的关系。
步骤二:同角三角函数的定义及基本关系1. 介绍正弦、余弦和正切函数的定义,并在黑板上绘制三角函数的单位圆图。
2. 解释同角三角函数之间的基本关系:- 正弦函数:sinθ = 对边/斜边- 余弦函数:cosθ = 邻边/斜边- 正切函数:tanθ = 对边/邻边3. 强调同角三角函数之间的关系:sinθ/cosθ = tanθ,以及1 + tan²θ = sec²θ 和1 + cot²θ = csc²θ。
步骤三:同角三角函数的基本关系公式1. 教师在黑板上列出同角三角函数之间的基本关系公式,并解释每个公式的意义。
2. 提供示例问题,引导学生使用基本关系公式计算同角三角函数的值。
步骤四:解决相关问题1. 提供一些与同角三角函数相关的问题,要求学生运用所学知识解决问题。
2. 学生独立或合作完成问题,并在黑板上展示解题过程。
步骤五:总结和拓展1. 总结同角三角函数的基本关系及其应用。
2. 引导学生思考其他可能的应用场景,并展示相关例子。
教学延伸:1. 提供更多的练习题,巩固学生对同角三角函数基本关系的理解和运用能力。
2. 引导学生探索其他三角函数的基本关系,如余切、正割和余割函数。
评估方法:1. 教师观察学生在课堂上的参与度和理解程度。
2. 批改学生完成的问题解答,并提供反馈。
拓展阅读:1. 探索三角函数的周期性和图像变换。
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1.2.2同角三角函数的基本关系(2)
教学目的:
知识目标:根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明;
能力目标:(1)了解已知一个三角函数关系式求三角函数(式)值的方法。
(2)灵活运用同角三角函数关系式的不同变形,提高三角恒等变形的能力;
德育目标:训练三角恒等变形的能力,进一步树立化归思想方法;
教学重点:同角三角函数的基本关系式
教学难点:如何运用公式对三角式进行化简和证明。
授课类型:新授课
教学模式:启发、诱导发现教学.
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
1.同角三角函数的基本关系式。
(1)倒数关系:sin csc 1αα⋅=,cos sec 1αα⋅=,tan cot 1αα⋅=.
(2)商数关系:
sin tan cos ααα
=,cos cot sin ααα=. (3)平方关系:22sin cos 1αα+=,221tan sec αα+=,221cot csc αα+=.
(练习)已知tan α43=,求cos α 2.tan αcos α= ,cot αsec α= ,(sec α+tan α)·( )=1
二、讲解新课:
例1.化简21sin 440-. 解:原式221sin (36080)1sin 80=-+=-2cos 80cos80==.
例2.化简12sin 40cos40-. 解:原式22sin 40cos 402sin 40cos40=+-
2(sin 40cos40)|cos40sin 40|cos40sin 40=-=-=-.
例3、已知α=αcos 2sin ,求
的值。
及αα+αα+αα-αcos sin 2sin cos 2sin 5cos 4sin 2 解:2tan cos 2sin =α∴α=α
6
11222tan 54tan cos 2sin 5cos 4sin -=-=+α-α=α+αα-α∴ 5614241
tan tan 2tan cos sin cos sin 2sin cos sin 2sin 222222=++=+αα+α=α+ααα+α=αα+α 强调(指出)技巧:1︒分子、分母是正余弦的一次(或二次)齐次式
2︒“化1法”
例4、已知3
3cos sin =α+α,求的值。
及α-αα+αcos sin cot tan 解:将 33cos sin =
α+α 两边平方,得:31cos sin -=αα
3cos sin 1
cot tan -=αα=α+α∴
35
321cos sin 21)cos (sin 2=+=αα-=α-α 315
cos sin ±=α-α∴
例5、已知,1225
cot tan =α+α
α+αα+αα-αα-αcos sin ,cot tan ,cot tan ,cot tan 3322求
解:由题设: ,2144625
cot tan 22-=α+α
∴ 127
4144625
cot tan ±=-±=α-α
144175
)127(1225)cot )(tan cot (tan cot tan 22±=±⨯=α-αα+α=α-α 1728
48251441931225)1144337(1225
)
cot tan cot )(tan cot (tan cot tan 2233=⨯=-⨯=αα-α+αα+α=α+α
57
2512
21cos sin 21cos sin ±=⨯+±=αα+±=α+α (2512
cos sin 1225
cos sin 1
cot tan =αα∴=αα=α+α )
例6、已知)0(51
cos sin π<θ<=α+α,求的值。
及θ-θθ33cos sin tan
解:1︒ 由),2(0cos ,0,2512
cos sin ππ
∈θ∴<θπ<θ<-=αα得:
由57
cos sin ,2549)cos (sin 2=θ-θ=α-α得:
联立:34t a n
53c o s
54
s i n
57c o s s i n 51c o s s i n -=θ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=θ=θ⇒=θ-θ=θ+θ
2︒ 12591
)53()54(cos sin 3333=--=θ-θ
例7、已知是第四象限角,α+-=α+-=α,53
cos ,524sin m m m m 求的值。
αtan
解:∵sin 2α + cos 2α = 1 ∴1)53()524(2
2=+-++-m m m m
化简,整理得:8,00)8(21==∴=-m m m m
当m = 0时,是第四象限角不合)与,α-=α=α(53
cos ,54
sin
当m = 8时,512
tan 135cos ,1312sin -=α∴=α-=α,
三、巩固与练习
1:已知12 sin α+5 cos α=0,求sin α、cos α的值.
