导数的概念PPT课件

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导数的概念ppt课件

解: y x x x,
y x x x
x
x
y' y x
1
x x
x x x x
1 ,当x 0时的值。 x 2x
例3 某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)t=2的瞬时速度； (2) 求该质点的速度； (3)求该质点的加速度.
作业2：航天飞机发射后的一段时间内，第t秒末的高度h(t)＝30t2＋45t，其中h的单位是m， t的单位是s．
v在t0的瞬时速度
f (t0 t) t
f (t0 )
当t 0时
以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过
取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。其实函数在某一点处的瞬时变化率---------导数。
导数的概念
一.导数的概念
函数 y f ( x)在区间（a, b)有定义， x0 （a, b)
(4) f(x) ＝ 1 ； x
并把A
叫做函数 y f (x)在点 x0处的导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤:
(2) 算比值 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
(3) 求y
x x0
xy .在x x
x
0时
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数
解： y [(1 x)2 2] (12 2) 2x (x)2
y 2x (x)2
2 x
x
x
y 2 x,当x 0时 x
y' |x1 2
变题.求y=x2+2在点x=a处的导数
例2.若f (x) (x 1)2 , 求f (2)和( f (2))

高等数学导数的概念教学ppt课件.ppt

h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第二章导数与微分
第一节导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解：(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
15
第二章导数与微分
第一节导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导左导数 f( x0 ) 和右导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,

导数的概念课件

03
通过求解能量和功率函数的导数，可以得到物体的能量守恒关
系。
05
导数的实际应用案例分析
导数在经济学中的应用案例分析
边际分析和最优化问题
导数可以用来分析经济函数的边际变化，帮助决策者找到经济活动的最优解。例如，在生产函数中，通过求导可以找到生产要素的最佳组合。
弹性分析
复合函数的导数
复合函数的导数是内外函数导数的乘积
$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \times g'(x)$
举例
$(sin(x^2))' = cos(x^2) \times 2x$
03
导数在几何中的应用
导数在曲线切线中的应用
切线的斜率
导数可以用来表示曲线在某一点的切线斜率，斜率越大，曲线在
THANKS
感谢观看
该点的变化率越大。
切线的方向
导数还可以用来确定曲线在某一点的切线方向，即函数值增加或
减少最快的方向。
极值点与拐点
导数的符号可以用来判断函数在某一点的极值点与拐点，当一阶导数大于0时，函数在该点单调递增；当一阶导数小于0时，函
数在该点单调递减。
导数在曲线长度中的应用
曲线长度的计算
通过利用导数求出曲线的斜率，可以计算出曲线的长度，即曲线与x轴围成的面积。
导数可以用来计算需求的弹性，即需求量对价格变动的敏感程度。这可以帮助企业了解产品价格的变动对市场需求的影响，从而制定更合理的定价策略。
导数在物理学中的应用案例分析
速度和加速度
在物理学中，导数被用来表示物体的速度和加速度。例如，一个物体的位移对时间的导数就是它的速度，速度对时间的导数就是它的加速度。

【高中数学课件】导数及其应用ppt课件

求闭区间上函数的最值的方法：
比较极值与区间端点处函数值的大小。
欢迎指导
fn ' 1n 1 n 1 fn 'n
2对函 fnxx 数 nxan求导 :fn 'x 数 nn 1 x n x a n 1
f n 'n n n n 1 n a n 1 . 又 x a 当 0 时 ,fn 'x 0 .
当 x a 时 ,fnx xn x a n 是x 关的于增 . 函
【高中数学课件】导数及其应用ppt课件
一、导数的定义
定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在
点x0处有增量Dx时，D y函数值有相应的增量Dy=f(x0+ Dx)- f(x0)
如果当Dx0 时，D x 的极限存在，这个极限就叫做函数 f(x)在 x=x0处的导数（或变化率）记作 f(x0)或 y|xx0 即
若ｘ＜ｘ０时， f ' (x)＜０且, ｘ＞ｘ０时， f ' (x)＞０则ｆ（ｘ）在ｘ０
处有极小值．
若ｘ＜ｘ０时，f ' (x) ＞０且, ｘ＞ｘ０时，f ' (x) ＜０则ｆ（ｘ）在ｘ０处
有极大值．
显然在极值处函数的导数为０．
y
极大值
极大值
x0
x
0
极小值
极小值
【知识在线】:
１．函数ｙ＝２ｘ３＋４ｘ２＋１的导数是__y____6_x_2___8_x_.
２.函数y=f(x)的导数y/>0是函数f(x)单调递增的（ B ）
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
３.函数y=x2 (x-3),则f(x)的单调递减区间是_(_0_,2_)_,单调递增区间为_(_-_∞_,_0_) _, _(2_,_+_∞_)__。

导数的概念-课件-导数的概念

导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等领域，导数被用于优化设计、控制工程和流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等领域，导数被用于计算图像处理、数据拟合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐点、曲线的形状等方面有重要应用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导，则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。

