导数的概念PPT课件

4 x 4
4(4 x)
x x
y 4(4 x) 1 1 ,
x
x
4(4 x)
lim x0
y x

lim [1
x0
1] 4(4 x)
1 1 16

15 16
,
y |x4
15 16
.
如果函数y＝f(x)在区间(a,b)内每一点都可导,就说
导数的概念
导数的概念
一个是曲线的切线的斜率,一个是瞬时速度,具体意 义不同,但通过比较可以看出它们的数
y
学表达式结构是一样的,即计算极限
lim
x 0
x
,这就是我
们要学习的导数的定义.
定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当
自变量x在点x0处有改变量Δ x时函数有相应的改变量
Δ y=f(x0+ Δ x)- f(x0).如果当Δ x0 时,Δ y/Δ x的极限
x)3

1 3
x3
3
x x0
x0
1 3x2x 3x(x)2 (x)3
x
y y 1 x3
4
3
lim
3 x0
x
3
P
1 lim[3x2 3xx (x)2 ] x2 . 3 x0
2 1
x
y |x2 22 4.
-2 -1 O 1 2
(1)求 函 数 的 增 量y f ( x x) f ( x);
( 2)求 函 数 的 增 量 与 自 变 量的 增 量 的 比 值:
y f ( x x) f ( x) ;
x
x
(3)求 极限 ， 得 导函 数y
f ( x)
lim
y
.
例1：已知y x，求y.
x x0
x0
x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
当x0 (a, b)时,函数y f (x)在点x0处的导数f (x0 ) 等于函数f (x)在开区间(a,b)内的导(函)数f (x)在点x0处的 函数值.
如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数在点x0处 连续．
求函数y=f(x)的导数可分如下三步:
x
x
x( x0 x x0 )

1
x0 x
y lim lim
x0 x x0
. x0
1
x0 x
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:
y f ( x0 ) f ( x0)( x x0 )
例2:如图,已知曲线
y

1 3
x3上一点P(3,9)
,求:
(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
解 ：(1) y

1
x3 ,
y

lim
y

lim
1Байду номын сангаас(x 3
即点P处的切线的斜率等于4.
-1
-2
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
例2 :已 知 函 数y x在x x0处 附 近 有 定 义, 且y'|x x0

1 2
,求x0的 值.
解 :y x0 x x0 ,
y x0 x x0 ( x0 x x0 )( x0 x x0 )
x0 x
解：y x x x , y x x x ,
x
x
x
y lim y lim x x x lim
1
x x0
x0
x
x0 x x x
1. 2x
4.导数的几何意义
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲 线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 f ( x0 ).
解：(1)y (2 x)2 22 4x (x)2,
y 4x (x)2 4 x,
x
x
lim x0
y x

lim (4
x0

x)

4,
y
|x2
4.
(2)y (4 x) 1 (4 1) x x ,
存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化 率)记作 f ( x0 )或y |x x0即, :
f
( x0 )
y lim x0 x

lim
x0
f (x0
x) x
f
(x0 ) .
如瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数.
y f ( x0 x) f ( x0 ) 是函数f(x)在以x0与x0+Δ x
x
x
(3)取 极 限 ， 得 导 数f
(
x0
)

lim
x0
y x
.
注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
例1:(1)求函数y=x2在x=2处的导数; (2)求函数y=x+1/x在x=4处的导数.
函数y＝f(x)在区间(a,b)内可导.这时,对每一个x(a,b)
都有唯一确定的导数值与它对应,这样在区间(a，b)内
就构成一个新的函数.这个新的函数叫做函数f(x)在区
间(a,b)内的导函数,记作 f ( x )或y(必 要 时 记 作yx ),即:
f ( x) y lim y lim f ( x x) f ( x)
x
x
为端点的区间[x0,x0+Δ x](或[x0+Δx,x0])上的平均变化 率,而导数则是函数f(x)在点x0 处的变化率,它反映了函 数随自变量变化而变化的快慢程度．
事 实 上 ， 导 数 也 可 以 用下 式 表 示 ：
f
( x0 )

lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x) 在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数 f(x)在点x0处 不可导.
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是:
(1)求 函 数 的 增 量y f ( x0 x ) f ( x0 );
(2)求 平 均 变 化 率y f ( x 0 x) f ( x0 ) ;