第二章 地下水运动的基本微分方程及求解条件
地下水动力学(第二章 地下水向河渠的运动-专)
( ) (
)
任一断面单宽流量： ∂h 上式对x求导，并代入Darcy定律 q = − Kh ∂x 得：
q x ,t K = q x ,0 + ∆ h02,t G x, t − ∆ hl2,t G ′ x, t 2l
[ ( ) ( ) ( ) ( )]
式中：qx,0—x断面处回水前单宽流量； qx,t—x断面处回水后t时刻的单宽流量； G (x, t ) —河渠流量函数；
hx2, 0 = h02, 0 −
h02, 0 − hl2, 0 l
x
(3) 两侧河渠水位同时出现水位上升，发生瞬时回 水，左河水位自h0,0上升至h0,t，右河自hl,0上升至hl,t。 （二）数学模型的建立和求解 如图坐标，可得如下数学模型：
∂ ∂h ∂h K h = µ ∂x ∂x ∂t h 2 ( x,0 ) = h02, 0 − h(0 ,t ) = h0 ,t h(l ,t ) = hl ,t h02, 0 − hl2, 0 l x
d dh W =0 h + dx dx K h x =0 = h1 h x =l = h2
模型求解： W dh d h = − dx 将微分方程化为： dx K 两边不定积分： dh W
h dx =− K x + C1
再化简： 再积分：
W hdh = − xdx + C1dx K
特例， h1=h2
l=2
时， a =
l 2
，代入(2)式，可得
K 2 hmax − h12 W
(
)
可见，当水位条件一定时，在入渗强度愈大和渗 透性愈弱的含水层中，排水渠间距愈小，反之愈大。 (3) 河渠间单宽流量的计算 通用公式： 2 2 当x=0时，得流入左河的单宽流量：
水动力学基本微分方程
流出： (Q Qy dy)dt y
y 2
沿z方向流入单元体的水量： v2 dx dy dt 流出：v1 dx dy dt
流入量－流出量＝：
Q x x方向： dxdt x
y方向： Q y y dydt
2 H 2 H 2 H s H 2 2 2 K t x y z
２.对于二维的情况，常用 和T表示(
各项均乘以m）
H H H (Tx ) (Ty ) ， x x y y t 2 H 2 H H 当Tx Ty T时, 则 2 2 x y T t
上述分析表明：H降低，承压含水层释 放部分地下水；H增大，承压含水层贮存部 分地下水，这部分水量称为弹性贮存量。
弹性贮水量的大小与含水层的岩性和 结构有关，为了表征含水层弹性释水（储 水）的能力，下面将给出弹性贮水率和贮 水系数的概念。
2.含水层的贮水率和贮水系数
１.贮水率（Specific storativity）用 s 表示
H H H H ( K xx ) ( K yy ) ( K zz ) s x x y y z z t
上式就是非均质各向异性承压含水层中地下水三 维非稳定运动的基本微分方程。对各向异性介质，取 坐标轴方向与主渗透方向一致。
（二）方程的化简和讨论
１.对于均质各向同性含水层，Ｋ为常数，这时 简化为：
a
o
b a dy
x y Ｑx为单位时间内通过abcd断面流入的水量。在dt内，
沿x方向通过abcd断面流入均衡单元的水量 a＇b＇c＇d＇断面从均衡单元流出的水量为
Qx (Qx dx)dt x
《地下水动力学》课程总结
求水文地质参数
K、T、μ、μ*、B…
计算运动要素
Q、q、H、s、t….
