第七章 微分方程测试题A卷
第七章微分方程练习题
第七章微分方程练习题一、选择题1.下列是微分方程的是 ( ) .A. dx x dy )14(-=；B.12+=x y ；C.0232=+-y y ；D.0sin =⎰xdx .2.微分方程0'3"22=+-xy yy xy 的阶数是 ( ) .A. 1；B.2；C.3；D.4.3.方程dt t dw w 2542=-是 ( )阶微分方程.A. 1；B.2；C.3；D.4.4.微分方程02=+'-''y y x y x 的通解中任意常数的个数是 ( ) .A. 1；B.2；C.3；D.4.5. 微分方程yx dx dy -=满足初值条件过点（0，1）的解是( ) . A. 122=+y x B. 12=+y x C. 12=+y x D. 1=+y x6. 下列微分方程是可分离变量方程的是（ ）.A. 0)1()3(=+++-dy y x dx y xB. 023=+xdy ydxC. 0213=++--dy y x dx y x )()(D. 0)2()34(=++-dy y x dx y x7.微分方程xy y ='的一个解是( ) . A.3221+=x e y ； B.2221+=x e y ； C.1221+=x e y ； D.221x e y =.8.下列是齐次的线性微分方程的是（ ）. A.2x y dx dy +=； B.x y dxdy sin =； C.1cos '=+x y y ； D.1cos '=-y y .9.下列是齐次方程的是（ ）. A.y x dx dy +=10； B.x e y dxdy -=+； C.x y y x dx dy +=； D.x x x y dx dy sin =+.10.微分方程23x y ='的通解是（ ）；A.33x y =B. C x y +=33C. 3x y =D. C x y +=3 二、填空题1.微分方程0222=+x k dtx d 通解中任意常数的个数是 ； 2.表示未知函数、未知函数的_______与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程；3.满足初值条件50==x y的函数C y x =-22中的C 等于 ；4. 微分方程02'12=++xy y x ）（满足初值条件10==x y 的特解是_______； 5.微分方程12+='x y 的通解是 ；三、判断题1.04=-''-'''y y y 是三阶微分方程.（ ）2.)(])()(2[022x xy dt t y t t y x =++⎰是齐次方程.（ ） 3.0522=++x y y 不是微分方程.（ ）4.微分方程0)2()(22=---dy xy x dx y xy 可分离变量.（ ）5一阶微分方程1cos '=+x y y 是齐次的.（ ） 四、计算题1.求微分方程0tan sec tan sec 22=+xdy y ydx x 的通解.2.求微分方程dx dy xy dx dy xy =+22的通解. 3.求微分方程23=+y dxdy 的通解. 五、证明题1.函数kt kt x sin C cos C 21+=是微分方程0222=+x k dxy d 的解.六、综合题1.一个半球体形状的雪堆，其体积融化率与半球面面积A 成正比，比例系数k>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体形状，已知半径为0r 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的87，问雪堆全部融化需要多少时间？ 2.设有联结点O （0，0）和A （1，1）的一段向上凸的曲线弧OA ︵,对于OA ︵上任一点P （x,y ），曲线弧OP ︵与直线段OP 所围图形的面积为2x ，求曲线弧OA ︵的方程。
第七章：微分方程单元练习
微分方程单元练习的解，是方程、设0)(1sin =−′+′′=x e y y x f y )1994(][)(0)(0．在，则且x f x f =′(A ) ；的某个邻域内单调增加0x (B ) ；的某个邻域内单调减少0x (C ) 处取极小值；0x (D ) 处取极大值．0x 解是方程的解，因为)(x f ，又0)(0=′x f 0sin 0)(x e x f =′′所以有，0>的极小值．是函数故)(0x f x ．应选C C 满足关系式、设连续函数)(2x f )1991(][)(2ln )2()(20．等于，则x f dt tf x f x ∫+=(A ) ；2ln x e (B ) (C ) (D ) 解，)(2)(x f x f =′∵，dx x f x df 2)()(=∴，解得x Ce x f 2)(=，又2ln )0(=f ，故2ln =C ．应选B B ；2ln 2x e ；2ln +x e .2ln 2+x e ，2ln )(2xe xf =∴的特解，具有形如、方程][13−=−′′x e y y )1989(为常数．，其中b a (A ) ；b ae x +(B ) (C ) (D ) 解，特征方程为012=−r 是单特征根，又11=λ所以原方程有形如的特解，b axe y x +=*．应选B B ；b axe x +；bx ae x +．bx axe x +，特征根为12,1±=r 不是特征根，又02=λ解原方程可化为，y x dxdysin sin 2⋅=变量分离得，dx x dy y sin 2csc =两边积分得，x C y y cos 2ln )cot ln(csc −=+−即，x y C cos 22tan ln −=或，xey C cos 22tan −=，20π==x y ，2−=∴e C 故所求特解为．)cos 1(22tan x e y−=又．，、解方程2)cos()cos(40π=+−−=′=x y y x y x y ．、解方程y y x y =′−)(53解原方程即为，xy y dx dy −=3变形得，yxy dy dx −=2即，2y y x dy dx =+这是一阶非齐次线性方程，其中，yy P 1)(=，2)(y y Q =所以原方程的通解为)(2C dy ey ex ydy ydy +∫∫=∫−)(ln 2ln C dy e y e y y +=∫−)(13C dy y y+=∫．yC y +=341．、解方程y y x y x +−=′226解原方程即为，xy y x x dx dy +−=221时，当0>x ，有x yx y dx dy +−=221，令x y u =方程可化为，u u dx du x u +−=+21即，x dx udu =−21两边积分得Cx u ln arcsin =⇒)sin(ln Cx u =故此时方程的通解为；)sin(ln Cx x y =时，当0<x ，有x y x y dx dy +−−=221，令x y u =方程可化为，x dx udu −=−21，x Cu ln arcsin =故此时方程的通解为．)sin(ln xCx y =．、解方程)4sin(167ϕ+=+′′x y y 解原方程可化为，x x y y 4cos sin 4sin cos 16ϕϕ+=+′′特征方程为，0162=+r 特征根为，i r 42,1±=所以，x C x C Y 4sin 4cos 21+=又=+ωλi i 4为单特征根，，)4sin 4cos (*x B x A x y +=∴代入原方程解得，ϕcos 81−=A ，ϕsin 81=B )4sin sin 4cos (cos 8*x x x y ϕϕ−−=∴，)4cos(8ϕ+−=x x所以原方程的通解为．)4cos(84sin 4cos 21ϕ+−+=x xx C x C y ．，求，、已知)()0()()(810x x x n dt tx ϕϕϕ≠=∫解，令x t u =则原式可化为，∫=xx n du u x 0)()(1ϕϕ即，∫=xx x n du u 0)()(ϕϕ等式两边求导得)()()(x x n x n x ϕϕϕ′+=⇒，xn x n x )()1()(ϕϕ−=′变量分离得，xn n x x )1()()(−=′ϕϕ两边积分得，C x nnx ln ln 1)(ln +−=ϕ所以．n nx C x −=1)(ϕ解特征方程为，0122=++r r 特征根为，12,1−=r ，所以x e x C C Y −+=)(21是二重特征根，又1−=λ，x e B Ax x y −+=∴)(*2代入原方程解得，61=A ，0=B 所以原方程的通解为，xe x x C C y −++=)6(321，，又0111=′==−=x x y e y 解得，311=C ，212=C 故所求特解为．xe x x y −++=)6231(3且在过点、求方程),1(2910−−=+′+′′e M xe y y y x 轴的切线的积分曲线．处有平行于点x M 0解曲线在点P (x , y )处的法线方程为，)(1x X y y Y −′−=−得，令0=X ，y xy Y ′+=，即02=+xdx ydy ，积分得C y x =+222故所求曲线方程为．，，)00(1222≥≥=+y x y x ，过点线、设位于第一象限的曲)21,22()(10x f y =，轴的交点为处的法线与其上任一点Q y y x P ),(轴平分．被且线段x PQ ，的坐标为故点),0(y x y Q ′+，由题设知0=′++y xy y ，由2122==x y ，解得1=C 的方程；求曲线)()1(x f y =，上的弧长为在已知曲线l x y ],0[sin )2(π=)2003()(．的弧长表示曲线试用s x f y l =，上的弧长为在已知曲线l x y ],0[sin )2(π=．的弧长表示曲线试用s x f y l )(=．，，)00(1222≥≥=+y x y x 上的弧长为在曲线],0[sin πx y =∫+=π02cos 1dx x l ∫+=202cos 12π，dx x 的参数方程为，，又曲线)00(1222≥≥=+y x y x ，，，)20(sin 22cos π≤≤==t t y t x ∫+=∴2022cos 21sin πdt t t s ∫+=22sin 121πdtt ∫+=202cos 121πdt t ．22l =满足关系式、设连续函数)(11x f )1992()()(2)(20．，求x f x dt t f x f x=+∫解，x x f x f 2)(2)(=+′等式两边关于x 求导得)21(222C e xe e x x x +−=−故所求函数为．2121)(2−+=−x e x f x )2()(22C dx xe e x f dxdx +∫∫=∴∫−)2(022∫+=−xx x C dx xe e ，212−+=−x Ce x ，又0)0(=f ，21=∴C 求其通解．解是方程的另一特解，设12)(y x u y =，其中c u ≠，又112y u y u y ′+′=′，11122y u y u y u y ′′+′′+′′=′′代入方程并化简有，022111=′+′′+′′y u xy u y u ，，又211sin cos sin x xx x y x x y −=′=∵代入上式有，0cot 2=′+′′u x u dx x e C u ∫=′−cot 21故有，x C x C 2121csc sin ==dx x C u ∫=21csc 21cot C x C +−=，取x u cot =，xxy cos 2=∴所以方程的通解为.cos sin 21xxC x C y +=的一个特解，是方程、已知02sin 121=+′+′′=y y xy x x y 解由题意可知所求微分方程应为一阶方程，在所给方程两端求导有，0=−′+C y y x ，又xyx C 222+=故所求微分方程为，0222=+−′+xy x y y x .0222=−+′y x y xy 即为通解的微分方程．求以、02)1(1322=−+Cx y x 解由题意可知所求微分方程应为三阶方程，在所给方程两端求导三次有，23231)(c x c c c y +−=′从而，，3332c x y y c x y y +−=′′′′′+−=′′′，即y y y y ′′′′′=′′′23故所求微分方程为.2)(32y y y ′′′′=′′，是某一微分方程的通解已知321)2(c x c x c y ++=方程．为任意常数，求此微分，，其中321c c c ，33231)(2c x c c c y +−−=′′，43231)(6c x c c c y +−=′′′解由题意可知所求微分方程应为四阶常系数齐次，，i r r ±==4,32,11故其特征方程为，0)1()1(22=+−r r ，即01222234=+−+−r r r r 故所求微分方程为.0222223344=+−+−y dx dydxy d dx y d dx y d 线性方程，且其特征根为是某一若x C x C xe C e C y x x sin cos )3(4321+++=程．程的通解，求此微分方常系数齐次线性微分方为任意，，其中已知函数b a x be ae y x x 1)4(−++=−足的线性微分方程．