2014-2015第2学期概率论与数理统计期末试题(含答案)

2
.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为
f
(
x,
y
)

e-(
x

y
)
,
x 0, y 0;
0,
其他.
(1)分别求 X，Y 的边缘概率密度 f X (x), fY ( y) ;
(2) 分别求 X，Y 的方差
2
3. 设 X1，X 2，，X n 为 抽 自 两 点 分 布 B(1, p) 的 样 本 ，
i1
Xi

150


200 P i1

X i 160 32

150 160
32



200 P i1
Xi
160

1.77
32



1 ( 5 2 ) 4
= (5 2 ) =0.9616 4
即至少有 150 人通过考试的概率为 0.9616……………………………………………… 10 分
P( AB) P( A)P(B)3分
所以 A 与 B 相互独立。
6
必要性：
P( AB) P( A)P(B)
P( AB) P( AB)P( A) P( A)P(B) P( A)P( AB)
P( AB) P( AB) P(B) P( AB)
P( A) P( A)



e x y dx
0

0
eyex ey , 0
y0
……………………………6 分
其他
（2） EX 1 , EY 1
VarX=1 VarY=1……………….. ………………..…………………………………….10 分
3 . 解： P( X i xi ) p xi (1 p)1xi , xi 0,1
P( X i xi ) p xi (1 p)1xi , xi 0,1 。求参数 p 的极大似然估计。 4．某厂生产的食盐的袋装重量服从正态分布 N (, 2 ) （单位：g），已知 2 9 .在生产过
程中随机抽取 16 袋食盐，测得平均袋装重量 x 496 .问在显著性水平 0.05 下，是否可
广东财经大学试题纸
2014-2015 学年第 2 学期 考试时间：120 分钟 课程名称： 概率论与数理统计（A 卷）课程代码：101084 考试班级： 13 级全校本科 共 3 页
…………………………………………………………………………………………
一、 填空题（每题 3 分， 共 30 分）
1.设 P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，则 P( AB )=________.
4
似然函数
n
n
L( p) P( X i xi ) p xi (1 p)1xi
i1
i1
n
n
xi
n xi
p i1 (1 p) i1 4分
n
n
ln L( p) xi ln( p) (n xi ) ln(1 p)
1.商店有 100 台相同型号的冰箱待售，其中 60 台是甲厂生产的，25 台是乙厂生产的，15 台是丙厂生产的，已知这三个厂生产的冰箱质量不同，它们的不合格率依次为 0.1、0.4、 0.2，现有一位顾客从这批冰箱中随机地取了一台，试求：
（1）该顾客取到一台不合格冰箱的概率； （2）顾客开箱测试后发现冰箱不合格，试问这台冰箱来自甲厂的概率是多大？

0.15 * 0.

Байду номын сангаас
60 190

0.31610分

2.
解（1） f X (x)
f (x, y)dy



e x y dy
0

0
exey ex , 0
x0
………………………………..4 分
其他

fY ( y)
f (x, y)dx
四.证明题（5 分） 证明：0<P(A)<1，证明 P(B A) P(B A) 是 A 与 B 相互独立的充要条件。
充分性：
P(B A) P(B A)
P( AB) P( AB) P(B) P( AB)
P( A) P( A)
1 P( A)
P( AB) P( AB)P( A) P( A)P(B) P( A)P( AB)
)
3
A． 1 15
B． 1 5
C． 4 15
D． 1 3
1
2．设随机变量 X 在[-2，3]上服从均匀分布，则随机变量 X 的概率密度 f (x)为(
)
A．
f
(x)

1 5
,
2 x3;
0, 其他 .
B．
f
(x)

5,
0,
2 x3; 其他 .
C．
f
(x)

1,
0,
)

(u0.025
,)
拒绝原假设。
n
4
在显著性水平 0.05 下，不可以认为该厂生产的袋装食盐的平均袋重
为 500g.
………………………………………………………………10 分
5，令
Xi