模型识别
判断水文地质条件 如边界性质
1、介质（为描述介质特性提出的一些概念）
连续介质模型-典型单元体 渗透性：
渗透系数（K）、等效渗透系数 均质、非均质 各向同性、各向异性
2、渗流场
渗流特征 运动要素：实际流速、渗透流速、质点流速、单个孔隙
5、水文地质参数及获取方法
渗透系数K 入渗强度W 导水系数T=KM 弹性释水系数μ* 给水度μ 阻越流系数B 压力传导系数a =T/ μ*
配线法 直线图解法 水位恢复资料法
1、达西定律
dH Q = -KA
ds
dH v = -K
ds
适用条件：1<Re<10的层流
2、 Dupuit假定，Dupuit微分方程
Kz
∂ ∂z
s(r, H 0 ,t )
=
-μ
∂ ∂t
s(r, H 0 ,t )
方程解析解
s(r, z, t) Q
4 T
1
0
4
yJ 0
(
y
2
)[ 0
(
y)
n ( y)]dy
n 1
• 纽曼解的特点
5、地下水向不完整井的运动
• 不完整井流特点（三点）
• 地下水向不完整井的稳定运动
井底进水的承压水不完整井（空间汇点法）
井壁进水的承压水不完整井（空间汇线法）
∫ Q
s = 4πK(z2 - z1)
[z2
1
+
z1 (z - η）2 +r 2
1
]dη
(z + η）2 +r 2
第二章地下水运动的基本微分方程及定解条件
第二章一、填空题 1．渗流连续方程是 现。
地下水运动的基本微分方程及定解条件在地下水运动中的具体表 。
2．试写出在忽略含水层骨架压缩情况下的地下水连续方程 3．地下水运动基本微分方程实际上是 时间内从 层在单位时间 方向和 。
、方程，方程的左端表示单位方向进入单元含水层的净水量， 右端表示单元含水4．地下水平面二维、三维流基本微分方向的数学意义分别表示渗流区内 的渗流规律， 它们的物理意义分别表示任一 5．裘布依假设的要点是 直的，流线 体含水层。
7．贮水率的物理意义是：当水头 中由于水 是 ，后者是 ，以及介质骨架的 ，二是释放出 水量。
、 以及 。
时，从 ，而释放（贮存）的 含水层 水 不同，前者 以及没有 。
，高等于 柱 的水量均衡方程。
是铅 ，实际上意味着6．单位面积（或单位柱体）含水层是指量。
贮水系数与贮水率比较，主要差别有两点：一是含水层 水量，后者则完全是 二、判断题 1．对含水层来说其压缩性主要表现在空隙和水的压缩上。
（ 2．贮水率 μt=ρg (α+nβ)也适用于潜水含水层。
（ 3．贮水率只用于三维流微分方程。
（ ） ）不同，前者有疏干重力水和弹性8．在渗流场中边界类型主要分为）4．贮水系数既适用承压含水层，也适用于潜水含水层。
（ （ ） 6．潜水含水层的给水度就是贮水系数。
（ ））5．在一定条件下，含水层的给水度可以是时间的函数，也可以是一个常数。
7．在其它条件相同而只是岩性不同的两个潜水含水层中。
在补给期时，给水 度 µ 大，水位上升大，µ 小，水位上升小，在蒸发期时，µ 大，水位下降大，µ 小，水位下降小。
（ ）8．地下水连续方程和基本微分方向实际上都是反映质量守恒定律。
（9． 地下水三维流基本微分方程 div (K·gradH) = 于潜水。
（ ））m s = ¶H / ¶t 既适用于承压水也适用10．潜水和承压水含水层的平面二维流基本微分方向都是反映单位面积含水 层的水量均衡方程。
地下水动力学第二章
2.1.3 渗流连续性方程
连续性方程就是质量守恒方程，也称为水均衡方程 水均衡的基本思想：
对某一研究对象，流入－ 流出＝V 研究对象可以是大区域的，也可以是微分单元体