常数，试求此函数所满解由题意可知所求微分方程应为二阶常系数非齐次线性方程，且其特征根为，12,1±=r 故其特征方程为，012=−r 所以对应的齐次方程为，0=−′′y y 故所求方程应为，)(x f y y =−′′是方程的特解，代入得又1*−=x y ，1)(+−=x x f 因此所求微分方程为.1+−=−′′x y y微分方程、已知二阶常系数线性14，的一个特解为x x x e x e y e y y y )1(2++==+′+′′γβα)1993(，并求方程的通解．，，试求常数γβα解将已知特解代入方程，有，x x x x e xe e e γβαβαβα=++++++++)1()32()42(2线性无关，，，因为x x x xe e e 2从而有，042=++βα，，，解得123−==−=γβα，所以原方程为x e y y y −=+′−′′23解得方程的通解为，γβα=++32，01=++βα，x x x x e x e e C e C y )1(2221++++=．或x x x xe e C e C y ++=221解在所给方程两端求导，有)()()(2)(02x f x x f x dt t f e x f x x +−−=′∫，dt t f e xx ∫−=02)(2再求导一次，有其特征方程为，012=+r 特征根为，i r ±=2,1所以对应的齐次方程通解为，x C x C Y sin cos 21+=不是特征根，又2=λ，x Ae y 2*=∴(*))(4)(2，x f e x f x −=′′代入方程(*）得，54=A ，x e x C x C x f 22154sin cos )(++=故∫−−=xx dt t f t x e x f 02)()()(15，、设．连续，求其中)()(x f t f ，x e x C x C x f 22154sin cos )(++=，，又2)0(1)0(=′=f f ⇒，，525121==C C ．x e x x x f 254sin 52cos 51)(++=故所求函数为∫−−=xxdt t f t x ex f 02)()()(15，、设．连续，求其中)()(x f t f ，dt t f e x f xx ∫−=′02)(2)(解时，当1<x ，方程为22=−′y y 其通解为，121−=x e C y 时，当1>x ，方程为02=−′y y 其通解为，x e C y 22=，又00==x y ，11=∴C 处连续，在又1)(==x x f y ，故221−−=e C 所以所求函数为．，，⎩⎨⎧>−≤−=−1)1(11222x e e x e y xx ，求在，，，其中、设⎩⎨⎧><==−′1012)()(216x x x x y y ϕϕ),1()1,()(),(+∞−∞=+∞−∞及使其在内的连续函数x f y )1999(00．足内满足所给方程，且满==x y )1(12<−=x e y x ，故1)1(2−=∴−e f ，22)1(e C f ==+解，x e y y y 223=+′−′′，，及初始条件1100−=′===x x y y 处的切线斜率在点曲线)1,0(12+−=x x y ∵0)12(=−=x x k ，1−=满足故所求函数)(x y 解得．x e x y )21(−=，满足方程、设函数x e y y y x y y 223)(17=+′−′′=处有在点且其图形与曲线)1,0(12+−=x x y ．公切线，求)(x y ),()(18y x x y y 任一点是一上凸的曲线，其上、设=处的，且此曲线上点处的曲率为)1,0()1(212−′+y )1998(1，求该曲线的方程．切线方程为+=x y 解，)1(2y y ′+−=′′⇒，解得1arctan C x P +−=由曲率公式32)1(y y K ′+′′−=，)tan(1x C y P −=′=∴，41π=C 由题意，有，，0)(1)0()0(<′′=′=x y y y 211y ′+=，令y P ′=，则有dx P dP−=+21得由1)0(=′y ，)4tan(x y −=′∴π，故)4cos(ln 2x C y −=π，又由1)0(=y ，得e C 22=．)]4cos(2ln[x e y −=∴π1x )(x y y =解由题意知，)]1([3212y y x dx y x −=∫ππ两端求导得，)2(3122y x y x y ′+=2223xy x y dx dy −=即，x y x y 2322−=，令x y u =，得x u u dx du 332−=变量分离积分得，3)(1Cx uu =−变量还原得，3)(1Cx x y −=922==x y 又⇒，1−=C ．31x xy +=∴)1(1)(19>===x x x x x y y ，，、已知连续曲线积为轴旋转而成的旋转体体轴所围图形绕及x x )98(92)2()]1()([3)(2，求曲线方程．，且=−=y y x y x x v π证，设方程的通解为)()(x g x f C y +=解，是方程的三个不同的特、、又)()()(321x y x y x y 使得、、存在着三个不同的常数321c c c ∴，)()(11x g x f c y +=),()(22x g x f c y +=，)()(33x g x f c y +=从而有1213y y y y −−1213c c c c −−=常数．=另证=′−−)(1213y y y y ∵21212131213)())(())((y y y y y y y y y y −′−′−−−′−′21221131231)())()(())()((y y y y y y x P y y y y x P −−−−−−=．0=)()()()()(20321x Q y x P y x y x y x y =+′是方程、、、已知为常数．明：的三个不同的特解，证1213y y y y −−••B A 解由题意知，30)1(21x y x dx y x =+−∫•),(y x P ，设所求曲线方程为)(x f y =⇒2321)1(21xy x y y =′−+−⇒，xx x y y 16−−=−′解得，Cx x y ++−=162时，又当1=x ，0=y ，5=∴C 所以所求曲线方程为．1562++−=x x y 的一条曲线，它位于、、连接两点)0,1()1,0(21B A 线与为曲线上一点，已知曲的上方，弦),(y x P AB ，求曲线方程．之间的面积为弦3x AP 解处有极值，在c x x y =)(∵，0)(=′∴c y c e c y c −−=′′1)(故有⇒c e c y c −−=′′1)(，cc e c e ⋅−=1时，当0<c 01<−c e ⇒，0)(>′′c y 时，当0>c 01>−c e ⇒，0)(>′′c y 时，均有故当0≠c ，0)(>′′c y 的极小值．必为函数)()(x y c y ∴有连续的的解、设方程)(13222x y e y x y x x −−=′+′′处有极值，在二阶导数，若)0()(≠=c x x y 必为极小值．证明：)(c y 解(1) 由题意可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=−+，，02)(2)()1)((223x x p x f x x p x解此方程组，得.3)(1)(3x x f xx p =−=，，有一特解为、设xx f y x p y 1)()(23=′+′′，试求：解为对应的齐次方程有一特2x 此方程的通解．的表达式；，)2()()()1(x f x p .313x y xy =′−′′故原方程为(2) 原方程为程是原方程对应的齐次方，显然2211x y y ==是原方程的一个特解，又x y 1*=由解的结构定理，方程的通解为.313x y x y =′−′′.1221xx C C y ++=或，令y P ′=，则有33x x P dx dp =−)3(3C dx e x e P y x dxx dx +∫∫==′∴∫−)1(3C xx +−=21xCx y −=′⇒⇒2212C x x C y ++=，的两个线性无关的特解.1221C x x C ++=。
新的第七章微分方程答案
2016～2017学年第二学期科目: 高等数学(二) 第七章微分方程 单元测试题答案命题教师：吴淦洲 使用班级：全校16级理工本科一． 单项选择题（每小题2分，共16分）1． 选B 。
由二阶常系数微分方程可以知道其特征方程为2123201,2r r r r -+=⇒== 故B 是正确的。
2.选择B 由特征方程2210++=r r 解得特征根121==-r r ，所以对应齐次方程的通解为12()x Y c c x e -=+3．选C 。
该特征方程为：220rω+= ，故r i ω=±，所以xc x c y ωωsin cos 21+=正确。
4．选A 。
该方程是齐次方程，令y u x=，该方程可化为：du u x u dx +=，分离变量可以知道，故结论2y=(ln x +C)x y=0和正确。
5．选D 。
根据三阶微分方程的通解的定义，必含有三个独立的任意常数，用排除法即可知D 选项成立。
6．选B 。
该方程属于齐次方程，因为'ln y y y x x=。
7．选D 。
应该特征方程为：210r -=，所以1r =± ，右端中1λ=是特征方程的一个单根，且有个常数1，所以可设特解为x axe b +8．选B 。
由方程阶的定义可以知道B 正确。
9. 选C 该特征方程为：220r r --= 122,1r r ==-，故-1是特征方程的一个单根，所以x e B Ax x y -*+=)(是正确的 10. 选A 。
方程是可分离变量类型，分离变量后dy dx y=-⎰，积分可知A 正确。
11.选D. 特征方程是220rr +=，122,0r r =-=，0是该方程的一个单根，故特解可以设为y ax *= 二. 填空题(每小题2分，共14分，请把答案填在横线上)1．()()(())P x dx P x dx e Q x e dx c -⎰⎰+⎰由一阶线性微分方程的公式法可以写出答案，注意公式中的符号。
第7章常微分方程单元自测题答案
《高等数学》单元自测题第七章 微分方程一、填空题：1、C x y +=2arcsin 。
2、2tan xe y =。
3、x x xe C e C y 21+=。
二、选择题：BAB三、求解下列微分方程的通解：1、x yy y sin 1cos +='；解：根据可分离变量的方法，可解得方程的通解为()C x y +=+2s i n 1ln .2、xy e dx dy x y +=； 解：令xy u =，可将原方程化为u e x dx du =，根据可分离变量可得 ()x C u ln ln --=， 从而解得通解为()x C x y ln ln --=。
3、()()3222-+=-x y dxdy x ； 解：此方程为一阶线性微分方程，根据公式，可解得方程的通解为 ()()322-+-=x x C y 。
4、x e x y y 22='+''；解：此方程为类型I 的二阶常系数非齐次线性微分方程，可解得方程的通解为)273(221+-++=--x x e e C C y x x 。
5、x x y y sin =-''。
此方程为类型II 的二阶常系数非齐次线性微分方程，可解得方程的通解为 x x x e C e C y x x c o s 21s i n 2121--+=- 四、应用题：1、 已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ，求该曲线的方程.解: 052=+'-''y y y 的特征方程为:0522=+-r r , 可解得其通解为)2s i n 2c o s (21x C x C e y x +=根据已知条件可得以下初始条件:,00==x y 20-='=x y ,可解得01=C , 12-=C , 从而可得所求曲线方程为:x e y x 2s i n -=.2、 设连续函数()x y 满足方程()()⎰+=xx e dt t y x y 0，求()x y 。
第七章 微分方程
