流体力学 扩散理论讲解
层流扩散详细讲解
2
层流扩散火焰结构
分子扩散进行得比较缓慢，其速度远低于燃烧的化学
反应速度，因此层流扩散燃烧的速度由氧的扩散速度决定。 燃烧反应只在燃料与氧气有效接触的火焰面上进行，
而燃烧的化学反应进行得很快，因此火焰焰面很薄。
2
层流扩散火焰结构
图2-1 层流扩散火焰的结构示意图
1一外侧混合区（烟气＋空气）；2—内侧混合区（烟气＋燃气）； Cg—燃气浓度；Ccp—燃气产物浓度；
Qdx2 dx3dt Dm
c dx2 dx3dt x1
dx1
B′ D′ dx2
′ dx3
流出
流入
流出
Q c dx1dx2 dx3dt Dm dx1dx2 dx3dt x1 x1 x1
流入
分子扩散
2 分子扩散方程
x1方向：
c Dm dx1dx2 dx3 dt x1 x1
基本概念
③ 一次空气系数和二次空气系数 在燃烧器中预先和燃气混合的空气量与燃烧需要理 论空气之比叫一次空气系数。
Va V0
二次空气是指燃气在燃烧过程中依靠扩散作用从周
围获得的空气，二次空气占燃烧所需理论空气量的比例 叫二次空气系数。
1
基本概念
④ 扩散式燃烧 点燃前，燃气与空气不相接触（’＝0），燃烧所需的 氧气完全依靠扩散作用从周围大气获得，燃气与空气在接触 面处边混合边燃烧。 层流状态下，扩散燃烧依靠分子扩散作用使周围氧气进 入燃烧区；紊流状态下，则主要依靠紊流扩散作用来获得燃 烧所需的氧气；两种流态下的火焰结构有很大的差异。
x2方向：
c Dm dx1dx2 dx3dt x2 x2
dt时段内由于浓度c的变
扩散原理
二、 Fick第II定律
推导：取一体积元，分析x→x＋dx间质点数 在单位时间内 x 方向的改变，即考虑两个相距为 dx 的平行平面。
C J x＝－D x
x
J x dx
x+dx
J C C J x ( )dx D ( D )dx x x x x
x
净增量J J x＋dx J x
Ci单位体积中i组成质点数
Vi 质点移动平均速度
ui C i J i C i .Bi . C i x C i J＝－D i x ui ui Di C i .Bi Bi C i ln C i C i C N i ( mol 分数) ln C i ln N i ui Di Bi ln N i
常见扩散 无序扩散
第四节
固体中的扩散
自扩散
示踪扩散 晶格扩散
没有化学浓度梯度的扩散，即无推动力 是没有空位或原子流动，而只有放射性离子的无规则运动。 晶体体内或晶格内的任何扩散过程。 仅由本身的热缺陷作为迁移载体的扩散。 存在于化学位梯度中的扩散。
4、间隙扩散：质点从一个间隙到另一个间隙 5、空位扩散：质点从正常位置移到空位 能量最小， 最易发生
随T增大，具有足够能量去克服势垒的原子百分比按指数规律 增加，即
能量 u的质点数 u 活化质点数＝ ＝exp(－ ) 总质点数 KT
微观理论推导：思路
1、 从无规则行走扩散开始(自扩散)；
2、 引入空位机制； 3、 推广到一般。
Vi Fi 低u
对象：一体积元中 多组分中i 组分质点的扩散 ui i质点所受的力： Fi x ∵相应质点运动平均速度Vi正比于作用力Fi u Vi Bi Fi Bi x (Bi为单位作用力下i 组分质点的平均速度或淌度)
高等流体力学-第五讲
∂C ∂ 2C = Dm 基本方程： 基本方程： ∂t ∂x 2
定解条件：由质量守恒，在任何时刻， 定解条件：由质量守恒，在任何时刻，有：∫ Cdx = M
或
+∞ −∞
C ( x ,0 ) = M δ ( x )
求解方法： 求解方法：
1）量纲分析相似解法 ； ）
∂ 2C ∂ 2C ∂ 2C ∂C ∂(Cu1 ) ∂(Cu2 ) ∂(Cu3 ) 对三维流动： 对三维流动： + + + = Dm 2 + 2 + 2 ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x1 ∂x2 ∂x3
北京工业大学市政学科部——马长明 高等流体(水）力学讲稿
7
第五讲 扩散理论
6
第五讲 扩散理论
3、移流扩散方程（Advective Diffusion Equations） 、移流扩散方程（ ）
取控制体如图， 方向为例。 取控制体如图，以x1方向为例。 假设： 假设：层流运动时溶液的扩散与流体静止 时的分子扩散相同。 时的分子扩散相同。 由质量守恒定律，可得： 由质量守恒定律，可得：
1、分子扩散系数与概率统计量间的关系 、
（1）分子扩散方程的基本解 ） 问题： 考虑一维问题） 时刻， 问题： （考虑一维问题）在t=0时刻，坐标原点处（x=0） 时刻 坐标原点处（ ） 放置质量为M的扩散质 确定浓度沿x轴的扩散过程 的扩散质， 轴的扩散过程。 放置质量为 的扩散质，确定浓度沿 轴的扩散过程。
D12 D22 D32
∂C D13 ∂x1 ∂C D23 ∂x 2 D33 ∂C ∂x 3
Dij应是空间坐标的函数，当选择坐标使其与二阶张量的主轴方向一致 应是空间坐标的函数， 九个量中仅有三个主值， 不为零。 时，九个量中仅有三个主值，即：D11，D22，D33不为零。当满足各向同性 条件下， 条件下，有：
流体力学——4河流中的扩散与混合资料.
