离散数学复习

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集合理论部分
求等价类和商集A/R 给定A的划分，求出 所对应的等价关系 求偏序集中的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下 界、上确界、下确界 掌握基本的证明方法
• 证明涉及关系运算的集合等式 • 证明关系的性质、证明关系是等价关系或偏序关系
给定 f, A, B, 判别 f 是否为从A到B的函数 判别函数 f:AB的性质（单射、满射、双射）
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解：这道题主要是注意哈斯图的画法，是下面的元素和上面 的元素有偏序关系，还有偏序关系的性质，自反、反对称， 可传递。及子集的极大、极小、最大、最小元是在子集里 找，而上下界及上下确界均是在P上找。 (1)中的答案顺序为：F，T，F，F，T，F，F (2) P中有极大元也是最大元为x1 ,没有最小元，极小元是 X4,x5 (3) {x2,x3,x4}的上界是x1也是上确界，下界是x4也是下确界 {x3,x4,x5}的上界是x3和x1， x3还是上确界，没有下界和下确界 {x1,x2,x3} 的上界和上确界是x1，下界和下确界是x4
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再来证T是可传递的。 对任意a1,b1,a2,b2， a3,b3AXB若 a1,b1Ta2,b2 a2,b2T a3,b3 a1Ra2 b1Sb2 a2Ra3 b2Sb3 （a1Ra2 a2Ra3） ( b1Sb2 b2Sb3) a1Ra3 b1Sb3即a1,b1T a3,b3 综上T是AXA上的偏序关系。
各章核心内容
数理逻辑部分 深刻理解各联结词的逻辑关系, 熟练地将命题符号化 会求复合命题的真值 深刻理解合式公式及重言式、矛盾式、可满足式等概念 熟练地求公式的真值表，并用它求公式的成真赋值与成假 赋值及判断公式类型 深刻理解等值式的概念 牢记基本等值式的名称及它们的内容
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熟练地应用基本等值式及置换规则进行等值演算 理解文字、简单析取式、简单合取式、析取范式、合取范式 的概念 深刻理解极小项、极大项的概念、名称及下角标与成真、成 假赋值的关系，并理解简单析取式与极小项的关系
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熟练掌握求主范式的方法（等值演算、真值表等） 会用主范式求公式的成真赋值、成假赋值、判断公式的类型、 判断两个公式是否等值 会将公式等值地化成指定联结词完备集中的公式 会用命题逻辑的概念及运算解决简单的应用问题 掌握消解规则及其性质 会用消解算法判断公式的可满足性 理解并记住推理形式结构的两种形式： (A1A2…Ak)B 前提：A1, A2, … , Ak
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4、设R是NXN上二元关系，对任意的a,b,c,dNXN, a,bRc,d b=d 证明R是NXN上的等价关系，并求出其商集NXN/R 解：我们只来求NXN/R，为此先来求NXN NXN={0,1,2,…,n,..}X{0,1,2,…,n,..} ={0,0,0,1,…, 0,n,… 1,0,1,1,…, 1,n,… 2,0,2,1,…, 2,n,… … n,0,n,1,…, n,n,… … }于是很明显的可以看 出每一列是一个等价类，于是商集为以列为元素的集合。
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2、设A={1，2，3，4}，在AXA上定义二元关系R为 u,v, x,yAXA, u,vRx,yu+y=x+v 证明R是AXA上的等价关系并确定由R引起的AXA的划分。 解：R是自反的：因为x,yRx,yx+y=x+y R是对称的：因为u,vRx,y时一定有 x,yR u,v； R是可传递的：假设x,yRu,v和u,v R l,m我们来证 x,yRl,m 因为x+v=y+u及u+m=v+l两式两边相加得 x+v+u+m=y+u+v+l整理得 x+m=y+l问题得证。即R是等价关系。
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现在来求由此等价关系导致的划分：为此先求AXA AXA={1,1, 1,2, 1,3, 1,4 2,1, 2,2, 2,3, 2,4 3,1, 3,2, 3,3, 3,4 4,1, 4,2, 4,3, 4,4} C={{1,1, 2,2, 3,3, 4,4}, {1,2, 2,3, 3,4}, {2,1, 3,2, 4,3}, {1,3, 2,4}, {3,1, 4,2}, {1,4},{4,1}}
