弹性力学经典变分原理

3.1.3 截面上应力 在某一个外方向
3
n (nx , n y , nz )T
的截面上，根据力的平衡关系，截面上应力 p 沿三个
坐标轴上的应力分量为
pi ij n j ,
j 1
i 1, 2,3
也就是说
px x nx xy n y xz nz p y yx nx y n y yz nz pz zx nx zy n y z nz
X X 1 xi x j
3

(3.1.22)
在小变形情况下，如果忽略高阶小量后，那么有
ij 1 2

(3.1.23)
我们称之为 Cauchy 微小应变。在工程上描述的应变为
x yz
u v w z y y x ， z ， v w u v u w xy zx z y ， y x ， z x z 0 x y x 0
第 3 章 弹性力学经典变分原理
3.1 弹性力学基础
3.1.1 变形分析 要研究物体变形首先要研究其位移如何来描述。 在数学上， 我们引进物质坐标和空间坐 标的概念分别来描述物体上某一点的位置变动， 具体说来， 先取一Descarte坐标系做参照系， 变形前物体的构形为B，其每个质点的位置可用一组我们称之为物质坐标的坐标值来表示； 变形后物体的构形变成B’，取另一个Descartes坐标系做参照系，我们称之为空间坐标系。 如 下图，变形前任一点Ｐ在物质坐标系中的坐标为 坐标系中的坐标为
dR1 (dX 1 , 0, 0) 和 dR2 (0, dX 2 , 0) ，它们的长度分别为 ds01 dX 1 ,
那么在变形后它们长度
ds02 dX 2
ds1 和 ds2 分别为
(3.1.15) (3.1.16)
ds1 1 2 E11 dX 1 ds2 1 2 E22 dX 2
3 3 3
dX i
X i dx j j 1 x j
3
ds 2 ds0 2
或者
i , j 1
( X
x x ij )dX i dX j 1 i X j X X )dxi dx j 1 xi x j
3
(3.1.8)
ds 2 ds0 2
图 3.4 应力张量与截面上应力 写成矩阵形式为
p x nx py 0 p 0 z
0 ny 0
0 0 nz
0 nz ny
nz 0 nx
x y ny z nx yz 0 zx xy
dR1 (dX 1 0, dX 2 dX 3 0) ds0 dX 1
而变形后的长度为
, 其变形前长度为
ds 1 2 E11 ds0
因此，该微段变形前后的相对伸长量为
E1
ds ds0 1 2 E11 1 ds0
(3.1.14)
可见 E11 与线元的相对伸长有关。当 E11 1 时， E1 E11 。 如 果 在 Lagrange 坐 标 系 中 沿 坐 标 轴 方 向 取 两 个 相 互 垂 直 的 微 元 ， 分 别 为
E Eij
为 Lagrange-Green 应变张量(用 Lagrange 坐标系来描述)，把
ij
称作为
Euler-Almansi 应变张量(用 Euler 坐标系来描述)。 如 果 我 们 在 Lagrange 坐 标 系 中 , 沿 着 某 一 个 特 定 的 坐 标 方 向 取 一 个 微 分 单 元
图 3.3 内力和应力 当一个物体处于平衡状态时， 假如我们设想从中分离出一部分B，其表面用S表示。S 上任意一点Ｑ，其邻域 S 面上作用的合力为 F ，
p lim
应力 正应力 剪应力
F S 0 S

截面上应力 p, ( ) 与截面法向有关。当取定坐标系统 xoy 后, 可以用每个坐标面上的 沿坐标轴的三个应力分量来表示应力状态。根据剪应力互等定律, 其中独立的分量有 6 个, 我们记为应力张量(满足坐标变换规律)
其中 为变形后两个微段之间的夹角。所以
cos
如果记变形前后两个微元之间夹角的变化（减少）为 ，也就是说
(3.1.18)