大区域的水均衡计算经常用于区域的水资源评价 本课程基于微分单元体做水均衡，推导渗流连续性方程。
为反映含水层地下水运动的普遍规律，我们选定在各向 异性多孔介质中建立地下三维不稳定流动连续性方程。
渗流连续性方程推导
( v)| x (xx,y,z,t)
X方向流入流出差
(v x )|(x ,y ,z ,t) y z t (v x )|(x x ,y ,z ,t) y z t
y方向流入流出差
(v y ) |( x ,y ,z , t ) x z t (v y ) |( x ,y y ,z , t ) x z t
V
V0 V0
( p0
p)
V V0
( p0
p)
水的压缩方程
dp 1 dV
V
V p
V0
由于V~V0变化不大，故 V p
由于V
m
V
d(m)
dV V
m
d ( 1 ) d
dp 1d
d
dp
多孔介质的压缩方程
假定多孔介质近似地符合弹性变形，依虎克定律，有
d 1 dVb Vb
t
(n z ) ( ze ) z( e e ) t t 1 e 1 e t t
根 据 e(1e)和 dp dH ,得 eep(1e)H
p
t pt
t
根d据 和 dp dH ,得 pH
dp
t pt
t
(nz) z [(1e)HeH]
t 1e
第二章地下水运动的基本微分方程及定解条件
第二章一、填空题 1．渗流连续方程是 现。
地下水运动的基本微分方程及定解条件在地下水运动中的具体表 。
2．试写出在忽略含水层骨架压缩情况下的地下水连续方程 3．地下水运动基本微分方程实际上是 时间内从 层在单位时间 方向和 。
、方程，方程的左端表示单位方向进入单元含水层的净水量， 右端表示单元含水4．地下水平面二维、三维流基本微分方向的数学意义分别表示渗流区内 的渗流规律， 它们的物理意义分别表示任一 5．裘布依假设的要点是 直的，流线 体含水层。
7．贮水率的物理意义是：当水头 中由于水 是 ，后者是 ，以及介质骨架的 ，二是释放出 水量。
、 以及 。
时，从 ，而释放（贮存）的 含水层 水 不同，前者 以及没有 。
，高等于 柱 的水量均衡方程。
是铅 ，实际上意味着6．单位面积（或单位柱体）含水层是指量。
贮水系数与贮水率比较，主要差别有两点：一是含水层 水量，后者则完全是 二、判断题 1．对含水层来说其压缩性主要表现在空隙和水的压缩上。
（ 2．贮水率 μt=ρg (α+nβ)也适用于潜水含水层。
（ 3．贮水率只用于三维流微分方程。
（ ） ）不同，前者有疏干重力水和弹性8．在渗流场中边界类型主要分为）4．贮水系数既适用承压含水层，也适用于潜水含水层。
（ （ ） 6．潜水含水层的给水度就是贮水系数。
（ ））5．在一定条件下，含水层的给水度可以是时间的函数，也可以是一个常数。
7．在其它条件相同而只是岩性不同的两个潜水含水层中。
在补给期时，给水 度 µ 大，水位上升大，µ 小，水位上升小，在蒸发期时，µ 大，水位下降大，µ 小，水位下降小。
（ ）8．地下水连续方程和基本微分方向实际上都是反映质量守恒定律。
（9． 地下水三维流基本微分方程 div (K·gradH) = 于潜水。
（ ））m s = ¶H / ¶t 既适用于承压水也适用10．潜水和承压水含水层的平面二维流基本微分方向都是反映单位面积含水 层的水量均衡方程。
第四讲地下水运动
K xz K zx
K zy K yz
对于二维的情况，有
K
K xx
K
yx
K xy
K
yy
(14)
VI zxyx
实际的未知量只有三个.
