量子物理之势垒和隧道效应(动画)

d 1
2
dx
2
k1 1 0 ,
2
d
2
2
dx
2
k 2
2
2
0,
d
2
3
dx
2
k1
2
3
0
方程的 通解为
V I II V0 III
% % 1 ( x ) A1 ex p (i k 1 x ) A 2 ex p ( i k 1 x )
(x < 0) (0 < x < a) (x > a)
当粒子能量小于势垒高度 时，粒子虽然会发生反射， 还能够穿过势垒产生透射， 如同势垒中有一条隧道， 这种现象称为隧道效应。 隧道效应已经被大量 实验所证实，例如冷 电子发射(电子在强电 场作用下从金属表面 逸出)，α粒子从原子 核中释放，等等。
隧道效应也得到广泛的应用， 例如半导体器件，超导和扫 描隧道显微镜，等等。
% % 1 ( x ) A1 ex p (i k 1 x ) A 2 ex p ( i k 1 x )
(x < 0)
V0 II a
dx
% % 2 ( x ) B1 ex p (i k 2 x ) B 2 ex p ( i k 2 x )
% 3 ( x ) C 1 ex p (i k 1 x )
(0 < x < a)
(x > a)
I
III x
根据波函数的单值和连 ψ1(0) = ψ2(0)， 续的条件，在x = 0处有
d 1 (0 ) dx
O

d 2 (0 )
可得两个方程
% % % % % % % % A1 A 2 B1 B 2 , A1 k 1 A 2 k 1 B1 k 2 B 2 k 2
% % ik1a , A 2 A1 2 ik1a
% % % % % % 2 ( x ) B1 (1 i k 2 x ) B 2 (1 i k 2 x ) B1 B 2 ( B1 B 2 )i k 2 x
% A ( A A )i k x A 2 i 2 k 1 a A i 2 k 1 x % % % % % A2 1 2 1 1 1 1 2 ik1 a 2 i k1 a
*{范例14.7} 势垒和隧道效应(动画)
如图所示，一质量为m的粒子，能量为E， V ( x ) 在力场中沿x轴方向运动。力场势能分布为 这种势能分布称为一维势垒。一粒子从势垒左 边向右运动，求粒子的波函数，演示波的传播。
[解析]由于势能V0与时间无关，因此是一个定态问题。 V 粒子在三个区域的薛定谔方程组为
当粒子能量小于势垒高 度时，在势垒中，反射 波很小，主要是入射波。
当粒子能量一定时，势垒 常数越大，透射波越小。
势垒常数较大时，对于一 定质量和能量的粒子来说， 势垒的宽度较大，波函数 在势垒中衰减得较厉害， 透射波较小。
% 2[1 i k 1 ( x a )] A1 2 ik1a
当粒子能量等于势垒高度时， 当粒子能量小于势垒高度 时，k2是复数，势垒中的 势垒中仍然有波函数存在。 波函数按指数规律变化。
设一无量纲的常数 k 0 a 2 m V 0 / h 常数由粒子质量、势阱高度和 宽度决定，不妨称为势垒常数。
(x > a) O
2 m ( E V0 ) / h
2
设I区和III区的波矢为
x
当E > V0时，可设II区的波矢为 k 2 薛定谔方程 组可化为
d 1
2
dx
2
k1 1 0 ,
2
d
2
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
dx
2
k 2
2
0,
d
2
3
dx
2
k1
2
3
0.
*{范例14.7} 势垒和隧道效应(动画)
可见：不论是右行波是 左行波，波函数的实部 和虚部的幅度是相同的。
势垒常数将影响波长。 入射波的振幅取实数，初始 时各区域的波函数的实部和 虚部(对应颜色的点虚线) 。
随着时间的推移，入射波的 波函数向右移，反射波的波 函数向左移，合成波函数向 右移，其幅度不断发生改变。
在某时刻，波函数 的实部与虚部重叠。

