2020届江苏省南京市中华中学高三下学期阶段考试数学试题(解析版)

江苏省南京市中华中学高三下学期阶段考试数学试题一、填空题1．集合{}(){}230,lg 2A x x x B x y x =-≤==-，则A B =I ______.（用区间表示）【答案】[)0,2【解析】化简集合,A B ，根据交集运算，即可求得答案. 【详解】Q {}230,A x x x =-≤∴(){}[]300,3A x x x =-≤= Q (){}lg 2B x y x ==-∴{}()20,2B x x =->=-∞ ∴[)0,2A B =I故答案为：[)0,2. 【点睛】本题主要考查了交集运算，解题关键是掌握交集定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.2．某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生500人，现用分层抽样的方法在这三个年级中抽取120人进行体能测试，则从高三抽取的人数应为______. 【答案】50人【解析】先计算出三个年级的总人数为4003005001200++=，根据比例即可计算出高三年级应该抽取的人数，即可求得答案. 【详解】总体人数为：4003005001200++=人． 从高三抽取的人数应为：500120501200⨯= ∴ 从高三抽取的人数应为50人故答案为：50人. 【点睛】本题考查了分层抽样，解题关键是掌握分层抽样的定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.3．已知i为虚数单位，,a b∈R，复数12ii a bii+-=+-，则a bi-=______.【答案】12 55i +【解析】根据复数除法运算，根据复数相等，即可求得答案. 【详解】由12ii a bii+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i ia bi i i ii i++++=-=-=--+，∴1255a bi i -=+．故答案为：12 55i +.【点睛】本题主要考查了复数除法运算，解题关键是掌握复数基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4．有四条线段其长度分别为2，3，5，7.从中任取3条，能构成三角形的概率为______.【答案】1 4【解析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．【详解】从四条线段中任意选取三条，所有的可能有：2，3，5；2，3，7；2，5，7；3，5，7共4种，其中构成三角形的有3，5，7共1种，则P(构成三角形)1 4 =能构成三角形的概率为：1 4 .故答案为：1 4 .【点睛】本题主要考查了构成三角形概率问题，解题关键是掌握概率的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5．如图，程序执行后输出的结果为_______.【答案】64【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量P的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.【详解】第一次执行循环体后，101123PI=+=⎧⎨=+=⎩，不满足退出循环的条件，再次执行循环体后，134325PI=+=⎧⎨=+=⎩，不满足退出循环的条件，再次执行循环体后，459527PI=+=⎧⎨=+=⎩，不满足退出循环的条件，再次执行循环体后，9716729PI=+=⎧⎨=+=⎩，不满足退出循环的条件，再次执行循环体后，169259211PI=+=⎧⎨=+=⎩，不满足退出循环的条件，再次执行循环体后，25113611213PI=+=⎧⎨=+=⎩，不满足退出循环的条件，再次执行循环体后，36134913215PI=+=⎧⎨=+=⎩，不满足退出循环的条件，再次执行循环体后，49156415217PI=+=⎧⎨=+=⎩，满足退出循环的条件，故输出的P 值为64 故答案为：64. 【点睛】本题主要考查了根据利用循环结构计算并输出结果，解题关键是掌握框图基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.6．设()221,026,0x x x f x x x ⎧--≥=⎨-+<⎩，若()2f t >，则实数t 的取值范围是__________．【答案】0t <或3t >【解析】当0t ≥时，由()2f t >得，22120t t t ⎧-->⎨≥⎩，即22300t t t ⎧-->⎨>⎩，解得3t >；当0t <时，由()2f t >得，262t t -+>⎧⎨<⎩，解得0t <。

综上实数t 的取值范围是0t <或3t >。

答案：0t <或3t >。

7．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第二天走的路程里数为______. 【答案】96里.【解析】根据题意可知此人行走的里程数为等比数列，设出第一天行走的里程，即可由等比数列的前n 项和公式，求得首项.即可求得第二天行走的路程里数. 【详解】由题意可知此人行走的里程数为等比数列 设第一天行走的路程为m ,且等比数列的公比为12q = 则由等比数列的前n 项和公式()111n n a q S q-=-代入可得6112378112m ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=- 解得192m =根据等比数列的通项公式11n n a a q -=代入可得21192962a =⨯= 故答案为：96里.【点睛】本题考查了求等比数列通项公式及前n 项和公式的实际应用，解题关键是掌握等比数列基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8．已知圆C ：22240x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中以,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦的长度为______. 