图形专题——相似与几何图形及圆的综合应用学案

相似的综合应用

学习过程一、复习预习本章知识网络图

二、知识讲解

考点1 相似三角形的判定方法

（1）定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．

（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．

（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．

（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．

考点2 常见的相似模型

1. 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“ A型”与“X型”图）

2. 如图：其中/仁/ 2,则厶AD0A AB（称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）

3. 如图：称为“垂直型” （有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）垂直型”）

4. 如图：/仁/ 2,Z B=Z。，则厶AD0A AB（称为“旋转型”的相似三角形。

5. 一线三角模型

考点3常用方法归纳

（1）总体思路：“等积”变“比例”，“比例”找“相似”

（2）找相似：通过“横找” “竖看”寻找三角形

（3）找中间比：若没有三角形（即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个

字母在同一条直线上），则需要进行“转移”（或“替换”），常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换•

即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。

①a m

J c为中间比）

b n d n n

②a m c m '

r ,n n

b n d n

③a m

J c

1 1 m z' ，亠m m、

r （m m , n n 或

「

b n d n n n

（4）添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线（通常是添加平行线）构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.

注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。

（5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k; 对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。

（6）对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。

二、例题精析

考点一相似三角形与简单几何图形结合问题

例1、如图是小红设计的钻石形商标，△ ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC// EQ / EAC=60°, AE=1.

(1)证明：△ ABE^A CBQ

(2)图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比(不添加辅助线，不找全等的相似三角形)；

(3)小红发现AM=MN=NC请证明此结论；

(4)求线段BD的长.

【规范解答】：（1）证明：•••△ ABC是等边三角形，

••• AB=BC，/ BA（=Z BCA=60°. （1 分）

•••四边形ACDE1等腰梯形，/ EA（=60O，

••• AE=CD / AC[=Z CAE=60°，

•••/ BA（+Z CAE120° =Z BCA/ AC[

即/ BAE=/ BCD （2 分）

在厶ABE和厶BCD中, AB=BC / BAE=/ BCD AE=CD

•△ ABE^A CBD （3 分）

（2）存在.答案不唯一.如△ ABN^A CDN

证明：I / BAN=60° =Z DCN / AN^Z DNC

•△ ANB^A CND （5 分）

其相似比为：=- =2; （6分）

CD 1

（3）由（2）得A N

=AB=2，

CN CD

1 1

•CN=1AN=1AC, （8 分）

2 3

同理AM=1AC，

3

•AM=MI=NC （9 分）

（4）作DF丄BC交BC的延长线于F, •••Z BC[=120O，

•Z DC=60°. （1O 分）

在Rt△ CDF中, CD=30°,

1 1

•CF= 1C[=1,

2 2

•DF= CD2CF2=：12（；）2= J ；（11 分）

在Rt△ BDF中, • BF=BOCF=2+1=5, DF=-^ ,

2 2 2

•BA.BF2DF2= .（：）2（ 23）2=「7 . （12 分）

【分析】：（1）由厶ABC是等边三角形，得AB=BC, Z BA（=Z BC/=60°,由四边形ACDE是等腰梯形，得AE=CD / AC[=Z CAE=60°,利用“S AS'判定△ ABE^A CBQ

(2)存在•可利用AB// CD或AE// BC得出相似三角形；

(3)由(2)的结论得竺=空=2,即卩CN^AC，同理，得AM^AC,可证AM=MI=NC

CN CD 3 3

(4)作DF丄BC交BC的延长线于F,在Rt△ CDF中,由/ CD=30°, CE=AE=1,可求CF, DF,在Rt△ BDF 中，由勾股定理求BD.