1 % % k % % [ A 2 A1 1 ( A 2 A1 )] 2 k2
1 % % k 1 ( A A )] % % [ A 2 A1 2 1 2 k2
% % 2 e x p ( ik1a ) C 1 A1 2 ik1a
当粒子能量趋于势垒高 度时，k2趋于零，可得 势垒内的波函数为
% % ( k 2 k 1 ) A1 ( k 2 k 1 ) A 2
*{范例14.7} 势垒和隧道效应(动画)
% % A 2 A1 i( k 1 k 2 ) sin k 2 a
2 2
2 k 1 k 2 c o s k 2 a i( k 1 k 2 ) sin k 2 a
h
2
0 ( x 0, x a ) V 0 (0 x a )
d 1
2 2
2m dx
E 1 ,
h
2
d
2 2
2
2m dx
V 0
2
E 2 ,
h
2
d
2 2
V0
III
3
E
2m dx
3
I
II a
(x < 0)
(0 < x < a)
k1 2mE / h
2 2
,
% % C 1 A1
2 k1k 2 e x p ( ik1a ) 2 k 1 k 2 c o s k 2 a i( k 1 k 2 ) sin k 2 a
2 2
% B1 % B2
% % ( k 2 k 1 ) A1 ( k 2 k 1 ) A 2 2k2 % % ( k 2 k 1 ) A1 ( k 2 k 1 ) A 2 2k2
手工求解方程组比较麻烦，用MATLAB比较容易求解。
*{范例14.7} 势垒和隧道效应(动画)
% % % % % % % % A1 A 2 B1 B 2 , A1 k 1 A 2 k 1 B1 k 2 B 2 k 2
% % % B1 ex p (i k 2 a ) B 2 ex p ( i k 2 a ) C 1 ex p (i k 1 a )
2 2
% % C 1 A1
2 k1k 2 e x p ( ik1a ) 2 k 1 k 2 c o s k 2 a i( k 1 k 2 ) s in k 2 a
2 2
虚部和实 1 % % k % % % 部只差一 B1 [ A 2 A1 1 ( A 2 A1 )] 2k2 2 k2 个相位因 % (k k ) A % ( k 2 k 1 ) A1 1 % 2 1 2 % k % % % 子，因此 B2 [ A 2 A1 1 ( A 2 A1 )] 2k2 2 k2 两者中的 可见：其他波的复振幅由入射波的复振幅决定。 任何一个 当入射波函数取实部时，其他波函数也取实部； 都可以表 当入射波函数取虚部时，其他波函数也取虚部。 示波函数。
% % 2 ( x ) B1 ex p (i k 2 x ) B 2 ex p ( i k 2 x )
% % 3 ( x ) C 1 ex p (i k 1 x ) C 2 ex p ( i k 1 x )
将ψ1(x)乘以exp(-iωt)，然后取函数的实部。 x 由于cos(k1x - ωt) = cos(ωt - k1x)，可知：第一项 O a 表示I区向x正方向传播的波，即入射波， % A 是入射波的复振幅，模表示入射波的振幅，幅角表示初相。
d 2 (a ) dx d 3 (a ) dx
在x = a处有ψ2(a) = ψ3(a)， 再得两 个方程
% % % B1 ex p (i k 2 a ) B 2 ex p ( i k 2 a ) C 1 ex p (i k 1 a )
% % % B1 k 2 ex p (i k 2 a ) B 2 k 2 ex p ( i k 2 a ) C 1 k 1 ex p (i k 1 a )
1
同理可知：第二项表示向x负方向传播的波，即反射波， % % % B 1 和 B 2 是复振幅。 A 是反射波的复振幅。 由于在III区
2
ψ2(x)中的两个分量是势垒II区中右行波和左行波， 没有反射波， % 所以 C 2 0 . Ψ (x)中第一个分量是势垒III区中右行波。
3
*{范例14.7} 势垒和隧道效应(动画) V
% % % B1 k 2 ex p (i k 2 a ) B 2 k 2 ex p ( i k 2 a ) C 1 k 1 ex p (i k 1 a )
% % A 2 A1 i( k 1 k 2 ) s in k 2 a
2 2
求解结 果是
2 k 1 k 2 c o s k 2 a i( k 1 k 2 ) s in k 2 a
说明：波函数的虚部和实 部都能描述粒子的状态。
当粒子能量大于势垒高 度时，粒子虽然能够越 过势垒，还会发生反射。
当粒子能量一定时，势垒 常数越大，波长就越短。
在势垒左边界，入射波 和反射波都不连续，但 叠加的波是连续的。在 势垒右边界，叠加的波 与透射波是连续的。
当粒子能量等于势垒高度 时，势垒中的入射波和反 射波合并为一个波函数， 波函数随距离线性变化。