式（12）表明，在各向异性介质中，x方向的渗透 速度分量，不仅同方向的水力坡度有贡献，而且不 同方向的和也有贡献。即渗透速度矢量v和水力坡 度矢量I不共线，有如图3所示，而在各向同性介质 中二者是共线的。
K xx
K
yy
Kx
Ky 2
Kx
Ky 2
cos 2
K
xy
Kx
Ky 2
sin 2
（19）
其值也可用摩尔园方法求出，见图5。
1
1 1
0
1
反之，如已知ox1y1坐标系上的分量Kxx ,Kxy 和Kyy，求与之交角为α的主轴坐标系oxy上的 主值，可用下式
1
K K
x y
K xx
K yy 2
K xx
——雷诺数(Re)是一个无量纲数,是 1883年雷诺(Osborne Reynolds)在管道 流实验时首先采用
Re Vd
式中 Re──雷诺数； V ──水流平均流速，m/s； d ──管径，m； ν ──水的运动粘滞系数，m2/s。
——流 态
层流（laminar flow) 紊流 (Turbulent flow)
达西和cm2二种单位之间有如下关系：
1da 9.8697109 cm2
da
当参数用渗透率表示时，达西定律有如下形式
V k g dH dS
（11）
引入渗透系数和渗透率概念有何用途？
地下水数值模拟02_地下水运动的数学模型
2
H 0
n 2
——隔水边界
第三类边界条件 H aH b n
例：弱透水边界
K H Hn H 0 n m1 / K1
溶质运移问题的边界条件
第一类边界条件
c(x,
y, z,t) 1
c1(x,
y, z,t)
——给定浓度边界
第二类边界条件 c
Di, j x j ni 2 f2 (xi , t)
u(x, y, z,t) t0 0(x, y, z)
• 2、边界条件
第一类边界条件 u(x, y, z,t) 1 1(x, y, z,t)
第二类边界条件
u n
2
1(x, y, z,t)
第三类边界条件
u
u n
3
3x,
y, z,t
水流问题的边界条件
Reynolds数小于1~10
• 有些情况下，用液体压强表示更为方便
– 例如：油水两相流动
vx
K
H x
vy
K
H y
vz
K
H z
K g k
H z p
g
k p
vx
x
v y
k
p y
vz
k
K ( d
)
dhc
C
t
x
K( )
x
y
K
(
)
y
z
K (
2地下水渗流基本方程及数学模型
安徽理工大学 地球与环境学院 水资源与规划系
Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型
地下水动力学
安徽理工大学 地球与环境学院 水资源与规划系
Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型
*范围值：n×10-3~ n×10-5； 范围值：0.05~ 0.30。实际测出的值往往小于理论值。
上述两参数之间的不同，还在于潜水含水层存在滞后疏干现象。 弹性释水与重力给水: 对于含水层而言，由于受埋藏条件的限制，抽水时，水的给 出存在着不同。 潜水含水层在抽水过程中，大部分水在重力作用下排出，疏干作用于水位变动带（
为反映含水层地下水运动的普遍规律，我们选定在各向异性多孔介 质中建立地下三维不稳定流动连续性方程。
地下水动力学
安徽理工大学 地球与环境学院 水资源与规划系
Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型
由于渗流场中各点的渗流速度大小、方向都不同，为了反映液体运动的 质量守恒关系，需要在三维空间中建立微分方程形式表达的连续性方程。
则有：
即：
将
代入整理得：
地下水动力学
安徽理工大学 地球与环境学院 水资源与规划系
Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型
