数学建模-第9章随机数学模型2

❖ 缺点： 夸大了变化微小的变量的作用。
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2.Fisher判别法
❖ Fisher 判别法的基本思想是将k个总体的所有p维空 间的样本点投影到一维空间上，使投影后组与组之 间尽可能的分开，然后利用方差分析的方法推出判 别函数。为简单起见，通常利用线性判别函数 u(x)=aTx.
❖ 寻找一个最合适的方向a，使在这个方向上， 组间方差与组内方差的商最大
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模型假设
❖ 根据统计数据特点假设第n周的需求数Qn服从 参数为1的Poisson分布
❖ 第n 周水族馆的存货用随机变量Xn 表示， 且X0 ＝3
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1改为0！
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P矩阵是一个Markov Chain模型的一步转移概率矩阵，
❖ [U,V]=eig(P’)
❖ U=
❖ -0.4781 ❖ -0.4418 ❖ -0.7591
0.1581 + 0.4183i 0.1581 - 0.4183i
-0.6325
-0.6325
0.4744 - 0.4183i 0.4744 + 0.4183i
❖ V=
❖ 1.0000
0
0
❖
0
0.0919 + 0.2433i 0
❖
0
0
0.0919 - 0.2433i
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9.6最佳进货策略
❖ 水族馆经营水族箱，每周末清点存货，决定是否进货； ❖ 进货策略：
如果本周某种规格的水族箱存货全部售出， 下周初就再进货３个，否则便不再进货 。 ❖ 这样的策略可能会造成部分时间顾客买不到货，造成一 定的潜在利润损失。
方差矩阵逆矩阵不存在，这种情况下，用欧式距离计算即可。
❖
3）即使总体样本数大于样本的维数也不能保证协方差矩阵不可逆，比如三个样本点（
3，4），（5，6）和（7，8），这种情况是因为这三个样本在其所处的二维空间平面内共
线。这种情况下，宜采用欧式距离计算。
❖
4）在实际应用中“总体样本数大于样本的维数” 容易满足，而3）中所描述的情况是罕
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7ຫໍສະໝຸດ Baidu
因为矩阵P主特征值唯一，所以存在稳定概率分布
0 .2 8 4 8 ,0 .2 6 3 1 ,0 .4 5 2 1
根据全概率公式，
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9.7分类问题
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1.距离判别法
1.1欧氏Euclidean distance距离判别法
dx,xim kinxxk2
1.2马氏 (P. C. Mahalanobis)距离判别法
d x ,x i m k i n x x k T S k 1 x x k ,S k c o v ( x k )
1.3海明Hamming距离判别法
两个合法代码对应位上编码不同的位数称为海明距离。
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合理的距离
❖ 如果用dij表示第i个样品和第j个样品之间的距 离，那么对于一切i，j和k，dij应该满足如下 三个条件：
求解最优判别方向等价于求解带约束函数优化问题
aTYa max L(a)
aT Sa s.t. a 1
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可以证明：
a 为 矩 阵 S 1 Y 的 主 特 征 向 量
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为了确保解的唯一性，不妨设 aT Sa 1，这样问题转化为，
在 aT Sa 1的条件下，求 a 使得 aTYa 式达到极大。
❖
①dij≥0，当且仅当i=j时，dij=0 （非负性）
❖
② dij＝dji （对称性）
❖
③ dij≤dik＋dkj（三角不等式）
显然，欧氏距离满足以上三个条件。
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欧氏距离的缺点
❖ 欧氏距离虽然简单，但也有明显的缺点。它 将样本的不同属性（即各指标或各变量）之 间的差别等同看待，这一点有时不能满足实 际要求。
考虑目标函数
❖
求偏导，有
(a) aTYa (aT Sa 1)
a
2(Y
S)a
0
(1)
aT Sa 1
0
(2)
对（1）式两边同乘 aT ，有 aTYa aT Sa
从而， aTYa 的极大值为 。再用 S 1 左乘（1）式，有
(S 1Y I)a 0
（ 3）
由（3）式说明 为 S 1Y 特征值， a 为 S 1Y 的特征向量。在此
❖ 确定样本类别：
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需求Q频数统计
❖ 31周需求为0 ❖ 42周需求为1 ❖ 19周需求为2 ❖ 6周需求为3 ❖ 2周需求为4
E Q 0 0 .3 1 1 0 .4 2 2 0 .1 9 3 0 .0 6 4 0 .0 2
1 .0 6
DQ0.9257
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最大特征值所对应的特征向量 a 为我们所求结果。
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Fisher判别法
❖ 根据各个样本均值在最优方向上的投影值 uxiaTxi
从小到大将样本集重新编号，假设序号仍然为
G1~Gk。
定出G 和G 的分界值u , j=1~k-1，比如： ❖
j j+1
j
Cj
jxj x j1 j1 j j1
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马氏距离优缺点
❖
1）马氏距离的计算是建立在总体样本的基础上的，这一点可以从协方差矩阵可以得出
，同样的两个样本，放入两个不同的总体中，最后计算得出的马氏距离通常是不相同的，除
非这两个总体的协方差矩阵碰巧相同；
❖
2）在计算马氏距离过程中，要求总体样本数大于样本的维数，否则得到的总体样本协
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假 设 已 知 k个 p维 类 别 xi， 其 均 值 向 量 为 xi, 第 i类 已 有 样 本 集 G i:xij,样 本 容 量 为 m i,
x 1 k i k 1 x i,S i k 1 S i i k 1x i j x i x i j x iT ,Y i k 1 m ix i xx i x T
见的，在绝大多数情况下，可以顺利计算马氏距离，但是马氏距离的计算不稳定，不稳定的
根源是协方差矩阵，这也是马氏距离与欧式距离的最大差异之处。
❖ 优点： 1.不受量纲的影响，两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关； 2.由标准化数据和中心化数据(即原始数据与均值之差）计算出的二点之间的马氏距离相同 。3.马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。