那么

2

(3.1.19)
sin cos
当
2 E12 1 2 E11 1 2 E22
(3.1.20)
E11 1, E22 1
变形后两个微段对应向量的内积为
cos ds1ds2 E12
1 2
xk xk dX 1dX 2 2 E12 dX 1dX 2 X 1 X 2
(3.1.17)
xk xk X 1 X 2 2 E12 dX 1dX 2 2 E12 ds1ds2 1 2 E11 1 2 E22
3
(3.1.11)
2 ds 2 ds0 2 Eij dX i dX j
(3.1.12) (3.1.13)
ds ds 2 ij dxi dx j
2 2 0
上述表达式中， 有重复下标的 i, j ， 已省略了相应的求和记号 我们称
,
i 1 j 1
3
3
， 称为 Einstein 约定。
i 1
3
(3.1.6)
它们变形后相应的 Q 点
3
( x1 , x 2 , x 3 ) 及相邻 Q( x1 dx1 , x2 dx2 , x3 dx3 ) ，其长度平方为
(3.1.7)
ds 2 dxi dxi
i 1
根据变形前后的坐标关系有
dxi
从而有
xi dX j , j 1 X j
T
把他们写成矩阵的形式为
x y x z 0 yz zx 0 xy
也就是
0 y 0
0 0 z
0 z y
u v w
x xy xz ij yx y yz zx zy z ,
xy yx , xz zx , yz zy
(3.1.26)
应力的符号规则: 外法线方向与坐标轴方向一致的截面上, 沿坐标轴正方向的应力为正, 沿坐标轴负方向的应力为负；反之, 外法线方向与坐标轴方向相反的截面上, 沿坐标轴正方 向的应力为负, 沿坐标轴负方向的应力为正。
ui ui ( x1 , x2 , x3 ), (i 1, 2,3)
称之为Euler 描述。 我们取变形前 P 点
(3.1.5)
( X 1 , X 2 , X 3 ) 及相邻 P( X 1 dX 1 , X 2 dX 2 , X 3 dX 3 ) ，它们之间
的长度平方为
ds0 2 dX i dX i
0 ny 0
0 0 nz
0 nz ny
nz 0 nx
ny nx 0
(3.1.29)

j 1
3
ij , j
f i 0,
i 1, 2,3
(3.1.30)
写成分量的形式为
x xy zx fx 0 x y z
xy x

y y
其中变形后质点的坐标
xi (i 1,2,3)
与变形前的坐标
X i (i 1,2,3)
存在着确定的关系。我
们可以把变形后质点的坐标看成是变形前质点物质坐标的函数，即
xi xi ( X 1 , X 2 , X 3 ),
(i 1, 2,3)
(3.1.2)
也可以用其逆变换 (数学上要求Jacobi 行列式不为零) 来表述，也就是从变形后空间坐标描 述的质点，来追涉变形前这一质点的坐标
(3.1.24)
ε E T ( )u
其中
(3.1.25)
u [u v w]T
[ x y z yz zx xy ]T
x E ( ) = E ( , , ) 0 x y z 0
式中 代表梯度算子
0 y 0
(3.1.27)
也就是说
p E (n)
式中
(3.1.28)
p px
py
pz
T
[ x y z yz zx xy ]T
E (n) 就是将 E ( ) 中的梯度矢量替换成截面的法向单位矢量 n ，即 nx E ( n) 0 0
3.1.4 平衡方程 应力分量在物体内部的平衡方程为
那么
ij 1 2 ij

3 u u 1 j i ij 2 xi x j 1 ui u j 3 u u 1 2 x j xi 1 xi x j ui u j u j ui
0 0 z
0 z y
z 0 x
y x 0
i
j k x y z
i, j,k 代表 x, y, z 方向的单位向量。
3.1.2 应力分析
图 3.2 物体受力 如图所示, 通常作用于物体的外力可以分为两种：一种是分布在物体表面的作用力，例 如一个物体对另一物体作用的压力，象水压力等，我们称之为面力(surface traction)；另一种 是分布在物体体积内部的力，象重力、磁力或运动物体的惯性力等，我们称之为体力(body force)。
( X 1 , X 2 , X 3 ) ，变形后P变化到Q点在空间
( x1 , x 2 , x3 ) 。
Байду номын сангаас
图 3.1 物质坐标系和空间坐标系 矢量PQ表示了质点P的位移，记为 u 。为简单和方便起见，一般取两个参照系相重合，这时 位移矢量 u 的分量
u i 可以用下式来表示
(3.1.1)
ui xi X i , (i 1, 2,3)
时， 可以表示为 (3.1.21)
2 E12 , E12 / 2
所以说， E12 是与剪切变形有关的量。 如果用空间坐标系来描述变形，也就是说，位移矢量 u 的分量 述
ui
用变形后的坐标来描
ui xi X i xi X i ( x1, x2 , x3 ), (i 1, 2,3) X i xi ui xi ui ( x1, x2 , x3 ), (i 1, 2,3)

yz z
fy 0
zx yz z fz 0 x y z
其中
fx, fy, fz
分别是体积力在 x, y, z 轴上的分量。如果把平衡方程表示成矩阵的形式为
x 0 0
也就是
0 y 0
0 0 z
如果定义
i , j 1
( ij
3
(3.1.9)
3 x x Eij 1 ij 2 1 X i X j
及
(3.1.10)
ij 1 2 ij

则有

X X 1 xi x j
X i X i ( x1 , x2 , x3 ), ui ui ( X 1 , X 2 , X 3 ),
(i 1, 2,3) (i 1, 2,3)
(3.1.3)
如果把位移 u 看作是变形前坐标、即物质坐标的函数 (3.1.4) 称之为Lagrange 描述。如果把位移 u 看作是变形后坐标、即空间坐标的函数