所以有
上式为三维流微分方程，也可写成：
物理意义：渗流空间内任一单位体积含水层在单位时间内流入与流出该体 积含水层中的弹性水量的变化量，即单位体积含水层的水量均衡方程。
地下水动力学
安徽理工大学 地球与环境学院 水资源与规划系
= =
由含水层状态方程，
地下水动力学
安徽理工大学 地球与环境学院 水资源与规划系
Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型
因为 则可得到： 所以有 ，Z为定值，则
于是连续性方程变为：
地下水运动定解条件
H 的线性组 n
H H n
其中： ， 为已知函数，这种类型的边界 条件称为第三类边界条件或混合边界条件。 第三类边界条件实例（J.Bear）
2015-6-4 10
注意：
1°求解非稳定渗流问题时，数学模型应 包括：支配方程、初始条件和边界条件；
2°而对稳定流问题，数学模型仅有：支 配方程和边界条件。
x2 y 2
H 0 亦为第一类边界；
潜水面任一点的水位已知时，抽水井井壁水位为一类 边界。
2015-6-4 6
（2）第二类边界条件
当已知渗流区某部分边界上的流量分布时，称这 部分边界为第二类边界或给定流量边界。相应的边界 条件表示为：
H H K K n n
ss22
q q11 ( (x x,, y y,, z z,,tt), ), （ （x x,, y y,, z z) ) S S22
5
常见的第一类边界有：
河流或湖泊切割含水层，二者有密切的水力联系，此 时，河湖的水位是已知的，水头 1 或 2是由河湖水位的 统计资料得到的关于t的函数；
泉水溢出带：其标高即为水位资料，但必须保证溢出 带不消失；
区域的抽水井，注水井或疏干巷道也可作为给定水头 边界处理； 无限边界 H ( x, y, t )
H ( x, y, z, t ) t 0 H0 ( x, y, z), （x, y, z) 空间区域
/ 或H ( x, y, t ) t 0 H0 ( x, y), （x, y) D平面区域
Ho ，Ho′为空间和平面区域上已知的水位分布。如 研究平面问题，某一时刻所测的等水位线即可作为初值。
2015-6-4 3
注意： a.初始条件对计算结果的影响，随计算 时间的延长而减弱； b.初始条件并非地下水的原始状态，即 未开发以前的状态； c.初始条件可根据需要任意选取。
水动力学基本微分方程
ds
由于 很小， tg sin
相当于忽略了渗透速度的垂直分量 Vz ，
H(x, y, z,t) H(x, y,t) 代替，在铅垂面上各点的水头都是相
等的；或者说，水头不随深度而变化，同一铅直面上各点 的水力坡度和渗透速度都相等，渗透速度可表示为：
dH vx K dx , H H (x)
分给水能力用给水度 （Specific yield）表示；
给水度的物理意义：当含水层中水头下降一个单 位时，在单位体积含水层中，由重力疏干所排出的 水量。
4.贮水率与给水度的区别
① 弹性释水由减压引起， s 为压力变化所给出的水量， 为重力疏干排出的水量；
② 贮水率与整个含水层厚度上的岩性、液体性质有关， 给水度仅与水位波动带的岩性、液体性质有关；
（二）越流含水层中渗流基本微分方程 1.假定
a.忽略弱透水层的弹性释水； b.水流在弱透水层中是垂向运动，而在主含水层中
折射为水平运动；
2.方程的建立
在主含水层中取一微分柱体（其长宽分别为dx、 dy，高为含水层厚度m）作为均衡单元。下面分析在 dt时段内，微分柱体的水均衡问题。
P(x，y）
设P(x, y)位于柱体中心，
上述分析表明：H降低，承压含水层释 放部分地下水；H增大，承压含水层贮存部 分地下水，这部分水量称为弹性贮存量。