第七章 微分方程基础题一．选择题1．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( ). A ．3 B ．4 C ．5 D ．22．关于微分方程222x d y dy y e dx dx++=的下列结论： ⑴该方程是齐次微分方程 ⑵该方程是线性微分方程⑶该方程是常系数微分方程 ⑷该方程为二阶微分方程 其中正确的是( ).A ．⑴ ⑵ ⑶B ．⑴ ⑵ ⑷C ．⑴ ⑶ ⑷D ．⑵ ⑶ ⑷ 3．方程x y dxdy cos 2=的通解是（ ） A ．C x y +-=sin ； B ．C x y +-=cos ；C ．C x y +=cos 1；D ．Cx y +-=sin 1及特解0y =. 4．下列方程中有一个是一阶微分方程，它是( ).A ．22()y xy x yy '''-=B ．2457()5()0y y y x '''+-+=C ．2222()()0x y dx x y dy -++=D ．0xy y y '''++=5．下列方程中是线性微分方程的为( ).A ．x y x y ='+'2）（B ．x y y y =-'2C ．x e xy y x y =+'-''222 D ．y xy y y cos 3=+'-''． 6．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( ).A ．x y 2=B ．2x y =C ．x y 2-=D ． x y -=7．方程22xy x y y '=+是( ).A ．齐次方程B ．一阶线性方程C ．伯努利方程D ．可分离变量的方程8．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( ).A ．0=+'y yB ．02=+'y yC ．0=+y y nD ． x y y cos =+''9．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数.A ．通解B ．特解C ．是方程所有的解D ． 上述都不对10．y y ='满足2|0==x y 的特解是( ).A ．1+=x e yB ．x e y 2=C ．22x y e =D ． 3x y e =11．下列微分方程中( ) 是二阶常系数齐次线性微分方程.A ．02=-''y yB ．032=+'-''y y x yC ．045=-''x yD ． 012=+'-''y y12．在下列函数中，能够是微分方程0=+''y y 的解的函数是( ).A ．1=yB ．x y =C ．x y sin =D ． x e y =13．下列微分方程中，可分离变量的是( ).A ．e x y dx dy =+ B ．()()y b a x k dxdy --=(k ,a ,b 是常数) C ．x y dxdy =-sin D ． 2x y xy y e '+= 14．过点()3,1且切线斜率为x 2的曲线方程()x y y =应满足的关系是( ). A ．x y 2=' B ．x y 2=''C ．x y 2='，()31=yD ． x y 2=''，()31=y15．微分方程044=+'-''y y y 的两个线性无关解是( ).A ．x e 2与22x eB ．x e 2-与2x xe -C ．x e 2与2x xeD ． x e 2-与24x e -二．填空题1．xy y dx dy x ln ⋅=是 方程.2． x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数.3．x e y 2-=''的通解是 .4．0)(24=+'+'''xy y y 是 阶微分方程.5．x y y 2='的通解为 . 6．0=+xdy y dx 的通解为 . 7．220d Q dQ Q L R dt dt c++=是______阶微分方程. 8．3阶微分方程3x y ='''的通解为 .9．052=+'-''y y y 的特征方程是 .10．x y cos 1=与x y sin 2=是方程0=+''y y 的两个解，则该方程的通解为 .三．计算题1．验证：函数12cos sin x C kt C kt =+是微分方程2220(0)d x k x k dt+=≠的通解，并求满足初始条件00,0t t dxx A dt ====的特解.2．求解下列一阶线性微分方程的通解或特解(1) 2y x y '= (2)21x y xy -'= (3) 2(1)arctan x y x '+= (4) ln ln 0y xdx x ydy += (5) 2dy xy dx =，01x y == (6) 011x y dx dy y x-=++， 0|1x y == (7) ()()0y x dy x y dx ++-= (8) y x dy x xe y dx=+(9) xy x y dx dy tan += (10) 0xy y '-= (11)x y y y x '=+，12x y == (12) 22()0x y dx xydy +-=，1|0x y == (13)20y y x x '--= (14) 02d d )6(2=+-y xy x y (15) x e x y y sin cos -=⋅+' (16) 1sin x y y x x'+= (17) 32x dy x y x e dx-=，1|0x y == (18) cos 2cot 5,|4x x dy y x e y dx π=+==- 3．用降阶法解下列微分方程(1) sin y x x ''=+ (2) 0xy y x '''++=(3) y y y '=''2 0|1x y ==，0|2x y ='=(4) sin 2y x ''=，01x y ==，01x y ='=4．求下列微分方程的通解或特解(1) 560y y y '''-+= (2) 6130y y y '''++=(3) 20y y y '''++=(4) 430y y y '''-+=，02x y ==，04x y ='=(5) 690y y y '''-+=，0|2x y ='=，0|0x y ==(6) 320y y y '''++=，0|1x y ='=，0|1x y ==提高题一．选择题1．方程x e y x y x =++')1(的通解是（ ）．A .x e C y x -=；B .)21(2C e x e y x x +=； C .)21(2C e x e y x x +=-； D .)2(2C e xe y x x+=-. 2．已知方程()()0y P x y Q x y '''++=的一个特解1y ,则另一个与它线性无关的特解为( ).A .()21211P x dx y y e dx y -⎰=⎰； B . ()21211P x dx y y e dx y ⎰=⎰； C .()2111P x dx y y e dx y -⎰=⎰； D .()2111P x dx y y e dx y ⎰=⎰. 3．已知1()y x 是微分方程()()y P x y Q x '+=的一个特解，C 是任意常数，则该方程的通解( ).A ．()1P x dx y y e -⎰=+B ．()1P x dx y y Ce -⎰=+C ．()1P x dx y y e C -⎰=++D ．()1P x dx y y e ⎰=+4．若连续函数()f x 满足30()()ln 33xt f x f dt =+⎰，则()f x 的表达式为( ). A ．ln 3x e B ．3ln3x e C ．ln 3x e + D ．3ln 3x e +5．已知ln x y x =是微分方程()y y y x x ϕ'=+ 的解，则()y xϕ 的表达式为( ). A ． 22y x - B ．22y xC ．22x yD ．22x y - 6．微分方程22()0yy y '''-=的通解是( ).A ． 1y C x =-B ．2121y C C x =-C ． 121y C C x =-D ．11y Cx=-二．填空题1．过点1(,0)2且满足关系式arcsin 1y x '+=曲线方程为 . 2．微分方程30xy y '''+=的通解为 .3．设()y y x =是二阶常微分方程sin cos y ay by x x '''++=+满足初始条件(0)(0)0y y '==，则0()lim 1cos x y x x→=- . 4．设()y y x =满足()y x o x ∆=+∆，且(0)0y =，则10()y x dx =⎰.三．综合应用与证明题1．验证二元方程C y xy x =+-22所确定的函数为微分方程()y x y y x -='-22的解．2．验证x y ωcos 1=，x y ωsin 2=都是02=+''y y ω的解，并写出该方程的通解．3．试求x y =''的经过点()1,0M 且在此点与直线12+=x y 相切的积分曲线． 4．设:()L y y x =在点(,)x y 处切线的斜率211y k x +=+，且曲线过点(1,0)，试求曲线L 的方程．5．求微分方程430y y y '''-+=的一条积分曲线，使其在点0(0,2)M 处与直线20x y -+=相切．6．设函数()f x 连续，且满足20()2()(2)x x f x tf t dt x e -+=-⎰，求()f x ．。
高等数学微分方程第七章练习题答案
第七章 练习题一、填空： 第一节1、微分方程()1y x 2='+'y 的阶 一 __.2、0)()67(=++-dy y x dx y x 是 一 阶常微分方程. 3、01"=+xy 是 二 阶常微分方程. 4、微分方程2'=y x 的通解为 c x y +=2 。
5、 153'+=+x y xy 是 1 阶常微分方程 6、与积分方程()dx y x f y x x ⎰=0,等价的微分方程初值问题是0|),,(0'===x x y y x f y7、223421xy x y x y x ''''++=+是 3 阶微分方程。
8、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为 29、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是 310、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有 2 个任意常数 11、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是 1 第二节 1、微分方程x dye dx=满足初始条件(0)2y =的解为1x y e =+． 2、微分方程y x e y -=2/的通解是 C e e xy +=221 3、微分方程2dyxy dx=的通解是 2x y Ce = 4、一阶线性微分方程23=+y dx dy的通解为 323x Ce -+5、微分方程0=+'y y 的通解为 x ce y -=6、 微分方程323y y ='的一个特解是 ()32+=x y第三节1、tan dy y ydx x x=+通解为arcsin()y x Cx =．第五节1、微分方程x x y cos "+=的通解为213cos 6C x C x x y ++-= 2、微分方程01=+''y 的通解是（ 21221C x C x y ++-= ）3、 微分方程044=+'+''y y y 的通解是（ x e C x C y 221)(-+= )4、微分方程032=-'+''y y y 的通解是（ x x e C e C y 231+=- )5、 方程x x y sin +=''的通解是=y 213sin 61C x C x x ++-第六节1、 一阶线性微分方程x e y dxdy-=+的通解为 ()C x e y x +=- 2、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为)1(21221c c x c x c y --++=或1)1()1(221+-+-=x c x c y第七节1、 微分方程230y y y '''--=的通解为x x e C e C y 321+=-.2、 分方程2220d xx dtω+=的通解是 12cos sin C t C t ωω+3、微分方程02=+'-''y y y 的通解为 12()x y c c x e =+第八节1、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是3,2,1αβγ=-==-2、微分方程2563x y y y xe -'''++=的特解可设为=*y *201()x y x b x b e -=+二、选择 第一节1、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ A ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 02、方程422421x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ B ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 03、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是（ C ）A 、1B 、2C 、3D 、54、微分方程1243/2///+=++x y x y x xy 的通解中含有任意常数的个数是（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、55、微分方程34()0'''-=x y yy 的阶数为（B ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 46、下列说法中错误的是（ B ）(A) 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； (B) 方程220()x y yy x ''-+=是二阶微分方程；(C) 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； (D) 方程()()dyf xg y dx=是可分离变量的微分方程． 