4Eyx
b 3.46
Ey
x u
污染带宽度
2b 6.92
Ey
x u
若污染源在河（河宽为2B）岸边，求污染带宽度的方法相 同，此时需注意的是：岸边排放的断面最大浓度出现在排 放岸边。
取y坐标原点位于排放岸侧，计算C（x，b）时需考虑同岸 边界反射：
C(x, b) 0.05 C(x, 0)
相对于第三阶段而言，第二阶段的距离不是太长，此时 可以忽略污染物质的非守恒性，作为示踪物质考虑。
以坐标x表示河流纵向，y表示河宽方向，z表示水深方向。
当河道断面近似为矩形棱柱体时，水流近似为二维均匀
流，水深和断面平均流速分别为h和v，y方向和z方向流速
近似为0.
对浓度沿水深取平均，研究浓度的垂线平均值在纵向和 横向上的变化。
exp
u(y 2B)2 4Ey x
C(x,B)
m
4 Eyux
exp
uB2 4Ey x
exp
u(B 2B)2 4Eyx
M /h
4 Eyux
2
exp[
uB2 4Ey x
]
对于岸边排放，仍令y坐标原点与污染源重合（即y坐标原点位 于排放岸一侧），并将河宽记为B。
考虑一次边界反射时，各处浓度是没有反射时的两倍。
在应用上述基本解求解实际河流的污染带问题时需要注意以 下问题：
1）上述基本解中，污染源位于坐标原点位置，基本解
中的y值即表示计算点距污染源的距离；
2）上述基本解为无限空间中的解，未考虑边界反射，
而实际河流中需要考虑边界反射作用。
因此需要将上述基本解推广到一般情况以便在实际河流 中应用。
实际问题中，计河流宽度为B，将坐标原点取在河流岸边， 假定污染源位置位于横坐标x=0 ，y=y0处。
流体力学中的流体中的湍流射流与污染物扩散
流体力学中的流体中的湍流射流与污染物扩散流体力学是研究流体运动规律以及力学效应的学科，涉及到了许多重要的应用领域，其中之一就是湍流射流与污染物扩散的研究。
湍流射流是指射流中存在的湍流现象，污染物扩散则是指在湍流射流中污染物的展散和传播过程。
本文将从湍流射流的形成机制、湍流射流对污染物扩散的影响以及相关研究方法等方面进行论述。
一、湍流射流的形成机制湍流射流是流体中湍流现象和射流现象的结合体，它的形成机制主要有两个方面的影响：惯性与湍流扩散。
首先是惯性的作用。
在射流过程中，由于射流速度较快，流体的惯性作用会导致流体产生不稳定运动，使流体形成湍动。
随着射流的远离源头，惯性效应逐渐减弱，湍流现象也相应减弱。
其次是湍流扩散的作用。
湍流扩散是指射流中涡旋运动的发生和发展。
在射流时，涡旋的形成是由于高速流体与低速流体互相混合而产生的。
这种混合过程会导致湍流扩散，使得流体中的湍流现象得以延续并形成湍流射流。
二、湍流射流对污染物扩散的影响湍流射流对污染物扩散的影响较为显著，主要表现在以下几个方面。
首先是湍流射流能够加速污染物的扩散。
由于湍流射流中存在的涡旋运动和高度混合的特性，使得污染物在射流中的传播过程中更为迅速，扩散范围更广。
其次是湍流射流能够改变污染物的浓度分布。
湍流射流中的湍流现象导致污染物浓度分布的不均匀性，即某些地点的浓度较高，而其他地点的浓度较低。
这对于污染物的监测和治理提供了重要的依据。
最后是湍流射流能够影响污染物的输运路径。
由于湍流射流中存在的不稳定性，污染物的输运路径可能会发生变化，导致污染物传播方向的改变，从而对环境产生不同程度的影响。
三、研究方法与应用为了更好地理解和研究湍流射流与污染物扩散的关系，科学家们提出了一系列的研究方法和应用。
首先是数值模拟方法。
数值模拟方法利用计算机技术模拟和计算湍流射流与污染物扩散的过程，通过建立数学模型和物理模型，对流体运动和污染物传输进行模拟和预测。
这种方法具有成本低、实验周期短的优势，被广泛应用于湍流射流与污染物扩散研究中。
2、环境水力学-迁移扩散理论-移流扩散及紊流扩散
对于一维扩散问题的解：
M C x, t e 4 Dt
x2 4 Dt
( x ut )2 M C exp 4 Dt 4 Dt
（2-90）
C的分布见图。
对二维问题的解为：
2 2 M x u t y C exp 4Dt 4 Dt
t
m
得
（2-94）
又令
ru 1 4D
代入积分式（2-94）
转化得
（2-95）
若时间的积分限 t ，则
r 0，故(2-95)式转化为 4 Dt