【答案】4【解析】圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，即说明直线32110x ay --=圆心()12-，，即可求出2a =，即可求得答案.【详解】Q 圆C ：22240x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称∴可知直线过圆心()12-，，即34110a +-=，2a =． 故,(1,1)22a a ⎛⎫-=-⎪⎝⎭． 圆方程配方得22(1)(2)5x y -++=，(1,1)-与圆心距离为1，∴弦长为4=．故答案为：4. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，利用中点弦三角形解弦长，属于基础题. 9．已知1cos()33x π-=，则2cos(2)sin ()33x x ππ++-的值为_____________. 【答案】53【解析】根据1cos()33x π-=的值，分别求出2cos(2)sin ()33x x ππ+-、的值，再求和即可. 【详解】 解：因为1cos()33x π-=，所以 22217cos(2)cos[(2)]cos2()12cos ()12()333339x x x x πππππ+=-+=--=--=-⨯=，222218sin ()1cos ()1cos ()1()33339x x x πππ-=--=--=-=， 则2785cos(2)sin ()33993x x ππ++-=+=， 故答案为53. 【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，重点考查了角的拼凑，属中档题.10．在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ︒∠=且AB =14BB =，设其外接球的球心为O ，且球O 的表面积为28π，则ABC ∆的面积为__________.【解析】，确定球心为HG 的中点，根据边角关系得到3AC =，计算面积得到答案. 【详解】球O 的表面积为2428R R ππ=∴=如图所示：,H G 为11,BC B C 中点，连接HG90BAC ︒∠=，故三角形的外心在BC 中点上，故外接球的球心为HG 的中点.在Rt OGC ∆中：112,2OG BB OC R ====CG =在Rt ABC ∆中：2BC CG ==，AB =3AC =，故2ABC S ∆=故答案为：2【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题，确定球心的位置是解题的关键.11．已知函数()()sin 01f x x x π=<<，若a b ¹，且()()f a f b =，则41a b+的最小值为__________． 【答案】9【解析】由条件知函数()()sin 01f x x x π=<<，()()f a f b =，则两者是轴对称的关系，故得到1a b a b πππ+=⇒+= ，41414()()5549.b aa b a b a b a b+=++=++≥+= 等号成立的条件为：4,2.b aa b a b== 故答案为9.12．在梯形ABCD 中，3AB DC =u u u r u u u r，若8,6,3AD BD AC BC AB ⋅=⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AC BD ⋅=u u u r u u u r______.【答案】5【解析】根据题意画出图象，因为AC AD DC =+u u u r u u u r u u u r ，3BD AD AB AD DC =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，BC AD AM=-u u u r u u u r u u u u r，可得(3)AB BD AD AD DC ⋅=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()(2)AC BC AD DC AD DC ⋅=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，结合已知，即可求得答案.【详解】根据题意画出图象：Q 3AB DC =u u u r u u u r，3AB = ∴1DC =u u u r选,AD DC u u u r u u u r为基底向量Q AC AD DC =+u u u r u u u r u u u r3BD AD AB AD DC =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r在AB 线段上去点M ,使23AM AB =223BC AD AM AD AB AD DC =-=-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∴(3)AB BD AD AD DC ⋅=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r238AD AD DC =-⋅=u u u r u u u r u u u r——① ()(2)AC BC AD DC AD DC ⋅=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2222AD AD DC AD DC DC =-⋅+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2226AD AD DC DC =-⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r 28AD AD DC -⋅=u u u r u u u r u u u r——②由①②可得：0AD DC ⋅=u u u r u u u r，28AD =u u u r()(3)AC BD AD DC AD DC ⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2233AD AD DC AD DC DC =-⋅+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 223AD DC =-u u u r u u u r835=-=故答案为：5. 