罗尔定理

由罗尔定理知：

（1）可导函数在取得极值点处导数等于零；

（2）方程：()0

'=的一个根；

f x

f x=的两根之间至少有方程：()0

（3）唯一性证明。反证法：假设谬论，运用罗尔定理推出矛盾；（4）结论可能需多次运用罗尔定理。

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦

⑧

⑨

⑩

⑾

⑿

⒀

⒁

⒂ 证明：（1）方程33x x C -+（这里C 为常数）在区间[0,1]内不可能有两个不同

的实根；（2）方程n x px q ++（其中n 为正整数，,p q 为实数）当n 为偶数时至多 有两个实根，当n 为奇数时至多有三个实根．

证明：（1）反证法。

设()f x 有两个不同的实根 1212,[0,1],x x x x ∈<，而()f x 在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内 可导，12()()f x f x =，则存在12(,)[0,1]x x ξ∈⊂，使：'()0f ξ=。

由于2'()33'()01f x x f x x =-⇒=⇒=±， 而1x =±都不在(0,1)内，即不可能存在12(,)[0,1]x x ξ∈⊂，使'()0f ξ=，矛盾。

（2）3n ≤结论成立，用反证法证明4n ≥情形。

2n k =：设方程有三个实根 123123,,,()x x x x x x <<，函数()f x 在12[,]x x 与23[,]x x 上分别

满足罗尔定理。故存在112223(,),

(,)x x x x ξξ∈∈使12'()'()0f f ξξ==

212'()2,'()0k f x kx p f x x -=+=⇒=12'()'()0f f ξξ==矛盾。 21n k =+：设方程有四个实根 12341234,,,,()x x x x x x x x <<<，函数()f x 在12[,]x x ，23[,]x x ，34[,]x x 上分别满足罗尔定理。故存在1(,)k k k x x ξ-∈使：'()0,(1,2,3)k f k ξ== 而2'()(21)0k f x k x p =++=，由于0,0,0p p p >=<分别有两个，一个，没有不同实数，矛盾，

即n 为奇数时至多有三个实根。

16. 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且1

(0)(1)0,()12

f f f ===，证明：必存在

一点(0,1)ξ∈，使()1f ξ'=。

证明：令：()()F x f x x =- ，由：(1)10F =-< ，11

()022

F =>，且：()F x 在[0,1]连续

知必存在一点1

(,1)2

c ∈，使得：()0F c = ，于是，()F x 在[0,]c 上连续，在(0,)c 可导，

且：(0)()0F F c == ，满足罗尔定理的条件，故必存在一点(0,)(0,1)c ξ∈⊂，使()0F ξ'=，

即：()1f ξ'= 。

17. 设,,a b c 为实数，证明方程：2x e ax bx c =++至多有三个实根。

证明：用反证法，连续运用罗尔定理可证结论。

18. 设(),()f x g x 在[,]a b 上存在二阶导数，且()0g x ''≠，()()()()0f a f b g a g b ====

证明：（1）在(,)a b 内()0g x ≠；（2）至少存在一点(,)a b ξ∈使得：

()()

()()

f f

g g ξξξξ''=''。 证明：（1）用反证法。假设存在一点(,)c a b ∈，使：()0g c = ，则()g x 分别在[,],[,]a c c b 上 满足罗尔定理，则必存在一点12(,),(,)a c c b ξξ∈∈使得：12()()0g g ξξ''== ，且：12ξξ<， 同理，()g x '在12[,]ξξ上满足罗尔定理，则必存在一点12(,)(,)a b ξξξ∈⊂使得：()0g ξ''=， 与已知条件矛盾。

（2）取：()()()()()F x f x g x f x g x ''=- ，由题设可知()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，

且：()()0F a F b == ，由罗尔定理知：必存在一点(,)a b ξ∈ ，使得：()0F ξ'= ， 即：()()()()0f g f g ξξξξ''''-= ，从而：()()

()()

f f

g g ξξξξ''='' 。

19. 设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且对(,)a b 内任一点x ，有

()()()()0f x g x f x g x ''-≠，证明：在(,)a b 内()f x 的两个零点之间，()g x 至少有一个零点。

证明：用反证法。设()g x 在的()f x 的两个零点1212,()x x x x <之间无零点，12(),()g x g x 非零， 否则与()()()()0f x g x f x g x ''-≠矛盾，于是，设：()

()()

f x F x

g x =

，()F x 在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内可导，且：12()()0F x F x == ，由罗尔定理，则必存在一点12(,)(,)x x a b ξ∈⊂使得：

2

()()()()

()0()

f g f g F g ξξξξξξ''-'=

= ，也即：()()()()0f g f g ξξξξ''-= ，与已知矛盾。

20. 设函数()f x 在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且(0)(1)(2)3f f f ++=，

证明：必存在(0,3)ξ∈使得：()0f ξ'=。

证明：因为函数()f x 在[0,3]上连续，必存在最大值M 和最小值m ，于是有： (0)m f M ≤≤ ，(1)m f M ≤≤，(2)m f M ≤≤ ，即有：(0)(2)(1)

3

f f f m M ++≤

≤

有介值定理知，必存在(0,3)c ∈，使得：1()[(0)(1)(2)]13

f c f f f =++=， 因此，()f x 在[,3]c 上满足罗尔定理条件，必存在(,3)(0,3)c ξ∈⊂使得：()0f ξ'=

21. 设函数()f x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且1(2)2,(1)2

f f ==

， 证明：必存在(1,2)ξ∈使得：2()

()f f ξξξ

'=。

证明：作辅助函数：2

()

()f x F x x = ，由题设可知()F x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导， 且：1

(2)(1)2

F F ==

，()F x 在[1,2]上满足罗尔定理条件，必存在(1,2)ξ∈， 使得：24

()2()

()0f f F ξξξξξξ'-'== ，即：2()()f f ξξξ

'= 。 22. 设()f x 在[0,1]上存在二阶导数，且(0)(1)0f f ==，

证明：至少存在一点(0,1)ξ∈，使得：2()

()1f f ξξξ

'''=

-。 证明：作辅助函数：()(1)()F x x f x =- ，由题设可知()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导， 且：(0)(1)0F F == ，()F x 在[0,1]上满足罗尔定理条件，必存在(0,1)c ∈，

使得：()0F c '= ，而：()()(1)()F x f x x f x ''=-+-，可知：(1)0F '=， 再由罗尔定理知：必存在(,1)(0,1)c ξ∈⊂，使得：()0F ξ''=，即：2()

()1f f ξξξ

'''=

- 。 23. 设函数()f x 在[,](0)a b a >上连续，在(,)a b 内可导，且()0f a =，