7、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有（ B ）个任意常数A 、1B 、2C 、3D 、4 8、 微分方程3447()5()0y y y x '''+-+=的阶数为（ B ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．49、微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是（ A ）.A. 2B. 4C. 5D. 310、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是（ A ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 11、 微分方程323y y ='的一个特解是（ B ）A. 13+=x yB. ()32+=x y C. ()3C x y += D. ()31+=x C y12、 方程322321x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ C ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 0第二节1、微分方程20y y '-=的通解为（B ）A ．sin 2y c x =B ．2x y ce =C ．24x y e =D ．x y e =2、微分方程0ydx xdy -=不是 （ B ）A. 线性方程B. 非齐次线性方程C. 可分离变量方程D. 齐次方程 3、微分方程0=+'y y 的通解为（ D ）A ．x y e =B ． x ce y -=C ． x e y -=D ． x ce y -=4、一阶常微分方程e yx dxdy -=2满足初始条件00==x y 的特解为（ D ） A x ce y = B x ce y 2= C 1212+=x y e e D ()1212+=x y e e5、微分方程02=+'y y 的通解为（ D ）A ．x e y 2-=B ．x y 2sin =C ．x ce y 2=D ．x ce y 2-= 6、 微分方程 ydy x xdx y ln ln =满足11==x y 的特解是（ C ）A. 0ln ln 22=+y xB. 1ln ln 22=+y xC. y x 22ln ln =D. 1ln ln 22+=y x第五节1、 微分方程2(1)0y dx x dy --=是（ C ）微分方程．A ．一阶线性齐次B ．一阶线性非齐次C ．可分离变量D ．二阶线性齐次第六节1、已知x y cos =，xe y =，x y sin =是方程()()()xf y x Q dx dyx P dxy d =++22的三个解，则通解为 （ C ）A x c e c x c y x sin cos 321++=B ()()x x e x c e x c y -+-=sin cos 21C ()x c x c e c c y x sin cos 12121--++=D ()x c x c e c c y x sin cos 12121++++=第七节1、微分方程02=+'-''y y y 的通解为（ D ）A ．12x x y c e c e -=+；B ．12()x y c c x e -=+；C ．12cos sin y c x c x =+；D ．12()x y c c x e =+ 2、下面哪个不是微分方程''5'60y y y +-=的解（ D ） （A ）65x x e e -+ （B ）x e （C ）6x e - （D ）6x x e e -+3、 已知2,sin ,1x y x y y ===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ） A ．221sin 1x C x C y ++=B ．2321sin xC x C C y ++=C ．21221sin C C x C x C y --+=D ．212211sin C C x C x C y --++= 4、已知x y x y y cos ,sin ,1===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ）A ．x C x C C y cos sin 321++=B ．xC x C C y cos sin 321++= C ．2121sin cos C C x C C y --+=D ．21211cos sin C C x C x C y --++= 5、微分方程0y y ''+=的通解为（ C ）(A) 12x x y c e c e -=+； (B) 12()x y c c x e -=+； (C) 12cos sin y c x c x =+； (D) 12()x y c c x e =+6、已知1=y ，x y =，2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则方程的通解为（ C ） A 2321x C x C C ++ B 21221C C x C x C --+ C )1(21221C C x C x C --++ D ()()2122111C C x C x C ++-+-7、已知x y y x 4='+''的一个特解为2x ，对应齐次方程0='+''y y x 有一个特解为x ln ，则原方程的通解为 （ A ）A 、221ln x c x c ++ B 、221ln x x c x c ++ C 、221ln x e c x c x ++ D 、221ln x e c x c x ++- 8、微分方程04=+''y y 的通解为（ A ）A ．x c x c y 2sin 2cos 21-= ；B ．x e x c c y 221)(-+=C x x e c e c y 2221-+=；D ．x e x c c y 221)(+=9、 分方程2220d xx dtω+=的通解是( A );A .12cos sin C t C t ωω+B .cos t ωC .sin t ωD .cos sin t t ωω+第八节1、微分方程x e y dxyd =-22的一个特解应具有的形式为 DA ()x e b ax +B ()x e bx ax +2C x aeD x axe2、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是（ C ）（A ）3,2,1αβγ===- （B ）3,2,1αβγ==-=- （C ）3,2,1αβγ=-==- （D ）3,2,1αβγ=-=-= 三、计算第二节1、求微分方程0ln '=-y y xy 的通解 解：分离变量xdxy y dy =ln ...........2分 两边积分可得 1ln ln ln C x y += ..........4分 整理可得Cx e y = .........6分 5、计算一阶微分方程ln 0x x y y '⋅-=的通解。
第七章常微分方程自测题(答案)
第七章:常微分方程(自测题答案)一、 选择题:1、 一阶线性非齐次微分方程()+()y P x y Q x '=的通解是(C ).(A)()()[()]P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰； (B)()()=()P x dx P x dx y e Q x e dx -⎰⎰⎰； (C)()()=[()]P x dxP x dxy e Q x e dx C -⎰⎰+； (D)()=P x dx y ce -⎰.2、 方程xy y '是( A ).(A)齐次方程； (B)一阶线性非齐次方程；(C) 一阶线性齐次方程； (D)可分离变量方程 .3、已知ln x y x =是微分方程'()y x y x y ϕ=+的解，则()x y ϕ的表达式为（ A ）.(A) 22y x -； (B) 22y x ； (C) 22x y -； (D)22x y .4、 220,(1)2dy dxy x y+==的特解是(B ).(A)22=2x y +； (B)339x y +=；(C)33=1x y +； (D)33133x y +=. 5、 方程=sin y x '''的通解是( A ).(A)21231=cos 2y x C x C x C +++； (B)21231=sin 2y x C x C x C +++；(C)1=cos y x C +； (D)=2sin 2y x . 6、 方程=0y y ''''+的通解是( B ).(A)1sin cos +y x x C =-； (B)123sin cos +y C x C x C =-；(C)1sin cos +y x x C =+； (D)1sin y x C =-.7、 若1y 和2y 是二阶齐次线性方程()()0y P x y Q x y '''++=的两个特解,则1122y C y C y =+(其中12,C C 为任意常数)( B ). (A)是该方程的通解； (B)是该方程的解；(C)不是该方程的解； (D)不一定是该方程的解. 8、求方程2()=0yy y '''-的通解时,可令( B ).(A) y P '=,则 y P '''=； (B) ,y P '=则=dPy P dy''；(C) ,y P '=则=dP y P dx ''； (D) ,y P '=则=dPy P dy'''.9、设线性无关的函数123y y y ，，都是二阶非齐次线性方程 '''()()()y p x y q x y f x ++=的解，12,C C 为任意常数，则该非齐次方程的通解是( D ).(A) 11223y C y C y y =++； (B) 1122123()y C y C y C C y =+-+；(C) 1122123(1)y C y C y C C y =+--- ； (D) 1122123(1)y C y C y C C y =++--. 10、方程32x y y y xe '''-+=的一个特解形式是 ( C ). (A) ()x y ax b e =+； (B)； x y ae x = (C) ()x y ax b e x =+； (D) x y ae =. 二、求下列一阶微分方程的通解: 1、ln (ln 1)xy x y ax x '+=+； 2、2(6)20dy y x y dx-+=.；ln c y ax x =+； 232y x cy =+;3、(12)2(1)0x xy yx e dx e dy y ++-=.2x yx ye c +=.三、求下列高阶微分方程的通解:1、y y x '''=+； 2、20y y y ''''''+-=.21212x y C e x x C =--+； 2123x x y C C e C e -=++; 3、123='+''y x y x ； 解 方程中不显含未知函数y ，令P y ='，x P y d d =''，代入原方程，得 1d d 23=+P x xP x ， 311d d xP x x P =+，这是关于未知函数)(x P 的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，所以=)(x P 1d 13d 1d e 1(e C x x xx xx +⎰⎰⎰-）=1ln 3ln d e 1(eC x x x x+⎰-）=13d 1(1C x x x x +⋅⎰）=11(1C x x +-）=x C x121+-， 由此 x y d d =x C x121+-，⎰+-=x x C xy d )1(12=21ln 1C x C x ++，因此，原方程的通解为 y =21ln 1C x C x++ （21,C C 为任意常数）. 4、x y y y x 2sin e 842=+'-''.解 对应的齐次微分方程的特征方程 0842=+-r r ，特征根 i 222,1±=r .于是所对应的齐次微分方程通解为)2sin 2cos (e 212x C x C y x c +=．为了求原方程x y y y x 2sin e 842=+'-''的一个特解,先求xy y y )i 22(e 84+=+'-''（*）的特解.由于i 22+=λ是特征方程的单根，且1)(=x P m 是零次多项式。
新的第七章微分方程试题
第 1 页 共 8 页班 级（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 吴淦洲 审题： 审批： ------------------------------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （答题不能超出密封装订线）2016～2017学年第二学期高等数学(二)第七章微分方程单元测试题使用班级（教师填写）：全校16级理工本科 考务电话：2923688一．单项选择题（每小题2分，共22分）1、以函数x x e C e C y 221+=为通解的微分方程是（ ）．A ．320'''++=y y yB ．320'''-+=y y yC ．230'''++=yy y D ．230'''-+=y y y2、方程02=+'+''y y y 的通解为（ ）(A) xe C C -+21; (B) )(21x C C e x +- ; (C) xe C -1 ; (D) x x e C e C 21+-3、微分方程0222=+y dxyd ω的通解是（ ），其中21,,c c c 均为常数A ．x y ωcos =；B ．x c y ωsin =；C ．x c x c y ωωsin cos 21+=；D ．x c x c y ωωsin cos +=4、微分方程dy ydx x= 的解为（ ）。
