中考数学总复习 方程和不等式

方程（组）和不等式（组）专题

第一节 方程（组）

一、相关概念

1、解（或根）的概念：使得方程等号左右两边式子的值相等的未知数的值，譬如：2x+1=0这个方程的解或者根就是-0.5。

2、一元一次方程的概念：只含有一个未知数（一元），且未知数最高次数为1（一次）的整式方程，一般形式为：ax+b=0（a ≠0），譬如：5x+4=0。

3、二元一次方程的概念：含有两个未知数（二元），且未知数最高次数为1（一次）的整式方程，一般形式为：ax+by=0（a ≠0且b ≠0），譬如：3x+4y=0。

4、一元二次方程的概念：只含有一个未知数（一元），且未知数最高次数为2（二次）的整式方程，一般形式为：ax 2+bx+c=0（a ≠0），譬如：2x 2+4x+4=0。

5、分式方程的概念：指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。譬如：2

x 41x 2+=-。 二、方程（组）解法

1、等式的基本性质：

（1）等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等；

（2）等式两边同时乘（或除）相等的数或式子，两边依然相等；

（3）等式两边同时乘方（或开方），两边依然相等。

（1）有括号的先去括号；

（2）移项：含未知数的式子全移到同一边，常数式子移到另一边；

（3）合并同类项；

（4）将未知数的系数化为1；

看例子：(

5x 3-5)-(4

x 3+4)=0 去括号：5x 3-5-4

x 3-4=0 （去括号变符号有疑问请告诉我） 移项：5x 3-4

x 3-=9 合并同类项：(53-43)x=9，得到-20

3x=9 （通分有疑问请告诉我） 系数化为1：x=9÷(-203)=-60

3、二元一次方程组的解法：消元法打通关，将方程组化成一元一次方程来解。

解题步骤：把①②两个方程中的同一个未知数（如x ）的系数化成一样→将①②两个方程直接相减，化简成一个方程

例题：⎩⎨⎧=+-=-②①

5y 2x 55y 3x 2

把x 系数化成一样：⎩⎨⎧=+-=-②①

10y 4x 1025y 15x 10

①②两个方程直接相减：①-②得，(10x-15y)-(10x+4y)=-35 消去x 之后，得到：-19y=-35，y=

19

35

（1）直接开平法：(x+3)2=16,两边同时开平方，得到(x+3)=±4，x=1或x=-7

（2）配方法：把方程的左边化成完全平方式，然后再利用开平方法来解。这就要求对完全平方式的形式理解透彻深入。

完全平方式的形式为：(a+b)2=a2+2ab+b2。

如：x2+4x+1=0，观察可知：

带x2+4x的完全平方式是x2+4x+4=(x+2)2

所以x2+4x+1=0，可以化为x2+4x+1+3=3

得到x2+4x+4=(x+2)2=3，用开平方法得x+2=±3，x=±3-2 （3）因式分解法：

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

关键就在于，观察一次项的系数和常数项，能否分解成一个数和另一个数的和以及积。譬如：x2-4x-5=0，就可以分解成(x-5)(x+1），因式分解关键在就与观察方程的常数项，如例子中的-5，5可以由哪两个整数做因数相乘得来？很明显就1和5嘛！再观察一次项系数-4, 1和5相加减得-4？那很明显就是1和-5相加得-4嘛，所以就得到(x-5)(x+1）

（4）公式法：一般形式为：ax2+bx+c=0（a≠0）的一元二次方程

的根可以利用公式求得：x=

a2

4ac -

b b2

±

-

譬如2x2-4x+2=0，则有x=

2

2

2

2

4-

4 42

⨯

⨯⨯

-

±

-

-）

（

）

（=1

5、分式方程解法：核心思想就是将分式方程转化成整式方程，一般可以转化成一元二次方程来解，最后检验，去除增根。

步骤：通分→移项变成整式方程→解方程→检验去增根→得到根。 例题：11

-x 11x 22=-- 通分：观察两项分母，第一个是平方差，所以两项的分母可以通分为x 2-1，得到11-x 1x 1x 222=+--，整理得到11

x x 12=-- 移项变成整式方程：得1-x=x 2-1，整理得x 2+x-2=0

解方程：(x+2)(x-1)=0，x=1或x=-2

检验去增根：反代入方程后，发现x=1是增根，分式方程无意义 最后得到，方程的解为x=-2。

三、一元二次方程根的判别式和韦达定理

1、根的判别式和根的个数关系：

对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）而言，

根的判别式为：Δ=b 2-4ac

当Δ＞0，方程就有两个不相等的实数根；

当Δ=0，方程就有两个相等的实数根；

当Δ＜0，方程就没有实数根；

2、韦达定理：系数与方程两根的关系

对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）而言，

两根x 1、x 2 的和积关系如下：

x 1+x 2=-a

b

x 1x 2=a c

例题：已知关于x 的一元二次方程mx 2-(m+2)x+2=0。

（1）证明：当m 为何值时，方程总有实数根。

（2）m 为何整数值，方程总有两个不相等的正整数根。

（3）若一元二次方程的两个实数根x 1，x 2，满足mx 12-2x 1+mx 2=7，求m 的值。

（1）证明：总有实数根，只要判别式Δ=b 2-4ac=(m+2)2-8m ≥0即可，即m 2-4m+4≥0，恒有(m-2)2≥0。

得证m 取任何值，方程总有实数根。

（2）解：据公式法有x=a 24ac -b b 2±-=m 22-m 2m ）

（±+

可解得x 1=1，x 2=m 2

要方程有两个不相等的正整数根，则要求m 2≠1且m 2

为正整数，可知m=1。

（3）解：x 1为方程实数根，可知有

⎪⎩⎪⎨⎧0=2+2)x +(m -mx 7=mx +2x -mx 1212121

可得mx 2-7=2-mx 1，(x 1+x 2)=m 9

，

由韦达定理可知，x 1+x 2=-a b

， 可得m 9=m 2

m +，也就是m 2-7m=0，m(m-7)=0，可得m=7