【点睛】本题主要考查了向量表示和向量数量积运算，解题关键是掌握向量基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.13．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的左焦点为F ，点B 的坐标为()0,b ，若直线BF 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，且5PB BQ =u u u r u u u r，则双曲线C 的离心率为______.【答案】32【解析】将直线BF 与双曲线渐近线联立，可求得x 的值；利用5PB BQ =u u u r u u u r可得5P Q x x =-，将x 的值代入，可得320a c -=，从而求得离心率.【详解】Q 双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的左焦点为F ，点B 的坐标为()0,b ， ∴(),0F c -，()0,B b则直线BF 方程为1x y c b+=- 又双曲线C 渐近线方程为b y x a=±由1x yc bb y x a ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=±⎪⎩可解得：ac x c a =-或acx a c=-- 由5PB BQ =u u u r u u u r可知，5P Q x x =-由题可知：P ac x c a =-，Q acx a c=--， 则5ac acc a a c=-⨯--- 化简得320a c -=，∴32c e a == 故答案为：32.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键在于能够通过向量的关系得到,a c 的齐次方程，通过方程求得离心率，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.14．已知若函数()20,01,93,1x f x x x <≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩，()ln g x x =，若函数()()(0y f x g x m x =+->)恰有两个不相等的零点，则实数m 的取值范围为______.【答案】(ln 33,0)[5,)-+∞U【解析】根据函数与方程的关系转化为()()g x m f x -=-，构造函数()()h x f x =-和()()m x g x m =-，利用数形结合转化两个函数有两个不同的交点即可得到结论．【详解】由()()0y f x g x m =+-=得()()g x m f x -=-，设22016()()13123x x h x f x x x x <≤⎧⎪-⎪⎪=-=<≤⎨⎪-⎪>⎪⎩设()()|ln |m x g x m x m =-=- 作出()h x 和()m x 的图象如图：(1)m m =-当0m -=时，即0m =时，(3)ln 3m =，此时(3)3(3)h m =>，即此时两个函数有3个交点，不满足条件． 当0m ->时，即0m <时，要使两个函数有两个交点， 则此时只需要满足(3)ln 3(3)3m m h =-<=，即ln33m >- 此时ln330m -<<当0m -<时，即0m >时，此时01x <≤当时，两个函数一定有一个交点， 则此时只要在1x >时有一个交点即可，此时当1,(1)5,(1)x f m m →→-=-此时只要满足(1)5m m =-≤-，即5m ≥即可，综上所述，实数m 的取值范围是5m ≥或ln330m -<< 故答案为：(ln 33,0)[5,)-+∞U . 【点睛】本题主要考查了根据零点求参数范围，解题关键是掌握零点定义和根据零点求参的方法，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于难题.二、解答题15．已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,3cos sin 3c A a C c +=. (1)求角A 的大小;(2)若5,3ABC b c S V +==求a 的值. 【答案】（1）π3A =（2）13a = 【解析】(1)3cos sin 3c A a C c +=,3sin cos sin sin 3sin C A A C C +=, ∵sin 0C ≠,3cos sin 3A A +=∴31π2sin 2sin 323A A A ⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴π3sin 3A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, ∵ππ4π,333A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,∴π2π33A +=, 即π3A =. (2)由11π33sin sin 223ABC S bc A bc ====V ,得4bc =,∵222π2cos 3a b c bc =+-=()22253413b c bc bc +--=-⨯=, ∴13a =.16．如图，已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，侧面SAB 是正三角形，,P Q 分别为SA ，SD 的中点，且AD SD =.求证：（1）//PQ 平面SBC ； （2）SA BD ⊥.【答案】（1）答案见解析.（2）答案见解析【解析】（1）要证//PQ 平面SBC ，只需证//PQ BC ，即可求得答案； （2）要证SA BD ⊥，只需证SA ⊥面DBP ，即可求得答案. 【详解】（1）Q ,P Q 分别为SA ，SD 的中点∴//PQ ADQ 底面ABCD 是平行四边形∴//PQ BCBC ⊂平面SBC ；∴//PQ 平面SBC ；（2）连接,DP BPQ AD SD =,且P 是SA 中点，∴SA DP ⊥又Q SAB 是正三角形∴SA PB ⊥ ∴SA ⊥面DBP由DB ⊂面DBP 故SA BD ⊥【点睛】本题主要考查了求证线面平行和异面直线垂直，解题关键是掌握线线垂直转化为线面垂直的证明，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.17．