A. 2y=(ln x +C)x y=0和； B.0y =；C.2(ln )y x C x =+； D.以上都不对。
5、方程0='+'''y y 的通解是( )。
高等数学第七章微分方程试题及答案汇编
第七章 常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式：()()()()0≠=y Q y Q x P dxdy通解()()⎰⎰+=C dx x P y Q dy（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M通解()()()()C dy y N y N dx x M x M =+⎰⎰1221()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程⎪⎭⎫⎝⎛=x y f dx dy 令u x y =， 则()u f dxdux u dx dy =+= ()c x c xdxu u f du +=+=-⎰⎰||ln二．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程()0=+y x P dxdy 它也是变量可分离方程，通解()⎰-=dxx P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程()()x Q y x P dxdy=+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()⎰-=dxx P ex C y 代入方程求出()x C 则得()()()[]⎰+=⎰⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P3．伯努利方程()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dxdy令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dxdz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。
4．方程：()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dydx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
四．线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
二阶齐次线性方程 ()()0=+'+''y x q y x p y （1） 二阶非齐次线性方程 ()()()x f y x q y x p y =+'+'' （2） 1．若()x y 1，()x y 2为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合()()x y C x y C 2211+（1C ，2C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当()()x y x y 21λ≠（λ为常数），也即()x y 1与()x y 2线性无关时，则方程的通解为()()x y C x y C y 2211+=2．若()x y 1，()x y 2为二阶非齐次线性方程的两个特解，则()()x y x y 21-为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。
常微分方程期末考试试题A卷
常微分方程期末考试试卷一.填空题 (共30分，9小题，10个空格，每格3分)。
1、当_______________ 时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。
2、________________ 称为齐次方程。
3、求dy =f(x,y)满足穴x o) = y。
的解等价于求积分方程____________________ 的dx连续解。
4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程dy = f (x, y)dx 的解y=cp(x,x。
，y。
)作为x,x。
，y。
的函数在它的存在范围内是。
5、若x i(t),x2(t)... x3(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是06、方程组x/ =A(t)x的_________________ 称之为x/ = A6x的一个基本解组。
7、若*t)是常系数线性方程组x/ = Ax的基解矩阵，则expAt =。
8、满足____________________ 的点(x*,y*),称为方程组的奇点。
9、当方程组的特征根为两个共腕虚根时，则当其实部__________ 时，零解是稳定的，对应的奇点称为二、计算题(共6小题，每题10分)。
1、求解方程：dy=x7”dx x y 32、解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程dy = 3y3在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0, 0）的一切解4、求解常系数线性方程：x -2x/ +3x = e A cost, ……，一一一一 1 「12、5、试求方程组x/ = Ax的一个基解矩阵，并计算e At,其中A为3J6、试讨论方程组dx=ax+by, dy = cy （1）的奇点类型，其中a,b,c为常 dt dt 数，且ac#0。
三、证明题（共一题，满分10分）。
试证：如果平（t）是x/ = Ax满足初始条件中（t0）=n的解，那么■：（t）二e A（t」0）十答案一、填空题。
第七章常微分方程练习题(含答案)
第7章 常微分方程一、单项选择题1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分方程222y x dxdy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分方程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 （ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =二、填空题1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。
第七章微分方程练习题
第七章 微分方程一、选择题1. 表示未知函数、未知函数的( )与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程.A. 极限B. 连续C. 导数或微分D. 积分2. 微分方程02)(2=+'-'x y y y x 的阶数是 ( ) .A. 1B. 2C. 3D. 43. 方程0)()67(=++-dy y x dx y x 是 ( )阶微分方程.A. 1B. 2C. 3D. 4. 4. 微分方程0222=+-y dx dy x dx y d x 的通解中任意常数的个数是 ( ) . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4.5. 微分方程y xy ='的一个解是( ) . A. x y 5=； B. 15+=x y C. 25x y = D. 152+=x y 6. 微分方程yx dx dy -=满足初值条件过点（0，1）的解是( ) . A. 122=+y x B. 12=+y x C. 12=+y x D. 1=+y x7. 下列微分方程是可分离变量方程的是（ ）.A. 0)1()3(=+++-dy y x dx y xB. 023=+xdy ydxC. 0213=++--dy y x dx y x )()(D. 0)2()34(=++-dy y x dx y x8. 下列微分方程是齐次方程的是（ ）.A. 012=+dx xydy B. x e y dx dy -=+ C. xy y x dx dy += D. y x e dx dy += 9. 微分方程23x y ='的通解是（ ），其中C 是任意常数.A. C x y +-=3B. C x y +=3C. C x y +-=33D. C x y +=3310. 下列微分方程可以转化成一阶非齐次线性方程的是（ ）.A. x e xy yy +=2'B. y x e xy y e +=2'C. x y e xy y e +=2'D. xe xy xy +='''2 二、填空题1．微分方程02=+''-'''xy y x y x 的阶数是 .2．微分方程02=+'-''y y x y x 通解中任意常数的个数是 . 3．满足初值条件50==x y 的函数C y x =-22中的=C .4．一阶微分方程x e y 2='的通解是 .5．微分方程02=+ydx xdy 满足初值条件12==x y 的特解是 .三、判断题1．方程022233=-+-xy y x y x 不是微分方程.（ ）2．04=-''-'''y y y 是三阶微分方程.（ ）3．微分方程0=+-dy y x ydx )(有解0=y .（ ）4．方程0)1-22()(=+++dy y x dx y x 是可分离变量的微分方程.（ ）5．0=x 不是微分方程0=-xdy ydx 的解.（ ）6．微分方程的通解中一定含有任意常数C .（ ）7．方程)(xy g dx dy =是一阶齐次微分方程.（ ） 8．方程)()(x Q y x P dxdy +=是一阶非齐次线性微分方程.（ ） 9．方程),(y x f dxdy =不是一阶微分方程.（ ） 10．拉格朗日微分中值定理的结论a b a f b f f --=)()()('ξ不是一阶微分方程.（ ） 四、计算题1．验证函数x C x C y ωωsin cos 21+=（ω,,21C C ＞0都是常数）是微分方程02=+y y ω''的通解,2．求微分方程y x e dxdy -=2满足初值条件00==x y |的特解, 3．求微分方程23=+y dx dy 的通解. 4．方程xdx x y dx dy =++（x y x -≠≠,0）的通解. 5．求微分方程242y x x y +-='与微分方程2422y y x x x y --++='的公共解.五、综合题1．求曲线方程，已知这条曲线通过原点，并且它在点）（y x ,处的切线斜率等于y x +2.2．放射性元素由于不断地有原子放射出微粒子而变成其他元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫做衰变，由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的铀原子的含量M成正M随时间t变化的规律.比。
高数微分方程模拟试题及答案解析
4.满足方程 的解为。
5.设 是定义在区间 上的函数组，则 线性无关的含义是
三. 求下列微分方程的解(每小题7分，共49分)
1、求微分方程 的通解。
2、求微分方程 的通解。
3、求微分方程 的通解。
4、求微分方程 的通解。
5、求微分方程 的通解 。
6、求微分方程 的一条积分曲线，使其在原点处与直线 相切。
7、求微分方程 的一个特解。
四．设函数(x)连续且满足 求(x)(8分)
五．已知某曲线经过点(11)它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标求它的方程(8分)
一.单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1. ( B ) 2.（A ） 3.( B) 4.（C） 5. ( A )
6. (D) 7. ( D ) 8（A）9.（C） 10.（D）
（A） ； （B） ；
（C） ； （D） 。
二.填空题(每小题3分,共15分)
1.一曲线上点 的切线自切点到纵坐标轴间的切线段有定长2，则曲线应满足的微分方程。
2.镭的衰变速度与它的现存量 成正比（比例系数为 ），已知在时刻镭的存量为 ，则镭的量 与时间 应满足的微分方程初值问题是。
3.一质量为m的物体在空气中由静止开始下落。已知空气阻力与下落速度平方成正比（比例系数为 ），则物体下落的速度与时间应满足的微分方程初值问题是
微分方程的特征方程为: 。
