b
x 2-=时，a b ac y 442-=最大值 ；
4．构造二次方程
利用二次方程有解的条件，由判别式0≥∆确定变量的取值范围，进而确定变量的最值．
例题与求解
【例1】当x 变化时，分式12
15
632
2++++x x x x 的最小值是 ．
（全国初中数学联赛试题）
解题思路：因分式中分子、分母的次数相等，故可将原分式用整式、真分式的形式表示，通过配方确定最小值．
【例2】已知1≤y ，且12=+y x ，则2
2
3162y x x ++的最小值为（ ）
A.
719 B. 3 C. 7
27 D. 13 （太原市竞赛试题）
解题思路：待求式求表示为关于x (或y )的二次函数，用二次函数的性质求出最小值，需注意的是变量x 、y 的隐含限制．
【例3】()2
13
22+-=x x f ，在b x a ≤≤的范围内最小值2a ，最大值2b ，求实数对(a ，b ). 解题思路:本题通过讨论a ，b 与对称轴0=x 的关系得出结论．
【例4】（1）已知2
11-
+
-=x x y 的最大值为a ，最小值b ，求2
2b a +的值． （“《数学周报》杯”竞赛试题）
（2）求使()168422
+-+
+x x 取得最小值的实数x 的值．
（全国初中数学联赛试题）
（3）求使2016414129492
2
2
2
+-+++-++y y y xy x x 取得最小值时x ，y 的值． （“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题）
解题思路：解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等．
【例5】如图，城市A 处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低？
（河南省竞赛试题）
解题思路：设铁路与公路的交点为C ，AC ＝x 千米，BC ＝y 千米，AD ＝n 千米，BD ＝m 千米，又设铁路每千米的运费为a 元，则从A 到B 的运费(
)
ay m y n a S 222+--=，通过有理化，将式子整理
为关于y 的方程．
【例6】（1）设r x ，1+r x ，…，k x （r k >），为k －r ＋1个互不相同的正整数，且x r ＋x r ＋1＋…＋x k ＝2003，求k 的最大可能值．
（香港中学竞赛试题）
（2）a ，b ，c 为正整数，且4
3
2
c b a =+，求c 的最小值．
（全国初中数学联赛试题） 解题思路：对于(1)，因r ＝1，对k －r ＋1＝ k －1＋1＝k 个正整数x 1，x 2，…，x k ，不妨设x 1＜x 2＜…＜x k ＝2013，可见，只有当各项x 1，x 2，…，x k 的值愈小时，才能使k 愈大（项数愈多），通过放缩求k 的最大值；对于（2），从(
)(
)
2
2
2
b a
c a c =+-入手．
能力训练
A 级
1．已知三个非负数a ，b ，c ，满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，则m 的最小值为___________，最大值为 ．
2．多项式p ＝2x 2－4xy ＋5y 2－12y ＋13的最小值为 ．
3．已知x ，y ，z 为实数，且x ＋2y －z ＝6，x －y ＋2z ＝3，那么x 2＋y 2＋z 2的最小值为 ．
（“希望杯”邀请赛试题）
4．若实数a ，b ，c ，满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则代数式(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2的最大值为 ( )
（全国初中数学联赛试题）
5．已知两点A (3，2)与B (1，－1)，点P 在y 轴上且使P A ＋PB 最短，则P 的坐标是（ ） A.(0，2
1-
) B.(0，0) C.(0，611) D.(0，41-)
（盐城市中考试题）
6．正实数x ，y 满足1=xy ，那么
4
441
1y x +的最小值为（ ） A.
21 B. 85 C. 1 D. 4
5
E. 2
（黄冈市竞赛试题）
7．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元/件)可近似看作一次函数b kx y +=的关系（如图所示）.
（1）根据图象，求一次函数b kx y +=的解析式；
（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S 元． ①试用销售单价x 表示毛利润；
②试问：销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销量是多少？
（南通市中考试题）
8．方程()()06122
=-+-+m x m x 有一根不大于1-，另一根不小于1，
（1）求m 的取值范围；
（2）求方程两根平方和的最大值与最小值．
（江苏省竞赛试题）
9．已知实数a ，b 满足12
2
=++b ab a ，求2
2
b ab a +-的最大值与最小值．
（黄冈市竞赛试题）