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3、设A,R和B,S为偏序集，在集合AXB上定义关系T如 下： a1,b1,a2,b2AXB a1,b1Ta2,b2 a1Ra2 b1Sb2 证明T是偏序关系。 解：只要证T是自反的，反对称的和可传递的即可。 显然对任何 ai,bi AXB有aiRai biSbi因为R和S都是偏序 关系，是自反的，所以 ai,bi T ai,bi 即T是自反的。 对任意a1,b1,a2,b2AXB若 a1,b1Ta2,b2 a2,b2T a1,b1 a1Ra2 b1Sb2 a2Ra1 b2Sb1 (a1Ra2 a2Ra1)( b1Sb2 b2Sb1) a1=a2 b1=b2 即a1,b1=a2,b2于是T是反对称的
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4、设个体域是{a,b}消去下式的量词： xF(x) yG(y) 解:首先将其变成前束范式 xF(x) yG(y)= (xF(x) y G(y)) =( x F(x) y G(y)) = x y (F(x) G(y)) = y (F(a) G(y)) y (F(b) G(y)) = (F(a) G(a)) (F(a) G(b)) (F(b) G(a)) (F(b) G(b))
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(1)解：通过求主范式的方法来判定。 (pq) r= (pq r) (pq r) (p r) (p r) = (pq r) (pq r) (pq r) (p q r) (p q r) (p q r) =M0M1M2M4M6 该公式是可满足的 (2)p(p q r)=p p q r=T 该公式是永真式，含有p p 因子，所以其主析取范式为： m0m1m2m3m4m5m6m7其中代表析取。
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练习题： 1、38页3，7 2、65页2，6 3、66页10 4、79页3，5，7 5、80页12，15，17 6、81页19 7、81页的20~25再检查一遍作业，如果没做就再做一遍。
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练习题
1、已知公式A含n个命题变元p1,p2,…,pn, 并且无成假赋值， 求A的主合取范式。 解：该公式是永真式，没有主合取范式， 2n个极小项均出现 在其主析取范式中。 2、判断下列公式的属性： (1) (pq) r (2) p(p q r)
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深刻理解永真式、矛盾式、可满足式的概念, 会判断简 单公式的类型 深刻理解并牢记一阶逻辑中的重要等值式, 并能准确而熟练 地应用它们． 熟练正确地使用置换规则、换名规则、代替规则． 熟练地求出给定公式的前束范式． 深刻理解自然推理系统NL 的定义，牢记NL 中的各条推理规 则，特别是注意使用、+、+、 4条推理规则的条 件． 能正确地给出有效推理的证明．
P规则 T规则和1 T规则和2 ES规则和3 T规则和4 T规则和4 P规则 US规则和7 T规则5和8
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10、x(I(x) (Q(x)E(x))) P规则 11、I(a) (Q(a)E(a)) US规则和10 12、 Q(a)E(a) T规则9和11 13、 Q(a) T规则6和12 14、N(a) Q(a) T规则5和13 15、x(N(x) Q(x)) EG规则和14 问题得证。 请大家看第5章课件关于这方面的最后练习。
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推理证明过程如下： 注意首先检查有没有带存在量词的前提，如果有首先对其使用P规则。 1、 x(N(x) E(x))
2、 x (N(x)E(x)) 3、x (N(x) E(x)) 4、 N(a) E(a) 5、 N(a) 6、 E(a) 7、x(N(x) I(x)) 8、N(a) I(a) 9、 I(a)