xu m exp( ) 2 2 1 2 D C ( x, y , z ) ( 2 ) d 3 0 exp 2 2 Dr
2C 2C 2C C C u D 2 2 2 t x x y z
（2-82）
上式就是一维恒定均匀流场三维扩散的随流扩散方程。
用解析法求解三维随流扩散方程很困难，一般情况 下只考虑一维随流扩散方程，下面就讨论一维流场三维 扩散的随流扩散方程的几种解答。
（2-92）
第一章
迁移扩散理论
一、分子扩散
二、移流扩散及紊动扩散 三、剪切流动的分散
紊动扩散欧拉（Euler）法
我们在上一节研究费克第二定律的过程中，就其分
析方法而言，实质上就是采用的欧拉法，即
对流场中给定的微小空间考察各种物理量的变化，
从“场”的角度来分析问题，从而得出微分方程。 在研究移流扩散方程的时候，仍然采用的欧拉方法，
面分子扩散问题中按照若干初始条件和边界条件得出了解析解答。
将置换解法应用到二维、三维扩散问题中来，一维流
环境流体力学第二章分子扩散
第五节 一维扩散方程的基本解
2.解析方法：如拉普拉斯变换、分离变量法和量纲分析法
量纲分析，物理方程中各项物理量的量纲之间存在的规律： 量纲和谐性，物理方程中各项的量纲应当相同； 任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组成的方程而 不会改变物理过程的规律性； 物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各量纲之间的 规律性，不会因所选的基本量纲不同而发生改变。
M 2 对于正态分布曲线（标准）有： M1 0, x 0, x 2 M
0
将瞬时点源的解代入M2，得距离方差：
M 1 2 x 2 M0 M x2 x c( x, t )dx x exp( )dx 2 Dt 4 Dt 4 Dt
2
第四节 分子扩散方程
推广到三维： 故有
c Q t
Q Dc
Fick定律：
c D2c t 用直角坐标表示
c 2c 2c 2c D( 2 2 2 ) t x y z
时变项
分子扩散项
扩散方程本质上是质量守恒定律在扩散问题上的体现
在扩散特性各向同性的液体中，在x、y、z三个方向上，D为常数。
x c x c x
i i i i i i
i
质量中心坐标x
表示浓度分布曲线重心距x坐标原点的水平距离，当曲线对称于c轴时x=0。
（2）浓度分布的距离方差2
2 x 2 ( x ) c( x, t )dx x
M0
i
2 2 ( x 2 x )c( x, t )dx x x
第四节 浓度分布的各阶矩
1、 浓度对距离的各阶矩定义
零阶矩 M 0 c( x, t )dx ci xi
流体力学 扩散理论
由于生物、化学等各种因素，扩散质的发生率Fc，质量守恒：
c t
[ x
(cu
Dm
c ) x
y
(cv
Dm
c ) y
z
(cw
Dm
c ) z
Fc ]
或
c t
x
(cu)
y
(cv)
z
(cw)
Dm
(
2c x 2
2c y 2
2c z 2
)
Fc
——移流扩散方程
左边第一项是当地变化，第二项是移流变化；
环境流体力学 第四章 扩散理论
1
4.1概述
关心问题：排放的污染物质在大气内和水域内浓度分布。 理论基础：扩散与输移理论。 传输过程：流体中含有物质，在流场内某处转移至另一处的过程。 ， 扩散：流体中含有物质从含量多处向含量少处传输的现象。 随流传输：流体的含有物质随流体质点的时均运动而转移的过程。 离散：剪切流中由于时均流速分布不均引起含有物质散开的现象。
与 c(x1, t) (2t)
M exp( x12 )
4D m t
4Dmt
比较，Dm=la/2=Nl2/
P l exp( x12 )
Dmt
4Dmt
——以Dm表示的分子在N次运动后到达x1处的概率
5
求在t时刻分子位于x1与x1+δx1之间的概率δP，分子到达x1后， 下一步仍有1/2机会前进，1/2机会后退，每一步距离为l，下
t
Y2 (t0 t) v2 (t0 t)dt
0
T
T tt
Y22
(t)
1 T
Y22 (t0
t)dt0
1 T
dt0
环境流体力学(第二章)