弹性贮水量的大小与含水层的岩性和 结构有关，为了表征含水层弹性释水（储 水）的能力，下面将给出弹性贮水率和贮 水系数的概念。
2.含水层的贮水率和贮水系数
１.贮水率（Specific storativity）用 s 表示
越流系数反映越流量的大小， 越大，相同水
头下的越流量也越大。
地下水动力学讲义第2章(全)2009-11
q1 = K
右河得到的补给量：
2 h12 − h2 Wl − 2l 2
q2 = K
2 h12 − 时，它的渗漏量由于存在入渗而减少，减少量等于整 个库渠间入渗量的一半，即 Wl 。因此，在选择库址时，除了要考虑岸边岩石的渗透系数
1 2
K 和河渠(库)之间的宽度 l 外，还要考虑入渗量 W 的大小等，以预测水库蓄水后分水岭存
(2-17)
式中 h1，h2——为断面 1 和 2 上的潜水流厚度，m； K1，K2——相邻两种岩层的渗透系数，m； l1，l2——断面 1 和 2 到岩层分界面的距离，m。 2.1.4 承压水-无压流的稳定运动 在地下水坡度较大的地区，若上游为承压水，下游由于水头降至隔水底板以下转为无 压水的情况，形成承压—无压流，见图 2-6。
地下水动力学
图 2-1 计算出的潜水面与实际潜水面的比较
取垂直于地下水流动方向的单位宽度进行研究，其数学模型如下：
式中,h——距离左端起始断面 x 处的潜水含水层厚度，m； h1，h2——上游断面（左端起始断面）1、下游断面 2 处的潜水含水层厚度，m； K——含水层的渗透系数，m/d。 对（2-1）式分离变量积分，得
（2-8）
式（2-8）为单宽流量公式。 若已知两个断面上的水位值，可以用它来计算两断面间任一断面的流量。应该指出的 是，因沿途有入渗补给，所以 qx 随 x 而变化。
当含水层上部没有入渗或蒸发，即 W=0 时， （2-5）式和(2-8)式可简化为:
2 h12 − h2 h =h − x l 2 h 2 − h2 q=K 1 2l 2 2 1
（2-20）
上式中的 l，a 都是待求量，可同(2-19)式结合起来，用试算法解出合理间距 l。其方法 为：按分水岭移动规律给出 a 值，由（2-19）式算出 l 值；再代入(2-20)式，看是否满足等 式。如不满足，重复上述过程，直到满足条件。此时 l 即为所求的合理间距。 在两渠水位相等的特殊条件下，即 hl=h2=hw，分水岭位置 a=l/2，这时（2-20）式可简 化为：
地下水动力学基础
微 元 体 中 水 均 衡 与 达 西 定 律 结 上式(连续方程)结合达西定律、储水率定义，得出 合 得 承压水的基本微分方程 微 H H H H 分 方 x ( K xx x ) y ( K yy y ) z ( K zz z ) W S S t 程
注意：稳定流问题没有初始条件！ 边界条件：对所求解微分方程的未知函数,给出边界上有关的
已知信息，常用有第一类边界条件（已知水位边 界）、第二类边界条件（已知流量边界）等。 对于稳定流问题，如全部为已知流量边界(即第二 类边界)条件，则无唯一解。应至少有一段（片） 为一类边界条件。 初始条件：微分方程求解的是某初始时刻以后的变化过程。 初始时刻是人为选定的。 初始条件要求给出：初始时刻的水头函数(或数 值)或状态。
1 没有与时间有关的因素，H,W不随时间变化！
2 只有边界条件，没有初始条件！
3 若边界条件全部为流量边界，则无唯一解
思考：
自然界有真正的稳定流吗？
研究稳定流有什么意义？
潜水面边界条件描述
潜水面形状描述 H (x , y , z , t ) = z 或 F ( x , y , z , t ) = H (x , y , z , t ) - z = 0
边界形状： 三维问题边界：封闭曲面（可多个组合） 二维问题边界：封闭曲线（可多个组合） 一维问题边界：两个端点
已知确定函数！
什么含义? 什么含义?
