二分法教案

3.1.2 用二分法求方程的近似解

教学分析

求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难.本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用.用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算.

教学目标

1.通过具体实例理解分法的概念，掌握应用二分法求简单方程近似解的方法，从中体会函数零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用。

2.能借助计算器或计算机求方程的近似解，让学生初步了解逼近思想，培养学生探究问题的能力和创新能力。

3.通过具体实例的探究，激发学习的热情和学习的兴趣，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程。

情感目标

体验用二分法求方程近似解的整个探究过程，感受数学理论和实际的结合，并从中体会合作探究的重要性。

重点难点

教学重点：二分法的基本思想的理解，运用二分法求相应方程近似解的步骤和过程。

教学难点:恰当的使用信息技术工具，利用二分法求方程的近似解，方程根所在区间的确定及给定精确度的方程的近似解。

教学方法：

动手操作、分组讨论、合作交流

教学过程

导入新课

问题1:有16个大小相同,颜色相同的金币，其中有15个金币是真的，有一个质量稍轻是假的。用天平称几次一定可以找出这个稍轻的假币

以实际问题为背景，从学生感觉较简单的问题入手，激活学生的思维，形成学生创造的欲望。

让学生分组讨论，合作探究，注意学生思考过程中出现的问题，及时引导学生思考，从二分法的角度解决问题。

问题解决：第一次，两端各放8个金币，高的那一端一定有假币；

第二次，两端各放4个金币，高的那一端一定有假币；

第三次，两端各放2个金币，高的那一端一定有假币；

第四次，两端各放1个金币，高的那一端一定是假币；

（动画演示过程）

用天平称4次一定可以找出这个稍轻的假币。

启示：

要找出假金币，尽量将假金币所在的范围缩小。我们通过“平分、锁定、淘汰”的方法逐步缩小假金币所在的范围，直到满意为止。体现了数学中的“逐步逼近”思想。

这种“平分”的方法，就是“二分法”的体现。

知识回顾：

[]()()(),,

(),,,()0()0()()0y f x a b y f x a b c a b f c c f x f a f b =∈==⋅<零点存在性定理：

如果函数在区间上的图像是的一条曲线，且那么函数=在区间内有零点，即存在使，就是方程的根.

连续不断新课教学

进而总结出二分法的定义：

对于在区间[],a b 上连续不断且()()0f a f b <的函数(,)a b ，通过不断地把函数的零点所在的

区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。

理论依据：

[]()()(),,(),,,()0()0()()0y f x a b y f x a b c a b f c c f x f a f b =∈==⋅<零点存在性定理：

如果函数在区间上的图像是的一条曲线，且那么函数=在区间内有零点，即存在使，就是方程的根.

连续不断 知识探究

问题2:如何求函数()ln 26f x x x =+-的零点

利用计算机演示函数图象。

思考1：有何办法可以使零点所在范围（区间）越来越小

引导学生：通过取“中点”的方法逐步缩小零点所在的范围（区间）。（一般地,我们把x=2

b

a +称为区间(,)a

b 的中点〕 动画演示具体过程。

引导学生：通过取“中点”的方法逐步缩小零点所在的范围（区间）。（一般地,我们把x=2

b a +称为区间(,)a b 的中点〕

动画演示具体过程。

思考2：按照上述思路，即不断地“取中点（一分为二）—判断—取中点（一分为二）—判断”，在求函数()ln 26f x x x =+-精确度为的零点的近似值时，何时停止“取中点”

引导学生：设经过有限次反复“取中点(一分为二)—判断—取中点(一分为二)—判断”后，得到区间(,)a b .若|a －b |<,则区间内的任何一个值都是零点的满足精确度的近似值.为方便，统一取区间端点a (或b )作为零点的近似值. 注意对精确度的解释：（近似值与真实值的误差不超过ε）

(),,

a b a b εε-<精确度为，是指在计算过程中零点落在期间上，若区间的长度：则认为已达到了所给的精确度.

给定精确

度，求()ln 26f x x x =+-的零点的过程：

由前面的分析知：初始区间为（2，3），且(2)0,(3)0f f <>

说明：以上过程由学生合作完成（两人一组，一人 负责用计算器计算，一人负责填表，共同找出函数零点的近似值）。让学生从中体会二分法“逐渐逼近”的思想，并总结出用二分法求函数零点近似值的步骤。

用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下： 1.确定区间［a,b ］，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε. 2.求区间(,)a b 的中点c.

3.计算f(c):

（1）若f(c)=0，则c 就是函数的零点；

（2）若f(a)·f(c)<0，则此时零点x 0∈(a,c)〕；（令b=c, 则区间为(,)a b ）. （3）若f(c)·f(b)<0，则零点x 0∈(c,b); （令a=c, 则区间为(,)a b ）.

4.判断是否达到精度ε；即若|a-b|<ε，则得到零点值a(或b)；否则重复步骤2~4．

课堂练习

借助计算器或计算机用二分法求方程 的近似解。（精确度） 分析：方程的解的问题可转化为函数的零点问题。

解：原方程即2370x x +-=，令()237x f x x =+-（用计算机作出函数图象）

所以，原方程的近似解为（或）

体验升华

用二分法求方程的近似解的步骤可简单用以下口诀描述： 定区间，找中点， 中值计算两边看. 同号去，异号算， 零点落在异号间. 周而复始怎么办 精确度上来判断.

237x x +=(1)2,(2)3,(1,2)

f f x =-=∴∈零点1.375-1.4375=0.0625<0.1,由于

2.5625-2.5=0.0625<0.1,由于