设O点右面有一点p，p到O点距离为x，到某个污染微元的距离 为ξ ，在指定时刻p点的浓度c(x,t)应该等于左面各微小污染源扩 散到p点的浓度dc的迭加，根据瞬时平面源一维扩散解，任意 一个微小污染源扩散到p点的浓度dc为
dc( , t )
c0 d 4 D t
exp(
2
4D t
)
由左半部无限多个微小面源引起的p点浓度
积分一次可得
可使方程满足边界条件
M c( x, t )dx
M f ( ) Dt d Mf ( )d Dt
解这个积分需要用到积分表；因此我们需要代换变量去掉指数
里的1/4，我们引入
得到
进行坐标代换并且解 查阅积分表可得
可得：
瞬时源的一维规律扩散符合高斯正态分布规律
c2 2 c2 必须 Dy 2 0 t y
c1 2c1 Dx 2 0 t x
一维扩散方程
c1 ( x, t )和c2 ( y, t )各自满足瞬时点源一维扩散方程的解
M x c1 ( x, t ) exp( ) 4 Dxt 4 Dxt
2
M x2 c2 ( y, t ) exp( ) 4 Dy t 4 Dy t
c Fz Dz z
c 2c 2c 2c DX 2 Dy 2 Dz 2 t x y z
扩散浓度时空关系的基本方程： 2c 2c c 二维
D 2 2 t x y
c 2c 2c 2c D( 2 2 2 ) D 2 c t x y z
M x c(x , t) exp ( 2 ) 2σ A 2π σ
2
环境流体力学第三章随流扩散
第一节 随流扩散方程
第一节 随流扩散方程
设流体质点具有瞬时流速矢量 在x、y、z直角坐标上的分量分 别为u、v、w ： y， v
u uu
'
x， u
z，w
v v v'
w w w'
直角坐标系下的瞬时流速分量
随流扩散：由于水体的平均运动（包括时间平均和空间平均） 使污染物质发生输移的现象。 对层流: u′、 v′、w′为零，水体的平均运动指的是空间平均 运动，在这种情况下的物质的迁移就是分子扩散和随流输 移的叠加。
( 3-2-11 )
若Dx = Dy = D，有：
( x ut )2 y 2 Mz c( x, y , t ) exp 4 Dt 4 Dt
( 3-2-12 )
上两式均满足瞬时无限长线源无界空间的定解条件 初始条件：c(x，y，0)= Mzδ(r)， r =(x2+y2)1/2 边界条件：c(±∞， y， t )=c(x，±∞， t )=0
( 3-2-10 )
边界条件：c(±∞, t )=0
均匀流条件下瞬时点源的随流-扩散
例：一条无限长的顺直矩形断面渠道，水面 宽 B= 5m，水深 h= 2m，在其中间断面瞬时 投入 M= 10kg 的污染物，渠道的流速恒定， U= 0.2m/s，扩散系数 D= 0.075m2/s。求经过 时间t= 50s，100s 后，在投入点下游 10m 处污 染物的浓度。
第一节 随流扩散方程
1.一维随流扩散方程
设v=w=0，只有u分量（沿x轴）
c Q f D 分子扩散通量： x
污染物随流输移的通量：
Fick定律
qf qs
2、环境水力学-迁移扩散理论-移流扩散及紊流扩散
x
ut2
4Dt
y2
z2
（2-92）
（2）时间连续点源的移流扩散
恒定点源=瞬时点源叠加
时间连续源仍然可以看作是无限多瞬时点源md 的迭 加，m为单位时间投放物质的强度，同样采用动坐标系， 引用纯扩散的时间连续源的积分式的浓度分布函数式：
C
M
4D 3 / 2
t 0
t
1
ห้องสมุดไป่ตู้
3/
2
exp
r2
设问题满足一维随流扩散方程
C C 2C t u x D x2
令 x ut,C C,t，其中u为常数。
1, u
x t
于是
C C C 2C 2C x x , x2 2
C C C u C C
t t t
t
（2-83） （2-84）
C C C , x x
)
d
（2-96）
可以证明，当 时
0
exp
(
2
12 2
)d
e21
2
（2-97）
于是得时间连续点源三维移流扩散的浓度公式为：
C(x, y, z) m exp[ u (r x)]
4 Dr
2D
（2-98）
在源下游较远的区域，（2-89）式中r值可以下列近似 关系代替：
r
x2
y2
z2
(1
y2 x2 2x2 )x
C t
ux
C x
uy
C y
uz
C z
2C D( x2
2C y2
2C z2 )
（2-81）