（柯西Cauchy条件）
对于稳定流问题：至少有一段 (点、片)是第一类边界条件， 否则是无解的。
为什么仅归纳出三种边界类型？难 道没有其它类型的边界条件吗？
地下水流动微分方程（简化情况2） －－潜水水流的微分方程式
潜水含水层近似简化为二维流概念图
第2章水动力弥散方程
用来解决流动的地表水中α组分的分布及变化规律（例如地表水体 中污染物质的迁移）。 应用条件：
1、二元体系；2、等温条件；3、低浓度；
2-1-2 多组分流体的流速 u
对α组每分种的多质组点分流流速体来u看溶—平液—均中是速各指度种在，组也d分v就内的是α速各组度个分是分的不子各相的个等速分的度子。之的和统除计
以分子的个数。
流体体系的质点流速: 流体体系中各组分的质量平均速度
u
一速般u情况是下不，相等α的组，分两的者质存点在流一速个偏u差：与流体体系的质量平均流
第2章水动力弥散方程
2-1 水动力弥散方程的有关参数
2-1-1 流体的密度（ρ）
所谓的流体密度指的是单位流体体积的 质量，常用ρ 表示，量纲[ML-3]。 多组分流体的密度
实际上对于非均质的多组分流体而言， 其密度是随着组成它的各种组分的浓度 不同而变化的。
第2章水动力弥散方程
假设某多组份流体共有N种组分其某一组分称为α ，取该液体中一 体积为dv的微元，其质量为dm，该液体中在dv微元中α组分的质量
为dmα则 α组分的质量密度： dm dv
若将所有N种组分的质量密度进行求和：
N
12NN 1 d dm v 1 d d v m d dm v
就等于该溶体的体系密度。
某一组分的质量的密度：实际上就是水化学中学过的某一组分的浓 度。
浓度定义为单位体积流体某种溶质的质量。
第2章水动力弥散方程
u u u 或 u u u
u 称为α组分质点相对于质量平均速度 u 的扩散速度。
第2章水动力弥散方程
水文地质学第8章-2
E=
§8-4 地下水运动基本方程的定解条件
定解条件---满足地下水运动中某个具体问题的附加条件称为定解条件。 定解条件 定解条件分类------初始条件、边界条件 初始条件、 定解条件分类 初始条件 一、初始条件 1、概念：指在所选的渗流场内，观察开始时刻的渗流状态，即开始时 、概念： 刻的函数值。初始条件一般是观察开始时刻地下水位曲线---初始水 位曲线。H(x,0) = f(x)。 初始时刻为静水位：H(x,0) = H0=常数 任一时刻的水位状态都可作为下一时刻的初始条件： H(x,t0) = f(x) 2、 常见的初始条件f(x)有如下几种情况： 、 常见的初始条件 有如下几种情况： 有如下几种情况 （1）无入渗补给的情况：如下图示： ）无入渗补给的情况：
比照推导潜水非稳定流的微分方程，可得出无越流承压水非稳定流一维、二维直角坐标 的微分方程： ∂2H ∂2H ∂2H ∂H ∂H 一维： = α 2 ，二维： = α 2 + 2 ∂x ∂x ∂t ∂t ∂y
三、地下水稳定流运动微分方程
三、地下水稳定流微分方程 ∂H ∂V ∂Q = 0， = 0， = 0 ∂t ∂t ∂t ∂ ∂H ∂ ∂H ∂ ∂H +w= 0 潜水：一维： KH + w = 0，二维： KH + KH ∂x ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂ ∂H ∂ ∂H ∂ ∂H + Vs + Vx = 0 承压水：一维： Tx + Vs + Vx = 0，二维： Tx + Ty ∂x ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y 如果岩层是均质各向同性的：K为常数，上诸式可变为： ∂ ∂H w ∂ ∂H ∂ ∂H w + = 0 潜水：一维： H + = 0，二维： H + H ∂x ∂x K ∂x ∂x ∂y ∂y K ∂ 2 H Vs + Vx ∂ 2 H ∂ 2 H Vs + Vx 承压水：一维： 2 + = 0，二维： 2 + 2 + =0 ∂x T ∂x ∂y T
2章-2运动方程
以一微小立方体为研究对象建立方程
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2.1 承压含水层中地下水运动的基本方程（2）
基本方程推导思路（达西定律+质量守恒）：
以微小体积为研究对象: △V = △x △y △z ； 以质量守恒为原理：m入-m出= △m； 结合达西定律(能量守恒原理)：
h h h vx k x , v y k y , v y k y x x x
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2.2 饱和－非饱和土壤水运动基本方程（5）