解:∵12 sin α+5 cos α=0 ∴sin α=125
- cos α,又1cos sin 22=+αα 则(125
- cos α)2+α2cos =1,即α2cos =169144
∴cos α=±1312 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===-=13
12
cos 135sin 1312cos 135sin αααα或 2.已知3tan =α,求(1)ααα
αsin 3cos 5cos 2sin 4+-;原式=75
(2)αααα22cos 3cos sin sin 2-+;原式=59
说明:(1)为了直接利用3tan =α,注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式,把分子、分母同除以αcos ,将分子、分母转化为αtan 的代数式;
(2)可利用平方关系1cos sin
22=+αα,将分子、分母都变为二次齐次式,再利用商数关系化归为αtan 的分式
求值; 3 .cos 9sin 8)2(;sin 7cos 6sin 5cos 4)1(,41)3(cos sin ,51cos sin )2(sin sin )1(22232222x x x
x x x ctgx x x x x A A tg A A tg -+-=-=-⋅=-求求设 A
A A A tgA ctgA x x x x x x sin sec cos sin )5(cos sin 1cos sin 1)4(10cos 10cos 10sin 210sin )3(9
cos 6cos )2(130sec )1()4(2266442222+------︒
+︒︒-︒+--︒化简 4.已知sec α—tg α=5,求sin α。
解1:∵sec α—tg α=5=5×1=5(sec2α—tg2α)=5(sec α+tg α)(sec α—tg α),故 sec α+tg α=1/5, 则sec α=13/5,tg α=—12/5;sin α=tg α·cos α=1312-
解2:由已知:0cos ,1sin ,5cos sin 1>∴≤=-ααα
α 则13
12sin ,1sin sin 15sin 12-==⇒-=-ααααor 5.已知1sin sin 2=+θθ,求θθ6
2cos cos +值;
解:可求21
5sin -=θ2
5
53121531sin 3sin sin 2sin )cos 1(sin sin sin cos cos 22362-=--⨯=-=-=-+=+=+θθθθθθθθθθ分析:本题关键时灵活地多次运用条件1sin sin 2=+θθ从而结合同角三角函数关系式达到降次求解的目标;
小结:化简三角函数式,化简的一般要求是:(1)尽量使函数种类最少,项数最少,次数最低;(2)尽量使分母不含三角函数式;(3)根式内的三角函数式尽量开出来;(4)能求得数值的应计算出来,其次要注意在三角函数式变形时,常常将式子中的“1”作巧妙的变形,如:1=αααααα222222cot csc tan sec cos sin -=-=+
四、小 结:本节课学习了以下内容:
1.运用同角三角函数关系式化简、证明。
2.常用的变形措施有:大角化小,切割化弦等。
五、课后作业:习题4.4 第5,7,8题
思考:已知sin α=2sin β,tan α=3tan β,求α2cos 的值.
解:sin β=2sin α
tan β=3
tan α 又1+ tan 2β=β2
cos 1
, ∴1+ααα
α
222cos 336cos 184sin 119tan +=+-=
,即
即883cos 1cos 03cos 11cos 2224=
==+-αααα或,解得 六、板书设计:。