对大多数实际问题，水流具有明显的主流方向，其uy、
uz可以忽略不计，并且设沿主流x方向的流速 ux u ，u
地球流体力学：第三章_第五节 涡动黏性与扩散
u u u fv uu
t
x
涡动通量（eddy flux） 的散度
同理，对于y方向上的动量方程和示踪方程，可以得到
v u v v v fu v u v fu uv
t x y
y
t
y
d u 0 dt t
u u t
如何表示扰动 的作用？
• 涡动通量与平均流切变的关系可表 示为：
uv
e
y
u
e : eddy viscosity coefficient e 0
在这里，涡动通量的作用： ➢减弱速度梯度 ➢减弱平均流的动能，增加扰动动能
U 0 y
U 0 y U 0 y
涡动通量可以引起平均动能向扰动动能转换。涡动通量是由湍流引起的动量输送，相应的 系数ve称为涡动黏性系数， 扩散过程沿着梯度反方向进行，这种类型的涡动通量波流相互作用过程称为涡动扩散过程
t
x
y
x
在 t 内求平均，得到
u u u v u fv u u v u
t x y
x y x
u u u v u fv u u v u
t x y
x y x
u u v u uu uv u u u v x y x y x y
uu x
uv y
u
u x
v y
uu uv uu x y
r r 3.104
对左侧作泰勒展开：
r r r' r r' r r ' r r +
将（3.104）代入，有：
r '
random-walk: ➢是对一系列的随机步所组成的路径的数学描述 ➢常用的模型：Lattice random walk
流体力学——3-1,3-2扩散方程及其基本解
C D 2C t
或
C 2C 2C 2C Dx 2 Dy 2 Dz 2 t x y z 2C 2C 2C C D 2 2 2 t x y z 分子扩散方程（费克第二定律）
若扩散发生在二维空间，扩散方程可简化为
第三部分(1)
扩散理论
§1 几个基本概念 §2 分子扩散的费克定律，分子扩散方程 §3 移流扩散方程 §4 紊动扩散
§2 分子扩散的费克定律，分子扩散方程
两种不同物质通过它们的分子运动而互相渗透的现象称为 分子扩散。
物质的分子扩散可以借助四种推动力发生：浓度梯度、温度梯 度、压力梯度或其他作用力梯度。由这些不同原因而引起的扩 散分别称为：浓度扩散、温度扩散、压力扩散和强制扩散。
二、分子扩散方程——费克第二定律
为建立污染物浓度随时间和空间的关系式，在静止流体中 取微元六面体，分析污染物扩散量的变化规律。 设微元六面体边长分别为dx，dy，dz， 中心点坐标（x,y,z）, 单位扩散量 F 在三个坐标上的分量分别为 Fx ，Fy，Fz z dz o x y dy z x dx y
C Fz Dz z
C 2C 2C 2C Dx 2 Dy 2 Dz 2 t x y z
若污染物扩散为各向同性，即Dx=Dy=Dz=D，上式可改写为
2C 2C 2C C D 2 2 或者 2 t y z x
实际问题中，污染物扩散过程中分子扩散所占的比重通常很小 ，就分子扩散本身而言，除了微观的化学与生物反应外，在环境 问题中并没有直接的重要意义。但是在许多情况下，环境中的污 染物扩散与分子扩散有类似之处，其研究可借用分子扩散的基本 思想。
一、费克（Fick)第一定律
12第十二章射流和流体扩散理论基础
第十二章 射流和流体扩散理论基础12—1 一直径d 0＝60cm 的管道出口淹没于水下，沿水平方向将废水泄入相同密度的清洁水中，泄水流量Q ＝0.5m 3/s ，试计算距出口距离x ＝10m 处轴线流速m u ，并点绘该断面上流速分布。
解：出口流速022440.5m /s 1.768m /s ππ0.6⨯===⨯Q u d起始段长度 006.8 6.80.6m 4.08m 10m L d ==⨯=<，所求断面在射流主体段内。