1, 第 i 个人考试通过，
0,
第i
个人考试未通过 .
i 1, 2,, 200 .
5
依题设知，P{ X i =1 } = 0.8, np=200 ×0.8=160，……………………………………… 2
分
np(1-p)=32, X 1 X 2 X 200 是考试通过人数，满足棣莫佛—拉普拉斯定理条件，
近似地有
n
200
X i np X i 160
i 1
i1
~ N (0,1) .
np(1 p)
32
………………………………………………………
…… 5 分
于是
200 P
6， 0.7; 7 -1; 8，6;
9，1
10，n 的 t
二 、选择题（每题 3 分，共 15 分）
1，D; 2，A； 3，B； 4，B； 5,B
三、计算题（每题 10 分，共 50 分）
1 . 解 A1, A2 , A3 分别表示甲乙丙厂的产品，B 表示不合格品
则 P( A1 ) 0.6, P( A2 ) 0.25 , P( A3 ) 0.15
以认为该厂生产的袋装食盐的平均袋重为 500g？（ Z 0.025 1.96 ）
5. 某公司有 200 名员工参加一种资格证书考试。按往年经验，考试通过率为 0.8。试计算这
200 名员工至少有 150 人考试通过的概率。（ ( 5
2 4
)

0 . 9616
）
四．证明题（5 分） 设 A，B 是两个随机事件，0<P(A)<1，证明 P(B A) P(B A) 是 A 与 B 相互独立的充要条件。
i 1
i 1
d
ln L( p) dp

1 p
n i 1
xi
1 1 p
(n
n i 1
xi )

0 ……………………………………………8
分
只有一个驻点
p x p ，必为 L(p)的最大值点。P 的极大似然估计是 x …………………………10 分
4．解：选择 U

X
0
P(B A1 ) 0.1, P(B A2 ) 0.4, P(B A3 ) 0.2 ……………………2.分
(1) P(B) 0.6 * 0.1 0.25 * 0.4 0.15 * 0.2 0.195分
(2)
P( A1
B)
0.6 * 0.1
0.6 * 0.1 0.25 * 0.4
0 6.设离散型随机变量 X 的分布函数是 F（x） 00..73
0.8 1
求 E(X)=
.
x -2 2 x 0 0x3 3 x 5 x5
7. 设随机变量 X～N(1，1)，为使 X+C～N(0,l)，则常数 C=_______________. 8.方差 Var(X)也常写为 D(X),已知 D(X)=2，D(Y)=1，且 X 和 Y 相互独立，则 D(X-2Y)＝ .
2 x3; 其他 .
D．
f
(x)


1 5
,
2 x3;
0,
其他 .
3. 设 X~B(10, 1 ), 则 D(X) （
）
3
E(X)
A. 1
B. 2
C.1
3
3
D. 10 3
4．设二维随机变量(X，Y)的协方差 Cov(X，Y)= 1 ，且 D(X)=4，D(Y)=9，则 X 与 Y 的相关系 6
数 XY 为（
）
A． 1
B． 1
C． 1
D．1
216
36
6
5. 下列公式中，属于正确切比雪夫不等式的是（ ）
A.
PX



2 2
B.
PX



2 2
C.
PX



1
2 2
D.
P
X
2
2 2
三、计算题（每题 10 分，共 50 分）
1 P( A)
P(B A) P(B A)
……..………..………………...5 分
7
3
广东财经大学试题参考答案及评分标准
2014-2015 年第二学期 课程名称 概率论与数理统计（A 卷） 共 3 页
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一、 填空题（每题 3 分，共 30 分）
1，0.6； 2，0.3； 3, 0.5； 4，0； 5，2, 0.4；
2.设随机变量 X 的分布律为
X -1 0
1
2
P 0.1 0.2 0.3 0.4
则 P{x<1)=______．
3.设随机变量 X 服从区间[1,5]上的均匀分布，则 P{0 X 3}
.
4.设随机变量X服从参数为5的指数分布，则P{X=5}=_________.
5. 设随机变量 X~B（n, p）,已知 E(X)=0.8，D(X)=0.48，则 n，p 的值分别是 , .
, …………………………………………………3 分
n
若 0 ，则 U~N(0,1), 由此得拒绝域 (,Z 0.025 ) (Z 0.025 ,) ，……………………………7 分
代入 x 496 得，
U

X
0

496 500 3


16 3

(,
u0.025
9. 若两个随机变量 X，Y 之间的关系是 Y= 3X+8，则 X 与 Y 的相关系数 XY =
.
10.设 X ~ N（0，1）, Y ~ 2 (n) ,且 X,Y 相互独立,则 X n 服从 Y
自由度为
分布.
二 、选择题（每题 3 分，共 15 分）
1．设事件 A，B 相互独立，且 P(A)= 1 ，P(B)>0，则 P(A|B)=(