其根为 。故对应的齐次方程的通解为:
易知 是非齐次方程的一个特解故非齐次方程的通解为
由所给等式知(0)=1(0)1由此得
因此
五．解 设点(xy)为曲线上任一点则曲线在该点的切线方程为：Yyy(Xx)
其在纵轴上的截距为yxy因此由已知有：yxyx即
高等数学第七章微分方程习题
第七章微分方程与差分方程习题7－1（A ）1． 说出下列微分方程的阶数：;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x.0)32()67()3(=++-dy y x dx y x2． 下列函数是否为该微分方程的解： x e x y y y y 2;02)1(==+'-'')(2;0)()2(2为任意常数C xx C y xdy dx y x -==++),(cos sin ;0)3(2121222为任意常数C C ax C ax C y y a dx y d +==+)(ln ;02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+3． 在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数： ;5,)1(022==-=x yC y x ;1,0,)()2(0221='=+===x x x y ye x C C y .0,1,)(sin )3(21='=-===ππx x y y C x C y4． 写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程：点横坐标的平方。
处的切线的斜率等于该曲线在点),()1(y x轴平分。
被，且线段轴的交点为处的法线与曲线上点y PQ Q x y x P ),()2(习题7－1（B ）1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数）求出相应的微分方程： ;1)()1(22=+-y C x .)2(21x x e C e C xy -+=2．用微分方程表示下列物理问题：平方成反比。
温度的成正比，与的变化率与气压对于温度某种气体的气压P T P )1(。
速度成反比（比例系数同时阻力与，成正比（比例系数与时间用在它上面的一个力的质点作直线运动，作一质量为)))2(11k k t m习题7－2（A ）1．求下列微分方程的通解： ;0ln )1(=-'y y y x ;0553)2(2='-+y x x ;)()3(2y y a y x y '+='-';10)4(y x dxdy+=;11)5(22x y y --=';1)6(2xy x dx dy -=;63)7(3222yx y y x x dx dy --=;0tan sec tan sec )8(22=+xdy y ydx x ;0sec )1(tan 3)9(2=-'+y e y ydx e x x .0)()()10(=++-++dy e e dx e e y y x x y x2．求解下列初值问题： ;0,)1(02=='=-x y x ye y;4,cos cos sin cos )2(0π===x y dydxxy y x;0,ln sin )3(2=='=πx yy y x y .1,)1()4(1=='+=x x x ye y y e平分，求这曲线方程。
微分方程练习题
第７章 微分方程练习题习题７.11．选择题 〔1〕〔 〕是微分方程〔〔A 〕〕dx x dy )14(-=． (〔B 〕)12+=x y ． (〔C 〕)0232=+-y y ． (〔D 〕)⎰=0sin xdx ．〔2〕( )不是微分方程〔〔A 〕〕03=+'y y ． (〔B 〕)x x dxyd sin 322+=． (〔C 〕)0232=+-y x y ． (〔D 〕)0)()(2222=-++dy y x dx y x ．〔3〕微分方程x xy y sin 43)(2=+'的阶数为〔 〕(〔A 〕) 2． (〔B 〕) 3． (〔C 〕) 1． (〔D 〕) 0． 2．判断函数是否为所给微分方程的解〔填“是〞或“否〞〕 〔1〕25,2x y y y x =='． 〔 〕(2)C y x x y x y y x =+--='-22,2)2(. ( )(3)C x y y dydx+==+arccos ,0sin . ( )(4)xy y x y 1,22=+=''. ( ) 习题7.21．解微分方程(1) x dx dy 1=． (2) 2211xy dx dy --=． (3) yx ey -='2． (4)0)1()1(22=++-dx y x dy x y ．(5) 4,212==+'=x y y xy y x ．2．解微分方程(1)0)()(=-+'+y x y y x ． (2)dxdyxy dx dy xy =+22． (3) xyx y y tan +='． 3．解微分方程(1)xey y -=+'． (2) 1sin cos =+'x y x y ．1．选择题 〔1〕〔 〕是微分方程〔〔A 〕〕dx x dy )14(-=． (〔B 〕)12+=x y ． (〔C 〕)0232=+-y y ． (〔D 〕)⎰=0sin xdx ．〔2〕( )不是微分方程〔〔A 〕〕03=+'y y ． (〔B 〕)x x dx yd sin 322+=． (〔C 〕)0232=+-y x y ． (〔D 〕)0)()(2222=-++dy y x dx y x ．〔3〕微分方程x xy y sin 43)(2=+'的阶数为〔 〕(〔A 〕) 2． (〔B 〕) 3． (〔C 〕) 1． (〔D 〕) 0． 2．判断函数是否为所给微分方程的解〔填“是〞或“否〞〕 〔1〕25,2x y y y x =='． 〔 〕(2)C y x x y x y y x =+--='-22,2)2(. ( )(3)C x y y dydx+==+arccos ,0sin . ( )(4)xy y x y 1,22=+=''. ( ) 习题7.21．解微分方程(1) x dx dy 1=． (2) 2211xy dx dy --=． (3) yx ey -='2． (4)0)1()1(22=++-dx y x dy x y ．(5) 4,212==+'=x y y xy y x ．2．解微分方程(1)0)()(=-+'+y x y y x ． (2)dxdyxy dx dy xy =+22． (3) xyx y y tan +='． 3．解微分方程 (1)xey y -=+'． (2) 1sin cos =+'x y x y ．(3)3,12=+=+=x y xx x y dx dy ．(4)2y x y dx dy +=． (5)yy x y 2sin cos 1+='． 习题7.31．解以下微分方程(1)2x y =''． (2)2,1,300='==''==x x y y y y ．(3)x y y ='-''． (4)0='+''y y x ． (5)0)(2='-'-''y y y y ． (6)1,1,00='=''='==x x y y y y y ．2．解以下微分方程〔1〕02=-'+''y y y ． (2)09=-''y y ． (3)044=+'+''y y y ． (4)0,2,03400='-==+'-''==x x y y y y y ．(5)0,2,04400='==+'+''==x x y y y y y ．3．解以下微分方程(1)1332+=-'-''x y y y ． (2)xe y y y 232=-'-''．(3)733,76,910002='==+'-''==x x xy y e y y y ． (4)x y y y 2sin 82=-'+''． (5)x y y sin =+''． (6) 1,1,02sin ='==++''==ππx x y y x y y ．习题7.41．一条曲线通过点)1,0(P ,且该曲线上任一点),(y x M 处的切线斜率为23x ，求这曲线的方程．2．生物活体含有少量固定比的放射性C 14，其死亡时存在的C 14量按与瞬时存量成比例的速率减少，其半衰期约为5730年，在1972年初马王堆一号墓开掘时，假设测得墓中木炭C 14含量为原来的77.2％，试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间．3．作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比，物体在10s 时与原点相距100m ，在20s 时与原点相距200m ，求物体的运动规律．4．设Q 是体积为V 的*湖泊在t 时的污染物总量，假设污染源已排除．当采取*治污措施后，污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化，设k 为比例系数，且0)0(Q Q =，求该湖泊的污染物的化规律，当38.0=Vk时，求99％污染物被去除的时间． 5．一质量为m 的质点从水面由静止状态开场下降，所受阻力与下降速度成正比，求质点下降深度与时间t 的函数关系．6．一弹簧挂有质量为2kg 的物体时，弹簧伸长了0.098m ，阻力与速度成正比，阻力系数24=μN/(m/s)．当弹簧受到强迫力t f 10sin 100=〔N 〕的作用后，物体产生了振动．求振动规律，设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零．复习题七一、选择题1．微分方程0432=+'''+'xy y y y 阶数是〔 〕〔A 〕1； 〔B 〕2； 〔C 〕3； 〔D 〕4．2．以下函数中，可以是微分方程0=+''y y 的解的函数是〔 〕〔A 〕x y cos =； 〔B 〕x y =； 〔C 〕x y sin =； 〔D 〕xe y =．3．以下方程中是一阶线性方程的是〔 〕〔A 〕0ln )3(=--xdy xdx y ； 〔B 〕xyy dx dy 212-=； 〔C 〕x x y y x sin 22+='； 〔D 〕02=-'+''y y y ．4．方程034=+'-''y y y 满足初始条件10,600='===x x y y 特解是〔 〕〔A 〕xxe e y 33+=； 〔B 〕xxe e y 332+=； 〔C 〕xxe e y 324+=；〔D 〕xxe C e C y 321+=． 5．在以下微分方程中，其通解为x C x C y sin cos 21+=的是〔 〕〔A 〕0='-''y y ； 〔B 〕0='+''y y ； 〔C 〕0=+''y y ； 〔D 〕0=-''y y ． 6．求微分方程223x y y y =+'+''的一个特解时，应设特解的形式为〔 〕〔A 〕2ax ； 〔B 〕c bx ax ++2； 〔C 〕)(2c bx ax x ++； 〔D 〕)(22c bx ax x ++．7．求微分方程 x y y y sin 23=+'-''的一个特解时，应设特解的形式为〔 〕 〔A 〕x b sin ； 〔B 〕x a cos ； 〔C 〕x b x a sin cos +； 〔D 〕)sin cos (x b x a x +． 二、填空题 9．微分方程x x y dxdyxsin 2+=的通解是． 10．微分方程03=+''y y 的通解是．11．微分方程054=+'+''y y y 的通解是．12．以 xxe C xe C y 21+=为通解的二阶常数线性齐次分方程为． 13．微分方程044=+'+''y y y 满足初始条件0,200='===x x y y 的特解是．14．微分方程054=+'-''y y y 的特征根是．15．求微分方程1222-='+''x y y 的一个特解时，应设特解的形式为 ．16．21x e y =及22x xe y =都是微分方程0)24(42=-+'-''y x y x y 的解，则此方程的通解为．三、计算题17．求以下微分方程的通解(1)21xxydx dy +=． (2)x y y cos =+'． (3)0tan sec tan sec 22=+xdy y ydx x ． (4)x y y sin =+''． (5)02=-'-''y y y ． (6)x y y y 2345-=+'+''． 18．求以下微分方程满足所给初始条件的特解 (1)4,0sin cos sin cos 0π==-=x y ydy x xdx y ．(2) 2,1,06500='==+'-''==x x y y y y y ．(3)211,3,4151640023-='==+'+''==-x x x y y e y y y ． (4)1,0,cos 295200='=='+''==x x y y x y y ．19．求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2． 20．当一人被杀害后，尸体的温度从原来的C ︒37按牛顿冷却律开场变凉，设3小时后尸体温度为C ︒31 ，且周围气温保持C ︒20不变．〔1〕求尸体温度H 与时间t(h)的函数关系，并作函数草图． 〔2〕最终尸体温度将如何.〔3〕假设发现尸体时其温度是C ︒25，时间为下午4时，死者是何时被害的. 