由式（12－11）可得 x ＝10m 处的轴线流速u m 为0m 00.66.2 6.2 1.768m /s 0.658m /s 10d u u x==创=由式（12－5）得断面上流速分布为2m 2exp ⎛⎫-= ⎪⎝⎭e r u u b取e b x ==⨯=，所以220.658exp 1.14r u ⎛⎫-= ⎪⎝⎭当r ＝0.5m 时，0.1910.658m /s0.54m /s u e =? 当r =1.0m 时，0.7710.658m /s0.31m /s u e=?当r ＝1.5m 时， 1.7310.658m /s 0.12m /s u e=⨯= 当r ＝2.0m 时， 3.0810.658m /s0.03m /s u e=?x ＝10m 断面上的流速分布图如下：12—2 设某排污圆管，将生活污水排入湖泊；射流出口断面直径d 0=0.2m ，出口流速u 0=4m/s ，出口污水浓度c 0=1200mg/L ，出口平面位于湖面下24m ，出流方向铅垂向上，污水与湖水密度基本相同。
不考虑射流对水面冲击引起局部升高波动的影响和自由表面的反射，按淹没自由射流初略估算。
试求污水到达湖面处的最大流速u max 、最大浓度c max 和断面平均稀释度s 。
解：起始段L 0=6.8d 0=6.8×0.2m=1.36m<24m ，所以湖面在射流主体段内。
0m ax 00.26.2 6.24m /s 0.21m /s240.60.2d u u x==⨯⨯=-⨯0m ax 00.25.57 5.571200m g/L 240.60.2d c c x==⨯⨯-⨯55.98mg/L =240.60.20.320.3238.210.2Q x s Q d -⨯===⨯=12—3 设如习题12-2所述的情况，但射流出口为狭长的矩形孔口，孔口断面高度2b 0=0.2m 。
【清华】12第十二章射流和流体扩散理论基础
第十二章 射流和流体扩散理论基础12—1 一直径d 0＝60cm 的管道出口淹没于水下，沿水平方向将废水泄入相同密度的清洁水中，泄水流量Q ＝0.5m 3/s ，试计算距出口距离x ＝10m 处轴线流速m u ，并点绘该断面上流速分布。
解：出口流速0220440.5m/s 1.768m/s ππ0.6⨯===⨯Q u d 起始段长度 006.8 6.80.6m 4.08m 10m L d ==⨯=<，所求断面在射流主体段内。
由式（12－11）可得 x ＝10m 处的轴线流速u m 为0m 00.66.2 6.2 1.768m/s 0.658m/s 10d u u x ==创= 由式（12－5）得断面上流速分布为2m 2exp ⎛⎫-= ⎪⎝⎭e r u u b取 0.1140.11410m 1.14m e b x ==⨯=，所以220.658exp 1.14r u ⎛⎫-= ⎪⎝⎭当r ＝0.5m 时，0.1910.658m/s 0.54m/s u e =?当r =1.0m 时，0.7710.658m/s 0.31m/s u e =?当r ＝1.5m 时， 1.7310.658m/s 0.12m/s u e =⨯=当r ＝2.0m 时， 3.0810.658m/s 0.03m/s u e=?x ＝10m 断面上的流速分布图如下：12—2 设某排污圆管，将生活污水排入湖泊；射流出口断面直径d 0=0.2m ，出口流速u 0=4m/s ，出口污水浓度c 0=1200mg/L ，出口平面位于湖面下24m ，出流方向铅垂向上，污水与湖水密度基本相同。
不考虑射流对水面冲击引起局部升高波动的影响和自由表面的反射，按淹没自由射流初略估算。
试求污水到达湖面处的最大流速u max 、最大浓度c max 和断面平均稀释度s 。
解：起始段L 0=6.8d 0=6.8×0.2m=1.36m<24m ，所以湖面在射流主体段内。
流体中的扩散
0
C .v v . C ( R
A
RB) 0
12
现在推导其简化形式，设混合物浓度C，扩散 系数DAB为常数：
.v
*
R
A
RB C CA C
C A t
A x
v . C A D AB C A R
* 2
A
(R
A
RB) 0
考虑质量密度表示的连续方程：
D AB
y
2
p A
t 0, y 0, A
0
Ae
qt
dt
As
p
其中 的解为：
2
q
p D AB
，拉普拉斯变换方程和边界条件
A As
p e
qy
19
利用拉普拉斯逆变换得到浓度分布：
A As erfc
y 2 ( D AB t )
1/ 2
第十一章
传质理论初步
§11.1 质量传递理论基本概念与它的主要传递 的方式
§11.2 混合物系统中的浓度、速度和流量概念.