如图，已知一张半径为1m 的圆形薄铁皮（O 为圆心，厚度忽略不计），从中裁剪一块扇形（图中阴影部分）用作某圆锥形容器的侧面.（1）若所裁剪的扇形的圆心角为23π，求圆锥形容器的体积； （2）试问裁剪的扇形的圆心角为多少时，圆锥形容器的体积最大？并求出最大值. 【答案】（1322π.（243时，圆锥形容器的体积最大,最大值为327π 【解析】（1）设圆锥筒的半径为r ，容积为V ，因为所裁剪的扇形铁皮的圆心角为23rad π，所以 223r ππ=，解得13r =，即可求得答案； （2）求出圆锥体积关于高h 的关系式，即()31,01,3V h h h π=-<<根据导数求其最值，即可求得答案； 【详解】（1）设圆锥筒的半径为r ，容积为V ，Q 所裁剪的扇形铁皮的圆心角为23rad π， ∴223r ππ=，解得13r = ∴2221h r =-=∴211122333V SH π⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭∴圆锥筒的容积为3281m π（2）Q 01r h =<<∴()221111333V Sh r h h h ππ===-()313h h π=- ()31,01,3V h h h π∴=-<<()2113,013V h h π'=-<<令0V '=，得3h =±，(舍负值)， 列表如下：∴当h 时，V ．∴当h 时，V 圆锥筒的容积最大，最大值为27．当h ，母线长为1m ,可得圆锥筒的半径为3r ==∴裁剪的扇形面积为：3S rl π==根据扇形面积计算公式：212S R α=故问裁剪的扇形的圆心角为3∴时，圆锥形容器的体积最大,【点睛】本题解题关键是掌握扇形面积公式和根据导数求最值的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18．已知椭圆(222:12x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，PF =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O为坐标原点，且OM =AOB ∆面积的最大值.【答案】（1）22182x y +=；（2）2. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，可得出点,2c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，将这个点的坐标代入椭圆C 的方程可得出2234c a =，结合222a c =+可求出a 的值，从而可得出椭圆C 的标准方程；（2）分直线AB 的斜率不存在与存在两种情况讨论，在AB x ⊥轴时，可得出AB =AOB ∆的面积；在直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx t =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合OM =，得出()2222214116k t k+=+，计算出AB 与AOB ∆的高，可得出AOB ∆面积的表达式，然后可利用二次函数的基本性质求出AOB ∆面积的最大值.【详解】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题知，点,P c ⎛ ⎝⎭，b =则有222212c a ⎛ ⎝⎭+=，2234c a ∴=，又22222a b c c =+=+，28a ∴=，26c =， 因此，椭圆C 的标准方程为22182x y +=；（2）当AB x ⊥轴时，M 位于x 轴上，且OMAB ⊥，由OM =可得AB =12AOB S OM AB ∆=⋅=； 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y ，由22182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222148480k x ktx t +++-=. 122814kt x x k -∴+=+，21224814t x x k-=+，从而224,1414kt t M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭已知OM =()2222214116k t k+=+.()()()22222212122284814141414kt t AB k x x x x k k k ⎡⎤--⎛⎫⎡⎤=++-=+-⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎢⎥⎣⎦Q ()()()222221682114k t k k -+=++.设O 到直线AB 的距离为d ，则2221t d k=+， ()()()222222221682114114AOBk t t S k k k ∆-+=+⋅++. 将()2222214116k t k+=+代入化简得()()2222219241116AOB k k S k ∆+=+.令2116k p +=，则()()()22222211211192414116AOBp p k k S p k ∆-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==+211433433p ⎡⎤⎛⎫=--+≤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.当且仅当3p =时取等号，此时AOB ∆的面积最大，最大值为2. 综上：AOB ∆的面积最大，最大值为2. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了直线与椭圆中三角形面积最值的计算，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来求解，同时在计算最值时，常用函数的基本性质以及基本不等式进行求解，考查运算求解能力，属于难题. 19．设函数()()2ln a a f x x x a R x-=+-?.