21.设有一质量为m 的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致．大小与时间成正比〔比例系数为k 1〕的力作用于它，此外还受一与速度成正比〔比例系数为k 2〕的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系．(3)3,12=+=+=x y xx x y dx dy ．(4)2y x y dx dy +=． (5)yy x y 2sin cos 1+='．习题7.31．解以下微分方程(1)2x y =''． (2)2,1,300='==''==x x y y y y ．(3)x y y ='-''． (4)0='+''y y x ．(5)0)(2='-'-''y y y y ． (6)1,1,00='=''='==x x y y y y y ．2．解以下微分方程〔1〕02=-'+''y y y ． (2)09=-''y y ． (3)044=+'+''y y y ． (4)0,2,03400='-==+'-''==x x y y y y y ．(5)0,2,04400='==+'+''==x x y y y y y ．3．解以下微分方程(1)1332+=-'-''x y y y ． (2)xe y y y 232=-'-''．(3)733,76,910002='==+'-''==x x xy y e y y y ． (4)x y y y 2sin 82=-'+''． (5)x y y sin =+''． (6) 1,1,02sin ='==++''==ππx x y y x y y ．习题7.41．一条曲线通过点)1,0(P ,且该曲线上任一点),(y x M 处的切线斜率为23x ，求这曲线的方程．2．生物活体含有少量固定比的放射性C 14，其死亡时存在的C 14量按与瞬时存量成比例的速率减少，其半衰期约为5730年，在1972年初马王堆一号墓开掘时，假设测得墓中木炭C 14含量为原来的77.2％，试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间．3．作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比，物体在10s 时与原点相距100m ，在20s 时与原点相距200m ，求物体的运动规律．4．设Q 是体积为V 的*湖泊在t 时的污染物总量，假设污染源已排除．当采取*治污措施后，污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化，设k 为比例系数，且0)0(Q Q =，求该湖泊的污染物的化规律，当38.0=Vk时，求99％污染物被去除的时间． 5．一质量为m 的质点从水面由静止状态开场下降，所受阻力与下降速度成正比，求质点下降深度与时间t 的函数关系．6．一弹簧挂有质量为2kg 的物体时，弹簧伸长了0.098m ，阻力与速度成正比，阻力系数24=μN/(m/s)．当弹簧受到强迫力t f 10sin 100=〔N 〕的作用后，物体产生了振动．求振动规律，设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零．复习题七一、选择题1．微分方程0432=+'''+'xy y y y 阶数是〔 〕〔A 〕1； 〔B 〕2； 〔C 〕3； 〔D 〕4．2．以下函数中，可以是微分方程0=+''y y 的解的函数是〔 〕〔A 〕x y cos =； 〔B 〕x y =； 〔C 〕x y sin =； 〔D 〕xe y =．3．以下方程中是一阶线性方程的是〔 〕〔A 〕0ln )3(=--xdy xdx y ； 〔B 〕xyy dx dy 212-=； 〔C 〕x x y y x sin 22+='； 〔D 〕02=-'+''y y y ．4．方程034=+'-''y y y 满足初始条件10,600='===x x y y 特解是〔 〕〔A 〕xxe e y 33+=； 〔B 〕xxe e y 332+=； 〔C 〕xxe e y 324+=；〔D 〕xxe C e C y 321+=． 5．在以下微分方程中，其通解为x C x C y sin cos 21+=的是〔 〕〔A 〕0='-''y y ； 〔B 〕0='+''y y ； 〔C 〕0=+''y y ； 〔D 〕0=-''y y ． 6．求微分方程223x y y y =+'+''的一个特解时，应设特解的形式为〔 〕〔A 〕2ax ； 〔B 〕c bx ax ++2； 〔C 〕)(2c bx ax x ++； 〔D 〕)(22c bx ax x ++．7．求微分方程 x y y y sin 23=+'-''的一个特解时，应设特解的形式为〔 〕 〔A 〕x b sin ； 〔B 〕x a cos ； 〔C 〕x b x a sin cos +； 〔D 〕)sin cos (x b x a x +． 二、填空题 9．微分方程x x y dxdyxsin 2+=的通解是． 10．微分方程03=+''y y 的通解是． 11．微分方程054=+'+''y y y 的通解是．12．以 xxe C xe C y 21+=为通解的二阶常数线性齐次分方程为．13．微分方程044=+'+''y y y 满足初始条件0,200='===x x y y 的特解是．14．微分方程054=+'-''y y y 的特征根是．15．求微分方程1222-='+''x y y 的一个特解时，应设特解的形式为 ．16．21x e y =及22x xe y =都是微分方程0)24(42=-+'-''y x y x y 的解，则此方程的通解为．三、计算题17．求以下微分方程的通解(1)21xxydx dy +=． (2)x y y cos =+'． (3)0tan sec tan sec 22=+xdy y ydx x ． (4)x y y sin =+''． (5)02=-'-''y y y ． (6)x y y y 2345-=+'+''． 18．求以下微分方程满足所给初始条件的特解 (1)4,0sin cos sin cos 0π==-=x y ydy x xdx y ．(2) 2,1,06500='==+'-''==x x y y y y y ．(3)211,3,4151640023-='==+'+''==-x x x y y e y y y ． (4)1,0,cos 295200='=='+''==x x y y x y y ．19．求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2． 20．当一人被杀害后，尸体的温度从原来的C ︒37按牛顿冷却律开场变凉，设3小时后尸体温度为C ︒31 ，且周围气温保持C ︒20不变．〔1〕求尸体温度H 与时间t(h)的函数关系，并作函数草图． 〔2〕最终尸体温度将如何.〔3〕假设发现尸体时其温度是C ︒25，时间为下午4时，死者是何时被害的.21.设有一质量为m 的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致．大小与时间成正比〔比例系数为k 1〕的力作用于它，此外还受一与速度成正比〔比例系数为k 2〕的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系．。
(完整版)高等数学第七章微分方程试题及答案
解：特征根为
i ，齐次方程的通解为： y c1 cos x c2 sin x
y' ' y x ， y ? c1 c2 x c1 0, c2 1 y ? x
?
0x
y' ' y 3sin 2 x ， y x e c1 cos x c2 sin x c1 sin 2x c2 cos 2x
待入原式得出： c1 1, c2 0 ，所以 y ? sin 2 x
Байду номын сангаас
解：变形得： dx x y 4 即 dx 1 x y3 ，是一阶线性方程
dy
y
dy y
P( y)
1
3
,Q ( y) y
y
1 dy
x ey
1 dy
y3e y dy C
1 y 4 Cy 3
三、伯努力方程 xy ' y x 3y 6
解： xy 6 y' y 5 x 3 ，
dy y 6 y 5 x 2 ，
dx
dx
du
du
u y , 所以 u y
dy
dy
dy
yu .( 将 y 看成自变量 )
eu (u 1)
u
1e
du ueu eu
y
u
u
dy 1 e
u eu
u
1e
1 eu u eu du
dy
d (u eu )
,
y
u eu
dy
u eu
, ln
y
c
1 ln y ln
y
1 u eu
,
yc
c y u eu
二、一阶线形微分方程
2
高等数学微分方程测试题
第七章 测试题一、选择题（单项选择）：(40分)1、微分方程21()01y y y′′′+=−的通解是（ ）。
（A ）12x y C e C =+；(B) x y e C =+； (C) 121C x y C e =+；（D ）12x y C e C x =+。
2、微分方程(4)(,,,)0f x y y y ′′′′′=，用变换（ ）可降为二阶微分方程。
（A ）y x =； (B) (4)p y =； (C) p y ′′′=； （D ）p y ′′=。
3、下列方程中 为线性微分方程 （A ）2()y xy x ′′+= (B)y x y y =−′2 (C) x e y xy x y =+′−′′222 (D)y xy y y cos 3=−′−′′ 4、已知函数y 1=21x x e +，y 2=21x x e −，y 3=e (x-2)1x 则 （A ）仅y 1与y 2线性相关 （B ）仅y 2与y 3线性相关（C ）仅y 1与y 3线性相关 （D ）它们两两线性相关5、若y 1和y 2是二阶齐次线性方程，y ′′+P(x)y ′+Q(x)y=0两个特解，c 1,c 2为任意常数，则y=c 1y 1+c 2y 2(A)一定是该方程的通解 （B ）是该方程的特解（C ）是该方程的解 （D ）不一定是方程的解6、下列函数中哪组是线性无关的（A ）lnx, lnx 2 (B)1， lnx (C)x, ln2x (D)ln x , lnx 27、以y 1=cosx,y 2=sinx 为特解的方程是（A ）0=−′′y y (B)0=+′′y y (C)0=′+′′y y (D)0=′−′′y y8、微分方程20=−′+′′y y y 的通解是（A ）x x ec e c y 221−−=（B ）221xx e c e c y −=−（C ）221xx e c e c y −−= (D)x x e c e c y 221+=−9、常微分方程0)(2121=+′++′′y y y λλλλ，（其中21,λλ是不等的系数），在初始条件0x y ==00=′=x y 特解是 （A ）y=0 (B)y=x x e c ec 2121λλ+ (C)221x y λλ= （D ）221)(x y λλ+=10、x e y 2=是微分方程06=+′+′′y y p y 的一个特解，则此方程的通解是（A ）x x e c e c y 3221−+= （B ）x e xc c y 221)(+=（C ）x x e c e c y 3221+= （D ）)3cos 3sin (212x c x c e y x +=11、x x e c e c y −+=21是微分方程 的通解（A ）0=+′′y y （B ）0=−′′y y （C ）0=′+′′y y （D ）0=′−′′y y12、微分方程，*2y y x y ′′′−=的特解形式为 (A)ax (B)ax+b (C)ax 2 (D)bx ax +213、微分方程2,(0)xx y y e e λλλλ−′′−=−>的特解形式是（A ）()x x a e e λλ−+（B ）()x x ax e e λλ−+（C ）()x x x ae be λλ−+ (D) 2()x x x ae be λλ−+14、微分方程*1x y y e y ′′−=+的特解形式为（A ）b ae x + （B ）b axe x + （C ）bx ae x + （D ）bx axe x +15、微分方程x xey y 2'2=−′′的特解y *形式为 （A ）x e b ax x 2)(+ （B ）x e b ax 2)(+ （C ）x xe 2 （D ）xe c bx ax 22)(++ 16、微分方程x y y 2cos 4=+′′的特解y *形式为（A ）acos2x (B)axcos2x (C) x(acos2x+bsin2x) (D)acos2x+bsin2x17、微分方程x x y y 2sin =−′′的特解形式为y*=（A ）（ax+b ）sin 2x (B)(ax+b)sin 2x+(cx+d)cos 2x（C ）(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x （D ）(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x+ex+f18、微分方程x e y y y x5sin 54+=−′−′′−的特解形式为（A ）x b ae x 5sin +− (B)x c x b ae x 5sin 5cos ++−（C ）x b axe x 5sin +− （D ）x c x b axe x 5sin 5cos ++−19、设一动点以等加速度a 作直线运动，且其初速度为v 0,初始位移为s 0，则此质点规律是（A ）s=v 0+s 0; (B)00221s t v at s ++=(C);020s t v s += (D)002s t v at s ++= 20、函数f(x)满足关系式=+∫=)(,21)2()(20x f n dt t f x f x 则 （A ）1n2·e x ; （B ）1n2·e 2x ; （C ）e x +ln2; （D ） e 2x +ln2.二、填空题(8分)1.微分方程02=−′+′′y y y 的通解y=2.以221==λλ为特征根的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是3.以x e x e e x x x cos ,sin ,为特征根的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是4.微分方程==−′y y y 通解32三、(7分)求微分方程cos x y y ex −′+=满足初始条件0x y ==0的解。
