2021_2022版高中数学第二章数列2.4.2等比数列的性质学案新人教A版必修5.doc

第2课时等比数列的性质学

习目标1.掌握等比数列的性质及其应用.(逻辑推理、数学运算)

2.掌握等比中项的实际应用

.(数学运算、数学建模)

3.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用.(逻辑推理、数学运算)

必备知识·自主学习

导思

1.结合等差数列的性质,思考等比数列应该具备哪些性质?

2.类比等差数列的单调性,分析等比数列的单调性?

1.等比数列项的运算性质

(1)等比数列的项之间的关系.

等比数列{a n},m,n,p,q∈N*

两项关系a n=a m q n-m

三项关系若m+n=2p,则a

n·a m=

四项关系若m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q

(2)“子数列”性质.

对于无穷等比数列{a n},若将其前k项去掉,剩余各项仍为等比数列,首项为a k+1,公比为q;

若取出所有的k的倍数项,组成的数列仍为等比数列,首项为a k,公比为q k.

(3)两等比数列合成数列的性质.

若数列{a n},{b n}均为等比数列,c为不等于0的常数,则数列{ca n},{},{a n·b n},也为等比数列.

等比数列两项之间的关系a n=a m q n-m中,当n≤m时成立吗?

提示:成立,如a2=a5q2-5=a5q-3=.

2.等比数列的单调性

递增数列a1>0 q>1

a1<0 0

a1>0 0

递减数列

a1<0 q>1

当q=1,q<0时,分别是什么数列?

提示:当q=1时是常数列;当q<0时是摆动数列.

1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).

(1)等比数列{a n}中a2·a6=. (

(2)当等比数列的公比q>1时,一定是递增数列. (

(3)等比数列{a n}中,a1,a4,a7,a10,…仍然是等比数列. ( 提示:(1)×.a2·a6=.

(2)×.当数列的公比q>1时,若a1<0,则是递减数列.

(3)√.a1,a4,a7,a10,…是以a1为首项,q3为公比的等比数列.

2.等比数列{a n}的公比q=-,a1=,则数列{a n}是(

A.递增数列

B.递减数列

C.常数列

D.摆动数列

【解析】选D.由于公比q=-<0,

所以数列{a n}是摆动数列.

3.(教材二次开发:练习改编)在等比数列{a n}中,已知a7·a12=10,则

a8·a9·a10·a11= .

【解析】因为a7·a12=a8·a11=a9·a10=10,

所以a8·a9·a10·a11=102=100.

答案:100

关键能力·合作学习

类型一等比数列的性质及应用(数学抽象、逻辑推理、数学运算)

1.已知数列{a n}是正项等比数列,若是a2和a8的等比中项,则a1a3a5a7a9的值是(

A.5

B.25

C.5

D.55

【解析】选B.因为是a2和a8的等比中项,

所以a2·a8=5,

又a1a9=a3a7==a2·a8=5,a5>0,

所以a5=,则a1a3a5a7a9=25.

2.在等比数列{a n}中,a1+a2=10,a3+a4=60,则a7+a8= (

A.110

B.160

C.360

D.2 160

【解析】选D.设等比数列{a n}的公比为q,

因为a1+a2=10,a3+a4=60,

所以q2(a1+a2)=10q2=60,

解得q2=6.

则a7+a8=q6(a1+a2)=10×63=2 160.

3.等比数列{a n}中,a4,a8是关于x的方程x2+10x+4=0的两个实根,则a2a6a10= (

A.8

B.-8

C.4

D.8或-8

【解析】选B.根据题意,等比数列{a n}中,

有a4a8=a2a10=,

a4,a8是关于x的方程x2+10x+4=0的两个实根,

则a4a8=4,a4+a8=-10,

则a4<0,a8<0,则有a6=a4q2<0,

即a6=-2,所以a2a6a10=(a6)3=-8.

利用性质简化运算

有关等比数列的计算,基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组,先解出a1

和q,然后利用通项公式求解.但有时运算稍繁,而利用等比数列的性质充分发挥项的“下标”

的指导作用可优化解题过程.

【补偿训练】

1.已知等比数列{a n}的各项均为正数,若log3a1+log3a2+…+log3a12=12,则a6a7= (

A.1

B.3

C.6

D.9

【解析】选D.因为等比数列{a n}的各项均为正数,且log3a1+log3a2+…+log3a12=12,

即log3(a1·a2·…·a12)=12,

所以a1·a2·…·a12=312,

所以(a6a7)6=312,

所以a6a7=32=9.

2.在等比数列{a n}中,a2a3a4=8,a7=32,则a2= (

A.-1

B.1

C.±1

D.2

【解析】选C.等比数列{a n}中,a2a3a4=8,

则=8,则a3=2,

因为a7=32,所以q4==16,

解得q=±2,