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =时，记()()g x xf x =，是否存在整数t ，使得关于x 的不等式()t g x ³有解？若存在，请求出t 的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 当0a <时，函数()f x 的单调减区间是()0,a -；单调增区间是(),a -+∞；当01a ≤≤时，函数()f x 的单调增区间是()0,∞+；无单调减区间；当1a >时，函数()f x 的单调减区间是()0,1a -；单调增区间是()1,a -+∞.(2) 存在整数t 满足题意，且t 的最小值为0. 【解析】试题分析：本题考查用导数讨论函数的单调性和用导数解决函数中的能成立问题.（1）求导后根据导函数的符号判断函数的单调性.（2）由题意只需求出函数()g x 的最小值即可，根据函数的单调性求解即可. 试题解析：⑴由题意得函数的定义域为()0,+∞.∵()2ln a a f x x x x-=+-，∴()()()22222111x a x a a a x x a a f x x x x x ++--++-=++=='， ①当0a <时，则当()0,x a ∈-时，()'0f x <，()f x 单调递减；当(),x a ∈-+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增.②当01a ≤≤时，()'0f x >恒成立，()()0,f x +∞在上单调递增. ③当1a >时，则当()0,1x a ∈-时，()'0f x <，()f x 单调递减；当()1,x a ∈-+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增.综上，当0a <时，()()0,f x a -在上单调递减，在(),a -+∞上单调递增； 当01a ≤≤时，函数()()0,f x +∞在上单调递增；当1a >时，()()0,1f x a -在上单调递减，在()1,a -+∞上单调递增.(2)当1a =时，()()2ln g x xf x x x x ==+，∴()'2ln 1g x x x =++， ∴函数()'g x 单调递增， 又1'2ln202g ⎛⎫=->⎪⎝⎭，14'ln6063g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， 所以存在唯一的011,62x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()000'2ln 10g x x x =++=， 且当()00,x x ∈时，()'0g x <，()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()'0g x >，()g x 单调递增，所以()()()222000000000min ln 21g x g x x x x x x x x x ==+=+--=--，设()2000011,62x x x x ϕ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，， 则()0x ϕ在11,62⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()01126g x ϕϕ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()037436g x -<<-. 若关于x 的不等式()t g x ≥有解，则34t ≥-， 又t 为整数，所以0t ≥.所以存在整数t 满足题意，且t 的最小值为0. 点睛：（1）()t f x >能成立等价于min ()t f x >；()t f x <能成立等价于max ()t f x <. （2）对于导函数的零点存在但不可求的问题，可根据零点存在定理确定出零点所在的区间，在求函数的最值时可利用整体代换的方法求解，这是在用导数解决函数问题中常见的一种类型.20．对于*,n N ∀∈若数列{}n x 满足11,n n x x +->则称这个数列为“K 数列”.（1）已知数列1, 21,m m +是“K 数列”,求实数m 的取值范围;（2）是否存在首项为1-的等差数列{}n a 为“K 数列”,且其前n 项和n S 使得212n S n n <-恒成立?若存在,求出{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由;（3）已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”,数列12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,若1,1n n a b n +=+试判断数列{}n b 是否为“K 数列”,并说明理由. 【答案】（1）2m >；（2）见解析；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）根据题目中所定义的“K 数列”，只需()()2111,11,m m m +->-+>同时满足，解不等式可解m 范围．（2）由题意可知，若存在只需等差数列的公差1d >，即()12n n n S n d -=-+<212n n -,代入n=1,n>1,矛盾．（3）设数列{}n a 的公比为,q 则11n n a a q -=，*n a N ∈，满足“K 数列”，即()1110,n n n n n a a a q a a q --=-=->>只需最小项211,a a ->即()1111,?2n a q a ⎧⎫->⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,且211122a a -为最小项,所以21111,22a a -≤即()112a q -≤,所以只能()112,a q -=只有解11,3a q ==或12, 2.a q ==分两类讨论数列{}nb ．