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第七章 微分方程测试题A 卷一、填空题（每小题4分，共20分）1、 方程 212y dy dx x e=+ 的通解是 2、 方程 (1)x y y '-= 的通解是3、 以 2212,x x y e y xe == 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为4、 已知方程 0y y ''-= 的积分曲线在点(0,0)O 处与直线y x =相切，则该积分曲线的方程为5、 方程 0xdy ydx -=的一个只含有x 的积分因子为二、选择题（每小题4分，共20分）1、若 12,y y 是方程 ()()(()y P x y Q x Q x '+=≡0) 的两个特解，要使 12y y αβ+ 也是解，则 α 与 β 应满足的关系是 [ ]（A ）12αβ+= （B ）1αβ+= （C ）0αβ= （D ）12αβ==. 2、下列方程中为全微分方程的是 [ ] （A ）22(22)(1)0xy y dx x y dy ---+-=； （B ）2222()()0x xy dx y x y dy ---=；（C ）22(1)20e d e d θθρρθ--+-=； （D ）22()(2)0x y dx xy x dy +++=.3、设λ为实常数，方程 220y y y λλ'''++= 的通解是 [ ]（A ）12x C eC λ-+ （B ） 12cos sin C x C x λλ+ （C ）12(cos sin )x e C x C x λλλ-+ （D ） 12()x C C x e λ-+.4、方程 22cos x y y y e x '''-+= 的特解*y 形式为 [ ]（A ） cos x axe x （B ）cos sin x x axe x bxe x +（C ） 22cos sin x x ax e x bx e x + （D ） 2cos x ax e x5、已知 0()x x y e y t dt =+⎰ ，则函数 ()y x 的表达式为 [ ] （A ） x y xe C =+ （B ） x y xe =（C ） x xy xe Ce =+ （D ） (1)x y x e =+.三、解答题（共60分）1、（8分）求方程 (1)(223)0y x dx y x dy -+--+= 的通解.2、（6分）求方程 22(1)(233)x dy xy x dx +=++的通解.3、（8分）求微分方程 21(1)()02y y xe dx x e y dy +++= 的通解.4、（10分）求解 2312,(0)1,(0)2yy y y y y ''''+===. 5、（6分）求方程 (4)30y y ''+= 的通解.6、（10分）求方程 223y y x '''+=- 的通解.7、（12分）求满足条件 (0)1,(0)1f f '=-= 且具有二阶连续导数的函数()f x ，使方程3()[sin 2()]02f x ydx x f x dy '+-=是全微分方程.并求出全微分方程经过点 (,1)π 的一条积分曲线.第七章 微分方程测试题B 卷一、填空题（每小题5分，共25分）1、微分方程 22560d y dy y dx dx-+= 的通解是 . 2、微分方程 32329350d y d y dy y dx dx dx---= 的通解是 . 3、微分方程()21y x y '=+的通解为 .4、微分方程 2230d y y dx+=得通解是 . 5、微分方程 2221x y y x e '''-=++的待定系数法确定的特解形式（不必求出系数） 是 .二、选择题（每小题5分，共25分）1、函数221x c y c e +=（其中12,c c 是任意常数）是微分方程2220d y dy y dx dx--=的 [ ] （A ）通解； （B ）特解；（C ）不是解； （D ）是解，但不是通解，也不是特解.2、微分方程()()ny P x y Q x y '+=（n 为整数） [ ] （A ）当0n =或1时为伯努利方程； （B ）当0n ≠或1时为伯努利方程；（C ）当0n ≠或1时为线性方程； （D ）为全微分方程.3、函数()y y x =的图形上点()0,2-的切线为236x y -=，且()y x 满足微分6y x ''= 则此函数为 [ ]（A ）32y x =- （B ） 232y x =+ （C ）333260y x x --+= （D ）323y x x =+. 4、方程 210cos3x y y y e x '''-+= 的一个特解应具有形式为 [ ]（A ）()cos3sin3x ea xb x +； （B ） cos3sin3x x ae x bxe x +； （C ）()cos3sin3x e ax x bx x +； （D ） cos3sin3x x axe x be x +.5、268x x y y y e e '''-+=+特解形式为 [ ]（A ） 2x x ae be + （B ） 2x x ae bxe +（C ） 2x x axe be + （D ） 2x x axe bxe +.三、解答题（共50分）1.（10分）求微分方程 ()ln 1ln xy x y x x '+=+ 的通解.2、（10分）验证 2332(64)(126)0x y y dy x xy dx +++=为全微分方程，并求其通解.3、（10分）求微分方程261dy y x y dx x+=的通解. 4、（10分）求微分方程 0xy y '''+=的通解.5、（10分）求方程 (4)20y y y '''''-+= 的通解.综合测试题A 卷答案一、填空题1.2()y x e y C =+.2. (ln )y x x C =+.3. 440y y y '''-+=4.1()2x x y e e -=-.5. 21xμ= 二、选择题1、B2、C3、D4、B5、D三、解答题1、 解：令 1y x u -+=，则 dy du dx =+，代入原方程得(1)(21)u dx u du -+=+ 即 1(2)1du dx u -=-+，两边积分得12ln(1)u u x C -+=-+，代回原方程，得通解 2ln(2)y x y x C ---+=.2、解： 方程改写为 2231x y y x '-=+，则通解为 22ln(1)ln(1)2[3](1)(3arctan )x x y e e dx C x C x +-+=+=++⎰3、 解：设 21(,)1,(,)2y y P x y xe Q x y x e y =+=+有 y P Q xe y x ∂∂==∂∂ ，则原方程为全微分方程，于是2222001111(,)(1)()2222x y y y u x y x dx x e y dy x x x e y =+++=+++⎰⎰ 故原方程的通解为 2222y x x x e y C +++=4、 解：此方程不含x ，令 y P '=，则 dP y P dy''=，原方程化为 232212,2dP dP yP P y P P y dydy y +=+= 此方程为伯努利方程，令 2P z =，上述方程化为21dz z y dy y += 则 ln 2ln 1[]y y z e y e dy C -=+⎰， 即 24311111()44C y y C y y y '=+=+，由初始条件 1(0)1,(0)2y y '==得 10C =，于是，方程化为 2314y y '=，或 3212dy y dx =±, 由初始条件应取 3212dy y dx =，即 3212y dy dx -=，积分得214x C =-+，再由初始条件(0)1y =得 21C =，所以原方程的特解为114x =- 或 21(1)4y x =-. 5、 解：特征方程为 4230r r +=，特征根为123,40,r r r ===,方程的通解为1234y C C x C C =+++.6、 解：对应的齐次方程为 0y y '''+=，其特征方程为 20r r +=,特征根为 120,1r r ==-，齐次方程的通解为 12x Y C C e -=+. 因 0λ=是特征方程的单根，所以非齐次方程的特解形式为*2012()y x b x b x b =++,代入原方程，比较系数得 0122,2,13b b b ==-=，于是得到一个特解 *22(21)3y x x x =-+,所求方程的通解为 *2122(21)3x y Y y C C e x x x -=+=++-+. 7、解：由全微分方程的条件知：()3cos 2()f x x f x ''=-，即()()3cos 2f x f x x ''+=，对应的齐次方程的特征根为 1,2r i =±. 齐次方程的通解为 12cos sin F C x C x =+. 因为2i i λω+=不是特征根，则方程的特解形式为 *cos 2sin 2f A x B x =+，代入方程解得1,0A B =-=，故 *cos 2f x =-，方程的通解为 *12cos sin f F f C x C x =+=+ cos2x -，代入初始条件(0)1,(0)1f f '=-=，得120,1C C ==，因此，所求函数为()sin cos 2f x x x =-,将其代入原方程中，得全微分方程3(sin cos 2)[sin 2cos 2sin 2]02x x ydx x x x dy -+--= 再求其满足 ()1y π= 的积分曲线。
因方程为全微分方程，其通解为01[sin 2cos ],(sin 22cos )2yx x dy C x x y C --=+=⎰,由条件 ()1y π= 得 2C =-，故所求积分曲线为2sin 22cos y x x =-+.综合测试题B 卷答案一、填空题1、3212x x y C e C e =+2、()13123x x y C e C C x e -=++.3、21x y Ce =- 4、12y C x C x =+. 5、()22x x Ax Bx C Dxe Ex ++++. 二、选择题1、D2、B3、C4、C5、 B.三、解答题1、解：方程变形为11ln ln ln dy x y dx x x x ++=， 通解为 11ln ln 1ln ln dx dx x x x y e e dx C x -⎛⎫+⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰C x x =+. 2、解： 设2364P x y y =+，32126Q x xy =+ 因 12P Q xy y x∂∂==∂∂ ，所以原方程为全微分方程.方程变形为 2332641260x ydy y dy x dx xy dx +++=，即 ()()2244330d x y dy d x ++=，通解为 224433x y y x C ++=.3、解：这是伯努利方程.方程两边除以6y ，得 6521dy y y x dx x --+=. 令 5,z y -=则65dz dy y dx dx-=-，代入原方程，得 255dz z x dx x-=-， 这是一阶线性方程，其解为 2552z x Cx =+. 回代的通解 52552y x Cx -=+. 4、解：设,y p '=则y p '''=，原方程化为0,xp p '+=是一阶线性齐次微分方程.其通解 1,C p x = 即 1C y x'=，所以原方程的通解为12ln y C x C =+. 5、解：特征方程为 43220r r r -+=，特征根为 1,23,40,1r r ==，所求通解为 ()()01234x y C C x e C C x e =+++()1234xC C x C C x e =+++P。