导数的课件ppt

导数的课件
目录
Contents
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 导数的定义与几何意义
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数值随自变量变化的瞬时速度。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。具体来说，对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$定义为函数在$x_0$附近的小范围内变化时，函数值$f(x)$随自变量$x$变化的瞬时速度。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。也就是说，对于可导函数 $f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$等于函数图像在点$(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的，导数即为函数在某一点处的切线斜率。
通过导数的符号变化，可以判断函数的凹凸性。
详细描述
在凹区间内，二阶导数大于0；在凸区间内，二阶导数小于0。
04 导数在实际问题中的应用
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和加速度，例如在分析物体的运动轨迹时，可以运用导数来计算瞬
时速度和加速度。
弹性分析
在物理中，弹性分析是一个重要的概念，导数可以用来描述弹性体的应变和应力之间的关系，帮助我们理解物体的弹性行为。
对于两个函数的和或差，其导数等于两个函数导数的和或差。
乘法运算规则
对于两个函数的乘积，其导数为两个函数导数的乘积加上被乘函数自身的导数。

《导数定义》课件

2023
《导数定义》ppt课件
REPORTING
2023
目录
• 导数定义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史发展
2023
PART 01
导数定义
REPORTING
导数的定义
总结词
导数的定义是函数在某一点的变化率，是函数在这一点附近的小范围内取值的平均变化率的极限。
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率，即函数在该点的切线斜率。具体来说，对于可微函数，其导数是函数值随自变量变化的速率。
隐函数的导数
总结词
隐函数的导数是导数计算中的另一个重要内容，掌握隐函数的导数计算方法有助于解决实际问题。
详细描述
隐函数的导数是通过对隐函数求偏导数来得到的，其核心思想是利用偏导数和全微分的概念，将隐函数转化为显函数，然后利用显函数的导数计算方法进行计算。
2023
PAR学等。
导数的早期应用
物理学的应用
在研究速度、加速度、斜率等问题中，导数发挥了关键作用。
经济学应用
在研究成本、收益、效用和供需关系时，导数提供了重要的分析
工具。
工程学应用
在优化设计、控制理论和流体动力学等领域，导数也有广泛应用
。
导数在现代数学中的地位
导数是微积分的重要组成部分，是研究函数性质和变化率的关键
详细描述
导数具有一些重要的基本性质，如线性性质、常数性质、乘积法则、商的法则和链式法则等。这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的形状等方面具有广泛应用。
2023
PART 02
导数的计算
REPORTING
导数的四则运算
总结词
理解导数的四则运算法则是掌握导数计算的基础，包括加法、减法、乘法和除法。

《高等数学导数》课件

答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的最小变化率，即函数在这一点处的切线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论推导出来的，通过这些法则，可以方便地求出复杂函数的导数。

高等数学导数的概念ppt课件.ppt

x0 处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
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定理2. 函数是
在点可导的充分必要条件且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数在点处右 (左) 导数存在
在点必右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
机动目录上页下页返回结束
作业
P49 5 , 7, 9
第二节目录上页下页返回结束
备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
机动目录上页下页返回结束
练习：讨论下列函数在x=0时候的连续性与可导性.
练习：习题2.1题8
f
x
xk
sin
1 x
,
x0
0, x 0.
若函数在x 0连续，则
lim f x lim xk sin 1 f 0 0,
x0
x0
x
必须满足 lim xk 0， k 0即可. x0
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
机动目录上页下页返回结束

《导数的概念及应用》课件

以判断函数的单调性。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需满足一定的条件。在极值点处，导数的符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在这一点的一阶导数存在，那么这个点可能是函数的极值点。为了确定这一点是否为极值点，需要检查该点两侧的导数符号是否发生变化。如果导数的符号在这一点从正变为负或从负变为正，则该点为极值点。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示函数在该区间内单调递减。因此，通过分析二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中，导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。

导数概念课件

02
导数的性质
函数单调性与导数的关系
总结词
函数单调性与导数正负有关
详细描述
如果函数在某区间的导数大于0，则函数在此区间单调递增；如果导数小于0，则函数在此区间单调递减。
极值与导数的关系
总结词
极值点导数为0或不存在
详细描述
函数在极值点处的导数为0或不存在，即一阶导数为0或不可导点。
曲线的切线与导数的关系
导数概念ppt课件
• 导数的基本概念 • 导数的性质 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史与发展
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率的重要工具斜率，它描述了函数在该点附近的局部变化趋势。通过求导，可以找到函数值随自变量变化的速率和方向。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线斜率，它反映了函数图像在该点的切线状态。
详细描述
在几何上，导数表示函数图像在某一点的切线斜率。这个切线与x 轴的夹角即为该点的导数值，表示函数在该点附近的变化趋势。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义在于描述物理量随时间或空间的变化率。
详细描述
在物理学中，许多物理量都可以表示为函数形式，如速度、加速度、密度等。导数可以帮助我们理解这些物理量如何随时间或空间变化，从而揭示物理现象的本质。例如，速度是位移函数的导数，加速度是速度函数的导数等。
对于两个函数的乘积，其导数为第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数。即，若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导，则 $(uv)' = u'v + uv'$。
对于两个函数的商，其导数为被除函数的导数除以除函数的导数。即，若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导且 $v(x) neq 0$，则 $frac{u'}{v'} = frac{u'v}{uv'}$。