例
§11.2 Fick第一扩散定律
§11.3双组分混合物的连续性方程 . 推导 §11.4 扩散方程的应用 例
1
§11.5 湍流扩散方程
§11.7 层流与湍流的浓度边界层方程 §11.8 雷诺类比 §11.9 沿半无穷平板的层流浓度边界层 §11.10 质量积分关系 §11.11 沿半无穷平板的湍流浓度边界层
.( n A n B ) - (r A r B ) 0
. v 0
用摩尔为单位写出方程： 组分连续方程： C
液体中的扩散
R B Bird, W E Stewart, E N Lightfoot. Transport Phenomena (2ed edition). New York: John Wiley & Sons Inc., 2002 （中译本：传递现象，戴干策等译，化学工业出版社，2004）费克第一扩散定律一种物质相对于另一种物质做分子传递，称为扩散。
A 物质在A 、B 混合物中的扩散yD j y d d A AB A ωρ-= 式中y j A 是A 物质在y 方向上的分子扩散通量，ρ是混合物的密度，A ω是A 物质的质量分数，AB D 称为扩散系数。
二元混合物的质量平均速度是y y y v v v B B A A ωω+=，质量通量定义为)(A A A y y y v v j -=ρω在稀溶液中A ω很小，0≈y v 。
费克定律的矢量形式A AB A ωρ∇-=D j低密度气体的扩散系数几乎与A ω无关，而随温度升高而增加，相反地随压强升高而降低。
液体和固体的扩散系数强烈得依从于浓度，且一般随温度升高而增加。
二元液体的扩散理论即使简单液体的扩散，其动理论尚未能很好的建立起来，目前还不能给出精确的扩散系数解析表达式。
关于液体的扩散，目前主要还是依赖于两个颇为粗糙的模型，流体力学模型和活化态模型。
（1）流体力学理论 利用Nernst-Einstein 方程可导出AA AB F u kT D = 其中A A F u 表示粒子在单位力的作用下取得的定常态速度。
通过求解Stokes 流动方程（爬流方程）g v ρμ+∇--∇=20p ，对于球行分子A ，并考虑滑移摩擦系数AB βAB AB A B AB A B A A 6123R R R F u πμβμβμ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++= B μ为纯溶剂的粘度。
无滑移时∞=AB β，得到Stokes-Einstein 方程AB AB 6R kT D πμ= 该方程成功应用于低分子量溶剂中很大的球形粒子的扩散和悬浮粒子的扩散。
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4.3分子扩散的随机游动分析
自由程：一个分子在两次碰撞之间的运动距离； 假设分子的自由程为一固定值l，其运动平行于x1方向； 每个分子沿正x1方向运动和沿负x1方向运动的概率相等； 出现正号的次数为p，出现负号的次数为q；
p+q=N，p-q=S， p=(N+S)/2=N(1+S/N)/2，q=(N+S)/2=N(1+S/N)/2 经过N次运动，分子向前运动的距离为Sl，这种情况的概率： p=[N!/(p!q!)]/2N：
步在x1与x1+δx1的范围的机会为(1/2)(δx1/l)，则：
P [
l exp( x12 )] x1
Dm t
4Dmt 2l 2
1
Dm t
exp(
x12 4Dm
t
)x1
分子沿x1作随机运动其概率密度(δP/δx1) 符合正态分布
标准差： 2Dmt
x12dP
方差： x12
0
2Dmt
dP
环境流体力学 第四章 扩散理论
1
4.1概述
关心问题：排放的污染物质在大气内和水域内浓度分布。 理论基础：扩散与输移理论。 传输过程：流体中含有物质，在流场内某处转移至另一处的过程。 ， 扩散：流体中含有物质从含量多处向含量少处传输的现象。 随流传输：流体的含有物质随流体质点的时均运动而转移的过程。 离散：剪切流中由于时均流速分布不均引起含有物质散开的现象。
x1dP
平均值： x1
0
2 Dmt
dP
0
Dm
x12 2t
0
6
随机游动分析与从费克扩散理论的结果基本一致。
4.4移流（层流）扩散方程 流动流体除了分子扩散还有随流传输
z
cu
dz
cu (cu) dx x
Dm
c x
y
dx
dy
[ Dm
c x
x
(Dm
c )dx x
x
流入扩散质cudydzdt，扩散量
t t 的两个流速的乘积对许多质点的平均值