试题解析：（Ⅰ）由题意得()111,m +->()211,m m -+>解得2,m >所以实数m 的取值范围是 2.m >（Ⅱ假设存在等差数列{}n a 符合要求,设公差为,d 则1,d >由11,a =-得()1,2n n n S n d -=-+由题意,得()21122n n n d n n --+<-对*n N ∈均成立,即()1.n d n -< ①当1n =时,;d R ∈ ②当1n >时,,1n d n <-因为111,11n n n =+>-- 所以1,d ≤与1d >矛盾, 所以这样的等差数列不存在.（Ⅲ）设数列{}n a 的公比为,q 则11,n n a a q -=因为{}n a 的每一项均为正整数,且()1110,n n n n n a a a q a a q --=-=->> 所以在{}1n n a a --中,“21a a -”为最小项.同理,11122n n a a -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中,“211122a a -”为最小项. 由{}n a 为“K 数列”,只需211,a a ->即()111,a q ->又因为12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,且211122a a -为最小项,所以21111,22a a -≤即()112a q -≤, 由数列{}n a 的每一项均为正整数,可得()112,a q -= 所以11,3a q ==或12, 2.a q ==①当11,3a q ==时,13,n n a -=则3,1nn b n =+令()*1,n n n c b b n N+=-∈则()()133213,2112n n n n n c n n n n ++=-=⋅++++又()()()()12321332312n n n n n n n n +++⋅-⋅++++()()234860,213n n n n n n ++=⋅>+++所以{}n c 为递增数列,即121,n n n c c c c -->>>⋅⋅⋅> 所以213331,22b b -=-=> 所以对于任意的*,n N ∈都有11,n n b b +->即数列{}n b 为“K 数列”.②当12,2a q ==时,2,nn a =则12.1n n b n +=+ 因为2121,3b b -=≤ 所以数列{}n b 不是“K 数列”.综上:当11,3a q ==时,数列{}n b 为“K 数列”,当12,2a q ==时,2,n n a =数列{}n b 不是“K 数列”.【点睛】对于新定义的题型一定要紧扣题目中的定义并进行合理的转化，这是解决此类的问题的关键．另外题中有整数条件时一般都能通过因式分解，或夹逼在方程个数小于变量个数时，解出部分甚至全部参数．21．已知矩阵若12,10a c b d ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M N ，若1001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦MN ，求a b c d ，，，的值. 【答案】2a =-,0b =,1c =,1d =【解析】根据矩阵乘法运算，即可求得答案.【详解】Q 12,10a c b d ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M N ∴10011210a b d MN c ⎡⎤⎡⎤=⎢⎡⎤=⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎢⎣⎦⎥⎦可得221001c ad cb b d +⎡⎤⎡=⎢⎥+⎣⎦⎤⎢⎥⎣⎦120021c ad cb b d =⎧⎪+=⎪∴⎨=⎪⎪+=⎩，解得2011a b c d =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ ∴2a =-,0b =,1c =,1d =【点睛】本题主要考查了矩阵运算，解题关键是掌握矩阵基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为31x t y t =⎧⎨=+⎩(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程是2cos 2sin ρθθ=.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，点M 为AB 的中点，点P的极坐标为6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求PM 的值. 【答案】(1) 31y x =+ 22x y =(2)1?0【解析】试题分析：本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，以及应用.（1）把参数方程消去参数，根据转化公式求解即可.（2）由直线方程和抛物线方程可得点A,B 的坐标，进而得到点M 的坐标，把点P 的极坐标化为直角坐标可得所求距离. 试题解析：(1)由31x t y t =⎧⎨=+⎩消去参数得31y x =+， 由曲线C 的极坐标方程2cos 2sin ρθθ=，得22cos 2sin ρθρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为22x y =. (2)由2312y x x y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得2620x x --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则126x x +=，∴12032x x x +==， ∴003110y x =+=，所以()3,10M ，∵点P 的极坐标为23,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴点P 的直角坐标为()3,3.∴PM 103=-.即PM 的值为103-.23．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，2AB BC ==，13BB =，D 为11A C 的中点，F 在线段1AA 上.（1）AF 为何值时，CF ⊥平面1B DF ？