3.1 导数的概念课件 (共21张PPT)《高等数学》(高教版).ppt

(2)若极限点处的右导数，记作
,即：
存在，则称其为函数在
定理1 函数
在点处可导的充分必要条件是
在点处的左导数和右导数都存在且相等，即
．
例1 讨论函数
在处的连续性和可导性．
解:因为
又
，所以函数
在处的连续.
由于
，所以函数
在处不可导．
例2 讨论函数
解:因为连续.
又因为处不可导．
在处的连续性和可导性．
在点
分析:设函数
在点处可导，则
故函数
在点处一定连续．
随堂练习
1、设解:
，判断在点函数
处的连续性与可导性. 在处连续.
函数在处不可导.
2、若函数
处处可导，求的值.
解: 函数在处可导，则在
处处可导.由于函数
可导必连续.得
再根据函数在处可导，
则左右导数存在且相等.
故
时，
函数在点
或，即
函数
在点处的导数就是导函数在点处的函数值
，即
注：若函数
在区间
在区间上不可导.
内有一点处不可导，则称函数
由导数的定义可知，求函数
个步骤：
(1)求增量
；
(2)算比值
；
(3)取极限
例1 求函数
的导数．
解：
常量函数的导数为
的导数可分为以下三．
例6 求函数解：
的导数．
例7 求函数解：
,所以函数
在处的
，所以函数
在
从图形上看，曲线线．这也说明函数原点外，处处可导.因连续.
在原点O处具有垂直于轴的切

导数概念ppt

Δx→0
f(xo
+Δx)Δx
f(xo )=
Δx→0
Δf , Δx
lim lim f (xo)
注：
Δx→0
f(xo
+Δx)Δx
f(xo )=
Δx→0
Δf , Δx
1)函数x=x0在处有定义；
2)△x→0， △x可正、可负、但不为0； △y 可能为0。
3)△y 是函数自变量x在△x范围内的 △x
平均变化率;
x
四、求导举例：
例1、求函数f(x)=x2+x,求y’|x=2.
练习：求y=x2在x=1处的导数。
例2、设函数f(x)在xo处可导，
则 lim f(xo -△x)- f(xo ) 的值是 -f(xo ).
△x→0
△x
(A)练习：1）设函数f(x)在x=1处可导，
则 lim f(1+△x)- f(1) 的值是
即：物体运动的瞬时速度是路程增量与时间增量之比当时间增量趋于零时的极限。
二、导数的概念
函数f(x)在 x=xo 处的瞬时变化率是
lim lim f(xo +Δx)- f(xo )= Δf ,
Δx→0
Δx
Δx→0 Δx
这就是函数y=f(x)在x=xo 处的导数
记作
lim 即
f
(xo )
4）在x=xo处的导数反映的是函数在 x=xo处变化的快慢程度。
三、根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数的
三个步骤：
1.求增量： y f (x x) f (x)
2.算比值： y f (x x) f (x)
x
x
3.取极限： y lim y lim f (x x) f (x)

导数的概念课件

导数的物理性质
速度与加速度
在物理中，导数可以表示速度和加速度。例如，物体运动的瞬时速度是位移函数的导数；物体运动的瞬时加速度是速度函数的导数。
斜率与加速度
在工程学中，斜率可以表示物体的加速度。例如，在电路中，电流的变化率可以表示为电压函数的导数；在机械系统中，速度的变化率可以表示为力函数的导数。
利用导数研究函数的曲率
总结词
描述函数曲线的弯曲程度
详细描述
导数的二阶导数可以用来描述函数的曲率。二阶导数越大，表示函数曲线在该点越弯曲；二阶导数越小，表示函数曲线在该点越平坦。通过计算二阶导数，可以了解函数曲线的弯曲程度。
04
导数在实际生活中的应用
导数在经济学中的应用
总结词
导数在经济学中有着广泛的应用，它可以帮助我们理解经济现象的变化率和优化经济决策。
链式法则
商的导数公式
若$u(x)$和$v(x)$在某点可导，且 $v(x) neq 0$，则$frac{u'(x)}{v'(x)}$ 存在。
若$u(x)$在某点可导，$f$是常数，则复合函数$f(u(x))$在同一点也可导，且$(f circ u)' = f' times u'$。
导数的几何性质
导数在数学分析、函数研究、优化问题、经济学等领域中有着广泛的应用，是解决许多问题的重要工具。
导数的发展趋势与未来展望
发展趋势
随着科学技术的发展，导数在各个领域的应用越来越广泛，如物理学、工程学、经济学等。同时，对导数本身的研究也在不断深入，如对高阶导数、复合导数、变分法等的研究。
未来展望
导数的起源与早期发展
起源
导数起源于17世纪，最初是为了解决物理学和几何学中的问题，如速度和切线斜率等。

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