10
拉格朗日自相关数：
RL
(
)
vi
(t)vi (t vi2
)
t0
t t
t t
Y22 (t) 2
dt
v2 (t)v2 (t )d 2
dt
v2 (t)v2 (t )d
2v
2 2
dt
RL ( )d
0 t
00
00
t t
t
t
t
t
dt RL ( )d | t RL ( )d |t0 tRL (t)dt t RL ( )d RL ( )d
t
Y2 (t0 t) v2 (t0 t)dt0TT Fra bibliotektY22
(t)
1 T
Y22 (t0
t)dt0
1 T
dt0
dt v2 (t0 t)v2 (t0 t)dt
0
0 00
tt
T
tt
dt dt 1 T
v2 (t0 t)v2 (t0 t)dt0
dt dtv2 (t0 t)v2 (t0 t)
与
c(x1 , t)
M exp( x12 )
4D m t
4Dmt
比较，Dm=la/2=Nl2/(2t)
P l exp( x12 )
Dmt
4Dmt
——以Dm表示的分子在N次运动后到达x1处的概率
5
求在t时刻分子位于x1与x1+δx1之间的概率δP，分子到达x1后， 下一步仍有1/2机会前进，1/2机会后退，每一步距离为l，下一
00
0
0
0
0
t
Y22 (t) 2v22 (t )RL ( )d
0
有两种极端情况
11
（1）扩散时间很短
很小，RL ( ) 1 , Y22 (t) v22t,2
Y22 (t) Y2(t) v22 t
在扩散初期，扩散的发展与时间t成正比。
（2）扩散时间很长
达到某一时刻t*后，可认为已无相关，
Dm
c x
dydzdt
流出扩散质dydzdt，扩散量
[ Dm
c x
x
(Dm
c )dx]dydzdt c
7
进出量之差：
x
(cu
Dm
c )dxdydzdt x
y
(cv Dm
c )dxdydzdt y
z
(cw Dm
c )dxdydzdt z
在dt时间段微元体扩散质的增加量：( c )dtdxdydz
9
00
0
00
每一质点取两个时刻的流速的乘积来平均
tt
tt
dtdt 2 dt dt
t”
00
00
t
t’
左边是距形微元从0到t的积分，是一正方形
t’
t
右边积分是个三角形,左边是右边的2倍
t’ dt
t t
Y22 (t) 2 dt v2 (t0 t)v2 (t0 t )dt
00
v2 (t0 t)v2 (t0 t) 的意义是同一质点在时间差为
2
4.2 分子扩散的费克定律，扩散方程
Q
xi
c Q Dm xi
——费克第一定律
Q
Q xi
xi
x1
Q(x1, t)x1t
t
c( x1 ,
t)tx1
0
c(x1, t) x1
Dm
2c(x1 , t) x12
0
——费克第二定律
积分：
c(x1 , t)
M exp( x12 )
4D m t
4Dmt
M为t=0时在x1=0处的扩散质的数量，这些扩散质沿x1方向 扩散。表示浓度c沿x1分布规律，按指数规律急剧衰减。 3
右边第一项是分子扩散，第二项是产生或衰减的源汇项 8
4.5紊动扩散——拉格朗日法
4.5.1单个质点的紊动扩散——泰勒扩散理论
设标志质点在y2方向的流速为v2（2表示拉格朗日流速）
t
Y2 (t) Y2 (0) v2 (t)dt
0
假定紊流场在时间和空间是均匀的，只沿y方向一维扩散
取Y2 (0)点为原点，v2 (t)是随机变量，则Y2 (t)的统计平均值
t
由于生物、化学等各种因素，扩散质的发生率Fc，质量守恒：
c t
[ x
(cu
Dm
c ) x
y
(cv
Dm
c ) y
z
(cw
Dm
c ) z
Fc ]
或
c t
x
(cu)
y
(cv)
z
(cw)
Dm
(
2c x 2
2c y 2
2c z 2
)
Fc
——移流扩散方程
左边第一项是当地变化，第二项是移流变化；
即t=t*时，RL(τ) ≈0，当t》t*时，
t
t*
t*
(t )RL ( )d t RL ( )d RL ( )d
0
0
0
12
当t很大时，忽略右边第二项，令：
t*
RL ( )d TL
N!
P
2N
[
N 2
(1
S N
)]![
N 2
(1
S N
)]!
4
分子运动N是个大数，S《N，有：lnn!=(n+1/2)lnn-n+ln2π/2
P 2 exp( S 2 )
n
2N
令a表示分子运动速度，t为分子运动N次经历的时间；
N=at/l，Sl=x1
P 2l exp( x12 )
at
2lat