2.2.2 饱和水流与非饱和水流方程的比较
1
均质各向异性承压地下水运动基本方程（H=z+h）：
2 H 2 H 2 H H k x 2 k y 2 k z 2 e1 (2 21) x y z t
非饱和水流的特点及基本方程：(H=z+h )
（2-22）
2 H 2 H H T ( 2 2 ) e x y t
单位时间单位水平面 积，厚度为m的铅直 （2-23） 微元含水层柱体中储 存(释放)的水量
a为导压系数
a
T
e
2 H 2 H H a( 2 2 ) x y t
好用二维形式，要表征三维水流就用（2-20）
2
H H H (2 45) k x k y k z x x y y z z t
比较角度：H, 达西定律，k
第二章 地下水的运动
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3
2.2 饱和－非饱和土壤水运动基本方程（6）
以微小体积为研究对象: △V = △x △y △z ；
以质量守恒为原理：m入-m出= △m;
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第二章地下水运动的基本微分方程及求解
条件
一、填空题
1. 渗流连续方程是质量守恒定律在地下水运动中的具体表现。
2. 地下水运动基本微分方程实际上是地下水水量均衡方程，方程的左端表示单位时间内从水平方向和垂直方向进入单元含水层内的净水量，右端表示单元含水层在单位时间内质量变化量。
3. 越流因素Ｂ越大，则说明弱透水层的厚度越大，其渗透系数越小，越流量就越小。
4. 单位面积(或单位柱体)含水层是指底面积为一个单位，高等于含水层厚度柱体含水层。
5. 在渗流场中边界类型主要分为水头边界、流量边界以及混合边界。
二、判断题
1. 地下水连续方程和基本微分方程实际上都是反映质量守恒定律。
(√)
2. 潜水和承压水含水层的平面二维流基本微分方程都是反映单位面积含水层的水量均方程。
(√ )
3. 在潜水含水层中当忽略其弹性释放水量时，则所有描述潜水的非稳定流方程都与其稳定流方程相同。
(×)
4. 越流因素B和越流系数σ都是描述越流能力的参数。
(√)
5. 在实际计算中，如果边界上的流量和水头均已知，则该边界既可作为第一类边界，也可作为第二类边界处理。
(√)
6. 凡是边界上存在着河渠或湖泊等地表水体时，都可以将该边界作为第一类边界处理。
(×)
7. 同一时刻在潜水井流的观测孔中，测得的平均水位降深值总是大于该处潜水面的降深值。
(√)
三、分析建模题
1. 一口井位于无限分布的均质、各向同性潜水含水层中，初始时刻潜水水位在水平不透水底板以上高度为H 0（x ，y ），试写出下列两种情况下地下水流向井的非稳定流数学模型（已知水流为二维非稳定流）。
（1）井的抽水量Q w 保持不变；
解：数学模型如下
t H K K Q y H H y x H H x W ∂∂=-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂μ；（x,y ）∈D,t ≥0 ① H （x,y ，0）=H 0（x ，y ）；（x,y ）∈D ，t=0
② H （x,y ，t ）|Γ1=H 0（x ，y ）；（x,y ）∈Γ1,t>0
③ W
r Q n H
T W π2-
=∂∂Γ；（x,y ）∈Γw,t>0（Γw 为井壁） （2）井中水位H w 保持不变。
解：数学模型如下
t
H K y H H y x H H x ∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂μ；（x,y ）∈D,t ≥0 ① H （x,y ，0）=H 0（x ，y ）；（x,y ）∈D ，t=0
② H （x,y ，t ）|Γ1=H 0（x ，y ）；（x,y ）∈Γ1,t>0
③ H （x,y ，t ）|ΓW =H w ；（x,y ）∈ΓW ,t>0（Γw 为井中）
2. 图2-1为某地供水水源地的平面图和水文地质剖面图，已知其开采强度为ε，试根据图示写出开采过程中地下水非稳定流的数学模型。
解：数学模型如下
t
H W y H KH y x H KH x ∂∂=-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂με；（x,y ）∈D,t ≥0 ④ H （x,y ，0）=H 0（x ，y ）；（x,y ）∈D ，t=0 ⑤ H （x,y ，t ）|Γ1=f （x ，y ，t ）；（x,y ）∈Γ1,t>0（Γ为河流边界） ⑥
0=∂∂ΓW n H ；（x,y ）∈ΓW ,t>0（Γw 为隔水边界）。