（2）设1AF =，求平面1B CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）1AF =或2时，证明见解析；（230【解析】（1）建立空间直角坐标系，讨论1CF B F ⊥的坐标表示即可求解； （2）求出两个半平面的法向量，求出法向量的夹角即可得解.【详解】（1）因为直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥面ABC ，2ABC π∠=.以B 点为原点，BA 、BC 、1BB 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系.因为2AC =，90ABC ∠=︒，所以2AB BC ==，()2,0,0 从而，(0,0,0)B ，(2,0,0)A，(0,2,0)C ，1(0,0,3)B ，1(2,0,3)A A ，(0,2,3)C ，22,,322D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，230,,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.所以1(2,2,3)CA =-u u u r ，设AF x =，则(2,0,)F x ，(2,2,)CF x =-u u u r ，1(2,0,3)B F x =-u u u u r ，122,,022B D ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r1110CF B D ∴⋅=-=u u u r u u u u r ，所以1CF B D ⊥u u u r u u u u r要使CF ⊥平面1B DF ，只需1CF B F ⊥.由()1230CF B F x x ⋅=+-=u u u r u u u u r ，得1x =或2x =，故当1AF =或2时，CF ⊥平面1B DF ；（2）由（1）知平面ABC 的法向量为()0,0,1m =u r .设平面1B CF 的法向量为(),,n x y z =r ，则100n CF n y B F ⎧⋅=⎪⎨⋅⋅=⎪⎩u u u v v u u u u v v v 得220220x y z x z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩， 令1z =得32,2,12n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ， 所以平面1B CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值30cos ,m n <>=u r r .【点睛】此题考查利用空间向量的方法解决垂直问题，求二面角的大小，关键在于合理建立坐标系，准确计算.24．已知点P 为抛物线22x y =上异于坐标原点O 的任一点，F 为抛物线焦点，过点P 作抛物线的切线l 与y 轴交于点M ，直线PF 交抛物线于点Q .（1）若点P 的横坐标为2，求点M 到直线PQ 的距离；（2）求PQM ∆面积的最小值，并写出此时切线l 的方程.【答案】（1）2.（243 【解析】（1）因为22x y =，根据点P 的横坐标为2，可得()2,2P ，由212y x =，故y x '=可得22x y ='=，求得切线l 的方程为：22y x =-，求出PQ 直线方程，根据点到直线距离公式，即可求得答案；（2）由直线FP 过点2(0)1F ，，设直线FP 的方程为12y kx =+．联立直线FP 的方程和抛物线2212x y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消掉y ，可得：2210x kx --=，由韦达定理，得1P Q x x ⋅=-，结合已知，即可求得答案.【详解】（1）Q 22x y =∴点P 的横坐标为2，可得()2,2P 可得212y x =，故y x '= ∴22x y ='=∴切线l 的方程为：224y x -=-即22y x =-Q 切线l 与y 轴交于点M∴()0,2M -由抛物线22x y =，可得其焦点坐标为：1(0,)2F Q ()2,2P ,1(0,)2F可得PQ 直线方程为：3142y x =+ 即3420x y+=-根据点到直线距离公式，可得点M 到PQ 直线方程距离为：2==∴点M 到直线PQ 的距离2（2）由直线FP 过点2(0)1F ，，设直线FP 的方程为12y kx =+． 联立直线FP 的方程和抛物线2212x y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消掉y可得：2210x kx --=由韦达定理，得1P Q x x ⋅=-不妨设0t >设2,2t P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得1Q t x ⋅=-，故1Q x t =- Q 22x y =可得212y x =，故y x '= ∴x t y t ='=∴切线l 的方程为：()22t y t x t -=- Q 切线l 与y 轴交于点M∴220,M t ⎛⎫- ⎪⎝⎭()2111+2221+2M P PQ Q P t S M x x t t ∆⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴- ()231111+2+441+t t t t t t ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令()3211+4f t t t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= ∴()4222211113232=44t f t t t t t ⎛⎫+⎛⎫+- ⎪ ⎪-'⎝⎭⎝⎭= ()()222131=41t t t -+当03t <<时，()0f t '<，()f t 为减函数当t >时，()0f t '>，()f t 为增函数．∴当0t >时，函数在t =f ⎭=⎝∴PQM ∆当0t <时，由抛物线22x y =图象关于y 对称， ∴PQM ∆面积的最小值与0t >相同综上所述，PQM ∆ 【点睛】本题主要考查了抛物线中三角形面积问题，解题关键是掌握导数求最值的方法和圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于难题.。