二次函数经典解题技巧

龙文教育学科教师辅导讲义

（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．

…

解：（1）根据题意，得

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

+

⨯

-

⨯

=

-

+

-

⨯

-

-

⨯

=

.

4

5

,

)1

(

4

)1

(

2

2

c

a

c

a

…2分

解得

⎩

⎨

⎧

-

=

=

.5

,1

c

a

…………………………3分

∴二次函数的表达式为5

4

2-

-

=x

x

y．……4分

（2）令y=0，得二次函数5

4

2-

-

=x

x

y的图象与x轴

的另一个交点坐标C（5, 0）.……………5分

由于P是对称轴2

=

x上一点，

连结AB，由于26

2

2=

+

=OB

OA

AB，

—

要使△ABP的周长最小，只要PB

PA+最小.…………………………………6分

由于点A与点C关于对称轴2

=

x对称，连结BC交对称轴于点P，则PB

PA+= BP+PC =BC，根据两点之间，线段最短，可得PB

PA+

的最小值为BC.

因而BC与对称轴2

=

x的交点P就是所求的点.……………………………………8分

设直线BC的解析式为b

kx

y+

=，根据题意，可得

⎩

⎨

⎧

+

=

-

=

.

5

,5

b

k

b

解得

⎩

⎨

⎧

-

=

=

.5

,1

b

k

所以直线BC的解析式为5

-

=x

y.…………………………………………………9分

因此直线BC与对称轴2

=

x的交点坐标是方程组

⎩

⎨

⎧

-

=

=

5

,2

x

y

x

的解，解得

⎩

⎨

⎧

-

=

=

.3

,2

y

x

所求的点P的坐标为（2，-3）.……………………………10分

压轴题中求最值

,

此种题多分类讨论，求出函数关系式，再求各种情况的最值，最后求出最值。

典型例题：

1如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）.

⑴△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______；

⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求

①当0＜x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式； ②当2＜x ≤6时，y 与x 之间的函数关系式；

⑶探求⑵中得到的函数y 在x 取含何值时，存在最大值，并求出最大值.

|

解：⑴ x ，D 点 ：

⑵ ①当0＜x ≤2时，△EFG 在梯形ABCD 内部，所以y ＝4

3x 2； ②分两种情况：

Ⅰ.当2＜x ＜3时，如图1，点E 、点F 在线段BC 上， △EFG 与梯形ABCD 重叠部分为四边形EFNM ，

∵∠FNC ＝∠FCN ＝30°,∴FN ＝FC ＝6－2x.∴GN ＝3x －6. 由于在Rt △NMG 中，∠G ＝60°，

所以，此时 y ＝

4

3

x 2－

8

3（3x －6）2＝2392398372-

+-x x . Ⅱ.当3≤x ≤6时，如图2，点E 在线段BC 上，点F 在射线CH 上，

△EFG 与梯形ABCD 重叠部分为△ECP ， ∵EC ＝6－x, 【 ∴y ＝

8

3（6－x ）2＝239233832+

-x x . ⑶当0＜x ≤2时，∵y ＝4

3x 2

在x ＞0时，y 随x 增大而增大， ∴x ＝2时，y 最大＝

3；

当2＜x ＜3时，∵y ＝2

3

92398372-

+-x x 在x ＝718时，y 最大＝739； 当3≤x ≤6时，∵y ＝2

3

9233832+-x x 在x ＜6时，y 随x 增大而减小， ∴x ＝3时，y 最大＝8

3

9.

综上所述：当x ＝718时，y 最大＝73

9

如图，直线

64

3+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点；直线x y 45

=与AB 交于点C ，与过点A 且平行于y 轴的直线交于点D.

点E 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿x 轴向左运动.过点E 作x 轴的垂线，分别交直线AB 、OD 于P 、Q 两点，以PQ 为边向右作正方形PQMN.设正方形PQMN 与△ACD 重叠部分（阴影部分）的面积为S （平方单位），点E 的运动时间为t （秒）. （1）求点C 的坐标.

}

（2）当00时，直接写出点（4，

2

9

）在正方形PQMN 内部时t 的取值范围. 【参考公式：二次函数y=ax 2+bx+c 图象的顶点坐标为（a

b a

c a b 44,22

--）.】

B E → F → C

A D

G

B E F C

A D

G

N

}

图1

B E

C A

D G P H

.