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3、指出下列公式的指导变元，量词的辖域，各个变元的自 由出现和约束出现，并求它们的前束范式。 (1)x(F(x) G(x,y)) (2) xF(x,y) yG(x,y) 解(1):x是指导变元，量词的辖域是(F(x) G(x,y))，x有两处 约束出现，y是自由变元，有一次自由出现，它已经是前 束范式 解(2)先求其前束范式 xF(x,y) yG(x,y)=xF(x,z) yG(u,y) =x y (F(x,z) G(u,y))于是x,y是指导变元 并且x,y是约束的，它们的辖域是(F(x,z) G(u,y)) ；u,z是 自由的。
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熟练计算函数的值、像、复合以及反函数 证明函数 f:AB的性质（单射、满射、双射） 给定集合A, B，构造双射函数 f:AB 能够证明两个集合等势 能够证明一个集合优势于另一个集合 知道什么是可数集与不可数集 会求一个简单集合的基数
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复习及练习
练习题： 1、100页32，101页45 2、130页6，131页10，11，12，13，14 3、132页22 4、133页25，34，35 5、134页38，39，40， 6、135页48 7、161页5，7 8、162页11，18，19 9、164页29
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5、首先将下列命题符号化然后推证其结论。 (1)所有的自然数都是整数，任何整数不是奇数就是 偶数，并非每个自然数都是偶数，所以，某些自 然数是奇数。 解：首先定义谓词如下： N(x):x是自然数，I(x):x是整数，E(x):x是偶数 Q(x):x是奇数，于是问题可描述成： x(N(x) I(x)), x(I(x) (Q(x)E(x))), x(N(x) E(x)) x(N(x)Q(x)).
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练习题
1、判断书上132页23题中所有图的性质： 解:(a):是自反的，不对称的，不可传递的。 (b):不自反的，反对称的，可传递的 (c):自反的，对称的，可传递的。 (d):自反的，不地称的，可传递的 (e):不自反的，不对称的，不可传递的 (f):不自反的，对称的，不可传递的 (g):自反的，反对称的，不可传递的 (h):自反的，对称的，不可传递的 (i):不自反的，对称的，不可传递的 (j):不自反的，反对称的，不可传递的 (k):自反的，反对称的，可传递的 (l):不自反的，反对称的，不可传递的。
• 结论：B
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熟练掌握判断推理是否正确的不同方法（如真值表法、等值 演算法、主析取范式法等） 牢记 P 系统中各条推理规则 熟练掌握构造证明的直接证明法、附加前提证明法和归谬 法 会解决实际中的简单推理问题 准确地将给定命题符号化 理解一阶语言的概念 深刻理解一阶语言的解释 熟练地给出公式的解释 记住闭式的性质并能应用它
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5、给定T12上的整除关系D，试证明D是偏序关系，画出D的 哈斯图。 T12是12的因子的集合。 解：整除关系是自反的，反对称的，可传递的，它是偏序关 系，我们只画它的哈斯图 12的因子={1，2，3，4，6，12}
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5、下图给出了偏序集P，R的哈斯图，其中P={x1,x2,x3,x4,x5} (1)下列关系中哪一个是真的？ x1Rx2，x4Rx1， x3Rx5，x2Rx5， x1Rx1，x2Rx3，x4Rx5 (2)求出P中的最大元、最小元，极大元、极小元，如果存在的话。 (3)求出子集{x2,x3,x4}，{x3,x4,x5}，{x1,x2,x3}的上界、下界和上下确界如果 它们存在的话。 x1 x2 x4 x3 x5
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集合理论部分
熟练掌握集合的基本运算（普通运算和广义运算） 掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法 熟练掌握关系的三种表示法 能够判定关系的性质（等价关系或偏序关系） 掌握含有关系运算的集合等式 掌握等价关系、等价类、商集、划分、哈斯图、偏序集等概 念 计算AB, dom R, ranR, fldR, R1, RS , Rn , r(R), s(R), t(R)