2017年韩山师范学院本科插班生考试《高等代数》A卷

韩山师范学院2017年本科插班生考试试卷

数学与应用数学 专业 高等代数 试卷(A 卷)

一、填空(每空3分,共30分)

1.设A 、B 都就是 n 阶方阵,AB = I ( I 为单位矩阵) ,则BA = .

2、 设1123A -⎫

⎛=⎪ -⎝⎭ ,则A 的特征多项式为 、 3.多项式32()325f x x x x =--+的三个根之与等于 . 4、 已知n 元实二次型12(,,

,)n q x x x 的秩为3, 符号差为1、 则此实二次型的

典范形式为 .

5.四阶行列式

1

25

2381

3

1241

4

2

5

------=

6.设1

23A ⎫⎛⎪ =⎪

⎪⎝

⎭, 那么312(2)(3)T AD = 、 7、 二次型222

12312

31223(,,)3224q x x x x x x x x x x =+-+-的矩阵A = 、

8、 一个向量空间V 的基所含向量的个数叫做V 的 、

9.设A = { a , b },B = { 1, 2, 3, 4 },C = { x , y , z },f 、g 分别就是A 到B 、B 到C 的映射: f :a → 1,b → 3、 g :1 → x ,2 → y ,3 → z ,4 → z 、 则合成映射

g f : .

10、 已知12323ξααα=++,12322ηααα=-++,其中123,,ααα就是欧氏空间V 的规范正交基,则内积,ξη= . 二、就是非题(每题3分,共30分。您认为正确的,在题后括号内打“√”,错误的打“×”。)

1.若矩阵A 的秩为r ,由A 添加1行得到B ,再由B 添加1列得到C ,那么C 的秩为r +2、 ( )

2.若()()f x h x 且()()g x h x ,则()()()f x g x h x 、 ( ) 3、 多项式()f x 有重根当且仅当()f x 有重因式、 ( ) 4.设A , B 都就是n 阶方阵, 则det ( A +B ) = det A + det B . ( ) 5.设A 、B 都就是n 阶方阵,那么秩(AB ) ≤秩A . ( ) 6

、

实

数

集

R

不

就

是

数

域

、

( )

7.若A ,B 都就是n 阶正交矩阵,则AB 也就是正交矩阵. ( ) 8.线性变换变线性无关组为线性无关组. ( ) 9、 奇排列经过奇数次对换就变成奇排列、 ( ) 10. 实对称矩阵的特征根都就是实数. ( ) 三、证明题(共10分)

设F 就是数域,(),()[]f x g x F x ∈,且()|()g x f x 、 证明:()g x 的根都就是()f x 的根、

四、证明题(共10分)

设A就是一个幂等矩阵(若2A A

,则称A就是幂等

矩阵), 而B与A相似、证明:B就是幂等矩阵、

五、证明题(共10分)

设12,W W 就是向量空间V 的两个子空间, 证明

12W W 也就是V 的子空间、

六、计算题(共10分)

求线性方程组

123412341234

21,21,25 5.x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪

-+-=-⎨⎪-++=⎩ 的一般解、